2 2024年“强基计划”数学测试之不等式试题赏析-《中学生数理化》高二数学2024年11月刊

2024年“强基计划”数学测试之不等式试题赏析 ■江苏省无锡市辅仁高级中学 张长贵 ■江南大学理学院 谢广喜 2024年“强基计划”测试结束,我们研究其 中部分高校的“强基计划”测试的数学试题,发 现以不等式(代数不等式或者三角不等式)为背 景的问题(主要是和最值密切相关的问题)在测 试中高频出现,且试题的灵活性较大,值得今后 有意参加“强基计划”测试的同学参考,故选择 了其中部分典型试题,详细讨论如下。 例 1 (2024年厦门大学“强基计划”试 题)对 于 a,b,c∈ [0,2],f(a,b,c)= |a-b|+ |b-c|+ |c-a|的最大值 为( )。 A.3 B.2+ 2 C.32 D.以上全错 解析:结合题意,不妨假设2≥a≥b≥ c≥0,则0≤a-c≤2,且f(a,b,c)= a-b+ b-c+ a-c。由重要不等式 x+y≤ 2(x2+y2), 得 a-b + b-c ≤ 2(a-c),当且仅当 a-b= b-c时取 得等号。 故f(a,b,c)≤(2+1)a-c≤(2+ 1)2=2+ 2,当且仅当a=2,b=1,c=0时 取得等号。 正确答案为B。 评注:基于对称性的附加假设是破解本题的 关键,在附加假设之后,进一步的代数恒等变换就 没有困难了。类似问题已在竞赛或“强基计划”测 试中多次出现过,这是一类经典试题。 例 2 (2024年清华大学“强基计划” 试题)已知f(a,b,c)= a b+c+ b c+a+ c a+b (a,b,c≥0),则f(a,b,c)的最大值、 最小值分别为 。 解析:基于问题的对称性,结合题意不妨 假设a≥b≥c≥0。当b、c均逼近于0时,对 于任意给定的正数a, a b+c→+ , b c+a→ 0, c a+b→0 ,故函数f(a,b,c)的最大值不 存在。 下面研究最小值。显然不可能出现a= b=c=0,或者a、b、c 中任意两个为0的情 形,否则会出现分式的分母为0,无意义。 若仅有一个变量为0,结合以上假设,只 能是c=0,此 时 f(a,b,c)= a b+c + b c+a+ c a+b= a b + b a ≥2 ,当且仅 当a=b>0,c=0时取得等号。 若 c>0,则 a b+c = a a(b+c) ≥ 2a a+b+c , b c+a = b b(c+a) ≥ 2b a+b+c , c a+b= c c(a+b) ≥ 2c a+b+c ,故f(a,b, c)≥ 2a+2b+2c a+b+c =2 ,当且仅当a=b+c,b= c+a,c=a+b时取得等号。易验证,此时不 等式的等号取不到。 故答案为:最大值不存在,最小值为2。 例 3 (2024年北京大学“强基计划” 试题)在△ABC 中,求cos Acos Bcos C 的最 小值或最大的下界。 解析:注意到在任意一个三角形中,至少有 两个锐角。基于问题结构的对称性,不妨设A≥ B≥C,则cos Acos Bcos C的最小值(或者最大的 下界)应在A取钝角时取得。结合正余弦函数的 有界性,此时有-1<cos A<0,0<cos B<1,0< cos C<1,故-1<cos Acos Bcos C<0。 当A→π时,B,C→0,则cos Acos Bcos C在 大于-1的前提下可无限逼近于-1,于是 cos Acos Bcos C 最大的下界为-1。因为不 等式取不到等号,所以cos Acos Bcos C 没有 最小值。 评注:例3的求解重点是基于函数的极 6 知识篇 名师强基课堂 高二数学 2024年11月 限分析(以正余弦函数为背景)。我们也可以 利用三 角 恒 等 变 换,得 到:在△ABC 中,有 cos Acos Bcos C≤ 1 8 ,当 且 仅 当 A=B= C= π 3 时取得等号,详细推导过程略。 例 4 (2024年北京大学“物理卓越计 划”试题)若实数x,y 满足x2-xy-6y2=1, 求x2+xy+y2 的最小值。 解析:因为x2-xy-6y2=(x-3y)· (x+2y),所以(x-3y)·(x+2y)=1。 令u=x-3y,v=x+2y,则条件等式变 为uv=1,且x= 2u+3v 5 ,y= -u+v 5 ,故目 标表 达 式 x2 +xy+y2 = 2u+3v 5 2 + 2u+3v 5 -u+v5 + -u+v5 2 = 1 25 (3u2+ 13v2+9uv)≥ 2 39+9 25 uv= 2 39+9 25 ,当且 仅当3u2=13v2 时取等号。 故x2+xy+y2 的最小值为 2 39+9 25 。 评注:如 果 有 条 件 等 式 ax2+bxy+ cy2=d≠0,不失一般性,假设其中的实数a, b,c满足a2+c2≠0,即a,c不同时为0,那么 当b2-4ac>0时,等式左边可在实数范围内 恒等地变为两个一次因式积的形式,从而为 进一步代数换元奠定了基础;当b2-4ac<0 时,则可模仿圆或椭圆的三角换元处理,进一 步解决问题就不难了。 例 5 (2024年清华大学“自强计划” 试题)已知x>0,y>0,且(x+y+xy)(x+ y-xy)=xy,试分别求x+y+xy 与x+ y-xy 的最小值。 解析:令x+y=u,xy=v。由x>0, y>0,易知u>0,v>0,且(u+v)(u-v)= v>0,即u= v2+v。由基本不等式(x+ y)2≥4xy,知u2≥4v,即v2+v≥4v>0,解得 v≥3。 故x+y+xy= v2+v+v≥ 32+3+ 3=2 3+3,即 x+y+xy 的 最 小 值 为 23+3。 x+y-xy= v2+v-v= v v2+v+v = 1 1+ 1 v +1 ,当v=3时,x+y-xy 取得 最小值 1 1+ 1 3+1 =23-3。 评注:由问题表达式的基本结构联想到基 本不等式,进而得到xy=v的取值范围,然后 通过消元,建立目标函数的一元表达式(这是 基本而重要的一步),求出x+y+xy 的最小 值。而求x+y-xy 的最小值时,貌似困难, 实则通过对表达式进行分子有理化,就可以巧 妙地解决问题。 例 6 (2024年南京大学“强基计划” 试题)a,b,c>0,且4abc= 1 a+ 1 b+ 1 c ,判断 1 a+ 1 b 1a+1c 是否存在最大值和最小值。 若存在,请求出最值;若不存在,请说明理由。 解析:已知a,b,c>0,且4abc= 1 a + 1 b+ 1 c , 于 是 1 a+ 1 b 1a+1c = 1 a 1 a+ 1 b+ 1 c + 1bc = 4bc + 1bc ≥ 2 4bc· 1 bc=4 ,当且仅当bc= 1 2 时取等号。 下面进行反向验证,当bc= 1 2 时(此时必 有b+c≥2 bc= 2),正实数a 是否存在? 此时4abc= 1 a + 1 b + 1 c ,变为2a= 1 a + 2(b+c),即2a2-2a(b+c)-1=0。由判别 式与韦达定理知,正实数a存在。 当bc→+时,由对勾函数的图像知, 4bc+ 1 bc→+ 。 故 1 a+ 1 b 1a+1c 的最小值为4,最 大值不存在。 评注:这道题看起来似乎不容易求解,但 经过简单的代数变换之后,问题就变得异常 7 知识篇 名师强基课堂 高二数学 2024年11月 简单了。从例5、例6的分析与求解我们可以 发现,有时问题的表现形式看起来有些复杂, 但只要简单变形(消元、有理化等),就柳暗花 明、豁然开朗了。 例 7 (2024年山东省高中数学夏令 营试题)实数x,y,z 满足xy+yz+zx= -1,则x2+5y2+8z2 的最小值为 。 解析:对于任意的实数x,y,z,有x2+ 5y2+8z2≥0,当且仅当x=y=z=0时取等 号,但此时与已知条件xy+yz+zx=-1相 矛盾,故必有x2+5y2+8z2>0。 不妨设x2+5y2+8z2≥λ(λ>0),对于 任意满足xy+yz+zx=-1的实数x,y,z 恒成立,则 x2+5y2+8z2+λ(xy+yz+ zx)≥0(λ>0)。 因为x2 项的系数为1(完全平方数),所 以 对 x 配 方,得 x2 +λ(y +z)x + λ 2 (y+z) 2 + 5y2 + 8z2 + λyz - λ 2 (y+z) 2 ≥0(λ>0),即 x+ λ 2 (y+z) 2 + 5- λ2 4 y2+ λ-λ 2 2 yz+ 8-λ 2 4 z2≥ 0(λ>0)。(*) 为使(*)式对于任意的实数x,y,z恒成 立(限制等式已消化于其中),则必有5- λ2 4>0 , 且Δ= λ- λ2 2 2 z2-45- λ2 4 8-λ 2 4 z2≤0, 化简得0<λ<25,且-λ3+14λ2-160≤0。 记g(λ)=-λ3+14λ2-160(0<λ< 25),基于零点尝试得g(4)=0,从而-λ3+ 14λ2-160≤0变为(λ-4)(-λ2+10λ+40)≤ 0。(**)易知当0<λ<2 5时,-λ2+ 10λ+40>0,所以由(**)式得λ≤4,当且 仅当λ=4时,不等式x2+5y2+8z2≥λ(λ> 0)取等号。 事实上,当λ=4时,(*)式可化简为 [x+2(y+z)]2+(y-2z)2≥0,显然对于任 意实数x,y,z 恒成立,且取等号的条件为 x=-2(y+z),y=2z,xy+yz+zx=-1, 即当x=- 3 2 ,y= 1 2 ,z= 1 4 或x= 3 2 ,y= - 1 2 ,z=- 1 4 时,不等式x2+5y2+8z2≥ λ(λ>0)取等号。 所以x2+5y2+8z2 的最小值为4。 评注:若直接利用基本不等式,则不能达 到预定的目的,或者不能取等号,或者结构难 以与预定形式吻合,等等。这时,为了使不等 式的等号能够取得或者使问题的结构形式与 目标恰好吻合,往往需要引入待定的调整系 数,当这些调整系数取恰当值时,就可能实现 上述目的。本题实现这一目的的主要方式是 配方、与判别式的配合。 例 8 (2024年北京航空航天大学“强 基计划”试题)已知ab+bc+cd+da=1,求 a2+2b2+4c2+8d2 的最小值。 解析:已知条件ab+bc+cd+da=1可 变为(a+c)(b+d)=1。a2+2b2+4c2+ 8d2=(a2+4c2)+2(b2+4d2),容易发现目 标表达式中每个括号内的平方和结构相似, 因此我们可以先关注其中之一。 为了将(a2+4c2)与(a+c)联系起来,利 用二维的柯西不等式(a21+a22)(b21+b22)≥ (a1a2+b1b2)2,得(a2+4c2)1+ 1 4 ≥(a+ c)2。同理,(b2+4d2)1+ 1 4 ≥(b+d)2。 从而a2+2b2+4c2+8d2≥ 4 5 [(a+c)2+ 2(b+d)2]≥ 82 5 (a+c)(b+d)= 82 5 ,不等 式取等号的条件为a=4c,b=4d,a+c= 2(b+d),且(a+c)(b+d)=1,即a=4c= ± 4 5× 42,b=4d=± 4 5× 1 42 ,取等号时四个 变元取相同的符号。 评注:本题求解涉及四个变元的不等式 的最值,一般情况下,处理此类最值需要恰当 地配凑系数,过程较为复杂。但本题的条件 等式可以因式分解,目标表达式的系数关系 特别,因此只需利用两次柯西不等式,且两次 的平方和的配凑系数情况完全相同,这就大 大降低了问题的难度。另外,本题也可改编 为:已知实数a,b,c,d 不全为0,试求U= 8 知识篇 名师强基课堂 高二数学 2024年11月 ab+bc+cd+da a2+2b2+4c2+8d2 的最大值。(所求的最大 值为 82 5 的倒数,即52 16 ,解题的关键与上述 解题过程完全类似,解题过程略) 例 9 (2024年中国科学技术大学少 创班科学营一试试题)试求所有的实数a,使 得对于任意的实数x,不等式|x2+ax+2|≥ |x+1|恒成立。 解析:假设二次函数f(x)=x2+ax+2 存在零点x0,对于不等式|x2+ax+2|≥ |x+1|,令x=x0,得0=|x20+ax0+2|≥ |x0+1|≥0,则必有|x20+ax0+2|=|x0+ 1|=0,解得x0=-1,且a=3。 下面逆向验证,不等式|x2+3x+2|≥ |x+1|是否对∀x∈R恒成立呢? 结论是否 定的。注意到此时 f(x)=x2+3x+2= (x+1)(x+2),容易发现当x=-2时,不满 足条件,故a=3舍去。 如果二次函数f(x)=x2+ax+2不存 在零点x0,即f(x)=x2+ax+2>0,那么 a2-8<0,即-2 2<a<2 2。由题意得 -(x2+ax+2)≤x+1≤x2+ax+2,即对于 任 意 的 实 数 x, 恒 有 不 等 式 组 x2+(a-1)x+1≥0, x2+(a+1)x+3≥0 成 立,故 (a-1)2 - 4≤0且(a+1)2-12≤0,即-1≤a≤3,且 -23-1≤a≤23-1。 综上所述,-1≤a≤23-1。 评注:本题求出a=3时采用了夹逼法, 后面则采用了分类讨论思想。这道题不难, 但需要同学们能敏锐地发现二次函数的零点 恰好卡出绝对值函数等于0,这为进一步解 决问题打开了大门,同时,逆向验证也非常必 要,否则会以为a=3也符合题意。 例 10 (2024年北京大学“强基计划” 试题有改动)在△ABC 中,求sin A+sin B+ sin C 的最大值。 解析:暂时将其中与一个字母有关的函 数(例如sin A)这一项搁置(暂时冻结),先处 理sin B+sin C,由和差化积并简单放缩得 sin B +sin C =2sin B+C 2 cos B-C 2 ≤ 2sin B+C 2 =2cos A 2 。 于是sin A+sin B+sin C≤sin A+ 2cos A 2=2cos A 2 sin A 2+1 。因为0<A< π,所 以 A 2 为 锐 角,从 而 2cos A 2 , sin A 2+1 均为正数。 记f(A)=2cos A 2 sin A 2+1 >0,则 f(A) = 2 cos2 A 2 sin A 2+1 2 = 2 1-sin A 2 sin A2+1 3 ,即 f (A)= 2 3 3-3sin A 2 sin A2 +1 sin A2 +1 sin A2 +1 。利 用 四 个 元 的 基 本 不 等 式,得 f (A)≤ 2 3 3-3sin A 2 +3sin A2+1 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁􀪁 4 = 33 2 ,即sin A+sin B+sin C 的最大值为 33 2 ,当A=B=C= π 3 时所有的不等式均取 等号。 评注:本质上,“冻 结 变 量 法”与 高 等 数 学中的偏导数技术是一致的,二者具有异曲 同工之妙。当然,这道题还有很多其他解法 (例如导函数法、凸函数法等),考虑到同学 们目前所学知识有限,这里我们就不一一展 示了。 总之,“强基计划”测试中的不等式问题 (主要是和最值密切相关的问题),在命题背 景上,主要以代数背景为主,偶尔也会涉及三 角函数背景,代数不等式以二元为主,偶尔也 会涉及三元甚至四元的情形;在求解技巧上, 代数恒等变换处于极其重要的地位,基于对 称性的附加假设、极限分析、着眼于函数某些 特殊值附近的夹逼法等也是可能的附加手 段,值得同学们高度重视。 (责任编辑 赵 倩) 9 知识篇 名师强基课堂 高二数学 2024年11月