8 一道高考焦点三角形试题的多视角解答-《中学生数理化》高二数学2024年11月刊

■四川省成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋 2023年高考全国甲卷第12题是一道解析 几何试题,此题与三角形结合,属于典型的“形 形组合”试题。题干虽短,但考查灵活,解答时 入口宽,是一道考查同学们掌握基础知识、基 本技能的好题。下面从不同角度进行解答。 1.真题呈现 图1 (2023 年 高 考 全国甲卷第12题) 如图1所示,已知椭 圆 x2 9+ y2 6=1 ,F1, F2 为椭圆的两个焦 点,O 为原点,P 为 椭圆上一点,cos ∠F1PF2= 3 5 ,则|PO|= ( )。 A. 2 5 B. 30 2 C. 3 5 D. 35 2 2.试题分析 本题以椭圆为载体,涉及焦点三角形中 的线段,可通过椭圆的定义及性质将问题转 化为三角形问题进行解决。本题涉及椭圆上 的点和三角形中线,属于典型的“爪子”形问 题。这类题型切入口众多,作为一道选择题, 根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级 结论、焦点三角形的面积公式快速解出,也可 以利用定义结合余弦定理,以及向量的数量 积解决中线问题的方式解决,还可以直接用 中线定理解决。 3.试题解答 解法1(利用余弦定理+向量): 因为椭圆方程为 x2 9+ y2 6=1 ,F1,F2 为 两个焦 点,所 以c= 3。设|PF1|=m, |PF2|=n,不妨令m>n,可得m+n=6。 又因为cos ∠F1PF2= 3 5 ,所 以4c2= m2+n2-2mncos ∠F1PF2,即12=m2+ n2- 6 5mn 。整理得mn= 15 2 ,m2+n2=21。 因为PO→=12(PF1 →+PF2→),所以|PO|2 = 1 4 (|PF1→|2+|PF2→|2+2PF1→·PF2→)= 1 4 (m2+n2+2mncos ∠F1PF2) = 1 4 m 2+n2+ 6 5mn =14× 21+65×152 = 15 2 。 解得|PO|= 30 2 ,选B。 点评:先利用椭圆的定义和余弦定理求 出|PF1|·|PF2|,|PF1|2+|PF2|2,再结合 中线的向量公式和数量积即可求解。 解法2(利用焦点三角形的面积公式): 不妨设∠F1PF2=2θ,0<θ< π 2 ,易得 S△PF1F2=b 2tan ∠F1PF2 2 =b 2tan θ。 42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年11月 由cos ∠F1PF2=cos 2θ= cos 2θ-sin 2θ cos 2θ+sin 2θ = 1-tan2θ 1+tan2θ = 3 5 ,解得tan θ= 1 2 。 由椭圆方程可知,a2=9,b2=6,c2=a2- b2=3。则S△PF1F2= 1 2×|F1F2|×|yP|= 1 2×2 3×|yP|=6× 1 2 ,解得y2P =3,即 x2P=9× 1- 3 6 =92。 因此,|OP|= x2P+y2P = 30 2 ,选B。 点评:解法2通过找点的坐标求长度,利 用等面积关系, 根据焦点三角形的面积公式 求出△PF1F2 的面积,可得到点 P 的坐标, 从而得出|OP|的值。椭圆焦点三角形的面 积公式S△PF1F2=b 2tan ∠F1PF2 2 与双曲线焦 点三角形的面积公式S△PF1F2= b2 tan ∠F1PF2 2 结构表达形式相近,容易记住。 解法3(利用中线长定理): 同解法1,得到 m2+n2=21。由中线定 理可知,(4|OP|)2+|F1F2|2=2(|PF1|2+ |PF2|2)=42。易 知|F1F2|=2 3,解 得 |OP|= 30 2 ,选B。 点评:中线长定理来源于新教材《数学必 修第二 册》第39页 例2:已 知 平 行 四 边 形 ABCD,你能发现对角线 AC 和BD 的长度 与两条邻边AB 和AD 的 长 度 之 间 的 关 系 吗? 并再次出现在第53页习题第15题中: △ABC 的 三 边 分 别 为a,b,c,边 BC,CA, AB 上的中线分别记为ma,mb,mc,利用余弦 定理 证 明 ma = 1 2 2b 2+c2 -a2,mb = 1 2 2 (a2+c2)-b2,mc = 1 2 2 (a2+b2)-c2。 这进一步说明平时对课本例题习题进行多维 度探究的必要性。 解法4(利用极化恒等式): 设|PF1|=m,|PF2|=n。不妨令m> n,易得m+n=6。 PF1→ · PF2→ = |PO→|2 - |OF2→|2 = mncos ∠F1PF2,则|PO→|2=3+ 3mn 5 。 因为在△F1PF 中,(2c)2=4×3=m2+ n2-2mn× 3 5=36- 16 5mn ,所以mn= 15 2 ,即 |PO→|2=3+3mn5 = 15 2 ,|OP|= 30 2 。 故选B。 点评:极化恒等式来源于人教 A版《数 学必修 第 二 册》第22页 练 习 第3题:求 证 (a+b)2-(a-b)2=4a·b。利用极化恒等 式a·b= 1 4 [(a+b)2-(a-b)2]可以快速 对共起点(终点)的两向量的数量积问题进行 转化,体现了向量的几何属性,让“秒杀”向量 数量积问题成为一种可能。此恒等式的精妙 之处在于建立了向量的数量积与几何长度 (数量)之间的桥梁,实现了向量与几何、代数 的巧妙结合。 解法5(利用等面积法): 同解法1,得到m+n=6。设P(x,y), 由cos ∠F1PF2= 3 5 ,得sin ∠F1PF2= 4 5 。 由4c2=m2+n2-2mncos ∠F1PF2,得 12=m2+n2- 6 5mn ,解得mn= 15 2 。 所以 1 2×2c×|y|= 1 2mnsin ∠F1PF2, 解得|y|= 3,则x2= 9 2 。 |PO|= x2+y2= 30 2 ,选B。 点评:此法与解法2思路相同,即通过找 点的坐标求解长度,只是解答面积表达式的 路径不一样。 解法6(利用椭圆的参数方程): 同解法1,得到m2+n2=21。令P(3cos θ, 6sin θ),则由 m2+n2=21,得(3cos θ- 3)2+(6sin θ) 2 +(3cos θ+3) 2 +(6sin θ) 2 =21。 解得cos 2θ= 1 2 ,sin 2θ= 1 2 。 52 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年11月 |PO|= 9cos2θ+6sin2θ= 30 2 。 点评:椭圆的参数方程本质上具有消元 策略(含有一个未知数),尤其是椭圆涉及一 些最值(值域)问题时,利用参数方程借助三 角函数的有界性可以求得答案。 解法7(利用焦半径公式): 同解法1,得到m+n=6。令P(x,y), 由c= 3,m+n=6,可得a=3,e= 3 3 。 由焦半径公式得 m=3+ 3 3x ,n=3- 3 3x 。 由mn= 15 2 得 3+ 3 3x × 3- 33x = 15 2 。 解得x2= 9 2 ,y2=3。 所以|PO|= x2+y2= 30 2 ,选B。 点评:椭圆的焦半径公式可以将形化数, 即可以快速将线段长度用点的坐标表示,焦 半径公式来源于椭圆的第二定义。 解法8(利用两次余弦定理): 同解法1,得到m+n=6,mn= 15 2 ,解得 m= 6+ 6 2 ,n= 6- 6 2 。 在 三 角 形 △PF1O 与 △F1PF2 中, cos ∠PF1O= m2+(23) 2 -n2 2m×23 = m2+(3) 2 -|PO|2 2m× 3 ,解得|OP|= 30 2 。 故选B。 点评:利用两次余弦定理或一次余弦定 理和正弦定理是解决这类三角形问题的通性 通法,即利用同角余弦的两种表达形式。 解法9(利用斯特瓦尔特(Stewart)定 理): 斯特瓦尔特(Stewart)定理:如图2,设点 D 为已知△ABC 边BC 上的一点,则|AB|2· 图2 |DC|+ |AC|2· |BD|- |AD|2· |BC|= |BC| · |DC|·|BD|。 同 解 法 1,得 到 c= 3,m2+n2=21。 利 用 此 定 理 得 m2× 3+n2× 3-|PO|2×2 3=23× 3× 3,即|PO|2= 15 2 ,所以|OP|= 30 2 。 选B。 点 评:此 法 巧 妙 借 用 了 斯 特 瓦 尔 特 (Stewart)定理(此定理的推导本质是利用互 补两角的余弦和再结合余弦定理),不仅步骤 简捷,计算量也小,极大提高了解题效率,也 希望同学们在平时解题中多积累相关的二级 结论并加以运用。当然涉及利用斯特瓦尔特 (Stewart)定理的试题屡见不鲜,限于篇幅, 在此不一一赘述,感兴趣的同学不妨自行查 找相关试题资料。 4.结语 本题虽以椭圆为载体,但最终转化化归 到解三角形。本题在探究中把椭圆常见的一 些解题技巧,如焦点三角形的面积公式、焦半 径公式、参数方程进行灵活运用。试题涉及 “爪子”形三角形,所以常见的极化恒等式、中 线长公式等也可进行合理运用。 解这类三角形常见的三大策略: (1)利用面积相等建立等式,如解法2、5; (2)利用同角的余弦不同的表达式建立 等式,如解法8; (3)利用互补角的余弦建立等式,如解法 9所用定理的推导。 以上三种策略均为通性通法,当然平面 向量与三角形紧密结合,合理选择利用向量 也可以优化解决与之相关的一些问题。近些 年高考涉及此类试题较多,限于篇幅,希望同 学们自行收集解答。 注:本文系成都市教育科研一般课题“高中 数学单元主体教学实践研究”(CY2021Y063)的 阶段性成果。 (责任编辑 徐利杰) 62 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年11月