5 2024年高二上学期期中创新模拟卷(2)-《中学生数理化》高二数学2024年11月刊

■河南省南阳市第二完全学校高级中学 黄伟亮 张瑞玲 一、单选题(本题共8小题,每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.直线sin 36°x+sin 54°y+2=0的倾 斜角是( )。 A.36° B.54° C.126° D.144° 2.在四面体 ABCD 中,F 为BC 的中 点,E 为AF 的中点,则DE→=( )。 A. 1 2DA →+14AB →+14AC → B.DA→+14AB →+14AC → C. 1 2DA →+12AB →+12AC → D.DA→+12AB →+12AC → 3.“方程 x2 25-m+ y2 m-9=1 表示椭圆”的 一个必要不充分条件是( )。 A.m=17 B.17<m<25 C.9<m<25 D.9<m<25且m≠17 4.若A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,1), 则点B 到直线AC 的距离为( )。 A. 32 2 B. 22 3 C. 35 5 D. 5 5 图1 5.1970年4月 24日,我国发射了自 己的第一颗人造地球 卫星“东方红一号”, 从此我国开启了人造 卫星的新篇章。人造 地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定 律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地 球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化 服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地 球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等。 如图1所示,设椭圆的长轴长、焦距分别为 2a,2c,下列结论错误的是( )。 A.卫星向径的取值范围是[a-c,a+c] B.卫星运行速度在近地点时最大,在远 地点时最小 C.卫星向径的最小值与最大值的比值越 大,椭圆轨道越扁 D.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于 其在右半椭圆弧的运行时间 图2 6.法国数学家蒙日 发现椭圆两条相互垂直 的切线的交点的轨迹是 圆,这个圆被称为“蒙日 圆”,它的圆心与椭圆中 心重合,半径的平方等 于椭圆长半轴长和短半 轴长的平方和。如图2所示,椭圆E: x2 a2 +y 2 b2 = 1(a>b>0)及其蒙日圆O,点P,C,D 均为 蒙日圆与坐标轴的交点,PC,PD 分别与椭 圆E 相切于点A,B,若△PAB 与△PCD 的 面积比为16∶25,则椭圆 E 的 离 心 率 为 ( )。 A. 2 4 B. 1 2 C. 2 2 D. 3 2 7.直线l过点 M(2,1)且与椭圆x2+ 4y2=16相交于A,B 两点,若点 M 为弦AB 的中点,则直线l的斜率为( )。 A.- 1 2 B. 1 2 C.-1 D.1 8.“曼哈顿距离”是由赫尔曼·闵可夫斯 基所创的词汇,是一种使用在几何度量空间 的几何学用语。例如在平面直角坐标系中, 点 P(x1,y1),Q(x2,y2)的曼哈顿距离为 LPQ=|x1-x2|+|y1-y2|。若点P(1,2), 71 演练篇 名校名师创新卷 高二数学 2024年11月 点Q 为圆C:x2+y2=4上一动点,则LPQ 的 最大值为( )。 A.1+ 2 B.1+22 C.3+ 2 D.3+22 二、多选题(本题共3小题,每小题6分, 共18分。在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求。全部选对的得6分,部分 选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列命题正确的是( )。 A.直线x-2y-1=0与直线2x-4y+ 3=0之间的距离是 5 2 B.已 知 空 间 向 量 m=(3,1,3),n= (-1,λ,-1),若m∥n,则实数λ=6 C.已知 A(2,4),B(1,1),若直线l: kx+y+k-2=0与线段 AB 有公共点,则 k∈ - 2 3 ,1 2 D.与圆(x-2)2+y2=3相切,且在x 轴,y 轴上的截距相等的直线只有两条 10.已知椭圆Q: x2 9+ y2 4=1 ,O 是坐标 原点,P 是椭圆Q 上的动点,F1,F2 是椭圆 Q 的两个焦点,下列结论正确的有( )。 A.若△PF1F2 的面积为S,则S 的最大 值为9 B.若P 的坐标为 1, 42 3 ,则过P 的椭 圆Q 的切线方程为x+32y-9=0 C.若过O 的直线l交椭圆Q 于不同的 两点A,B,设PA,PB 的斜率分别为k1,k2, 则k1k2= 4 9 D.若 A,B 是椭圆Q 长轴上的两个端 点,P 不 与 A,B 重 合,且 AR→·AP→=0, BR→·BP→=0,则 R 点的轨迹方程为9x2+ 4y2=81 11.如图3,在棱长为2的正方体ABCD- A1B1C1D1 中,下列结论正确的有( )。 A.若 E 为 BB1 的 中 点,则 VB-AD1E = VD1-AC1E B.点 P 在正方形ABCD 内运动(含边 图3 界),若|D1P|= 5,则 |BP|的最小值为22-1 C.点P 在正方形AB- CD 内 运 动(含 边 界),若 A1P⊥BD,则直线A1P 与 直线BD1 所成角的余弦值 的最大值为 6 3 D.已知过点C 的平面α,M 为CC1 的中 点,且AM⊥α,若Q∈α,且|QB|=2|QB1|, 则Q 点的轨迹长度为 162π 9 三、填空题(本题共3小题,每小题5分, 共15分) 12.已知向量a=(1,0,-1),请写出一 个与向量a垂直的单位向量的坐标 。 13.已知☉O1:x2+(y-2)2=1,☉O2: (x-3)2+(y-6)2=9,过x 轴上一点P 分 别作 两 圆 的 切 线,切 点 分 别 是 M,N,当 |PM|+|PN|取最小值时,点 P 的坐标为 。 图4 14.已知函数f(x)= λsin π2x+φ (λ>0,0< φ<π)的部分图像如图4 所示,A,B 分别为图像的 最高点和最低点,过 A 作 x 轴的垂线,交x 轴于A', 点C 为该部分图像与x 轴 图5 的 交 点。将 绘 有 该图像的纸片沿x 轴折成直二面角, 如图5所示,此时 |AB|= 10,则 λ= 。 给出下列四个结论: ①φ= π 3 ; ②在图5中,AB→·AC→=5; ③在图5中,过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C; ④在图5中,S 是△A'BC 及其内部的点 81 演练篇 名校名师创新卷 高二数学 2024年11月 构成的集合,设集合T={Q∈S||AQ|≤2}, 则T 表示的区域的面积大于 π 4 。 其中所有正确结论的序号是 。 四、解答题(本题共5小题,共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分)已知两条直线l1:x+ my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0。 (1)若l1,l2 不重合,且垂直于同一条直 线,求m 的值。 (2)①直线l过坐标原点;②直线l在y 轴上的截距为2;③直线l与坐标轴形成的三 角形的面积为1。从这三个条件中选择一个 补充在下面问题中,并作答。若 m=1,直线 l与l2 垂直,且 ,求直线l的方程。 16.(本小题15分)已知圆 M 与圆 N: (x+4)2+(y-2)2=4关于直线3x-y+ 4=0对称。 (1)求圆 M 的标准方程; (2)过点E(1,0)的直线与圆 M 相交于 A,B 两点,过点C(4,0)且与AB 垂直的直线 与圆 M 的另一交点为D,记四边形 ACBD 的面积为S,求S 的取值范围。 图6 17.(本小题15分)如 图6,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,四边形AA1C1C 是边长 为4的正方形,平面ABC⊥ 平面 AA1C1C,|AB|=3, |BC|=5。 (1)求证:AA1⊥平面 ABC; (2)求平面 A1C1B 与平面B1C1B 夹角 的余弦值。 18.(本小题17分)已知两定点 A(-3, 0),B(3,0),过动点P 的两条直线PA 和PB 的斜率之积为- 8 9 。设动点P 的轨迹为C。 (1)求曲线C 的方程; (2)设F1(-1,0),过F1 的直线l交曲 线C 于M,N 两点(不与A,B 重合),设直线 AM 与BN 的斜率分别为k1,k2,证明 k1 k2 为定 值。 19.(本小题17分)类比平面解析几何的 观点,在空间中,空间平面和曲面可以看作是 适合某种条件的动点的轨迹,在空间直角坐 标系Oxyz 中,空间平面和曲面的方程是一 个三元方程F(x,y,z)=0。 (1)类比平面解析几何中直线的方程,直 接写出: ①过点P(x0,y0,z0),法向量为n=(A, B,C)的平面的方程; ②平面的一般方程; ③在x 轴,y 轴,z轴上的截距分别为a, b,c的平面的截距式方程(abc≠0)。(不需 要说明理由) (2)设 F1,F2 为 空 间 中 的 两 个 定 点, |F1F2|=2c>0,我们将曲面Γ 定义为满足 |PF1|+|PF2|=2a(a>c)的动点 P 的轨 迹,试 建 立 一 个 适 当 的 空 间 直 角 坐 标 系 Oxyz,并推导出曲面Γ 的方程。 (责任编辑 徐利杰) 91 演练篇 名校名师创新卷 高二数学 2024年11月 一、单选题 1.D 2.B 3.C 4.A 5.C 提示:由题意可得卫星的向径是椭 圆上的点到右焦点的距离,所以最小值为 a-c,最大值为a+c,A正确。 卫星在近地点时向径最小,在远地点时 向径最大。卫星的向径(卫星与地球的连线) 在相同的时间内扫过的面积相等,则向径越 大,速度越小,所以卫星运行速度在近地点时 最大,在远地点时最小,B正确。 卫星向径的最小值与最大值的比值为 a-c a+c= 1-e 1+e=-1+ 2 1+e ,比值越大,e越小, 椭圆越圆,故C错误。 根据在相同时间内扫过的面积相等,卫 星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭 圆弧的运行时间,故D正确。 6.D 提示:由题意知,蒙日圆O 为x2+ y2 = a2 + b2。 设 P (0, a2+b2 ), D(a2+b2,0),则直线 PD 的方程为y= -x+ a2+b2。 由 x2 a2 +y 2 b2 =1, y=-x+ a2+b2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 消去y 得(a2+ b2)x2-2a2 a2+b2x+a4=0。 显 然 Δ = (2a2 a2+b2) 2 -4(a2 + b2)a4=0,解得xB= a2 a2+b2 。 又 △PAB 与 △PCD 的 面 积 比 为 16∶25,故 |AB| |CD| = 4 5 。 又 |CD | = 2 a2+b2,|AB|=2xB = 2a2 a2+b2 ,则 2a2 a2+b2 2 a2+b2 = a2 a2+b2 = 4 5 ,得到a2=4b2。 所以e= c a= 1- b2 a2 = 3 2 。 7.A 8.D 提示:设点P(2cos θ,2sin θ)(0≤ θ<2π),则LPQ=|1-2cos θ|+|2-2sin θ|。 ① 当 cos θ≥ 1 2 ,即 θ∈ 0, π 3 ∪ 5π 3 ,2π 时,LPQ=2cos θ-1+2-2sin θ= 1+22cosθ+ π 4 。 因为θ∈ 0, π 3 ∪ 5π3,2π ,所以θ+ π 4∈ π 4 ,7π 12 ∪ 23π12,94π ,当θ+π4=2π 时,LPQ 取得最大值1+22。 ②当 cos θ< 1 2 ,即 θ∈ π3 ,5π 3 时, LPQ=1-2cos θ +2-2sin θ =3- 22sinθ+ π 4 。 因 为 θ∈ π3 ,5π 3 ,所 以 θ+ π4 ∈ 7π 12 ,23π 12 ,当θ+π4=3π2时,LPQ 取得最大值 3+22。 综上所述,LPQ 的最大值为3+22。 二、多选题 9.AC 10.BD 提示:由椭圆方程知a=3,b= 2,c= 5,设点P(x0,y0)。 选项A,S= 1 2|F1F2| ·|y0|=5|y0|≤ 25,当且仅当点P 为短轴上的顶点时等号成 立,A错误。 选项B,显然在P 处切线的斜率存在,设切 线 方 程 为 y=k(x-1)+ 42 3 。联 立 44 演练篇 名校名师创新卷答案与提示 高二数学 2024年11月 y=k(x-1)+ 42 3 , x2 9+ y2 4=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消去y 得(9k2+4)x2+ 18k42 3 -k x+9423 -k 2 -36=0。则 Δ= 18k42 3 -k 􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 2 -4(9k2 +4)· 942 3 -k 2 -36􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 =0,整 理 得(3 2k+ 1)2=0,解得k=- 2 6 。故在P 处切线方程 为y=- 2 6 (x-1)+ 42 3 ,即x+3 2y- 9=0,B正确。 选项 C,设 A(x1,y1),则 B(-x1, -y1),k1 = y0-y1 x0-x1 ,k2 = y0+y1 x0+x1 。 故 x20 9+ y20 4=1 , x21 9+ y21 4=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 两式相减得 x20-x21 9 + y20-y21 4 = 0,则 y20-y21 x20-x21 = y0-y1 x0-x1 ·y0+y1 x0+x1 =- 4 9 ,即 k1k2=- 4 9 ,C错误。 选项D,当R 不与A,B 重合时,由选项 C知kAPkBP=- 4 9 。又kARkAP=-1,kBRkBP= -1,故kARkAPkBRkBP=1,kARkBR=- 9 4 。设 R(x,y),则A(-3,0),B(3,0),kAR= y x+3 , kBR= y x-3 ,可得 y x+3 · y x-3=- 9 4 ,整理得 9x2+4y2=81(x≠±3)。当R 与A,B 重合 时,满足题意,符合上 式。故 R 的 方 程 为 9x2+4y2=81,D正确。 11.ABD 提示:A 选项,都以△AD1E 为底面,三棱锥B-AD1E 的高即为点B 到平 面AD1E 的距离d1,三棱锥 D1-AC1E 的高 即为点C1 到平面AD1E 的距离d2。 因为 BC1∥AD1,BC1⊄平 面 AD1E, AD1⊂平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E, 则d1=d2,即VB-AD1E=VD1-AC1E,A正确。 B 选 项,若|D1P|= 5,连 接 DP, D1D⊥平面ABCD,则△D1DP 为直角三角 形。又 因 为|DD1|=2,所 以|DP|= |D1P|2-|DD1|2= 5-4=1,即点P 在 以D 为圆心,DP 为半径的圆上,此时点 P 的轨迹为圆的一段弧。 所以|BP|min=|BD|-|DP|=22- 1,故B正确。 C选项,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所 在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直 角坐 标 系。连 接 AC,BD,BD1,A1P,则 B(2,2,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2),D(0,0, 0)。 设P(x,y,0),x,y∈[0,2],则 A1P→= (x-2,y,-2),BD→=(-2,-2,0)。 当A1P⊥BD 时,则A1P→·BD→=-2(x- 2)-2y+0=-2x-2y+4=0,即y=2-x, 此时P(x,2-x,0)。 又A1P→=(x-2,2-x,-2),BD1→= (-2,-2,2),设直线A1P 与直线BD1 所成 角为θ,则 cos θ=|cos<A1P→,BD1→>|= A1P→·BD1→ |A1P→||BD1→| = 2 2(x-2)2+4· 3 。 当x=2时,cos θ有最大值,此时cos θ= 2 4× 3 = 3 3 ,故C错误。 D选 项,按 照 C 选 项 的 建 系 方 法,设 Q(x,y,z)。因为|QB|=2|QB1|,所 以 (x-2)2+ (y-2)2 +z2 =4[(x-2)2 + (y-2)2+(z-2)2]。 整理得x2+y2+z2-4x-4y- 16 3z+ 40 3= 0,即(x-2)2+(y-2)2+z- 8 3 2 = 16 9 。 故Q 的轨迹是以E 2,2, 8 3 为球心,43 为半径的球面。 已知A(2,0,0),M(0,2,1),则 AM→= (-2,2,1)是平面α的一个法向量。 又因为C(0,2,0),CE→= 2,0,83 ,所以 54 演练篇 名校名师创新卷答案与提示 高二数学 2024年11月 球心E 到平面α 的距离d= |AM→·CE→| |AM→| = -4+ 8 3 4+4+1 = 4 9 。 平面α 截 球 面 的 截 面 圆 的 半 径r= 16 9- 16 81= 82 9 。 故点 Q 的 轨 迹 长 度 为 2π× 82 9 = 162π 9 ,D正确。 三、填空题 12. 3 3 ,3 3 ,3 3 (答案不唯一,只要满 足x=z,x2+y2+z2=1即可) 13.34 ,0 14.3 ②③ 提示:函数f(x)的最小 正周期T= 2π π 2 =4。 图1 以点 O 为坐标原 点,OC→,A'A→ 的方向分 别为y'轴,z'轴的正方 向,建立如图1所示的 空间直角坐标系 Ox' y'z'。 设点A'(0,t,0),则点A(0,t,λ),B(λ, t+2,0)。 |AB|= (0-λ)2+(t+2-t)2+(λ-0)2= 2λ2+4= 10。 因λ>0,故λ= 3。 所以f(x)= 3sin πx 2+φ ,f(0)= 3sin φ= 3 2 ,解得sin φ= 1 2 。 又因为函数f(x)在x=0附近单调递 减,且0<φ<π,所以φ= 5π 6 ,①错误。 由f(t)= 3sin πt 2+ 5π 6 = 3,可得 sinπt2+ 5π 6 =1。 又因为点A 是函数f(x)的图像在y 轴 左侧距离y 轴最近的最高点,则 πt 2+ 5π 6= π 2 ,可 得 t = - 2 3 ,故 f (x)= 3sinπx2+ 5π 6 。 因为点C 是函数f(x)在y 轴右侧的第 一个对称中心,所以πxC 2 + 5π 6=π ,则xC= 1 3 。 翻 折 后, 则 A 0,- 2 3 ,3 , B 3, 4 3 ,0 ,C0,13,0 ,A'0,-23,0 。 AB→=(3,2,- 3),AC→=(0,1,- 3)。 在图 1 中,AB→ ·AC→ =0+2×1+ (- 3) 2 =5,②正确。 在 图 1 中,线 段 AB 的 中 点 为 M 3 2 ,1 3 ,3 2 ,则CM→= 32,0,32 。 AB→·CM→=0,则CM⊥AB,③正确。 在图1中,设点Q(x,y,0),则|AQ|= x2+ y+ 2 3 2 +(0- 3) 2 ≤2,可得x2+ y+ 2 3 2 ≤1。 A'C→= (0,1,0),A'B→ = (3,2,0), cos ∠BA'C = A'C→·A'B→ |A'C→||A'B→| = 2 1× 7 = 27 7 > 2 2 ,易 知 ∠BA'C 为 锐 角,则 0< ∠BA'C< π 4 。 所以区域 T 是坐标平面Ox'y'内以点 A'为圆心,半径为|A'C|=1,且圆心角为 ∠BA'C 的扇形及其内部,故区域T 的面积 ST< 1 2× π 4×1 2= π 8 ,④错误。 四、解答题 15.(1)若l1,l2 不重合,且垂直于同一条 直线,则l1∥l2。由A1B2-A2B1=0,得3- m(m-2)=0,则m=3或m=-1。 64 演练篇 名校名师创新卷答案与提示 高二数学 2024年11月 当 m=3时,两条直线重合,不符合题 意;当m=-1时,符合题意。 (2)若m=1,则直线l2 的斜率为 1 3 。 由直线l与l2 垂直,可得直线l的斜率 为-3。 若选①,直线l过坐标原点,故直线l的 方程为y=-3x,即3x+y=0。 若选②,直线l在y 轴上的截距为2,则 直线l的方程为y=-3x+2,即3x+y- 2=0。 若选③,设直线l的方程为y=-3x+ b,则直线l在x,y 轴上的截距分别为 1 3b ,b。 由直线l与坐标轴围成的三角形的面积 为1,可得 1 2× 1 3|b| 2=1,则b=± 6。直线 l的方程为y=-3x± 6,即3x+y± 6= 0。 16.(1)由圆 N:(x+4)2+(y-2)2=4, 得圆心为(-4,2),半径r=2。 设直线l:3x-y+4=0,其斜率kl=3。 过N 并垂直于直线l的直线斜率k= - 1 kl =- 1 3 ,其方程为y-2=- 1 3 (x+4), 整理可得x+3y-2=0。 联立 x+3y-2=0, 3x-y+4=0, 解得 x=-1 , y=1。 设 M (xM,yM),则 xM-4 2 =-1 , yM+2 2 =1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得 xM=2, yM=0, 所以 M(2,0)。 圆 M 与圆N 关于直线l对称,则圆 M 的半径R=r=2,即圆 M:(x-2)2+y2=4。 (2)由题意可知S>0,且 AB⊥CD,当 CD 的斜率不存在时,AB 的斜率为0,此时 不符合题意。 已知E(1,0),可设AB:x-my-1=0。 AB⊥CD,则设CD:mx+y+c=0。 将C(4,0)代入直线 CD 的方程,可得 c=-4m,则CD:mx+y-4m=0。 点 M 到 直 线 AB 的 距 离 d1 = |2-m·0-1| 1+m2 = 1 1+m2 ,| AB | = 2 R2-d21=2 3+4m2 1+m2 。 点 M 到直线CD 的距离d2= 2|m| 1+m2 , |CD|=2 R2-d22=4 1 1+m2 。 令 1 1+m2 =t,由m2≥0,知0<t≤1。 |AB|=2 4-t,|CD|=4t。 在四边形 ACBD 中,AB⊥CD,则S= 1 2 ·|AB|·|CD|=4 (4-t)·t。 设f(x)=-x2+4x(0<x≤1),令 f(x)>0,则-x2+4x>0,解得0<x<4。 函数y=-x2+4x 的对称轴为直线x= 2,故f(x)在(0,1]上单调递增。 由f(1)=3,则f(x)≤3,所以S∈(0,43]。 17.(1)四边形 AA1C1C 是正方形,则 AA1⊥AC。 又平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC ∩平 面 AA1C1C =AC,且 AA1 ⊂ 平 面 AA1C1C,故AA1⊥平面ABC。 (2)由|AC|=4,|BC|=5,|AB|=3,得 |AC|2+|AB|2=|BC|2,即AB⊥AC。 图2 建立如图2所示的空 间直角坐标系,则 A1(0, 0,4),B(0,3,0),B1(0,3, 4),C1(4,0,4)。 BC1→=(4,-3,4), BA1→=(0,-3,4),BB1→= (0,0,4)。 设平面 A1C1B 的一 个法向量为n1=(x1,y1,z1),平面B1C1B 的 一个法向量为n2=(x2,y2,z2)。 则 n1·BC1→=4x1-3y1+4z1=0, n1·BA1→=-3y1+4z1=0。 令y1=4,则x1=0,z1=3,n1=(0,4,3)。 n2·BC1→=4x2-3y2+4z2=0, n2·BB1→=4z2=0。 74 演练篇 名校名师创新卷答案与提示 高二数学 2024年11月 令x2=3,则y2=4,n2=(3,4,0)。 |cos<n1,n2>|= |n1·n2| |n1||n2| = 16 25 。 故平面A1C1B 与平面B1C1B 夹角的余 弦值为 16 25 。 18.(1)设点P(x,y),根据题意得kPA· kPB= y x+3 · y x-3=- 8 9 ,整理得x 2 9+ y2 8=1 (x≠±3)。 故曲线C的方程为 x2 9+ y2 8=1 (x≠±3)。 (2)设直线l的方程为x=my-1。 联 立 x=my-1, x2 9+ y2 8=1 , 得 (8m2 +9)y2 - 16my-64=0。 设点 M(x1,y1),N(x2,y2),由根与系 数 的 关 系 得 y1 +y2 = 16m 8m2+9 ,y1y2 = -64 8m2+9 。 则 k1 k2 = y1 x1+3 ·x2-3 y2 = x2y1-3y1 x1y2+3y2 = (my2-1)y1-3y1 (my1-1)y2+3y2 = my1y2-4y1 my1y2+2y2 = -64m 8m2+9 -4y1 -64m 8m2+9 +2 16m 8m2+9 -y1 = -64m 8m2+9 -4y1 -32m 8m2+9 -2y1 =2。 综上,k1 k2 为定值2。 19.(1)①A(x-x0)+B(y-y0)+C(z- z0)=0。理由如下:设平面上除P(x0,y0,z0)外 任意一点坐标为Q(x,y,z),则PQ→·n=0,即 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0。 故过点P(x0,y0,z0),法向量为n=(A, B,C)的平面的方程为 A(x-x0)+B(y- y0)+C(z-z0)=0。 ②平面的一般方程为 Ax+By+Cz+ D=0。理由如下:由①可得 A(x-x0)+ B(y-y0)+C(z-z0)=0,变形为 Ax+ By+Cz-Ax0-By0-Cz0=0。令 D= -Ax0-By0-Cz0,故平面的一般方程为 Ax+By+Cz+D=0。 ③在x 轴,y 轴,z轴上的截距分别为a, b,c的平面的截距式方程(abc≠0)为 x a + y b+ z c=1 。理由如下:由②可得平面的一般 方程为Ax+By+Cz+D=0,由于方程在x 轴,y 轴,z轴上存在截距,且截距不为0,故 A≠0,B≠0,C≠0,D≠0。 变形为Ax+By+Cz=-D,故 x - D A + y - D B + z - D C =1。 令- D A=a ,- D B=b ,- D C=c ,故在x 轴,y 轴,z轴上的截距分别为a,b,c的平面 的截距式方程(abc≠0)为 x a+ y b+ z c=1 。 (2)以两个定点F1,F2 连线的中点为坐 标原点O,以F1,F2 所在直线为y 轴,以线 段F1F2 的垂直平分线为x 轴,以与Oxy 平 面垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系, 则F1(0,c,0),F2(0,-c,0)。 设P(x,y,z),可得|F1F2|=2c>0, |PF1|+|PF2|=2a(a>c)。 所 以 x2+(y-c)2+z2 + x2+(y+c)2+z2 = 2a, 移 项 得 x2+(y-c)2+z2=2a- x2+(y+c)2+z2。 两 边 平 方 得 x2 + (y-c)2 +z2 =4a2 - 4a x2+(y+c)2+z2+x2+(y+c)2+z2。 即 4a x2+(y+c)2+z2 = 4a2 + (y+c)2-(y-c)2=4a2+4cy。 故a x2+(y+c)2+z2=a2+cy。 两边平方得a2x2+(a2-c2)y2+a2z2= a2(a2-c2),两边同除以a2(a2-c2)得 x2 a2-c2 +y 2 a2 + z2 a2-c2 =1。 令b2=a2-c2,故曲面Γ 的方程为 x2 b2 + y2 a2 + z2 b2 =1(b2=a2-c2)。 (责任编辑 徐利杰) 84 演练篇 名校名师创新卷答案与提示 高二数学 2024年11月