07 指数函数的单调性的“六应用”&08 指数函数创设，复合函数应用-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■胡 磊 学习函数的目的之一,就是利用函数的 性质解决有关问题。 应用一:根据单调性求参数的范围 例1 设a∈R,若f(x)=(a-1)x 为指 数函数,且f(2)>f(3),则实数a 的取值范 围是 。 解:因为f(x)=(a-1)x 为指数函数, 且f(2)>f(3),所以f(x)在 R 上单调递 减,所以0<a-1<1,解得1<a<2。 点评:本题主要考查指数函数的性质。 应用二:利用单调性比较大小 例2 设a,b∈R,且2a-b>2b-a,则a 与b的大小关系为 。 解:令函数f(x)=x+2x,则函数f(x) 在R上单调递增。若2a-b>2b-a,则a+ 2a>2b+b,即f(a)>f(b),所以a>b。 点评:根据已知条件,构造新函数f(x) =x+2x 是解题的关键。 应用三:利用单调性求函数的定义域 例3 求函数y= 2x-1-8的定义域。 解:由题意得2x-1-8≥0,即2x-1≥23。 因为函数y=2x 在 R上单调递增,所以x- 1≥3,即x≥4,所以此函数的定义域为[4, +∞)。 点评:这种解法体现了指数函数单调性 的逆向应用。 应用四:利用单调性求函数的值域 例4 求函数y= 1 2 x2-6x+5 的值域。 解:令t=x2-6x+5=(x-3)2-4,则 t≥-4。由y= 1 2 t ,可得0<y≤ 1 2 -4 = 16,所以y= 1 2 x2-6x+5 的值域为(0,16]。 点评:换元法主要用于求指数函数的复 合函数的值域问题。 应用五:利用单调性解不等式 例5 若指数函数y=f(x)的图像经过 点(-2,4),则不等式f(2x-1)≤ 1 2 1-3x 的解集是 。 解:由题意设函数f(x)=ax(a>0且 a≠1)。因为y=f(x)的图像经过点(-2, 4),所以a-2=4,解得a= 1 2 ,所以函数f(x) = 12 x 。由 f(2x-1)≤ 1 2 1-3x ,可 得 1 2 2x-1 ≤ 12 1-3x 。因为函数y= 1 2 x 在 R上单调递减,所以2x-1≥1-3x,解得 x≥ 2 5 ,所以不等式的解集为 x x≥ 2 5 。 点评:由指数函数的单调性,转化为关于 x 的不等式是解题的关键。 应用六:利用单调性求恒成立问题 例6 已知函数f(x)=b·ax(其中a,b 为常数,a>0且a≠1)的图像经过点A(1, 6),B(2,18)。若不等式 2a x + 1b x -m≥ 0在x∈(-∞,1]上恒成立,则实数 m 的最 大值为 。 解:由函数f(x)=b·ax 的图像经过点 A(1,6),B(2,18),可得 b·a=6, a2·b=18, 解得 a=3, b=2。 所以不等式 23 x + 12 x ≥m 在x∈ (-∞,1]上恒成立。因为函数y= 2 3 x + 1 2 x 是减函数,当x=1时,y 取得最小值为 1 2+ 2 3= 7 6 ,所以实数m 的最大值为 7 6 。 点评:对于含参数的指数型不等式恒成 立问题,可利用变量分离法求解。 作者单位:山东平邑一中西校 (责任编辑 郭正华) 21 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 ■于 磊 复合函数的应用,是基于基本初等函数 及函数的基本性质的一个综合应用,是高中 数学的一个知识交汇点,也是函数模块的一 个难点,成为每年高考试卷中的一个基本考 点。依托指数函数的场景创设,融入复合函 数的综合应用,是复合函数应用的一个重要 类型。 一、复合函数的值域问题 利用复合函数“由内到外”分别确定内层 函数的值域,即为外层函数的定义域,再利用 指数函数的单调性,求出复合函数的值域。 需要注意的是函数定义域的限制条件与隐含 条件。 例1 函数f(x)=21-x 2 的值域为 。 解:设u=1-x2,则u=-x2+1≤1,所 以函数f(x)等价于函数g(u)=2u。 由指数函数g(u)=2u 是 R 上的增函 数,结合u≤1,可得0<g(u)≤g(1)=2,所 以函数f(x)的值域为(0,2]。 点评:涉及指数函数的复合函数的值域 问题,抓住内层函数的值域,通过“由内到外” 的过渡与分析,确定外层函数的定义域,结合 指数函数的单调性求出复合函数的值域。 二、复合函数的单调性问题 复合函数的单调性问题,先把函数合理 分解成y=f(u),u=φ(x),在函数定义域 内,确定外层函数f(u)和内层函数φ(x)的 单调性,借助“同(单调性相同)增异(单调性 不 同)减”的 法 则,求 出 复 合 函 数 y = f[φ(x)]的单调性。 例2 试判断函数f(x)= 1 3 x2-2x 在 区间[-1,2]上的单调性,并求该函数的值 域。 解:令函数u=x2-2x,则函数f(x)等 价于函数y= 1 3 u 。 由函数u=x2-2x=(x-1)2-1在区 间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调 递增,而指数函数y= 1 3 u 在(-∞,+∞) 上单调递减,结合复合函数的单调性,可知函 数f(x)= 1 3 x2-2x 在区间[-1,1]上是增函 数,在区间[1,2]上是减函数。 因为函数u=x2-2x=(x-1)2-1, x∈[-1,2]的最小值,最大值分别为umin= -1,umax=3,所以函数f(x)的最大值,最小 值分别为f(1)= 1 3 -1 =3,f(-1)= 1 3 3 = 1 27 。 故函数f(x)的值域为 1 27 ,3 。 点评:确定指数型函数y=af(x)(a>0, 且a≠1)的单调性的两个关键点:一是判断 底数a>1还是0<a<1;二是判断f(x)的 单调性。函数y=af(x)的单调性是由两个函 数y=au 和u=f(x)复合而成的。 三、复合函数的参数问题 复合函数的参数问题,结合内层函数与 外层函数在同一给定区间上函数单调性的一 致性,确定参数的最值或取值范围。 例3 已知函数f(x)=2|x-a|(a 为常 数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a的取值范围是 。 解:已 知 函 数 f (x)= 2|x-a| = 2x-a,x≥a, 2-x+a,x<a, 当x≥a 时,函数f(x)为增函 数,而已知函数f(x)在区间[1,+∞)上为增 函数,所以a≤1。 故a的取值范围为(-∞,1]。 点评:指数函数的复合函数的参数问题, 利用内、外层函数在同一给定区间上函数单 31 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 调性的一致性,结合集合之间的包含关系,巧 妙构建含参数的不等式(组),即可确定参数 的最值或取值范围。 四、复合函数的不等式问题 复合函数的不等式问题,利用函数与不 等式之间的联系,借助指数函数的单调性与 取值情况,结合不等式的应用进行求解。 例4 已知 x∈(-∞,-1],不等式 (m2-m)·4x-2x<0恒成立,则实数m 的 取值范围是 。 解:结合参变分离,原不等式等价变形为 m2-m< 12 x 恒成立。 因为指数函数y= 1 2 x 在(-∞,-1] 上单调递减,所以 1 2 x ≥ 12 -1 =2,所以当 x∈(-∞,-1]时,m2-m< 12 x 恒成立等 价于m2-m<2恒成立。 由m2-m<2,解得-1<m<2,所以实 数m 的取值范围是(-1,2)。 点评:复合函数的不等式问题,特别是涉 及含参数的不等式问题,利用参变分离,结合 等价转化是解决问题的关键。抓住指数函数 的单调性,确定对应的值域或最值,可以为问 题中不等式的求解奠定基础。 五、复合函数的综合问题 复合函数的综合问题,往往基于函数的 定义域、值域,以及函数的基本性质的交汇, 利用题设条件之间的联系,结合复合函数的 基本性质进行求解。 例5 若函数f(x)= 1 3 ax2+2x+3 的值 域是 0, 1 9 ,则函数f(x)的单调递增区间是 。 解:令函数u=ax2+2x+3。因为f(x) 的值域是 0, 1 9 ,而指数函数y= 13 u 在 (-∞,+∞)上单调递减,所以函数u的值域 是[2,+∞)。 结合二次函数u=ax2+2x+3的图像 与性质得 a>0, 12a-4 4a =2 , 解得a=1,这时函数 u=x2+2x+3,即函数f(x)= 1 3 x2+2x+3 。 由函数u=x2+2x+3的单调递减区间 是(-∞,-1],结合复合函数的单调性,可知 f(x)的单调递增区间是(-∞,-1]。 点评:指数函数的复合函数的综合问题, 依托外层函数的值域,以及外层函数的单调 性,确定内层函数的值域,再结合二次函数的 图像与性质进行分析与求解。 1.求满足下列条件的 x 的取值范围: a-5x>ax+7(a>0,且a≠1)。 提示:当a>1时,由a-5x>ax+7,结合指 数函数y=ax 是定义域上的增函数,可得 -5x>x+7,解得x<- 7 6 ;当0<a<1时, 由a-5x>ax+7,结合指数函数y=ax 是定义 域上的减函数,可得-5x<x+7,解得x> - 7 6 。综上所述,当a>1时,x 的取值范围 是 -∞,- 7 6 ;当0<a<1时,x 的取值范 围是 - 7 6 ,+∞ 。 2.已知函数f(x)=2ax 2-x+1 的值域为 M,若(1,+∞)⊆M,则实数a的取值范围是 。 提示:当a=0时,函数f(x)=2-x+1∈ (0,+∞),符合题意。当a≠0时,函数f(x) =2ax 2-x+1 的值域为 M,满足(1,+∞)⊆M, 由指数函数的单调性知二次函数y=ax2-x +1的最小值小于或等于零。当a>0时,依 题意得y=ax2-x+1的最小值 4a-1 4a ≤0 , 解得0<a≤ 1 4 ,当a<0时,不符合题意。综 上可得,0≤a≤ 1 4 。 作者单位:徐州市郑集高级中学城区校区 (责任编辑 郭正华) 41 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月