3 一题多解扩思路，多解归一探本质——2024年新高考1卷第16题解法探究-《中学生数理化》高二数学2024年11月刊

■河南省林州市第一中学 王军杰 郭晓娟 一题多解,启迪思维,可以让同学们在探 索中领略解答问题的多元路径,促进思维的 发散,学会从不同维度审视与剖析问题。而 多解归一,则如拨云见日,揭示数学本质,深 化同学们对数学原理及通用方法的领悟,提 升解题技巧。下面以2024年新高考Ⅰ卷数 学第16题为例,深入剖析一题多解与多解归 一的精妙之处,期望能够为同学们的解题注 入新的灵感。 试题呈现:(2024年新高考Ⅰ卷数学第 16题)已知 A(0,3)和 P 3, 3 2 为椭圆 C: x2 a2 +y 2 b2 =1(a>b>0)上的两点。 (1)求椭圆C 的离心率; (2)若过点P 的直线l交椭圆C 于另一 点B,且△ABP 的面积为9,求直线l的方 程。 解析:(1)由题意得: 32 b2 =1, 32 a2 + 3 2 2 b2 =1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得 b2=9, a2=12。 因为 a2=b2+c2,所以e= c a= 1- b2 a2 = 1- 9 12= 1 2 。 (2)解法一(平面几何解法+平行线间的 距离): 由题 意 可 知,直 线 AP 的 斜 率kAP = 3- 3 2 0-3= - 1 2 ,则 直 线 AP 的 方 程 为y= - 1 2x+3 ,即x+2y-6=0。 |AP|= (0-3)2+ 3- 3 2 2 = 35 2 。 设点B 到直线AP 的距离为d,则S△ABP= 1 2×|AP|×d= 35 4d=9 ,解得d= 125 5 。 将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移 125 5 个单位,得到与 AP 平行的直线l1,此 时l1 与椭圆的交点即为点B。设直线l1 的 方程为x+2y+m=0,则 |m+6| 5 = 125 5 ,解 得m=6或m=-18。 当 m=6时,联立 x2 12+ y2 9=1 , x+2y+6=0, 解得 x=0, y=-3 或 x=-3, y=- 3 2 , 即 B (0,-3)或 -3,- 3 2 。 当点B 的坐标为(0,-3)时,kl= 3 2 ,直 线l的方程为3x-2y-6=0。 当点 B 的坐标为 -3,- 3 2 时,kl= 1 2 ,直线l的方程为x-2y=0。 当m=-18时,联立 x2 12+ y2 9=1 , x+2y-18=0, 得 2y2-27y+117=0。因为Δ=272-4×2× 117=-207<0,所以此时直线l1 与椭圆无 交点,不符合题意。 01 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年11月 故直线l 的方程为3x-2y-6=0或 x-2y=0。 点评:此解法属于稳扎稳打,先精准计算 出线段 AP 的长度,再灵活运用三角形面积 公式反推其高,进而巧妙地将三角形的高转 化为平行线间的距离,构建出与直线 AP 平 行的目标直线。这一系列步骤环环相扣,逻 辑清晰,易于理解,无疑是同学们求解此类问 题时的首选之策。然而,值得注意的是,这种 解法尽管思路清晰,但计算量相对较大,对计 算能力的要求较高,可能会让部分同学在求 解过程中遭遇挑战,难以一蹴而就。针对此 情况,我们提倡在保持解题思路清晰的基础 上,适当优化后续的计算过程,通过灵活运用 数学公式、巧妙简化表达式、合理安排计算顺 序等方法,有效减轻计算负担,提高解题效 率。因此,同学们应该在掌握基础解法的同 时,注重提高计算能力和计算技巧。 解法二(平行线间的距离+对称): 同解法一,得到直线 AP 的方程为x+ 2y-6=0。因为原点(0,0)到直线AP 的距 离为 65 5 ,而 点 B 到 直 线 AP 的 距 离 为 125 5 ,所以点B 在直线AP 关于原点对称的 直线l2 上,且直线l2 的方程为x+2y+6= 0。又因为点B 在椭圆上,所以点B 的坐标 为(0,-3)或 -3,- 3 2 。 当点B 的坐标为(0,-3)时,直线l的方 程为3x-2y-6=0。 当点B 的坐标为 -3,- 3 2 时,直线l 的方程为x-2y=0。 所以直线l的方程为3x-2y-6=0或 x-2y=0。 点评:此解法之精妙,在于其独到的视角 与深刻的洞察。通过观察原点到直线AP 的 距离与点B 到直线AP 的距离之间的关联, 巧妙地揭示了点B 所在直线与直线AP 平行 且关于原点对称的几何特性。这一发现如同 拨云见日,极大地简化了求解点B 坐标的计 算过程,展现了数学中平面几何与解析几何 和谐共生的美妙情境。因此,同学们在解析 几何的求解中,切勿忽视平面几何图形的内 在性质与几何直觉的力量,它们往往是通往 简捷与高效解题路径的钥匙。解析几何与平 面几 何 是 相 辅 相 成、密 不 可 分 的 两 大 数 学 瑰宝。 解法三(设点求距离): 同解法一,得到直线 AP 的方程为x+ 2y-6=0,点 B 到 直 线 AP 的 距 离d= 125 5 。 设 B (x0,y0 ), 则 由 题 意 得 |x0+2y0-6| 5 = 125 5 , x20 12+ y20 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解 得 x0=-3, y0=- 3 2 或 x0=0, y0=-3, 即B(0,-3)或 -3,-32 。 当点B 的坐标为(0,-3)时,直线l的方 程为3x-2y-6=0。 当点B 的坐标为 -3,- 3 2 时,直线l 的方程为x-2y=0。 所以直线l的方程为3x-2y-6=0或 x-2y=0。 点评:此解法先设点的坐标,利用点到直 线的距离和点满足曲线方程建立方程组,思 路比较清晰,缺点是计算量大,特别是求解方 程组时,计算量很大,比较麻烦。 解法四(设点的三角坐标,求距离): 同解法一,得到直线 AP 的方程为x+ 2y-6=0,点 B 到 直 线 AP 的 距 离d= 125 5 。 设B(23cos θ,3sin θ),θ∈[0,2π),则 |23cos θ+6sin θ-6| 5 = 125 5 , cos2θ+sin2θ=1, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 cos θ=- 3 2 , sin θ=- 1 2 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 或 cos θ=0, sin θ=-1, 即 B(0,-3) 11 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年11月 或 -3,- 3 2 。以下过程同解法三。 点评:巧妙运用椭圆的参数方程来设定 点的坐标,这一策略宛如一条智慧之桥,巧妙 连接了问题的起始与解答的彼岸。它不仅能 在后续的计算过程中大幅削减运算的复杂 度,减轻负担,而且彰显了三角函数运算技艺 的深厚底蕴。因此,设点并非随意之举,而是 蕴含了深厚的技巧与策略。唯有对基础方法 了如指掌,方能在运算的海洋中自如航行,游 刃有余地驾驭每一个计算环节,实现解题的 精准与高效。 解法五(设直线法+解出交点坐标): 当直线 AB 的斜率不存在时,点 B(0, -3),S△ABP= 1 2×6×3=9 ,符合题意。此时 kl= 3 2 ,直线l的方程为y= 3 2x-3 ,即3x- 2y-6=0。 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为y=kx+3,联立 y=kx+3, x2 12+ y2 9=1 , 得 (4k2+3)x2+24kx=0,其中k≠kAP,即k≠ - 1 2 ,解得x=0或x= -24k 4k2+3 (k≠0)。 令 x= -24k 4k2+3 ,则 y= -12k2+9 4k2+3 ,故 B -24k 4k2+3 ,-12k 2+9 4k2+3 。 同解法一,得到直线 AP 的方程为x+ 2y-6=0,点 B 到 直 线 AP 的 距 离d= 125 5 ,则 -24k 4k2+3 +2× -12k2+9 4k2+3 -6 5 = 125 5 ,解得k= 3 2 。此时 B -3,- 3 2 ,则 kl= 1 2 ,直线l 的方程为y= 1 2x ,即x- 2y=0。 故直线l 的方程为3x-2y-6=0或 x-2y=0。 点评:求谁设谁,这一策略在解题过程中 犹如一把钥匙,常能开启通往答案的便捷之 门。它遵循了数学解题的常规逻辑,通过设 定目标变量来引导解题思路。然而,在运用 此策略时,需特别警惕直线方程设定时斜率 可能存在的“隐形陷阱”———斜率不存在的情 况,这一细节往往容易被忽视,却足以影响解 题的成败。尽管此策略在简化问题结构、拓 宽解题思路方面展现出非凡优势,但其计算 量相对较大的弱点也不容小觑。面对这一挑 战,我们可巧妙运用平时积累的各类计算技 巧与策略,如合理简化表达式、利用已知条件 减少 计 算 量 等,化 繁 为 简,从 而 高 效 解 决 问题。 解法六(设直线法+设而不求和韦达定 理): 当直线l的斜率不存在时,则l:x=3, B 3,- 3 2 ,|PB|=3,点A 到直线PB 的距 离为3,此时S△ABP= 1 2×3×3= 9 2≠9 ,不满 足条件。 当直线l的斜率存在时,设l:y- 3 2= k(x-3),P(x1,y1),B(x2,y2)。 联 立 y=k(x-3)+ 3 2 , x2 12+ y2 9=1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 消 y 可 得 (4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k- 27=0,故Δ=(24k2-12k)2-4(4k2+3)· (36k2-36k-27)>0,且k≠kAP,即k≠ - 1 2 。 由 韦 达 定 理, 得 x1+x2= 24k2-12k 4k2+3 , x1x2= 36k2-36k-27 4k2+3 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 则|PB|= k2+1· (x1+x2)2-4x1x2 = k2+1|12k+18| 4k2+3 。 又点 A 到直线l 的距离为 3k+ 3 2 k2+1 ,所以 S△ABP= 1 2 · k 2+1|12k+18| 4k2+3 · 3k+ 3 2 k2+1 = 21 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年11月 9,解得k= 1 2 或k= 3 2 ,均满足题意。 所以直线l的方程为y= 1 2x 或y= 3 2x- 3,即3x-2y-6=0或x-2y=0。 点评:此解题策略精妙绝伦,将圆锥曲线解 题中最为常用且高效的技巧———设而不求与韦 达定理,发挥得淋漓尽致。这不仅是破解圆锥 曲线难题的两大法宝,更是高考战场上屡试不 爽的制胜秘籍。因此,在日常训练中,我们应重 视对这些技巧的深刻理解和灵活运用,确保在 关键时刻能够信手拈来,游刃有余。 解法七(设直线法+分割三角形面积): 当直线l的斜率不存在时,则l:x=3, B 3,- 3 2 ,|PB|=3,点A 到直线PB 的距 离为3,此时S△ABP= 1 2×3×3= 9 2≠9 ,不满 足条件。 当直线l的斜率存在时,设l:y=k(x- 3)+ 3 2 ,l与y 轴的交点为Q。令x=0,则 Q 0,-3k+ 3 2 。 联立 y=kx-3k+ 3 2 , 3x2+4y2=36, 得(3+4k2)x2- 8k3k- 3 2 x+36k2-36k-27=0,其中 Δ=64k2 3k- 3 2 2 -4(3+4k2)(36k2- 36k-27)>0,且k≠- 1 2 。又P 3, 3 2 ,则 由韦 达 定 理 得 3xB = 36k2-36k-27 3+4k2 ,故 xB= 12k2-12k-9 3+4k2 。 所以 S△ABP = 1 2|AQ||xP -xB|= 1 2 3k+ 3 2 12k+18 3+4k2 =9,解 得 k= 1 2 或 k= 3 2 ,均满足题意。 所以直线l的方程为y= 1 2x 或y= 3 2x- 3,即3x-2y-6=0或x-2y=0。 点评:此策略巧妙地将复杂的三角形面 积进行分解,转化为两个简约三角形的面积 之和,随后运用同底三角形的性质,轻松求 和,展现了深厚的数学功底与敏锐的洞察力。 此类题型,恰是高考命题者青睐的“常客”,它 不仅考验同学们的逻辑思维与灵活应变能 力,更是对平时积累与练习成效的直接检验。 因此,在日常训练中加强对此类分解策略的 应用与掌握,无疑是通往高分之路的坚实基 石。 一题多解犹如一把钥匙,解锁思维的大 门,促使同学们的视野开阔,从而在解决问 题的征途中实现质的飞跃。一题多解不仅 锻造了同学们多角度分析问题的敏锐触角, 而且培育了灵活变通、思维敏捷的宝贵品 质,让同学们学会从不同维度、不同层次深 入剖析问题,实现问题的透彻理解与高效解 决。一题多解还有助于同学们发散性思维 与联想能力的茁壮成长,有助于跨越知识界 限,以多样化的知识武器应对同一挑战,实 现知识的深度整合与跨界应用。这种能力 的培养,不仅增强了同学们解决复杂问题的 能力,也为未来的学习与创新之路铺设了坚 实的基石。 多解归一的过程,像是一场精心编排的 交响乐,多种解题策略如不同乐器的独奏, 各自展现着独特的旋律与节奏。随着乐曲 的推进,这些独奏逐渐交织在一起,形成和 谐而壮丽的合奏。在这个过程中,每一个解 法都像是乐章中的一个音符,虽然独立时各 有千秋,但在整体乐章的框架下,它们找到 了共同的节拍,汇聚成一股强大的音乐力 量。多解归一将多种解题路径融合归一,如 将散落的音符编织成动人的旋律,让同学们 在比较、归纳与反思中,领悟到数学问题的 本质与规律。这个过程不仅是对解题方法 的提炼与升华,更是对思维能力与数学素养 的全面洗礼与提升,让同学们能够在纷繁复 杂的解法中,找到最简捷、最高效的那一种, 使同学们的解题技巧与数学素养达到新的 高度。 (责任编辑 赵 倩) 31 知识篇 新高考名师护航 高二数学 2024年11月