4 2024年高二上学期期中创新模拟卷(1)-《中学生数理化》高二数学2024年11月刊

■河南省郑州市第一○一中学 冯连福 康旭东 一、单选题(本题共8小题,每小题5 分,共40分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 图1 1.如图1,空间四边形 OABC 中,OA→=a,OB→=b, OC→=c,点 M 在OA 上,且 OM→=23OA →,点 N 为BC 的 中点,则 MN→ 等于( )。 A. 1 2a+ 1 2b- 1 2c B.- 2 3a+ 1 2b+ 1 2c C. 2 3a+ 2 3b- 1 2c D.- 2 3a+ 2 3b- 1 2c 2.向量a=(0,1,-1)在向量n=(1,2, 3)上的投影向量为( )。 A.- 1 14n B.- 1 7n C. 1 14n D. 1 7n 3.已知A(-3,-4),B(6,3)两点到直线l: ax+y+1=0的距离相等,则a的值为( )。 A. 1 3 B.- 9 7 C.- 1 3 或- 7 9 D. 1 3 或- 7 9 4.过点P(- 3,-1)与圆O:x2+y2=4 相切的直线的倾斜角为( )。 A. 5π 6 B. 2π 3 C. π 6 D. π 3 图2 5.如图2,平面PAD⊥ 平面ABCD,△PAD 是等 边三角形,四边形 ABCD 是矩形,且 AD=2AB,E 是CD 的中点,F 是AD 上 一点,当BF⊥PE 时, AF FD= ( )。 A.3 B. 1 2 C. 1 3 D.2 6.如图3,以等腰直角△ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕,把△ABD 和△ACD 折 成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下 四个结论,其中不正确的是( )。 图3 A.AB→·AC→=1 B.AB⊥DC C.BD⊥AC D.平面ADC 的法向量和平面ABC 的 法向量互相垂直 7.已知圆 C1:(x- 3) 2 +y2=r2(0< r<4)与圆C2:(x+3) 2 +y2=(4-r)2 交点的 轨迹为M,过平面内的点P 作轨迹 M 的两条 互相垂直的切线,则点P 的轨迹方程为( )。 A.x2+y2=5 B.x2+y2=4 C.x2+y2=3 D.x2+y2= 5 2 图4 8.如图4,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点M 为棱AB的中点,点P 在正方形BCC1B1 的边界及其 内部运动。给出以下四个结 论:①存在点P 满足PM+ PD1=5;②存在点P 满足∠D1PM= π 2 ;③满 足AP⊥D1M 的点P 的轨迹长度为 π 4 ;④满足 MP⊥D1M 的点P 的轨迹长度为 2 4 。其中正确 41 演练篇 名校名师创新卷 高二数学 2024年11月 结论的个数为( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题(本题共3小题,每小题6分, 共18分。在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求。全部选对的得6分,部分 选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知直线l1:mx-y+2=0,l2:x+ my+2=0,m∈R,则下列结论中正确的是 ( )。 A.存在m,使得l1 与l2 不互相垂直 B.l1 和l2 分别过定点(0,2)和(-2,0) C.存在 m,使得l1 和l2 关于直线x+ y=0对称 D.若l1 和l2 交于点 M,则|OM|的最大 值是32 图5 10.如图5,已知斜三棱 柱ABC-A1B1C1 中,∠BAC = π 2 , ∠BAA1 = 2π 3 , ∠CAA1= π 3 ,AB=AC=1, AA1=2,点 O 是 B1C 与 BC1 的交点,则下列结论正确的是( )。 A.AO→=12(AB →+AC→+AA1→) B.|AO→|= 62 C.AO⊥BC D.平面ABC⊥平面B1BCC1 11.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),动 点 M 满足条件|MA|=2|MB|,其轨迹是曲 线C,过B 作直线l交曲线C 于P,Q 两点, 则下列结论正确的是( )。 A.|PQ|的取值范围是[23,4] B.当点 A,B,P,Q 不共线时,△APQ 面积的最大值为6 C.当直线l 的斜率k≠0时,AB 平分 ∠PAQ D.tan ∠PAQ 的最大值为 3 三、填空题(本题共3小题,每小题5分, 共15分) 12.如果直线3x+4y-10=0被圆x2+ y2-2ax+a2-4=0截得的弦长为23,那 么实数a= 。 图6 13.如图6,在棱长为2 的 正 方 体 ABCD- A1B1C1D1 中,已知点E,F 分别为直线BD,AD1 上的 动点,给出下面四个结论: ①异面直线AD1,BD 所成 的角为60°;②点F 到平面B1C1C 的距离为 定值;③若F 为AD1 的中点,则点F 到BD 的距离为 2;④|EF→|的最小值为233 。 其中所有正确结论的序号是 。 14.平 面 点 集{(x,y)|(x-cos θ)2+ (y-sin θ)2=9,θ∈R}所构成区域的面积为 。 四、解答题(本题共5小题,共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题13分)已知圆C:(x-2)2+ (y-3)2=1与圆C':x2+(y-1)2=5。 (1)求圆C 与圆C'相交所得的公共弦 长; (2)若过点A(0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C 交于P,Q 两点,其中O 为坐标原点, 且OP→·OQ→=12,求|PQ→|的值。 图7 16.(本 小 题 15 分)如图7,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底 面 ABCD,AB⊥AD, BC∥AD,PA=AB= BC=1,AD=2,E 为 棱PD 的中点,F 是线段PC 上一动点。 (1)求证:平面PBC⊥平面PAB; (2)若直线BF 与平面ABCD 所成角的 正弦值为 2 3 ,求点F 到平面ACE 的距离。 51 演练篇 名校名师创新卷 高二数学 2024年11月 图8 17.(本小题15分) 如图8,在矩形 ABCD 中,点E,F 分别在线段 AB,AD 上,AE = EB=AF= 2 3FD=4 。 沿 直 线 EF 将 △AEF 翻折成△A'EF,使平面A'EF⊥平面BEF。 (1)求二面角A'-FD-C 的余弦值; (2)点 M,N 分别在线段FD,BC 上,若 沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与A'重合,求线段FM 的长。 18.(本小题17分)已知圆C:(x-a)2+ y2=1与直线y=-x-1交于 M,N 两点, 点P 为线段MN 的中点,O 为坐标原点,直 线OP 的斜率为- 1 3 。 (1)求a的值。 (2)求△MON 的面积。 (3)若圆C 与x 轴交于A,B 两点,点Q 是圆C 上异于A,B 的任意一点,直线QA, QB 分别交l:x=-4于R,S 两点。当点Q 变化时,以RS 为直径的圆是否过圆C 内的 一定点? 若过定点,请求出该定点;若不过定 点,请说明理由。 图9 19.(本小题17分)球面 三角学是研究球面三角形的 边、角关系的一门学科。如 图9,球O 的半径为R,A,B, C 为球面上三点,劣弧BC 的 弧长记为a,设Oa 表示以O 为圆心,且过 B,C 的圆,同 理,圆Ob,Oc 的劣弧AC,AB 的弧长分别记 为b,c,曲面ABC(阴影部分)叫作球面三角 形。若设二面角 C-OA-B,A-OB-C,B-OC- A 分 别 为α,β,γ,则 球 面 三 角 形 的 面 积 S球面△ABC=(α+β+γ-π)R2。 (1)若平面OAB,平面OAC,平面OBC 两两垂直,求球面三角形ABC 的面积。 图10 (2)如图10,若平面三角 形 ABC 为 直 角 三 角 形, AC⊥BC,设 ∠AOC =θ1, ∠BOC=θ2,∠AOB=θ3。 ①求证:cos θ1+cos θ2- cos θ3=1。 ②延长 AO 与球O 交于点 D,若直线 DA,DC 与平面ABC 所成的角分别为 π 4 , π 3 ,BE→=λBD→,λ∈(0,1],S 为AC 的中点,T 为BC 的中点,设平面OBC 与平面EST 的 夹角为θ,求sin θ 的最小值,及此时平面 AEC 截球O 的面积。 (责任编辑 赵 倩) 61 演练篇 名校名师创新卷 高二数学 2024年11月 一、单选题 1.B 2.A 3.C 4.B 图1 5.C 提示:如图 1,分别取 AD,BC 的 中点O,G,连接 OP, OG。以 O 为坐标原 点,OG,OD,OP 所在 直线 分 别 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直 角坐标系Oxyz。 设 AD = 2,则 B (1,- 1,0), E 12 ,1,0 ,P(0,0,3)。设 F(0,a,0),则 BF→=(-1,a+1,0),PE→= 12,1,- 3 。 因为BF⊥PE,所以- 1 2+a+1=0 ,解得 a=- 1 2 ,故AF FD= 1 3 。 6.D 提 示:因 为 AD 为 等 腰 直 角 △ABC 的斜边BC 上的高,所以 AD⊥BC, D 为 BC 的 中 点。又 平 面 ABD ⊥ 平 面 ADC,平面 ABD∩平面 ADC=AD,BD⊥ AD,BD ⊂ 平 面 ABD,所 以 BD ⊥ 平 面 ADC。又DC⊂平面ADC,所以BD⊥DC。 如图2,以D 为坐标原点,DB,DC,DA 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间 直角坐标系Dxyz。 不妨设没折叠前斜边BC=2,则BD= DC=AD=1,所以 A(0,0,1),B(1,0,0), C(0,1,0),D(0,0,0),可 得 AB→=(1,0, 图2 -1),AC→=(0,1, -1),DC→=(0,1, 0),BD→=(-1,0, 0)。 故AB→·AC→= 1×0+0×1+ (-1)×(-1)=1, A正确;AB→·DC→=1×0+0×1+(-1)× 0=0,则AB⊥DC,B正确;BD→·AC→=-1× 0+0×1+0×(-1)=0,则BD⊥AC,C正 确。 平面ADC 的一个法向量为BD→=(-1, 0,0)。设平面ABC 的一个法向量为n=(x, y,z),则 n·AB→=x-z=0, n·AC→=y-z=0。 令x=1,得n= (1,1,1)。故BD→·n=-1×1+0×1+0× 1=-1≠0,即平面 ADC 的法向量和平面 ABC 的法向量不垂直,D错误。 7.A 提示:圆C1 的圆心C1(3,0),圆 C2 的圆心C2(- 3,0),设两圆交点为N(x, y),则|NC1|=r,|NC2|=4-r,所 以 |NC1|+|NC2|=4。 又|C1C2|=23,则由椭圆定义知,交点 N 是以C1(3,0),C2(- 3,0)为焦点的椭 圆,且c= 3,a=2,则b= a2-c2=1,所以 轨迹 M 的方程为 x2 4+y 2=1。 设点P(x0,y0),当切线斜率存在且不为 0时,设切线方程为y-y0=k(x-x0)。联 83 演练篇 名校名师创新卷答案与提示 高二数学 2024年11月 立 y-y0=k(x-x0), x2 4+y 2=1, 消 去 y 得 (4k2 + 1)x2+8(y0-kx0)kx+4(y0-kx0)2-4=0, 则 Δ=64(y0-kx0)2k2 -4× (4k2 +1) [4(y0-kx0)2-4]=0,即 (4-x20)k2+ 2x0y0k+1-y20=0。又k1k2=-1,则由根 与系数的关系知 1-y20 4-x20 =-1,即x20+y20=5。 当切线斜率不存在或为0时,点P 的坐 标为(2,1),(-2,1),(-2,-1),(2,-1),满 足方程x20+y20=5。 故所求轨迹方程为x2+y2=5。 图3 8.C 提示:如图3 所示,建立空间直角坐标 系Dxyz,则 A(1,0,0), D1(0,0,1),M 1, 1 2 ,0 , C1(0,1,1),设动点P 为 (x,1,z)。 点 M 关 于 平 面 BCC1B1 的对称点为 M1 1, 3 2 ,0 ,当动点P 是直线 D1M1 与 平 面 BCC1B1 的 交 点 时, (PM+PD1)min=D1M1= 1+ 3 2 2 +1= 17 2 < 5 。当 动 点 P 在 点 C1 时,PM + PD1=C1D1+C1M=1+ 3 2= 5 2> 5 。所以 存在点P 满足PM+PD1= 5,①正确。 PM→= 1-x,-12,-z ,PD1→=(-x, -1,1-z)。若 ∠D1PM = π 2 ,则 PM→· PD1→=-x(1-x)+ 1 2-z (1-z)=0,化简 得 x- 1 2 2 + z- 1 2 2 =0,解得 x= 1 2 , z= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即 P 12 ,1, 1 2 。满足题意,所以②正确。 AP→=(x-1,1,z),D1M→= 1,12,-1 。 若AP⊥D1M,则AP→·D1M→=x-1+ 1 2- z=0,即z=x- 1 2 。取BC 中点E,BB1 中 点F,则点P 的轨迹为线段EF,长度为 2 2 , 所以③错误。 MP→ = x-1,12,z , D1M→ = 1, 1 2 ,-1 。若MP⊥D1M,则MP→·D1M→= x-1+ 1 4-z=0 ,即z=x- 3 4 。取BF 中点 H,BE 中点K,则点P 的轨迹为线段 HK, 长度为 2 4 ,所以④正确。 二、多选题 9.BC 提示:因为m×1+(-1)×m= 0,所以无论 m 取何值,l1 与l2 都互相垂直, 故A错误。 直线l1:mx-y+2=0,当x=0时,y= 2,故过定点A(0,2)。直线l2:x+my+2= 0,当y=0时,x=-2,故过定点B(-2,0)。 B正确。 在l1 上任取点(x,mx+2),关于直线 x+y=0的对称点坐标为(-mx-2,-x), 代入l2 的方程得-mx-2-mx+2=0。当 m=0时上式恒成立,故存在 m=0,使得l1 和l2 关于直线x+y=0对称,C正确。 由选项A和B知,MA⊥MB,故点M 的 轨迹是以AB 为直径的圆(除原点外),圆心 为C(-1,1),半径R= 1 2|AB|= 2 。所以 |OM|的最大值为|OC|+R=22,故D错 误。 10.ABD 提示:AO→=AB→+BO→=AB→+ 1 2 (BC→+BB1→)=AB→+ 1 2 (AC→-AB→+AA1→) = 1 2 (AB→+AC→+AA1→),故A正确。 不妨设AB→=a,AC→=b,AA1→=c,则{a, b,c}构成空间的一个基底,|a|=|b|=1, |c|=2,a·b=0,b·c=1,a·c=-1。 AO→=12(a+b+c),所以|AO →|2=14(a 2+ 93 演练篇 名校名师创新卷答案与提示 高二数学 2024年11月 b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c)= 1 4 (1+ 1+4+0+2-2)= 3 2 ,则|AO→|=62,故B正确。 因 为 BC→=b-a,所 以 AO→·BC→= 1 2 (a+b+c)·(b-a)= 1 2 (-1+1+1+1) =1≠0,故C错误。 取BC 的 中 点 E,连 接 AE,则 AE→= 1 2 (AB→+AC→)=12(a+b)。因为AB=AC, E 为BC 的中点,所以 AE⊥BC。又 AE→· BB1→= 1 2 (a+b)·c= 1 2 (a·c+b·c)= 1 2 (-1+1)=0,故 AE⊥BB1。因为BC∩ BB1=B,BC⊂平面 B1BCC1,BB1⊂平面 B1BCC1,所以AE⊥平面B1BCC1。 又AE⊂平面ABC,故平面ABC⊥平面 B1BCC1,即D正确。 11.ACD 提 示:设 M (x,y),因 为 |MA|=2|MB|,所 以 (x+2)2+y2 = 2 (x-1)2+y2,整理得(x-2)2+y2=4, 即曲线C 是以D(2,0)为圆心,半径r=2的 圆。因为(1-2)2+02=1<4,所以点B 在曲 线C 内,即 直 线l 与 曲 线 C 必 相 交。又 |BD|=1,则|PQ|的最大值为2r=4,最小 值为2 r2-|BD|2=23,所以|PQ|的取 值范围是[23,4],A正确。 设l:x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立方程 x=my+1, (x-2)2+y2=4, 消去x 得(m2+ 1)y2-2my-3=0,则 y1+y2= 2m m2+1 , y1y2= - 3 m2+1 。 故 |y1 - y2 | = 2m m2+1 2 + 12 m2+1 = 2 4m2+3 m2+1 。令t= 4m2+3≥ 3,则m2= t2-3 4 ,故|y1-y2|= 2t t2-3 4 +1 = 8t t2+1 = 8 t+ 1 t 。因为f(t)=t+ 1 t 在[3,+)上单调递增,所以f(t)的最小值 为f(3)= 43 3 ,即t+ 1 t≥ 43 3 ,则|y1-y2|= 8 t+ 1 t ≤23。因此,△APQ 的面积S△APQ= 1 2|AB| ·|y1-y2|≤ 1 2×3×23=33 ,即 △APQ 面积的最大值为33,故B错误。 因 为 kPA +kAQ = y1 x1+2 + y2 x2+2 = y1 my1+3 + y2 my2+3 = 2my1y2+3(y1+y2) (my1+3)(my2+3) , y1+y2 = 2m m2+1 ,y1y2 = - 3 m2+1 ,所 以 2my1y2+3(y1 +y2)=2m - 3 m2+1 + 6m m2+1 =0,即kPA+kAQ=0,可知∠PAB= ∠QAB,AB 平分∠PAQ,故C正确。 因为 AB 平分∠PAQ,所以∠PAQ= 2∠PAB。当PA 与曲线C 相切时,∠PAB 取得最大值,此时sin ∠PAB= |PD| |AD|= 2 4= 1 2 。又∠PAB 为锐角,则∠PAB= π 6 ,故 ∠PAQ 的最大值为 π 3 ,tan ∠PAQ 的最大值 为tan π 3= 3 ,D正确。 三、填空题 12.5或 5 3 13.① ② ④ 提 示:连 接 BC1,因 为 BC1∥AD1,所以异面直线 AD1,BD 所成的 角即为BC1 与BD 所成的角∠DBC1。因为 △BDC1 为等边三角形,所以∠DBC1=60°, 故①正确。 因为 BC1∥AD1,AD1⊄平面 B1C1C, BC1⊂平面B1C1C,所以AD1∥平面B1C1C, 则直线AD1 上的点到平面B1C1C 的距离相 等,即点F 到平面B1C1C 的距离为定值,故 ②正确。 连接FD,FB,因为FD= 1 2A1D= 2 , BD=2 2,FB = 22+ 2 2 = 6,所 以 04 演练篇 名校名师创新卷答案与提示 高二数学 2024年11月 FD2+FB2=BD2,故△FBD 为直角三角形。 设点F 到BD 的距离为d,由等面积法得 S△FBD= 1 2 ·BD·d= 1 2 ·FD·FB,即 1 2× 22·d= 1 2× 2× 6 ,解得d= 6 2 。所以 若F 为AD1 的中点,则点F 到BD 的距离为 6 2 ,③错误。 图4 以点 D 为坐标原点, 建立如图4所示的空间直 角坐标系,则A1(2,0,2), C(0,2,0),A(2,0,0), D(0,0,0)。由 三 垂 线 定 理 可 得,A1C ⊥ AD1, A1C⊥BD,故向量CA1→= (2,-2,2)是异面直线 AD1 与 BD 的法向 量。因为 DA→=(2,0,0),故直线 BD,AD1 公垂线的长度为 CA1→·DA→ |CA1→| = 4 4+4+4 = 23 3 。因为异面直线间的公垂线距离最短, 所以|EF→|的最小值为233 ,④正确。 图5 14.12π 提示:点集 {(x,y)|(x-cos θ)2 + (y-sin θ)2=9,θ∈R}是 以(cos θ,sin θ)为圆心,3 为半 径 的 圆 上 的 点 的 集 合。又点(cos θ,sin θ)在 以(0,0)为圆心,1为半径 的圆上,所以平面点集{(x,y)|(x-cos θ)2 +(y-sin θ)2=9,θ∈R}所构成区域的面积 为(42-22)π=12π,如图5所示。 四、解答题 15.(1)由题意知,两圆的公共弦所在直 线 方 程 为 (x-2)2 + (y-3)2 - [x2 + (y-1)2]=1-5,整理得x+y-4=0。 圆心C'(0,1)到直线x+y-4=0的距 离 d= |1-4| 2 = 32 2 ,所 以 所 求 弦 长 为 2 5- 32 2 2 = 2。 (2)由题意,设直线l的方程为y=kx+ 1,P(x1,y1),Q(x2,y2)。 将 y=kx+1 代 入 方 程 (x-2)2 + (y-3)2=1,整 理 得(1+k2)x2-4(1+ k)x+7=0,所以x1+x2= 4(1+k) 1+k2 ,x1x2= 7 1+k2 。 故y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+ k(x1+x2)+1= 4k(1+k)-7 1+k2 +8。 由OP→·OQ→=x1x2+y1y2= 4k(1+k) 1+k2 + 8=12,解得k=1。经检验,直线与圆有两个 交点,直线l的方程为y=x+1。 又圆心C 在直线l上,故|PQ→|=2。 16.(1)因为 PA⊥底面 ABCD,AB⊥ AD,BC∥AD,所以BC⊥AB,PA⊥BC。 又 AB∩PA=A,AB⊂ 平 面 PAB, PA⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB。又 BC⊂ 平 面 PBC,所 以 平 面 PBC⊥ 平 面 PAB。 图6 (2)根 据 题 意,建 立 如 图 6 所示的空间直角 坐标系,则A(0, 0,0),B(1,0,0), C(1,1,0),P(0, 0,1),D (0,2, 0),E 0,1, 1 2 。 设F(x,y,z),由PF→=λPC→(0<λ<1), PC→=(1,1,-1),PF→=(x,y,z-1),得 F(λ,λ,1-λ),故BF→=(λ-1,λ,1-λ)。 又平面 ABCD 的一个法向量为PA→= (0,0,-1),设直线BF 与平面ABCD 所成 的角 为θ,则 sin θ=|cos<BF→,PA→>|= |λ-1| 2(λ-1)2+λ2 = 2 3 ,得λ= 1 3 。 故 F 13 ,1 3 ,2 3 ,AF→ = 13,13,23 , AC→=(1,1,0),AE→= 0,1,12 。 设平面ACE 的一个法向量为n=(a,b, 14 演练篇 名校名师创新卷答案与提示 高二数学 2024年11月 c),则 AC→·n=a+b=0, AE→·n=b+12c=0, 取c=2,得n= (1,-1,2)。 所 以 点 F 到 平 面 ACE 的 距 离 为 |AF→·n| |n| = 26 9 。 17.(1)取 线 段 EF 的 中 点 H,连 接 A'H。因为A'E=A'F,所以A'H⊥EF。又 因为平面A'EF⊥平面BEF,平面 A'EF∩ 平面BEF=EF,所以A'H⊥平面BEF。 建立 如 图7所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 Axyz,则A'(2,2,22),C(10,8,0),F(4,0, 0),D(10,0,0),故FA'→=(-2,2,22),FD→ =(6,0,0)。 设平面A'FD 的一个法向量n=(x,y, z),则 -2x+2y+22z=0, 6x=0, 取z= 2,得 n=(0,-2,2)。 图7 又平面BEF 的一个法向量m=(0,0, 1),故cos<n,m>= n·m |n||m|= 3 3 。 因为二面角 A'-FD-C 为锐角,所以其 余弦值为 3 3 。 (2)设FM=a,则 M(4+a,0,0)。因为 翻折后,C 与A'重合,所以 CM=A'M,即 (6-a)2 +82 +02 = (-2-a)2 +22 + (22) 2,解得a= 21 4 。经检验,此时点 N 在 线段BC 上,所以FM= 21 4 。 18.(1)直线OP 的方程为y=- 1 3x ,由 y=-x-1, y=- 1 3x , 得 x=- 3 2 , y= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 即P - 3 2 ,1 2 。 因为 点 P 为 线 段 MN 的 中 点,所 以 MN⊥PC,即kMN·kPC=-1× 0- 1 2 a+ 3 2 =-1, 解得a=-2。 (2)由a=-2,得圆心C(-2,0),故圆 心C 到直线y=-x-1的距离为 1 2 = 2 2 , 所以|MN|=2 1- 2 2 2 = 2。 又原点O 到直线y=-x-1的距离为 2 2 ,即 MN 边上的高为 2 2 ,所以 S△MON = 1 2× 2 2× 2= 1 2 。 (3)由圆C 与x 轴交于A,B 两点,得 A(-3,0),B(-1,0)。 不妨设直线QA 的方程为y=k(x+3), 其中k≠0,令x=-4,得R(-4,-k)。 因为QA⊥QB,所以直线QB 的方程为 y=- 1 k (x+1)。 令x=-4,得y= 3 k ,即点S -4, 3 k 。 故线段 RS 的 中 点 为 F -4, 3-k2 2k , |RS|= -k- 3 k 2 = k2+3 |k| ,即以线段RS 为直径的圆的方程为(x+4)2+ y- 3-k2 2k 2 = k 2+3 2k 2 ,整理得(x+4)2+y2- 3-k2 k y- 3=0。 由 (x+4)2-3=0, y=0, -3<x<-1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=-4+ 3, y=0。 因此,当点Q 变化时,以RS 为直径的圆 恒过圆C 内的定点(-4+ 3,0)。 19.(1)若平面 OAB,平面 OAC,平面 OBC 两两垂直,则α=β=γ= π 2 ,所以球面 三角形 ABC 的面积S球面△ABC=(α+β+γ- π)R2= π 2R 2。 24 演练篇 名校名师创新卷答案与提示 高二数学 2024年11月 (2 ) ① 由 余 弦 定 理 得 AC2=R2+R2-2R2cos θ1, BC2=R2+R2-2R2cos θ2, AB2=R2+R2-2R2cos θ3, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 代 入 AC 2 + BC2=AB2,消 去 R2 得cos θ1+cos θ2- cos θ3=1。 ② 由 AD 是 球 的 直 径 得 AB⊥BD, AC⊥CD。又AC⊥BC,CD∩BC=C,CD⊂ 平面BCD,BC⊂平面BCD,所以AC⊥平面 BCD。又BD⊂平面BCD,所以 AC⊥BD。 又AB∩AC=A,AB⊂平面 ABC,AC⊂平 面ABC,所以BD⊥平面ABC。 因为直线 DA,DC 与平面ABC 所成的 角分别为 π 4 ,π 3 ,所以∠DAB= π 4 ,∠DCB= π 3 。 不妨令 R= 3,则 AD=2 3,AB= BD= 6,BC= 2,AC=2。 易知AC⊥BC,AC⊥BD,BC⊥BD,如 图8,以C 为坐标原点,CB,CA 所在直线为 x 轴,y 轴,过点C 作BD 的平行线为z 轴, 建立空间直角坐标系。 图8 设BE=t,t∈(0,6],则 A(0,2,0), B(2,0,0),C(0,0,0),D(2,0,6),可得 S(0,1,0),T 2 2 ,0,0 ,E (2,0,t), O 2 2 ,1, 6 2 ,则 CB→ = (2,0,0),CO→ = 2 2 ,1, 6 2 ,ST→ = 22,-1,0 ,TE→ = 2 2 ,0,t 。 设平面OBC 的一个法向量m=(x1,y1, z1),则 m·CB→= 2x1=0, m·CO→= 22x1+y1+ 6 2z1=0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 取 z1=-2,得m=(0,6,-2)。 设平面EST 的一个法向量n=(x2,y2, z2),则 n·ST→= 22x2-y2=0, n·TE→= 22x2+tz2=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 取 x2 = 2t,得n=(2t,t,-1)。 要使sin θ取最小值,则|cos θ|取最大 值,|cos θ|=|cos<m,n>|= |m·n| |m||n|= |6t+2| 10 3t2+1 = 1 5 × 3t+ 2 3t2+1 = 1 5 × (3t+ 2) 2 3t2+1 = 1 5 × 1+ 26t+1 3t2+1 。 令m=2 6t+1,m∈(1,13],则t= m-1 26 ,3t2 = (m-1)2 8 ,可 得 26t+1 3t2+1 = m (m-1)2 8 +1 = 8m m2-2m+9 = 8 m+ 9 m-2 ≤ 8 6-2=2 ,当且仅当m=3,即t= 1 6 时取等号。 故|cos θ|取 最 大 值 3 5 ,sin θ= 1-cos2 θ = 10 5 为 最 小 值。 此 时 点 E 2,0, 1 6 ,则CE→= 2,0,16 ,CA→=(0, 2,0)。 设平面 AEC 的一个法向量k=(x,y, z),则 k·CE→= 2x+1 6 z=0, k·CA→=2y=0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 取x=1,得 k=(1,0,-23)。 故球 心 O 到 平 面 AEC 的 距 离 d= |AO→·k| |k| = 5 26 。 设平面AEC 截球O 所得圆的半径为r, 则r2=R2-d2= 53 26 ,所以截面圆的面积为 πr2= 53 26π= 53 78πR 2。 (责任编辑 赵 倩) 34 演练篇 名校名师创新卷答案与提示 高二数学 2024年11月