7 例析圆锥曲线离心率的取值范围问题-《中学生数理化》高二数学2024年11月刊

■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生 圆锥曲线离心率的取值范围问题是高考 的热点题型,对圆锥曲线中已知特征关系的 转化是解决此类问题的关键,相关平面几何 知识的灵活应用可使问题求解更简捷。 一、由圆锥曲线的定义求离心率的取值 范围 例 1 已知F1,F2 是椭圆和双曲线的 公共 焦 点,P 是 它 们 的 一 个 公 共 点,且 ∠F1PF2= π 3 ,若椭圆的离心率为e1,双曲线的 离心率为e2,则e21+3e22 的取值范围是( )。 A.(3+ 3,+) B.5+ 3 2 ,+ C.- 5+ 3 2 ,+ D.(4,+) 解析:不妨设|PF1|=m,|PF2|=n, m>n。椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半 轴长为a2,两个曲线的半焦距均为c。由椭 圆及双曲线的定义得 m+n=2a1,m-n= 2a2,解得m=a1+a2,n=a1-a2。 在△PF1F2 中,由余弦定理得m2+n2- 2mncos π 3=4c 2,所以(a1+a2)2+(a1-a2)2- (a1+a2)(a1-a2)=4c2。 化简得a21+3a22=4c2,即 1 e21 + 3 e22 =4。 e21 +3e22 = 1 4 1 e21 + 3 e22 (e21 +3e22)= 1 4 10+ 3e22 e21 + 3e21 e22 ≥ 14 10+2 3e 2 2 e21 × 3e21 e22 = 4,当且仅当 3e22 e21 = 3e21 e22 ,即e1=e2 时等号成立。 因为e1<e2,所以e21+3e22>4,即e21+ 3e22 的取值范围是(4,+),选D。 例 2 已知双曲线C:x 2 a2 -y 2 b2 =1(a> 0,b>0)的右焦点为F(26,0),点A 的坐标 为(0,1),点 P 为双曲线左支上的动点,且 △APF 的周长不小于18,则双曲线C 的离 心率e的取值范围为 。 解析:由右焦点为F(26,0),点A 的坐 标为(0,1),可得|AF|= 24+1=5。 因为△APF 的 周 长 不 小 于 18,所 以 |PA|+|PF|+|AF|≥18,即|PA|+ |PF|≥13。 图1 设双曲线 C 的左焦 点为F1,如图1所示。因 为点 P 为双曲线左支上 的动点,所以由双曲线的 定义得|PF|-|PF1|= 2a,即|PF|=|PF1|+ 2a,也即|PA|+|PF|= |PA|+|PF1|+2a,当 A,P,F1 三点共线 时,|PA|+|PF1|+2a 取最小值,最小值为 |AF1|+2a=5+2a。 因此,5+2a≥13,解得a≥4。 因为c=26,所以e= c a= 26 a ≤ 6 2 。 又因为e>1,所以1<e≤ 6 2 ,故双曲线 C 的离心率e的取值范围为 1, 6 2 􀭤􀭥 􀪁􀪁 。 点评:利用圆锥曲线的定义,以及余弦定 理或勾股定理,构造关于a,b,c的不等式或 不等式组求解,要注意椭圆、双曲线的离心率 22 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年11月 自身的取值范围。 二、由圆锥曲线的几何性质求离心率的 取值范围 图2 例 3 如图2,已知 点F 是双曲线 x2 a2 -y 2 b2 =1 (a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点, 过点 F 且垂直于x 轴的 直线与双曲线交于A,B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线 的离心率e的取值范围是( )。 A.(1,+) B.(1,2) C.(2,1+ 2) D.(1,1+ 2) 解析:由 题 意 可 知|AE|=|BE|,即 △ABE 为等腰三角形。 因为△ABE 是锐角三角形,所以∠AEB< 90°,即∠AEF<45°。 将x=-c 代入 x2 a2 -y 2 b2 =1,可得y= ± b2 a 。在Rt△AFE 中,|AF|= b2 a ,|FE|= a+c。因 为 ∠AEF<45°,所 以|AF|< |FE|,即 b2 a<a+c ,整理得2a2-c2+ac>0, 即e2-e-2<0,解得-1<e<2。 因为e>1,所以1<e<2,该双曲线的离 心率e的取值范围是(1,2),选B。 例 4 已知椭圆C:x 2 a2 +y 2 b2 =1(a> b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P 在椭 圆C 上,若离心率e= |PF1| |PF2| ,则椭圆C 的离 心率e的取值范围为( )。 A.(0,2-1) B.0, 2 2 C. 2 2 ,1 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 D.[2-1,1) 解析:因为e= |PF1| |PF2| ,所以|PF1|= e|PF2|。由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|= 2a,则|PF2|= 2a e+1 。因为a-c≤|PF2|≤ a+c,所以a-c≤ 2a e+1≤a+c 。两边同时除 以a,得1-e≤ 2 e+1≤1+e ,解得e≥ 2-1。 因为0<e<1,所以 2-1≤e<1,故椭圆C 的离心率e的取值范围为[2-1,1),选D。 点评:利用圆锥曲线的性质,如椭圆的最 大角、通径、三角形中的边角关系,圆锥曲线 上的点到焦点的距离的取值范围等,建立不 等式或不等式组求解。 三、由几何图形的性质求离心率的取值 范围 例 5 设过原点且倾斜角为60°的直线 与双曲线C: x2 a2 -y 2 b2 =1(a>0,b>0)的左、 右支分别交于A、B 两点,F 是双曲线C 的焦 点,若△ABF 的面积大于 6a2(a2+b2),则 双曲线C 的离心率e的取值范围是 。 图3 解析:不妨设F 是双 曲线C 的左焦点,如图3 所示。由题意可知,直线 AB 的方程为y= 3x。由 y=3x, x2 a2 -y 2 b2 =1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 得 x = ± ab b2-3a2 ,且b2>3a2。 所以yA=- 3ab b2-3a2 ,yB= 3ab b2-3a2 。 因为S△ABF= 1 2|OF| ·|yB-yA|= 1 2c · 23ab b2-3a2 = 3abc b2-3a2 , 且 S△ABF > 6a2(a2+b2)= 6ac,所 以 3abc b2-3a2 > 6ac,即 b b2-3a2 > 2,解得0<e< 7。 又因为b2>3a2,所以e>2,即2<e< 7, 双曲线C的离心率e的取值范围是(2,7)。 点评:利用几何图形中几何量的大小,如 线段的长度,构造几何度量之间的关系求解。 (责任编辑 徐利杰) 32 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年11月