20 聚焦2024年高考中的指数函数与对数函数问题-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■钱伟密 张启兆 函数是高考考查的重点之一,下面聚焦 2024年高考中的指数函数与对数函数问题, 希望对同学们的学习有所帮助。 聚焦1:对数的运算性质 例1 (2024年高考全国甲卷第15题) 已知 a>1, 1 log8a - 1 loga4 =- 5 2 ,则 a= 。 分析:将log8a,loga4利用换底公式转化 成log2a来表示。 解:由 1 log8a - 1 loga4 = 3 log2a - 1 2log2a= - 5 2 ,整理得(log2a)2-5log2a-6=0,所以 log2a=-1或log2a=6。 因为a>1,所以log2a=6=log2 6,所以 a=26=64。 评注:利用换底公式将log8a,loga4转化 成log2a是解题的关键。 聚焦2:指数函数、对数函数有关的分段 函数的单调性 例2 (2024年新高考卷第6题)已知函 数f(x)= -x2-2ax-a,x<0, ex+ln(x+1),x≥0 在 R上单 调递增,则a的取值范围是( )。 A.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞) 分析:根据二次函数的性质和分界点处 函数值的大小关系求解。 解:因为函数f(x)在 R上单调递增,且 当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1)单调递增, 所以 - -2a 2×(-1)≥0 , -a≤e0+ln1, 解得-1≤a≤0,所以 a的取值范围是[-1,0]。应选B。 评注:因为函数f(x)在 R上单调递增, 所以每一段都是增函数,且在分界点左侧的 函数值不大于分界点右侧的函数值。 聚焦3:比较幂指数与对数的大小 例3 (2024年高考天津卷第4题)若 a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c 的大小关系为( )。 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 分析:利用指数函数和对数函数的单调 性判断即可。 解:因为y=4.2x 在 R 上单调递增,且 -0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20< 4.20.3,所以0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a< 1<b。又因为y=log4.2x 在(0,+∞)上单调 递增,且0<0.2<1,所以log4.20.2<log4.21 =0,即c<0,所以b>a>c。应选B。 评注:比较幂指数与对数的大小的五种 常用方法:作差法或作商法;中间量法;利用 函数单调性;特殊值法;数形结合法。 聚焦4:指数与对数的有关运算 例4 (2024年高考北京卷第7题)记水 的质量为d= S-1 lnn ,且d 越大,水的质量越 好。若S 不变,且d1=2.1,d2=2.2,则n1 与n2 的关系为( )。 A.n1<n2 B.n1>n2 C.若S<1,则n1<n2;若S>1,则n1> n2 D.若S<1,则n1>n2;若S>1,则n1< n2 分析:由S 与1的大小关系,结合指数函 数的单调性进行判断。 解:由d= S-1 lnn ,可得 d1= S-1 lnn1 =2.1, d2= S-1 lnn2 =2.2, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解 得 n1=e S-1 2.1, n2=e S-1 2.2。 04 创新题追根溯源 高一数学 2024年11月 若S>1,则 S-1 2.1 > S-1 2.2 ,可得e S-1 2.1 > e S-1 2.2,即n1>n2;若S=1,则 S-1 2.1 = S-1 2.2 = 0,可得n1=n2=1;若S<1,则 S-1 2.1< S-1 2.2 , 可得e S-1 2.1<e S-1 2.2,即n1<n2。由上可知,C正 确,A、B、D错误。应选C。 评注:本题主要考查函数的实际应用,考 查转化能力和分类讨论思想。 聚焦5:与含参数的对数不等式有关的 最值问题 例5 (2024年新高考卷第8题)设函数 f(x)=(x+a)ln(x+b),若f(x)≥0,则 a2+b2 的最小值为( )。 A. 1 8 B. 1 4 C. 1 2 D.1 分析:函数f(x)由y=x+a 和y= ln(x+b)的积构成,且函数y=x+a 和y= ln(x+b)在定义域内均为单调增函数。若 f(x)≥0,则函数y=x+a 和y=ln(x+b) 始终同号,所以函数y=x+a 和y=ln(x+ b)的零点重合,可得b=a+1,代入a2+b2 可 求得最值。 解:由 题 意 知 函 数 f(x)的 定 义 域 为 (-b,+∞)。令x+a=0,解得x=-a;令 ln(x+b)=0,解得x=1-b。 若f(x)≥0,则函数y=x+a 和y= ln(x+b)始终同号,所以函数y=x+a 和 y=ln(x+b)的零点重合,所以-a=1-b, 即b=a+1。 故a2+b2=a2+(a+1)2=2a+ 1 2 2 + 1 2≥ 1 2 ,当且仅当a=- 1 2 ,b= 1 2 时等号成 立,所以a2+b2 的最小值为 1 2 。应选C。 评注:从 函 数 最 本 质 的 特 点 入 手,由 f(x)≥0中的“0”的特殊性,联想到函数y= x+a 和y=ln(x+b)始终同号,推出函数 y=x+a和y=ln(x+b)的零点重合,得到 b=a+1是解题的关键。 聚焦6:指数函数和对数函数的单调性 与基本不等式融合 例6 (2024年高考北京卷第9题)已知 (x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x 图像上不同 的两点,则下列判断正确的是( )。 A.log2 y1+y2 2 > x1+x2 2 B.log2 y1+y2 2 < x1+x2 2 C.log2 y1+y2 2 >x1+x2 D.log2 y1+y2 2 <x1+x2 分析:根据指数函数和对数函数的单调 性,结合基本不等式判断选项A、B,再利用特 殊值判断选项C、D。 解:由题意不妨设x1<x2,因为y=2x 是R上的增函数,所以0<2x1<2x2,即0< y1<y2。由 2x1+2x2 2 > 2 x1·2x2 =2 x1+x2 2 ,即 y1+y2 2 >2 x1+x2 2 >0,结合 y=log2x 是(0, +∞)上 的 增 函 数,可 得log2 y1+y2 2 > log2 x1+x2 2 = x1+x2 2 ,A 正确,B错误。对于 C,取x1=0,x2=1,则y1=1,y2=2,所以 log2 y1+y2 2 =log2 3 2∈ (0,1),即log2 y1+y2 2 <1=x1+x2,C错误。对于D,取x1=-1, x2 = -2,则 y1 = 1 2 ,y2 = 1 4 ,所 以 log2 y1+y2 2 =log2 3 8 =log23-3∈ (-2, -1),即log2 y1+y2 2 >-3=x1+x2 ,D错 误。应选A。 评注:将指数函数和对数函数的单调性 与基本不等式融合,突出理性思维和数学探 究,本题主要考查逻辑推理能力。 作者单位:江苏省无锡市青山高级中学 (责任编辑 郭正华) 14 创新题追根溯源 高一数学 2024年11月