11 例说换底公式的应用&12 指数，对数及幂的大小比较中的“思维方法”-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■黄晓丽 对数换底公式是对数的重要性质,常见 的有下面四个应用。 一、求值 例1 (1)若log142=a,14b=5,用a,b 表示log3528= 。 (2)已知lg2=a,lg3=b,则log475= ( )。 A. a-b+2 2a B. b-2a+2 2a C. b-a+2 2a D. 2a-b+2 2a (3)已知2x=3,log2 8 9=y ,则y x= 。 解:(1)因为14b=5,所以b=log145,所 以log3528= log1428 log1435 = log1414+log142 log1414+log145-log142 = 1+a 1+b-a 。 (2)因为log475= lg75 lg4 = lg3×52 2lg2 = lg3+2lg5 2lg2 = lg3+2(1-lg2) 2lg2 ,又lg2=a, lg3=b,所以log475= b+2-2a 2a 。应选B。 (3)由2x=3,可得x=log23。因为y= log2 8 9 ,所以y x= log2 8 9 log23 =log3 8 9=3log32-2 。 评注:使用换底公式的关键是恰当地选 择底数。 二、求参数的值 例2 已知a>1,且 1 log8a - 1 loga4 =- 5 2 , 则a= 。 解:由 1 log8a - 1 loga4 = 3 log2a - 1 2log2a= - 5 2 ,整理得(log2a)2-5log2a-6=0,解得 log2a=-1或log2a=6。因为a>1,所以 log2a=6=log2 6。故a=26=64。 评注:logba= 1 logab (a,b>0,且a,b都不 为1)。 三、求代数式的值 例3 已知2x=3,log4 8 3=y ,则x+2y 的值为 。 解:由2x=3得x=log23,所以x+2y= log23+2log4 8 3=log23+ 2log2 8 3 log24 =log23+ (3log2 -log23)=3。 评注:当a>0且a≠1时,ax=N⇔x= logaN。 四、证明等式 例4 在△ABC 中,C=90°,角A,B,C 所对应的三条边长 分 别 为a,b,c。求 证: log(b+c)a+log(c-b)a=2log(b+c)a·log(c-b)a。 证明:(方法1)在△ABC 中,由C=90°, 结合 勾 股 定 理 得 c2 -b2 =a2。因 为 log(b+c)a+log(c-b)a log(b+c)a·log(c-b)a = 1 log(c-b)a + 1 log(c+b)a = loga(c-b)+loga(c+b)=loga[(c-b)(c+ b)]=loga(c2-b2)=loga 2=2,所以log(b+c)a +log(c-b)a=2log(b+c)a·log(c-b)a。 (方法2)根据题意得a2=c2-b2。 因 为 1 loga(b+c) + 1 loga(c-b) - 2 loga(b+c)·loga(c-b) = loga(c-b)+loga(b+c) loga(b+c)·loga(c-b) - 2 loga(b+c)·loga(c-b) = loga(c2-b2)-2 loga(b+c)·loga(c-b) = loga 2-2 loga(b+c)·loga(c-b) =0,所以log(b+c)a +log(c-b)a=2log(b+c)a·log(c-b)a。 评注:由勾股定理,结合对数的换底公式 进行变形是证明的关键。 作者单位:湖北省恩施土家族苗族自治 州高级中学 (责任编辑 郭正华) 81 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 ■池晓燕 指数与对数是高中数学的一个重要知识 点,也是高考的必考点,其中指数、对数及幂 的大小比较是高考的热点。高考主要考查指 数、对数的互化、运算性质,以及指数函数、对 数函数和幂函数的性质,一般以选择题或填 空题的形式出现在压轴题的位置。 方法1:利用指数函数、对数函数及幂函 数的单调性 例1 已知a=ln 1 2 ,b=ln(lg2),c= lg(ln2),则a,b,c的大小关系是( )。 A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>c>a 解:因为lg2< 1 2 ,所以ln(lg2)<ln 1 2 , 即b<a。已知e<10,当x>1时,lnx> lgx,当0<x<1时,lnx<lgx,而0< 1 2< 1,所 以lg 1 2>ln 1 2 。又ln2> 1 2 ,所 以 lg(ln2)>lg 1 2>ln 1 2 ,即c>a。应选A。 体验:当底数相同,指数不同时,如ax1 和ax2,可利用指数函数y=ax 的单调性比较 大小;当指数相同,底数不同时,如xa1 和xa2, 可利用幂函数y=xa 的单调性比较大小;当 底数相同,真数不同时,如logax1 和logax2, 可利用指数函数y=logax 的单调性比较大 小。 方法2:利用函数的性质和中间量 例2 若a=log23,b=log34,c=log45, 则a,b,c的大小关系是( )。 A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a 解:由题意可得,log23>log2 =1,log34 >log3 =1,log45>log4 =1,所以a>1,b> 1,c>1。 因 为 c=log45=log225= 1 2log25= log25 1 2=log2 5,而a=log23>log2 5,所以 a>c>1。因为a=log23>log2 2= 3 2 ,而 b=log34<log3 3= 3 2 ,所以a> 3 2>b>1 。 又因为 5 4=log3 5 4=log3 4 35,b=log34 =log3 4 44,44 >35,所 以 log3 4 44 > log3 4 35,即log34> 5 4 ,也即b> 5 4 。 同理,由 5 4 =log4 5 4 =log4 4 45,c= log45=log4 4 54,且 45 >54,可 得 5 4 = log4 4 45>log4 4 54,即 5 4>c 。 综上可得,a> 3 2>b> 5 4>c>1 。应选 D。 体验:当底数、指数、真数都不同时,可寻 找中间量0,1或其他能判断大小关系的中间 量,借助中间量进行大小关系的判断。 方法3:利用不等式放缩法 例3 已 知 a=3 ln12,b=log2425,c= log2526,则a,b,c的大小关系为( )。 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>c>a 解:因为ln 1 2<0 ,所以a=3 ln12<1。 易得b=log2425>1,c=log2526>1。 因为 c b = log2526 log2425 =log2526·log2524< log2526+log2524 2 2 = 1 4 [log25(25+1)· 91 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 (25-1)]2= 1 4log25 (252-1)<1,所以c<b。 综上可得,b>c>a。应选D。 体验:本题考查了对数的运算、对数函数 的性质,以及基本不等式的应用。 方法4:数形结合法 例4 已知x,y,z 均为大于0的实数, 且2x=3y=log5z,则x,y,z的大小关系正确 的是( )。 A.x>y>z B.x>z>y C.z>x>y D.z>y>x 解:(方法1)根据题意可将所求问题转 化为函数y=2x,y=3x,y=log5x 与直线 y=t>1的交点的横坐标的关系。作出这几 个函数的图像,利用数形结合法求解。 已知x,y,z 均为大于0的实数,可令 2x=3y=log5z=t,t>1。 所求问题可转化为函数y=2x,y=3x, y=log5x 与直线y=t(t>1)的交点的横坐 标的关系。在平面直角坐标系中,作出这几 个函数的图像,如图1所示。 图1 由图可知,z>x>y。应选C。 (方法2)因为x,y,z 均为大于0的实 数,所以2x=3y=log5z>1,所以z>5。 设2x=3y=k(k>1),则x=log2x,y= log3k,所以 x-y=log2k-log3k= lgk lg2 - lgk lg3 = lgk(lg3-lg2) lg2lg3 >0,所以x>y。 因为k>1,log2k<2k<5k,所以x<z。 同理可得y<z。所以z>x>y,应选C。 体验:已知函数值相等,要确定对应的自 变量的大小关系,可转化为平行与x 轴的直 线与所对应函数图像的交点的横坐标的大小 关系,因此作出函数图像即可得到自变量的 大小关系,凸显数形结合法的具体应用。 1.已知函数f(x)=2x+x-1,g(x)= log2x+x-1,h(x)=x3+x-1的零点分别 为a,b,c,则a,b,c的大小关系为( )。 A.c>b>a B.b>c>a C.c>a>b D.a>c>b 提示:令f(x)=0,则2x+x-1=0,可 得x=0,即a=0。令g(x)=0,则log2x+ x-1=0,可得x=1,即b=1。因为函数 h(x)=x3+x-1在 R上为增函数,且h(0) =-1<0,h(1)=1>0,所以h(x)在区间(0, 1)上存在唯一零点c,且c∈(0,1)。综上可 得,b>c>a。应选B。 2.(多选题)若logab>1,则下列不等式 一定成立的是( )。 A.a>b B.ab<a+b-1 C.a+ 1 b>b+ 1 a D.a- 1 b<b- 1 a 提示:因为logab>1,所以logab>loga 。 当0<a<1时,可得0<b<a<1;当a>1 时,可得1<a<b。所以(a-1)(b-1)<0, 即ab<a+b-1,A错误,B正确。当a=2, b=3时,满足logab>1,且a+ 1 b<b+ 1 a ,C 错误。函数y=x+ 1 x 在(0,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增,当0<a<1时,0< b<a<1,当a>1时,1<a<b,结合对钩函 数的单调性都有a+ 1 a<b+ 1 b ,即a- 1 b< b- 1 a ,D正确。应选BD。 3.已知a=ln5,b=log35,c=5-0.3,则 a,b,c的大小关系为( )。 A.b<c<a B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c 提示:因为1<e<3,所以0<log3e<1。 又因为a=ln5= log35 log3e >b=log35>1,c= 5-0.3<1,所以c<b<a。应选C。 作者单位:陕西省榆林市第一中学 (责任编辑 郭正华) 02 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月