16 雾里看花，学生作业中错误排查——对数函数中的常见易错点剖析-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

———对数函数中的常见易错点剖析 ■池 旭 在历年的高考数学试卷中,对数问题一 直是命题的热点之一,特别是对数与其他知 识的综合问题。对数综合问题的知识覆盖面 广、综合性强、思维力度大、能力要求高,是考 查数学思想与方法、综合能力与素质的主阵 地。下面结合实例,就对数函数中的常见易 错点加以剖析。 一、忽视对数式成立的条件而出错 基于对数式logaN,其中对应的参数各 自有其成立的条件,分别为底数a>0且a≠ 1,真数N>0。在解决对数问题时,一定要充 分考虑对应的隐含条件或限制条件,避免出 现遗漏或多解。 例1 已知lgx+lgy=2lg(x-2y),则 log2 x y 的值为 。 错解:因为lgx+lgy=2lg(x-2y),所 以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,所 以(x-y)(x-4y)=0,解得x=y 或x= 4y,即 x y =1或 x y =4。 故log2 x y =log21=0或log2 x y =log24 =4,即log2 x y =0或log2 x y =4。 剖析:上述解法没有考虑对数式去掉对 数符号后,要保证x>0,y>0,x-2y>0这 些条件同时成立。由x=y,可得x-2y= -x<0,显然与对数的定义不符合,从而导致 多解。 正解:因为lgx+lgy=2lg(x-2y),所 以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,所 以(x-y)(x-4y)=0,解得x=y 或x= 4y。 因为x>0,y>0,x-2y>0,所以x=y 不符合条件,舍去。故x=4y,即 x y =4,所以 log2 x y =log24=4,即log2 x y =4。 二、忽视对数的运算而出错 在对数运算中,应用对数运算法则时,要 考虑对数的定义,注意变量的取值限制,防止 增根或漏根。 例2 已知实数a,b,c满足a+b+c= 15,且符合条件2b=a+c,同时满足2lg(b- 1)=lg(a+1)+lg(c-1)成立,求实数a,b,c 的值。 错解:由a+b+c=15,2b=a+c,代入 得3b=15,解得b=5。 由2b=a+c=10,引入参数,可设a= 5-d,c=5+d。 由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)成 立,代入得2lg4=lg(6-d)+lg(4+d),结合 对数运算法则得16=(6-d)(4+d)=25- (d-1)2,整理得(d-1)2=9,解得d-1=3, 即d=4。所以a=1,c=9。 故实数a,b,c的值分别为1,5,9。 剖析:上述解法中,由(d-1)2=9,可得 d-1=3,这里仅取算术平方根是错误的。结 合参数d,可得d-1=±3,再通过合理验证 与分析,以确定不同的结果是否符合条件。 正解:由a+b+c=15,2b=a+c,代入 得3b=15,解得b=5,所以2b=a+c=10。 引入参数,可设a=5-d,c=5+d。 由2lg(b-1)=lg(a+1)+lg(c-1)成 立,代入得2lg4=lg(6-d)+lg(4+d),结合 对数运算法则得16=(6-d)(4+d)=25- (d-1)2,整理得(d-1)2=9,解得d-1= ±3,所以d=4或d=-2。所以a=1或 a=7,所以c=9或c=3。 故实数a,b,c的值分别为1,5,9或7, 5,3。 23 易错题归类剖析 高一数学 2024年11月 三、忽视对数函数的定义域而出错 在对数函数y=logax(a>0,a≠1)中, 需要满足真数大于零,即其对应的定义域是 x>0。解决对数函数的单调性问题,要遵循 “定义域优先”的原则,即在定义域的前提下 分析与求解相关问题。 例3 已知函数y=log4(2x+3-x2), 求其单调区间。 错解:令g(x)=2x+3-x2=-(x- 1)2+4,所以函数g(x)在区间(-∞,1]上是 增函数,在区间[1,+∞)上是减函数。 因为对数函数y=log4x 在定义域上是 增函数,所以函数y=log4(2x+3-x2)的单 调增区间是(-∞,1],单 调 减 区 间 是[1, +∞)。 剖析:上述解法忽视了对数函数的真数 大于零的条件,即没有优先考虑定义域。对 于函数y=log4(2x+3-x2),必须在2x+ 3-x2>0的前提下解决问题。而这里恰恰 忽视了2x+3-x2>0这一条件,从而导致错 解。 正解:由2x+3-x2>0,可得(x+1)(x -3)<0,所 以 -1<x<3,即 函 数 y= log4(2x+3-x2)的定义域为{x|-1<x< 3}。 令函数g(x)=2x+3-x2=-(x-1)2 +4,结合函数的定义域可知,函数g(x)在区 间(-1,1]上是增函数,在区间[1,3)上是减 函数。 因为对数函数y=log4x 在定义域上是 增函数,所以函数y=log4(2x+3-x2)的单 调增区间是(-1,1],单调减区间是[1,3)。 四、忽视对数函数的底数的取值范围而 出错 在对数函数y=logax 中,其中底数a> 0,a≠1。解题时,容易忽视底数a 的取值范 围,从而导致错解。 例4 已知log(2x+5)(x2+x-1)=1,则 x 的值是( )。 A.-4 B.-2或3 C.3 D.-4或5 错解:由log(2x+5)(x2+x-1)=1,可得 2x+5=x2+x-1,化简得x2-x-6=0,解 得x=-2或x=3。应选B。 剖析:上述解法忽视了对数函数的底数 有意义的条件为2x+5>0且2x+5≠1。当 x=-2时,2x+5=1不符合条件,舍去,所 以x=3。 正解:由题意得2x+5=x2+x-1,2x+ 5>0,2x+5≠1。由上解得,x=3。应选C。 五、忽视对数函数的底数的分类讨论而 出错 对数函数y=logax(a>0,a≠1)中,其 中底数大于零且不等于1。在解决对数函数 的单调性问题时,不能忽视底数a 的不同取 值范围对函数的单调性的影响,需要对0< a<1和a>1进行分类讨论。 例5 解关于x 的不等式loga(-x+3) >loga(4x-1)(a>0,a≠1)。 错解:由loga(-x+3)>loga(4x-1), 可得-x+3>4x-1,解得x< 4 5 ,所以所求 不等式的解集为 x x< 4 5 。 剖析:上述解法忽视了两点:一是没有考 虑定义域优先的原则;二是在解决单调性问 题时,没有对底数a的不同取值(0<a<1和 a>1)进行分类讨论。解题时,要对真数的取 值与底数的取值同时进行分析,进而得出正 确的结果。 正解:当0<a<1时,不等式loga(-x+ 3)>loga(4x-1)等价于4x-1>-x+3> 0,解得 4 5<x<3 ; 当a>1时,不等式loga(-x+3)> loga(4x-1)等价于-x+3>4x-1>0,解 得 1 4<x< 4 5 。 综上所述,当0<a<1时,不等式的解集 为 x 4 5<x<3 ;当a>1时,不等式的解集 为 x 1 4<x< 4 5 。 作者单位:江西省萍乡市湘东中学 (责任编辑 郭正华) 33 易错题归类剖析 高一数学 2024年11月