13 指数函数与对数函数考点总结-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■徐 姣 指数函数和对数函数是同学们进入高中 接触的新函数,下面就这方面的考点进行归 纳与总结。 考点1:理解有理指数幂的含义,了解实 数指数幂的意义,掌握幂的运算 例1 已知函数f(x)= 1 1+2x ,对任意 实数x,则( )。 A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)= 1 3 解:f(-x)+f(x)= 1 1+2-x + 1 1+2x = 2x 1+2x + 1 1+2x =1,A错误,C正确。f(-x) -f(x)= 1 1+2-x - 1 1+2x = 2x 1+2x - 1 1+2x = 2x-1 2x+1 =1- 2 2x+1 ,不是常数,B、D错误。应 选C。 考点2:理解对数的概念及其运算性质, 掌握换底公式,了解对数在简化运算中的作 用,灵活运用指对数互换 例2 设x,y,z为正数,且2x=3y=5z, 则( )。 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.2x<5z<3y D.3y<2x<5z 解:由2x=3y=5z,取常用对数得xlg2 =ylg3=zlg5>0,则 x y = lg3 lg2 ,2x 3y = 2lg3 3lg2 = lg9 lg8 >1,所以2x>3y。同理可得, x z= lg5 lg2 , 所以 2x 5z= 2lg5 5lg2 = lg25 lg32 <1,所以2x<5z。应 选D。 考点3:理解指数函数、对数函数的概 念,会解指对数不等式,会处理一些与指对数 函数有关的简单复合函数的定义域和值域 例3 设函数f(x)=lg(ax2+2x+1), 若f(x)的定义域是R,则实数a的取值范围 为 ;若f(x)的值域是 R,则实数a 的取 值范围为 。 解:因为函数f(x)的定义域为 R,所以 ax2+2x+1>0恒成立,所以a>0且Δ<0, 解得a>1,即a∈(1,+∞)。 因为函数f(x)的值域为R,所以t=ax2 +2x+1 的 值 域 包 含 (0,+ ∞),所 以 a>0, Δ≥0 或a=0,解得0≤a≤1,即a∈[0,1]。 考点4:理解指数函数、对数函数的单调 性,会求一些与指对数函数有关的简单复合 函数的单调区间 例4 设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0, 1)上单调递减,则a的取值范围是( )。 A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞) 解:因为函数y=2x 在R上单调递增,而 函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减, 所以函数y=x(x-a)= x- a 2 2 - a2 4 在区 间(0,1)上单调递减,所以 a 2≥1 ,解得a≥2, 即a的取值范围是[2,+∞)。应选D。 考点5:能解决一些与指对数函数有关 的简单复合函数的奇偶性问题,会运用函数 图像研究函数的性质 例5 已知函数f(x)= xex eax-1 是偶函 数,则a=( )。 A.-2 B.-1 C.1 D.2 解:因为f(x)= xex eax-1 为偶函数,所以 12 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 f(x)-f(-x)= xex eax-1 - (-x)e-x e-ax-1 = x ex-e(a-1)x eax-1 =0。 又因为x 不恒为0,所以ex-e(a-1)x=0, 所以x=(a-1)x,所以1=a-1,解得a= 2。应选D。 考点6:掌握指对数函数的图像过定点, 理解函数零点、方程的根、图像的交点的相互 转化 例6 函数f(x)=x·lg(x+2)-1的 图像与x 轴的交点个数为 。 解:本题所求的是方程f(x)=0根的个 数。由x·lg(x+2)-1=0,可得lg(x+2) = 1 x ,在同一坐标系中画出y=lg(x+2)和 y= 1 x 的图像(图略)。由图像知它们有2个 交点,所以原函数图像与x 轴有2个交点。 考点7:了解指数函数y=ax 与对数函 数y=logax互为反函数(a>0,a≠1) 例7 若函数f(x)=ex+x-2的零点 为x1,函数g(x)=x+lnx-2的零点为x2, 则x1+x2= 。 解:令f(x)=ex+x-2=0,可得ex= 2-x,令g(x)=x+lnx-2=0,可得lnx= 2-x,所以x1,x2 分别为y=ex 和y=lnx 与y=2-x 的图像交点A,B 的横坐标,即点 A 的坐标为A(x1,2-x1),点 B 的坐标为 B(x2,2-x2)。 因为y=ex 和y=lnx 互为反函数,所 以y=ex 和y=lnx 的图像关于y=x 对称, 所以A,B 两点关于y=x 对称,即x1=lnx2 或x2=e x1,所以取x2=e x1 =2-x1,可得 x1+x2=2。 1.已知2log22x-5log2x-3<0,求函数 f(x)=log2 x 8 ·log124x 的值域。 提示:令log2x=t,由2log22x-5log2x- 3<0,可得(2t+1)(t-3)<0,则- 1 2<t< 3。因为函数f(x)=log2 x 8 ·log124x = (log2x-3)(log2x-2),所以函数f(x)等价 于y=(t-3)(t-2)=t2-5t+6=t- 5 2 2 - 1 4∈ - 1 4 ,35 4 ,所以函数f(x)的值域为 - 1 4 ,35 4 。 2.已知f(x)是奇函数,且当x<0时, f(x)=-eax。若f(ln2)=8,则a= 。 提示:因为ln2∈(0,1),所以-ln2<0。 由f(ln2)=8,可得f(-ln2)=-ea(-ln2)= -8,两边取以e为底数的对数得-aln2= 3ln2,所以-a=3,即a=-3。 3.(多选题)已知函数f(x)= 3x-1 3x+1 ,下 面说法正确的是( )。 A.f(x)的图像关于原点对称 B.f(x)的图像关于y 轴对称 C.f(x)的值域为(-1,1) D.对于∀x1,x2∈R,且x1 ≠x2,都有 f(x1)-f(x2) x1-x2 <0 提示:因为f(-x)= 3-x-1 3-x+1 =- 3x-1 3x+1 =-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以A 正确,B 错 误。因 为 f(x)= 3x-1 3x+1 =1- 2 3x+1 为单调递增函数,3x+1>1,所以0< 2 3x+1 <2,故-1<1- 2 3x+1 <1,即 函 数 f(x)的值域为(-1,1),所以C正确,D错 误。应选AC。 4.设函数f(x)=2-x,若函数g(x)的图 像与f(x)的图像关于直线y=x 对称,h(x) 的图像由g(x)的图像向右平移1个单位得 到,则函数h(x)为 。 提示:由条件知函数f(x)与g(x)互为 反函数,所以g(x)=log1 2 x,所以函数h(x) =log1 2 (x-1)=-log2(x-1)。 作者单位:武汉市第十四中学 (责任编辑 郭正华) 22 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月