19 初等函数中“创新”问题的思维方法-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■彭恒彪 函数中的“创新”问题,具有启发性、思考 性、挑战性和隐蔽性等特点,是考查同学们核 心素养,挖掘同学们潜力的较佳题型,因而受 到命题者的青睐。下面对初等函数中“创新” 问题求解的思维方法进行归纳提炼,希望对 同学们的学习有所帮助。 一、函数值求解中的“创新”,利用整体代 换求解 例1 已知函数f(x)= 2 1+2x + 1 1+4x , 满足条件f[loga(2+1)]=1,其中a>1,则 f[loga(2-1)]=( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 解:把握所求值与已知值的特征,利用整 体代换求解。由f(x)= 2 1+2x + 1 1+4x ,可得 f(-x)= 2 1+2-x + 1 1+4-x ,所以 f(x)+ f(-x)= 2 1+2x + 1 1+4x + 2 1+2-x + 1 1+4-x =3。 因为loga(2+1)=-loga(2-1),所 以f[loga(2+1)]+f[loga(2-1)]=3, 所以f[loga(2-1)]=2。应选B。 提炼:指数函数作为整体变量的分式函 数f(x)= ax-1 ax+1 的定义域为R,由f(-x)+ f(x)= a-x-1 a-x+1 + ax-1 ax+1 = 1-ax 1+ax + ax-1 ax+1 = 0,可知f(x)为奇函数。由f(x)= ax-1 ax+1 = 1+ -2 ax+1 ,可知当a>1时,f(x)为增函数; 当0<a<1时,f(x)为减函数。 二、最大值与最小值之和的“创新”,构造 函数,利用奇偶性和单调性代换求解 例 2 已 知 函 数 f(x)=ln(x + x2+1)+ 3ex+1 ex+1 ,x∈[-k,k](k>0)的最 大值和最小值分别是 M 和m,则 M+m= 。 解:构造指数作为变量的分式函数和对 数的复合函数,分别研究奇偶性和单调性确 定其最值。由g(x)= 3ex+1 ex+1 =3- 2 ex+1 , x∈[-k,k](k>0)为增函数,可得g(-k) ≤g(x)≤g(k),所以 g(k)+g(-k)= 3- 2 ek+1 + 3- 2e-k+1 =6-2=4。 因为 h(x)=ln(x+ x2+1),x∈ [-k,k](k>0)为奇函数且为增函数,所以 h(-k)≤h(x)≤h(k),且h(-k)+h(k)= 0。故 M+m=f(k)+f(-k)=g(k)+ h(k)+g(-k)+h(-k)=g(-k)+g(k)+ h(-k)+h(k)=g(-k)+g(k)=4。 提炼:借助奇偶性和单调性,可整体求得 最大值与最小值之和。 三、自变量与函数值求和中的“创新”,寻 求两函数的同一对称中心,整体代换求解 例3 已知函数f(x)= 3x+2017 2x-5 ,函 数g(x)对任意x∈R,有g(2018-2x)= 3-g(2x-2013)成立。若y=f(x)与y= g(x)的 图 像 有 m 个 交 点(x1,y1),(x2, y2),…,(xm,ym),则∑ m i=1 (xi+yi)=( )。 A.2013m B.2015m C.2017m D.4m 解:由 g(2018-2x)=3-g(2x- 2013),令t=2x-2013,可得2018-2x= 5-t,所以g(5-t)=3-g(t),所以函数y= g(x)的 对 称 中 心 为 5 2 ,3 2 。因 为 函 数 f(x)= 3x+2017 2x-5 = 3 2+ 2032 2x-5 的对称中心 83 创新题追根溯源 高一数学 2024年11月 为 5 2 ,3 2 ,所以y=f(x)与y=g(x)的图 像有m 个交点(x1,y1),(x2,y2)…,(xm, ym)关 于 点 5 2 ,3 2 对 称,所 以 x1+xm = x2+xm-2=x3+xm-3=…=5,y1+ym=y2+ ym-2=y3+ym-3=…=3。 设x1+x2+…+xm-1+xm =M,则 xm+xm-1+…+x2+x1=M,两式相加得 (x1+xm)+(x2+xm-2)+…+(xm-1+x2)+ (xm+x1)=2M=5m,即 M= 5 2m 。同理可 得,y1+y2+…+ym-1+ym= 3 2m 。由上可 得,∑ m i=1 (xi+yi)=4m。应选D。 提炼:利用换元法探究函数的对称中心 是本题的一个“创新”,求两函数交点的自变 量与函数值的和,探究两函数的同一对称中 心,利用函数的对称中心,可求解为定值,又 是本题的另一个“创新”。 四、超越方程根的“创新”,借助指数函数 与对数函数的对称性寻求切入 例4 已知方程2018x=a-x 和方程 log2018x=a-x(a>1)的根分别为x1,x2,则 x21+x22 的取值范围为( )。 A.-∞, a2 2 B.a 2 2 ,a2 C.(a2,+∞) D.a 2 2 ,+∞ 解:注意两个方程的特征,借助同底数的 指数函数与对数函数的图像关于直线y=x 对称及根的意义切入,选取主元构建二次函 数在区间上的最值求解。已知方程2018x= a-x 和log2018x=a-x(a>1),函数y= 2018x 和y=log2018x 互为反函数,其图像关 于直线y=x 对称。由 y=x, y=a-x, 可得交点 坐标y=x= a 2 ,所以恒有x1+x2=2× a 2= a>1。设0<x1<x2,则0<x1< a 2 ,所以 x21+x22=x21+(a-x1)2=2x1- a 2 2 + a2 2= g(x1)。注意函数g(x1)在区间 0, a 2 上递 减,所以a 2 2=g a 2 <g(x1)<g(0)=a2,即 a2 2<g (x1)<a2。应选B。 提炼:指数函数与对数函数与同一个一次 函数构成的方程根,利用互为反函数的图像关 于直线y=x对称,探究两根的关系,选取主元 挖掘隐含条件,构建函数求解范围问题。注意 不能忽视题中的隐含条件0<x1< a 2 。 五、函数不等式探究中的“创新”,研究函 数单调性和奇偶性的合理转化 例5 已知函数f(x)=2x 且f(x)= g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为 偶函数,若不等式3ag(x)+h(2x)≥0对任 意x∈[1,2]恒成立,则实数a的取值范围是 。 解:利用奇偶性构建方程组求解析式,结 合不等式恒成立,分离参数转化为新函数的 值域求解。由已知得g(x)+h(x)=2x,注 意g(x)为 奇 函 数,h(x)为 偶 函 数,则 g(-x)+h(-x)=2-x,所以-g(x)+h(x) =2-x。据上解得h(x)= 2x+2-x 2 ,g(x)= 2x-2-x 2 。代入不等式3ag(x)+h(2x)≥0 得 3 2a (2x-2-x)+ 1 2 (22x+2-2x)≥0在[1,2] 上恒 成 立。令t=2x -2-x ∈ 32 ,15 4 ,则 22x+2-2x =t2+2。所 以 原 不 等 式 可 化 为 3a≥-t+ 2 t 。而 函 数 g(t)= - t+ 2 t 在 32,154 上单调递减,当t=32时,g(t) 取得最大值- 17 6 ,所以a≥- 17 18 ,即实数a∈ - 17 18 ,+∞ 。 提炼:利用奇偶性构建方程组,待定求解 析式是本题的一个“创新”。 作者单位:湖北省恩施市第三高级中学 (责任编辑 郭正华) 93 创新题追根溯源 高一数学 2024年11月