15 指数函数与对数函数核心考点综合演练-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■刘大鸣(特级教师) 一、选择题 1.若函数f(x)=ln(ax-2)在(1,+∞) 上单调递增,则实数a的取值范围为( )。 A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.(0,2] D.[2,+∞) 2.若函数f(x)为定义在 R 上的奇函 数,且在(0,+∞)上单调递增,f(2)=0,则不 等式ln 1 e ·[xf(x)]>0的解集为( )。 A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(0,2) C.(-2,0)∪(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 3. 已 知 函 数 f (x ) = -x3+2,x<0, 3-x+2,x≥0, g(x)=kx+6-2k(k>0), 若对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[-1, 1],使得f(x1)≤g(x2)成立,则实数k 的取 值范围为( )。 A.(0,2] B.0, 2 3 C.(0,3] D.(1,2] 4.已知函数 f(x)满 足 1 xf (-x)- 2f 1 x =4x(x≠0),且∃x∈[1,2],5f(x) ≥3log2(a2-15a),则实数a 的取值范围 为( )。 A.[-1,16] B.[-2,0)∪(15,32] C.[-2,32] D.[-1,0)∪(15,16] 5.已知奇函数f(x)是 R 上的增函数, 若a=-f log2 1 5 ,b=f(log24.1),c= f(20.8),则a,b,c的大小关系为( )。 A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 6.(多选题)若函数f(x)=lg(x2+ax- a),则下列说法正确的是( )。 A.若a=0,则f(x)为偶函数 B.若f(x)的定义域为R,则-4<a<0 C.若a=1,则f(x)的单调递增区间为 - 1 2 ,+∞ D.若f(x)在(-2,-1)上单调递减,则 a< 1 2 7.(多选题)设x∈R,[x]表示不超过x 的最大整数,如[-3.5]=-4,[2.1]=2。已 知函数f(x)= ex 1+ex - 1 2 ,则下列叙述中正 确的是( )。 A.[f(x)]是偶函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)是增函数 D.[f(x)]的值域是{-1,0,1} 8.(多选题)已知正实数a,b满足log3a -log3b< 1 3 a - 13 b ,则下列结论正确的 是( )。 A.a<b B. 1 a< 1 b C.2a-b<1 D.ln(b-a)>0 9.(多选题)已知函数f(x)=a x2+1 |x| (a> 0且a≠1),则下列说法正确的是( )。 A.函数图像关于y 轴对称 B.函数图像关于(0,0)中心对称 C.当a>1时,函数在(0,+∞)上单调 递增 D.当0<a<1时,函数有最大值且最大 值为a2 10.(多选题)设函数f(x)=ln(|x|- a),则下列说法正确的是( )。 A.f(x)是偶函数 B.当a=1时,f(x)的单调递减区间为 (-∞,0) C.若f(x)的定义域为R,则a的取值范 围为(-∞,0] D.若f(x)的值域为R,则a的取值范围 为[0,+∞) 11.(多选题)已知f(x),g(x)都是定义 52 核心考点演练 高一数学 2024年11月 在R上的函数,其中f(x)是奇函数,g(x)是 偶函数,且f(x)+g(x)=2x,则下列说法正 确的是( )。 A.f[g(x)]为偶函数 B.g(0)=0 C.f(x)= 2x-2-x 2 D.|f(x)|+g(x)= 2x,x≥0, 2-x,x<0 二、填空题 12.已知函数f(x)= 3x-b,x<1, 2x,x≥1, 若 f f 5 6 =4,则b= 。 13.函数y=f(x)满足:①定义域为 R; ②偶函数;③在(-∞,0)上单调递减。请写 出满足上述三个条件的一个函数式为 。 (答案不唯一) 14.若函数f(x)=log1 2 (ax2+x+2)的 最大值为0,则实数a的值为 。 15.若函数f(x)=x2-6x+2+a 在区 间(1,4)内存在零点,则实数a的取值范围是 。 三、解答题 16.已知函数y=ax2-(a+2)x+2, a∈R。 (1)y<3-2x 对任意x∈R恒成立,求 实数a的取值范围。 (2)若存在m>0使关于x 的方程ax2- (a+2)|x|+2=m+ 1 m+1 有四个不等的实 数根,求实数a的取值范围。 17.已知实数a>0,定义域为 R的函数 f(x)= 3x a+ a 3x +1是偶函数。 (1)求 实 数 a 的 值,判 断 并 证 明 函 数 f(x)在(0,+∞)上的单调性。 (2)对任意的t∈R,不等式f(2t-1)≥ f(t-2m)恒成立,求实数m 的取值范围。 18.已知函数f(x)=log1 2 1-kx x-1 为奇函 数。 (1)求常数k的值。 (2)当x>1时,判断函数f(x)的单调 性。 (3)若函数g(x)=f(x)- 1 2 x +m 在 区间[3,4]上没有零点,求实数 m 的取值范 围。 19.已知指数函数f(x)=ax(a>0,且 a≠1)过点(m,n),在① 2m-2+ 9-3n =0,②函数y=x2-2x+4的顶点坐标为 (m,n),③函数y=logbx+3(b>0,且b≠1) 过定点(m,n)这三个条件中任选一个,回答 下列问题。 (1)求f(x)的解析式,判断并证明g(x) =f(x)+ 1 f(x) 的奇偶性。 (2)解不等式:loga(1+x)<loga(2- x)。 20.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠ 1),且f(3)=1。 (1)求a的值,并写出函数f(x)的定义 域。 (2)若不等式f(t·4x)≥f(2x-t)对任 意x∈[1,2]恒成立,求实数t的取值范围。 21.已知定义域为 R 的函数 f(x)= b-2x 2x+a 是奇函数。 (1)求a,b的值。 (2)用定义证明f(x)为减函数。 (3)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t) +f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范 围。 22.已 知 函 数 f(x)=2x +2-x,函 数 g(x)= x 2+log2 (1+2-x)。 (1)判断函数g(x)的奇偶性,并证明你 的结论。 (2)若g(x)≤ 1 2log2f (x)+a对一切实 数x 恒成立,求实数a的取值范围。 23.已 知 函 数 f (x)=3-2log2x, g(x)=log2x。 (1)求函数y=f(x2)·f(x)+2g(x) 在[1,4]上的零点。 62 核心考点演练 高一数学 2024年11月 (2)若函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)- k在[1,4]上有零点,求实数k的取值范围。 24.已知函数f(x)=4x-a·2x+2。 (1)当a=3时,求不等式f(x)>0的解 集。 (2)若函数f(x)在(0,+∞)上存在两个 零点,求实数a的取值范围。 一、选择题 1.提示:在f(x)=ln(ax-2)中,令u= ax-2,则函数y=lnu在(0,+∞)上单调递 增。而函数f(x)=ln(ax-2)在(1,+∞)上 单调递增,所以函数u=ax-2在(1,+∞) 上单调递增,且∀x>1,ax-2>0,所 以 a>0, a-2≥0, 解得a≥2,所以实数a 的取值范 围为[2,+∞)。应选D。 2.提示:因为函数f(x)为定义在 R 上 的奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,所以该 函数在(-∞,0)上也单调递增,所以f(-2) =-f(2)=0。易得ln 1 e=-1 。由ln 1 e · [xf(x)]>0,可得xf(x)<0。当x<0时, f(x)>0=f(-2),解得-2<x<0;当x>0 时,f(x)<0=f(2),解得0<x<2。综上所 述,不等式ln 1 e ·[xf(x)]>0的解集为 (-2,0)∪(0,2)。应选A。 3.提示:当-1≤x<0时,函数f(x)= -x3+2在[-1,0)上单调递减,则2<f(x) ≤3,当0≤x≤1时,函数f(x)=3-x+2在 [0,1]上单调递减,则 7 3≤f (x)≤3,所以当 x∈[-1,1]时,f(x)∈(2,3],所以f(x)max =3。因为函数g(x)=kx+6-2k(k>0)在 [-1,1]上单调递增,所以g(x)max=k+6- 2k=6-k。对任意的x1∈[-1,1],总存在 x2∈[-1,1],使得f(x1)≤g(x2)成立,所以 f(x)max≤g(x)max,所以3≤6-k,解得0< k≤3。应选C。 4.提示:由 1 xf (-x)-2f 1 x =4x,用 - 1 x 代换 1 xf (-x)-2f 1 x =4x(x≠0)中 的x 得-xf 1 x -2f(-x)=-4x。由上 消去f 1 x 得f(-x)=45 x2+2x 。令 -x=t(t≠0),即x=-t(t≠0),可得f(t) = 4 5 (-t)2+ 2 -t ,即f(x)=45 x2-2x 。 若∃x∈[1,2],5f(x)≥3log2(a2-15a),则 f(x)max≥ 3 5log2 (a2-15a)。因为函数f(x) 在[1,2]上单调递增,所以f(x)max=f(2)= 12 5 ,所以log2(a2-15a)≤4,所以0<a2- 15a≤16,解得a∈[-1,0)∪(15,16]。应选 D。 5.提示:由题意得a=f -log2 1 5 = f(log25)。因为log25>log24.1>2,1<20.8 <2,所以log25>log24.1>20.8。因为函数 f(x)在 R 上 单 调 递 增,所 以 f(log25)> f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c。应选C。 6.提示:当a=0时,f(x)=lgx2,其定 义域为{x|x≠0}且f(-x)=lgx2=f(x), 所以f(x)为偶函数,A正确。若f(x)的定 义域为 R,则x2+ax-a>0对x∈R恒成 立,所以Δ=a2+4a<0,即-4<a<0,B正 确。当a=1时,f(x)=lg(x2+x-1),由 x2+x-1>0,解 得 x< -1- 5 2 或 x> -1+ 5 2 ,所 以 函 数 f (x)的 定 义 域 为 -∞, -1- 5 2 ∪ -1+ 52 ,+∞ 。由 函 数 y=x2 +x -1= x+ 1 2 2 - 5 4 在 -∞,- 1 2 上单调递减,在 -12,+∞ 上 单调递增,且y=lgx 在定义域内单调递增, 可得 函 数 f (x)的 单 调 递 增 区 间 为 -1+ 5 2 ,+∞ ,C错误。由函数f(x)在 (-2,-1)上单调递减,结合复合函数的单调 72 核心考点演练 高一数学 2024年11月 性得y=x2+ax-a 在(-2,-1)上单调递 减,且满足y>0,所以(-1)2+a×(-1)- a>0,且- a 2≥-1 ,解得a< 1 2 ,D正确。应 选ABD。 7.提 示:函 数 f(x)= ex 1+ex - 1 2 = 1+ex-1 1+ex - 1 2= 1 2- 1 1+ex 。因为[f(1)]= e 1+e- 1 2 =0,[f(-1)]= 1e+1-12 = -1,所以[f(1)]≠[f(-1)],且[f(1)]≠ -[f(-1)],可知函数[f(x)]既不是奇函 数,也不是偶函数,A错误。因为f(-x)= e-x 1+e-x - 1 2= 1 ex(1+e-x) - 1 2= 1 1+ex - 1 2 =-f(x),所以函数f(x)为奇函数,B正 确。因为函数y=1+ex 为R上的增函数,所 以函数y= 1 1+ex 为R上的减函数,所以函数 f(x)= 1 2- 1 1+ex 是增函数,C正确。由ex> 0,可得1+ex>1,所以0< 1 1+ex <1,所以 - 1 2<f (x)< 1 2 ,所以函数[f(x)]的值域 为{-1,0},D错误。应选BC。 8.提示:因为log3a-log3b< 1 3 a - 1 3 b ,所以log3a- 1 3 a <log3b- 1 3 b 。 令函数f(x)=log3x- 1 3 x ,则f(x)在(0, +∞)上单调递增,所以b>a>0,即a<b,所 以b-a>0,a-b<0,所以 1 a > 1 b ,所以 2a-b<1,所以ln(b-a)∈(-∞,+∞),A、C 正确,B、D错误。应选AC。 9.提示:函数f(x)=a x2+1 |x| 的定义域为 {x|x≠0}。当x≠0时,f(-x)=a (-x)2+1 |x| = a x2+1 |x| =f(x),所以f(x)是偶函数,所以函数 图像关于y 轴对称,A正确,B错误。当x> 0时,f(x)=a x2+1 x =a x+1x,令u=x+ 1 x ,则 f(u)=au。当a>1时,f(u)=au 单调递 增,因为u=x+ 1 x 在(0,1)上单调递减,在 (1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,1)上 单调递减,在(1,+∞)上单调递增,C错误。 已知0<a<1,当x>0时,因为f(u)=au 单 调递减,u=x+ 1 x 在(0,1)上单调递减,在 (1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,1)上 单调递增,在(1,+∞)上单调递减,当x=1 时,f(x)取最大值且最大值为f(1)=a2。 当x<0时,因为f(x)是偶函数,所以最大值 为f(-1)=a2,D正确。应选AD。 10.提示:当a>0时,函数的定义域为 (-∞,-a)∪(a,+∞),当a=0时,函数的 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当a<0时, 函数的定义域为 R,所以函数的定义域关于 原点对称,且f(-x)=f(x),所以f(x)是 偶函数,A正确。当a=1时,令|x|-1>0, 可得x<-1或x>1,则f(x)的单调递减区 间为(-∞,-1),B错误。若f(x)的定义域 为R,则|x|-a>0恒成立,所以a<0,所以 a的取值范围为(-∞,0),C错误。若f(x) 的值域为R,则-a≤0,故a≥0,所以a 的取 值范围为[0,+∞),D正确。应选AD。 11.提示:因为f[g(-x)]=f[g(x)], 所以f[g(x)]为偶函数,A正确。由f(x) +g(x)=2x,可得f(-x)+g(-x)=2-x, 结合f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,可得 -f(x)+g(x)=2-x,所以g(x)= 2x+2-x 2 , f(x)= 2x-2-x 2 ,C 正确。由选项 C 可知 g(0)=1,B错误。当x≥0时,由|f(x)|= 2x-2-x 2 ,可得|f(x)|+g(x)= 2x-2-x 2 + 2x+2-x 2 =2 x,当 x<0 时,由|f(x)|= 2-x-2x 2 ,可得|f(x)|+g(x)= 2-x-2x 2 + 2x+2-x 2 =2 -x,所 以|f(x)|+g(x)= 2x,x≥0, 2-x,x<0, D正确。应选ACD。 82 核心考点演练 高一数学 2024年11月 二、填空题 12.提 示:因 为 函 数 f (x)= 3x-b,x<1, 2x,x≥1, 所以f 56 =3×56-b=52 -b。当 5 2-b<1 ,即b> 3 2 时,f f 5 6 = f 5 2-b =3 52-b -b=4,解得b=78,舍 去;当5 2-b≥1 ,即b≤ 3 2 时,f f 5 6 = f 5 2-b =2 5 2-b=4,解得b= 1 2 。综上可 得,b= 1 2 。 13.提示:因为y=x2 关于y轴对称且定 义域为R,在(-∞,0)上单调递减,所以y=x2 满足题设。答案为y=x2(答案不唯一)。 14.提示:因为函数f(x)的最大值为0, 所以h(x)=ax2+x+2的最小值为1,所以 a>0, 8a-1 4a =1 , 解得a=14。 15.提示:由题意知f(x)=x2-6x+ 2+a=(x-3)2+a-7为连续函数,且在(1, 3]上单调递减,在[3,4)上单调递增,所以 f(3)=a-7,f(1)=1-6+2+a=a-3, f(4)=16-24+2+a=a-6,所 以 f(1)>0, f(3)≤0 或 f (4)>0, f(3)≤0, 解得3<a≤7,所以 实数a的取值范围是(3,7]。 三、解答题 16.提示:(1)由题意知ax2-(a+2)x+ 2<3-2x 对任意x∈R 恒成立,即ax2- ax-1<0恒成立。当a=0时,-1<0恒成 立, 符 合 题 意; 当 a ≠ 0 时, 则 a<0, Δ=a2+4a<0, 解 得 a<0 , -4<a<0。 综 上 可 得,实数a的取值范围是{a|-4<a≤0}。 (2)当m>0时,令t=m+ 1 m+1 ,则t≥ 2 m· 1 m +1=3 ,当且仅当 m=1时取等 号。关于x 的方程a|x|2-(a+2)|x|+2- t=0有四个不等的实数根,令u=|x|,则转 化为存在t≥3使得关于u的方程au2-(a+ 2)u+2-t=0有两个不同的正实数根,所以 Δ=(a+2)2-4a(2-t)>0, a+2 a >0 , 2-t a >0 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ① ② ③ 由②③得a<-2。由Δ>0知,存在t≥ 3使不等式4at+(a+2)2-8a>0成立,把t 看成主元代入t=3得4a×3+(a+2)2- 8a>0,即a2+8a+4>0,解得a<-4-23 或a>-4+23。综上可得a<-4-23, 即实数a的取值范围是{a|a<-4-23}。 17.提示:(1)已知f(x)= 3x a+ a 3x +1为 偶函数,且f(-x)= 3-x a + a 3-x +1= 1 a·3x +a·3x+1,由 f(x)=f(-x),整理得 1 a-a 13x-3x =0,所以1a-a=0,解得 a=±1。因为a>0,所以a=1,所以函数 f(x)=3x+ 1 3x +1。 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,证明 如下。 设x1>x2>0,则f(x1)-f(x2)=3 x1+ 1 3x1 +1-3x2 - 1 3x2 -1= (3x1 -3x2 )· 1- 1 3x1·3x2 。因为x1>x2>0,所以3x1- 3x2>0,3x1·3x2>1,所以0< 1 3x1·3x2 <1,所 以1- 1 3x1·3x2 >0,所以f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),所以函数f(x)在(0, +∞)上单调递增。 (2)因为f(x)为定义在 R上的偶函数, 在(0,+∞)上单调递增,且 f(2t-1)≥ f(t-2m),所以|2t-1|≥|t-2m|,平方得 3t2+(4m-4)t+1-4m2≥0。因为对任意 t∈R不等式恒成立,所以Δ=(4m-4)2- 4×3×(1-4m2)≤0,即(4m-1)2≤0,解得 m= 1 4 ,所以m 的取值范围为 m m= 1 4 。 92 核心考点演练 高一数学 2024年11月 18.提示:(1)由f(-x)=-f(x),即 log1 2 1+kx -x-1=-log12 1-kx x-1=log12 x-1 1-kx ,可 得 1+kx -x-1= x-1 1-kx ,化简得k2x2-1=x2- 1,即(k2-1)x2=0,所以k2-1=0,即k= ±1。当k=1时, 1-x x-1=-1 显然不成立,经 验证k=-1符合题意。所以k=-1。 (2)当x>1时,由k=-1知函数f(x) =log1 2 1+x x-1 。设 x1>x2>1,则 f(x1)- f(x2)= log1 2 1+x1 x1-1 - log1 2 1+x2 x2-1 = log1 2 x1x2-x1+x2-1 x1x2+x1-x2-1 。因 为 x1x2-x1+ x2- 1 < x1x2 + x1 - x2 - 1,即 x1x2-x1+x2-1 x1x2+x1-x2-1 <1,所以f(x1)-f(x2) >0,即f(x1)>f(x2)。故函数f(x)在(1, +∞)上单调递增。 (3)函数g(x)=log1 2 1+x x-1- 1 2 x +m, 令g(x)=0,则m= 1 2 x -log1 2 1+x x-1 。 由(2)知f(x)在[3,4]上单调递增。因 为y= 1 2 x 在[3,4]上单调递减,所以h(x) = 12 x -log1 2 1+x x-1 在[3,4]上单调递减,所 以h(x)∈ 116+log2 5 3 ,9 8 。又 m=h(x) 在 区 间 [3,4]上 无 解,故 实 数 m ∈ -∞, 1 16+log2 5 3 ∪ 98,+∞ 。 19.提 示:(1)由 ① 可 知, 2m-2+ 9-3n=0,即 2m-2=0, 9-3n=0, 解得 m=1 , n=3。 由②可知,函数y=x2-2x+4=(x- 1)2+3的顶点坐标为(1,3),则 m=1, n=3。 由③可知,函数y=logbx+3(b>0,且 b≠1)过定点(1,3),则 m=1, n=3。 综上可得,三个条件中任选一个,均有 m=1, n=3, 即f(x)=ax 过点(1,3),所以a=3, 所以函数f(x)=3x。 因为函数g(x)=f(x)+ 1 f(x) =3x+ 3-x,x∈R,又g(-x)=f(-x)+ 1 f(-x) = 3-x+3x=g(x),所以g(x)为偶函数。 (2)因为loga(1+x)<loga(2-x),即 log3(1+x)<log3(2-x),所以2-x>1+ x,1+x>0,2-x>0。由此解得-1<x< 1 2 。故不等式loga(1+x)<loga(2-x)的解 集为 x 1<x< 1 2 。 20.提示:(1)由f(3)=loga3=1,解得a =3,所以f(x)=log3x,定义域为(0,+∞)。 (2)因为f(x)=log3x,所以f(x)是增 函数。 f(t·4x)≥f(2x-t)对任意x∈[1,2] 恒成立,所以t·4x≥2x-t>0,所以t(4x+ 1)≥2x,所以t≥ 2x 4x+1 = 1 2x+ 1 2x 。令 y= 2x+ 1 2x ,则此函数在[1,2]上单调递增,所以 ymin=2+ 1 2= 5 2 ,所以t≥ 1 5 2 = 2 5 。又因为 2x-t>0,x∈[1,2],所以t<(2x)min=2。 综上可得,实数t的取值范围是 25 ,2 。 21.提示:(1)因为f(x)为定义域 R上 的奇函数,所以f(0)=0,可得b=1。因为 f(-1)=-f(1),所以 1-2-1 2-1+a =- 1-2 2+a ,解 得a=1。经检验,当a=1,b=1时,f(x)= 1-2x 2x+1 满足f(-x)=-f(x),即f(x)是奇 函数。所以a=1,b=1。 (2)由a=1,b=1得函数f(x)= 1-2x 2x+1 =-1+ 2 2x+1 。任取实数x1,x2,且x1<x2, 03 核心考点演练 高一数学 2024年11月 则 f(x1)-f(x2)= 2 2x1+1 - 2 2x2+1 = 2(2x2-2x1) (2x1+1)(2x2+1) 。由x1<x2,可得2 x1<2x2 且(2x1+1)·(2x2 +1)>0,所以f(x1)- f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2),所 以 函 数 f(x)为减函数。 (3)根据(1),(2)知,函数f(x)是奇函数 且为减函数。不等式f(t2-2t)+f(2t2-k) <0恒成立,即f(t2-2t)<-f(2t2-k)= f(-2t2+k),所以t2-2t>-2t2+k对任意 的t∈R都成立,所以k<3t2-2t对任意的 t∈R 恒 成 立。因 为 g(t)=3t2 -2t= 3t- 1 3 2 - 1 3 ,当t= 1 3 时g(t)取得最小值 - 1 3 ,所以k<- 1 3 ,即实数k的取值范围是 -∞,- 1 3 。 22.提示:(1)g(x)为定义域R上的偶函 数。证明如下。 对任意的x∈R,1+2-x>0恒成立,所 以函数g(x)的定义域为 R。因为g(x)= x 2+log2 1+ 1 2x =x2+log22 x+1 2x = x 2+ log2(2x+1)-log2 x=- x 2+log2 (2x+1)= g(-x),所以g(x)为定义域R上的偶函数。 (2)因为f(x)=2x+2-x,g(x)= x 2+ log2(1+2-x),所以g(x)≤ 1 2log2f (x)+a 对一切实数x 恒成立,即 x 2+log2 (1+2-x) ≤ 1 2log2 (2x+2-x)+a 对一切实数x 恒成 立,整理得x+2log2(1+2-x)≤log2(2x+ 2-x)+2a,即2a≥log2 x+log2(1+2-x)2- log2(2x+2-x)=log2 2x(1+2-x)2 2x+2-x ,也即2a≥ log2 1+ 2 2x+2-x 对一切实数x 恒成立。因 为2x+2-x=2x+ 1 2x ≥2 2x· 1 2x =2,当且 仅当 2x = 1 2x ,即 x=0 时 取 等 号,所 以 log2 1+ 2 2x+2-x 的 最 大 值 为 1,所 以 log2 1+ 2 2x+2-x ∈(0,1],所以2a≥1,即a ≥ 1 2 ,所以实数a的取值范围为 12 ,+∞ 。 23.提 示:(1)由 f(x2)·f(x)+ 2g(x)=0,可得(3-4log2x)(3-log2x)+ 2log2x=0。令t=log2x,因为x∈[1,4],所 以t∈[0,2],则原式可化为(3-4t)(3-t)+ 2t=0,化简得4t2-13t+9=0,解得t=1或 t= 9 4 (舍去),所以log2x=1,解得x=2,所 以函数y=f(x2)·f(x)+2g(x)在[1,4] 上的零点为2。 (2)h(x)=(4-2log2x)·log2x-k= -2(log2x-1)2+2-k。令t=log2x,因为 x∈[1,4],所以t∈[0,2]。令h(x)=0,可 得k=-2(t-1)2+2。因为t∈[0,2],所以 -2(t-1)2+2∈[0,2],所以实数k 的取值 范围为[0,2]。 24.提示:(1)由f(x)=4x-a·2x+2, 令t=2x(t>0),可得g(t)=t2-at+2(t> 0)。当a=3时,g(t)=t2-3t+2,令g(t)> 0,解得t<1或t>2,即2x<1或2x>2,解得 x<0或x>1,所以原不等式的解集为{x| x<0或x>1}。 (2)因为函数t=2x 在定义域 R上单调 递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上存在两个 零点等价于函数g(t)=t2-at+2在(1, +∞)上存在两个零点。 因为函数g(t)=t2-at+2的图像开口 向 上,且 对 称 轴 为 直 线 t= a 2 ,所 以 Δ=a2-8>0, a 2>1 , g(1)=1-a+2>0, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得22<a<3,所以 实数a的取值范围为(22,3)。 作者单位:陕西省洋县中学 (责任编辑 郭正华) 13 核心考点演练 高一数学 2024年11月