6 从一道模考题的多种解法谈椭圆离心率的求解策略-《中学生数理化》高二数学2024年11月刊

■河北省滦南县第一中学 刘明远 圆锥曲线的离心率是揭示圆锥曲线本质属 性的一个重要量,多年来一直备受命题者的青 睐,是各地模拟考试和高考的考查热点。因其 题目难度一般较大,致使很多同学望而生畏。 下面从一道模拟试题的多种解法谈一下椭圆离 心率的求解策略,供同学们学习和参考。 题目:(2024年深圳市二模第8题)P 是 椭圆C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>0,b>0)上一点,F1, F2 是椭圆C 的左,右焦点,PF1→·PF2→=0, 点 Q 在∠F1PF2 的平分线上,O 为坐标原 点,OQ∥F1P,且|OQ|=b,则椭圆C 的离心 率为( )。 A. 1 2 B. 3 3 C. 6 3 D. 3 2 策略一:根据公式e= c a ,结合关系式 a2=b2+c2 求解 图1 解法1:如图1 所 示,不 妨 设 点 P(m,n)在 第 一 象 限,则椭圆C 在点P 处的切线l 的方程 为 mx a2 + ny b2 =1。 可得切线l的斜率为- mb2 na2 。 设直线PQ 与x 轴的交点为T(t,0),则 PT⊥l,即- mb2 na2 · n m-t=-1 ,解得t= mc2 a2 =e2m。 由OQ∥F1P,可得 |OQ| |F1P| = |OT| |F1T| 。 由焦半径公式|F1P|=em+a,得 b em+a= e2m e2m+c ,解得em=b。 所以|F1P|=a+b,|F2P|=a-b。 因为PF1→·PF2→=0,所以 PF1⊥PF2, 即|F1P|2+|F2P|2=|F1F2|2。 因此,2a2=3c2,即e= 6 3 ,答案为C。 解法2:同解法1,得到|F1P|=a+b, |F2P|=a-b。 由 公 式 S△F1PF2 = b 2tan θ 2 (θ 为 ∠F1PF2),得S△F1PF2=b 2,即a2-b2=2b2, 则2a2=3c2,解得e= 6 3 ,答案为C。 方法提炼与总结:解法1和解法2都是 借助于椭圆在点 P 处的切线与∠F1PF2 的 平分线垂直展开的,目的是得到点 T 的 坐 标,进而根据OQ∥F1P 建立等量关系,这当 中焦半径公式也很重要。解法1和解法2的 区别在于最后关于a、c的等式来源不同,解 法1是利用勾股定理,解法2是利用焦点三 角形的面积公式。 解法3:不妨设点P 在第一象限,设直线 PQ 与x 轴正半轴的交点为T。 设|F1P|=r,则r>a。 由椭圆的定义可得|F2P|=2a-r。 在△F1PF2 中,应用角平分线定理可得 |F2P| |F1P| = |F2T| |F1T| ,即2a-r r = c-|OT| c+|OT| ,于是 r-a r = |OT| c+|OT| 。 因为 OQ∥F1P,所以 |OQ| |F1P| = |OT| |F1T| , 则 b r= |OT| c+|OT| ,因此,r-a r = b r 。 所以|F1P|=r=a+b,|F2P|=a-b。 以下解题过程同解法1或解法2。 方法提炼与总结:解法3是借助于椭圆 的定义和∠F1PF2 的平分线定理展开的,目 的是用a、b、c表示|F1P|和|F2P|,利用角 平分线定理和OQ∥F1P 得到长度比是解题 的关键,也是最后关于a、c的等式的来源。 02 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年11月 图2 解法4:如图2, 不妨设点P 在第一 象 限,延 长 OQ 交 PF2 于 M。 因为PF1→·PF2→ =0,所以PF1⊥PF2。 因为点 Q 在∠F1PF2 的平分线上,所以 ∠QPF2=45°。 因为OQ∥F1P,O 为F1F2 的中点,所以 M 为PF2 的中点,且 MQ⊥PF2,|OM|= 1 2|F1P| 。因此,|MQ|=|PM|=|MF2|。 故|OM|= 1 2|F1P|=b+ 1 2|F2P| 。 由椭圆的定义知|F1P|+|F2P|=2a, 可得|F1P|=a+b,|F2P|=a-b。 以下解题过程同解法1或解法2。 图3 解法5:如图3, 不妨设点P 在第一象 限,连接PO 并延长, 交椭圆C 于 M,连接 F1M 和 F2M,延 长 PQ交F2M 于N。 根据椭圆关于原点对称及PF1→·PF2→= 0,可得四边形F1PF2M 为矩形。 因为点 Q 在∠F1PF2 的平分线上,所以 ∠QPF2=45°,故|F2P|=|F2N|。 因为OQ∥F1P,|OQ|=b,所以|MN|=2b。 从而|MN|+|F2N|=2b+|F2P|= |F1P|。 由椭圆的定义知|F1P|+|F2P|=2a, 解得|F1P|=a+b,|F2P|=a-b。 以下解题过程同解法1或解法2。 方法提炼与总结:解法4和解法5都是 借助椭圆定义和∠QPF2=45°展开的,目的 是用a和b表示|F1P|和|F2P|,将|OQ|= b转移到|F2P|是解题的关键,最后关于a、c 的等式的来源同解法1或解法2。 策略二:在焦点△F1PF2 中,应用公式e= sin ∠F1PF2 sin ∠PF1F2+sin ∠PF2F1 求解 解法6:如图4,不妨设点P 在第一象限, 连接PO,设∠PF1F2=θ。 图4 由PF1→·PF2→= 0,可 得 ∠QPF1 = 45°。且|OP|=c, ∠F1PO=θ,∠OPQ =45°-θ。 在△F1PF2 中, 由 正 弦 定 理 得 e = c a = sin ∠F1PF2 sin ∠PF1F2+sin ∠PF2F1 = 1 sin θ+cos θ 。 又OQ∥F1P,故∠OQP=135°。 在△OPQ 中,由正弦定理得 |OQ| sin ∠OPQ= |OP| sin ∠OQP ,即 b sin(45°-θ)= c sin 135° 。 所以 b c=cos θ-sin θ。 因此,a c 2 - bc 2 =(sin θ+cos θ)2- (cos θ-sin θ)2=1。 整理得sin θ·cos θ= 1 4 。 故(sin θ+cos θ)2= 3 2 ,于是e= 1 sin θ+cos θ = 6 3 ,答案为C。 方法提炼与总结:解法6是借助椭圆定 义 和 正 弦 定 理 将 e 表 示 为 sin ∠F1PF2 sin ∠PF1F2+sin ∠PF2F1 ,转化为求θ,这 样就需要在含|OQ|的三角形内利用正弦定 理来求解。 从以上解法我们不难看出,求解椭圆的 离心率的两个策略为寻找基本量a、b、c的 等量关系,或是转化为焦点三角形中角的等 量关系,其难点在于如何利用椭圆方程或椭 圆的定义,结合题目条件,运用平面几何知 识或正余弦定理建立合适的等式,因此解题 方向是明确的,整合复杂的几何关系是解题 的关键。此题中围绕∠F1PF2 为直角、角平 分线和平行这三个几何关系进行整合、转 化,建立我们需要的等式,即可达到顺利求 解的目的。 (责任编辑 徐利杰) 12 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年11月