05 例析指数函数单调性的应用&06 融入对数函数场景，依托复合函数应用-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■谭 尧 指数函数y=ax(a>0且a≠1)是基本 的初等函数,是高考的必考内容,其单调性应 用广泛。 一、比较大小 例1 设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6, 则a,b,c的大小关系是( )。 A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a 解:因为1.50.6>1.50=1,0.60.6<0.60= 1,所以1.50.6>0.60.6,即c>a。又y=0.6x 在 R上是减函数,且1.5>0.6,所以0.61.5< 0.60.6,即a>b,所以b<a<c。应选C。 评注:比较指数式大小的方法:先化成同底 数幂,再利用单调性比较大小;若不能化成同底 数幂,则一般引入“0,1”等中间量比较大小。 二、解不等式 例2 求不等式10x-6x-3x≥1的解集。 解:由10x-6x-3x≥1,可得 110 x + 6 10 x + 310 x ≤1。令函数f(x)= 1 10 x + 6 10 x + 310 x ,则f(x)在 R上单调递减,且 f(1)=1,所以f(x)≤f(1),所以x≥1,即 不等式10x-6x-3x≥1的解集为[1,+∞)。 评注:增函数+增函数是增函数,减函数 +减函数是减函数;增函数-减函数是增函 数;减函数-增函数是减函数。 三、求最值 例3 函数y= 3x-1 3x+1 在[-1,1]上的值 域是 。 解:函 数 y= 3x-1 3x+1 = 3x+1-2 3x+1 =1- 2 3x+1 。因为y=3x 在[-1,1]上单调递增, 所以 1 3≤3 x≤3,所以 1 4≤ 1 3x+1 ≤ 3 4 ,所以 - 1 2≤1- 2 3x+1 ≤ 1 2 ,所以函数y= 3x-1 3x+1 在 [-1,1]上的值域是 - 1 2 ,1 2 。 评注:分离常数法适用于分式形式的函 数求值域。 四、求参数的值 例4 已知f(x)= ex-a ex+a 是奇函数,若 f(2023)>f(2024),则实数a的值为 。 解:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)= 1-aex 1+aex =-f(x)= a-ex ex+a ,整理得(1-a2)ex =0,解得a=±1。因为f(x)= ex-a ex+a =1- 2a ex+a ,所以当a>0时,f(x)为增函数,当 a<0时,f(x)为减函数。又 f(2023)> f(2024),所以a<0,故a=-1。 评注:判断函数的奇偶性,先看定义域是 否关于原点对称,再看表达式f(-x)是否等 于f(x)或-f(x)。 五、求参数的范围 例5 已知定义在 R上的偶函数f(x) 满足:当x≥0时,f(x)=2x,且f(x+1)≤ af(2-x)对一切x∈R恒成立,则实数a 的 取值范围为 。 解:由题意知函数f(x)= 2x,x≥0, 2-x,x<0。 当 -1≤x≤2时,由x+1≥0,2-x≥0,可得 2x+1≤a·22-x,即a≥22x-1,由-1≤x≤2,可 得a≥(22x-1)max=8。当x>2时,由x+1> 0,2-x<0,可得2x+1≤a·2-2+x,即a≥23= 8。当x<-1时,由x+1<0,2-x>0,可得 2-x-1≤a·22-x,即a≥2-3= 1 8 。综上可得, 实数a的取值范围为[8,+∞)。 评注:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max; a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min。 作者单位:湖北省巴东县第三高级中学 (责任编辑 郭正华) 9 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 ■陈 铤 融入对数函数的场景创设,依托复合函 数的综合应用,是复合函数应用中最为特殊 的一种类型。利用对数函数的概念与基本性 质,巧妙融合其他相关的基本初等函数,进行 合理变形与巧妙转化,即可实现问题的顺利 获解。 一、函数的单调性问题 涉及复合函数的单调性问题,可利用函 数定义域优先的原则,合理分解相应的外层 函数y=f(u)与内层函数u=φ(x),在函数 定义域范围内确定各自的单调性,借助“同 (单调性相同)增异(单调性不同)减”来判断 复合函数y=f[φ(x)]的单调性。 例1 已知函数y=log0.5(1-x2),求该 函数的单调区间,并求函数的最小值。 解:要使y=log0.5(1-x2)有意义,需满 足1-x2>0,整理得x2<1,解得-1<x<1, 所以函数的定义域为(-1,1)。 令u=1-x2,x∈(-1,1),当x∈(-1, 0]时,x 增大,u 增大,y=log0.5u 减小,所以 当x∈(-1,0]时,y=log0.5(1-x2)是减函 数。同理可得,当x∈[0,1)时,y=log0.5(1 -x2)是增函数。 所以函数y=log0.5(1-x2)的单调减区 间为(-1,0],单调增区间为[0,1),且函数的 最小值ymin=log0.5(1-02)=0。 点评:求形如y=logaf(x)(a>0,且 a≠1)的复合函数的单调区间的三个基本步 骤:先求出函数的定义域;研究内层函数u= f(x)和外层函数y=logau 在定义域上的单 调性;利用“同增异减”的法则判断函数的增 减性,即可求出函数的单调区间。需要注意 的是,当对数函数的底数不确定时,要注意对 底数进行分类讨论。 二、函数的值域问题 涉及复合函数的值域问题,通过分解内、 外层函数,先求出内层函数的定义域与值域, 再结合内、外层函数的单调性,确定复合函数 的单调性,最后求出复合函数的值域(或最 值)。 例2 函数f(x)=log0.5(3+2x-x2)的 值域为 。 解:设函数u=3+2x-x2,则u=-(x -1)2+4≤4。 由对数函数的概念可知,u>0,所以函数 u的值域为0<u≤4,即u∈(0,4]。 由对数函数的单调性可知,y=log0.5u 在(0,4]上单调递减,所以log0.5u≥log0.54= -2,所以函数y=log0.5(3+2x-x2)的值域 为[-2,+∞)。 点评:求形如y=logaf(x)(a>0,且 a≠1)的复合函数的值域(或最值)问题的四 个步骤:合理分解外层函数y=logau,内层函 数u=f(x);求出函数f(x)的定义域;确定 函数u的取值范围;利用复合函数y=logau 的单调性求出值域(或最值)。 三、不等式的求解问题 涉及复合函数的不等式问题,要遵循“定 义域优先”的原则,在对数函数的定义域的限 制下,结合复合函数的单调性,构建对应的不 等式即可求解。 例3 不 等 式log0.5(x2-3x-4)> log0.5(2x+10)的解集为 。 解:由 不 等 式log0.5(x2 -3x-4)> log0.5(2x+10),结合对数函数的定义与单调 性得 x2-3x-4>0, 2x+10>0, x2-3x-4<2x+10, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解此不等式组得 x<-1或x>4, x>-5, -2<x<7, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以-2<x<-1或4< x<7,所以所求不等式的解集为(-2,-1)∪ 01 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 (4,7)。 点评:求形如logaf(x)>logag(x)(a> 0,且a≠1)的复合函数的不等式问题的三个 基本步骤:先确定函数的定义域f(x)>0且 g(x)>0;结合对数函数y=logau 的单调性 建立关于f(x)与g(x)的不等式;联立不等 式求出解集。 四、参数的应用问题 涉及复合函数的参数应用问题,结合复 合函数的单调性与最值(或值域),可实现参 数的最值(或取值范围)的确定。 例4 已知函数 f(x)=loga 1 2x 2- ax (a>0,a≠1)在[1,2]上为减函数,则实 数a的取值范围为 。 解:令函数u(x)= 1 2x 2-ax,则u(x) = 1 2x 2-ax 的图像的对称轴为直线x=a。 已知函数f(x)=loga 1 2x 2-ax (a> 0,a≠1)在[1,2]上为减函数,当a>1时,需 满足 a≥2, 1 2×2 2-a×2>0, 此 时 无 解;当0< a<1时,需满足 a≤1, 1 2×1 2-a×1>0, 解得0< a< 1 2 。 综上可知,实数a的取值范围是 0, 1 2 。 点评:解决含参数的复合函数应用问题, 需要确保内、外层函数在同一区间上的基本 性质一致性的基础上,结合函数的单调性,合 理构建含参数的不等式(组),实现参数问题 的巧妙转化与合理解决。 五、综合应用问题 涉及复合函数的综合应用问题,可利用 函数的基本性质,结合复合函数的构成,实现 综合问题的顺利解决。 例5 已知a>0,a≠1,且函数g(x)= alg(x 2-2x+3)有最大值,求函数f(x)=loga(3- 2x)的单调区间。 解:设u(x)=x2-2x+3=(x-1)2+ 2,当x∈R时,u(x)有最小值2,即u(x)= x2-2x+3≥2,所以函数g(x)=lg(x2-2x +3)的最小值为lg2。 若a>1,则g(x)≥alg2,此时函数有最 小值,不满足条件;若0<a<1,则g(x)≤ alg2,此时函数有最大值,满足条件。 易得函数f(x)=loga(3-2x)的定义域 为 -∞, 3 2 。设函数v(x)=3-2x,x∈ -∞, 3 2 ,则函数f(x)=logav(x)。 因为v(x)=3-2x 在 -∞, 3 2 上是减 函数,所以f(x)=logav(x)在 -∞, 3 2 上 是增函数,所以函数f(x)=loga(3-2x)的 单调增区间为 -∞, 3 2 。 点评:解决复合函数的综合应用问题,要 抓住题设中函数的基本性质,构建条件与结 论之间的“桥梁”,巧妙过渡,合理转化,为解 决综合应用问题提供条件。 已知函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1) 在区间[-1,1]上的最大值是7,则a= 。 提示:设t=ax,x∈[-1,1]。若a>1, 则t∈ 1a ,a 。函数y=a2x+2ax-1=t2+ 2t-1=(t+1)2-2的对称轴为t=-1,当 t=a,即x=1时,ymax=(a+1)2-2=7,解 得a=2或a=-4(舍去);当0<a<1时, t∈ a, 1 a ,函数y=a2x+2ax-1=t2+2t- 1=(t+1)2-2的对称轴为t=-1,当t= 1 a ,即x=-1时,ymax= 1 a+1 2 -2=7,解 得a= 1 2 或a=- 1 4 (舍去)。综上可得,a= 2或a= 1 2 。 作者单位:江苏省启东中学 (责任编辑 郭正华) 11 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月