03 例析与对数函数有关的值域问题&04 对数换底公式的灵活应用-《中学生数理化》高一数学2024年11月刊

■王玉林 求与对数函数有关的值域的题型较多, 一般有定区间问题、动区间问题、分段函数问 题和嵌套函数问题等。 题型1:函数在R上的最值问题 例1 函数f(x)=log2(4x+1)-x 的 最小值为 。 解:f(x)=log2(4x+1)-x=log2(4x+ 1)-log2 x=log2 4x+1 2x 。令t= 4x+1 2x ,则 t=2x+ 1 2x ≥2,当且仅当x=0时取等号,所 以log2 4x+1 2x ≥log2 =1,所以函数f(x)的 最小值为1。 评注:先换元求出t的取值范围,再利用 对数函数的单调性求最小值。 题型2:函数在[a,+∞)上的最值问题 例2 求函数y= 1-lgx 1+lgx (x≥1)的值域。 解:分离常数得y=-1+ 2 1+lgx 。因为 x≥1,lgx+1≥1,0< 2 lgx+1≤2 ,所以y∈ (-1,1],即所求函数的值域是(-1,1]。 评注:先分离常数,再利用对数函数的性 质求值域。 题型3:函数在(-∞,a]上的最值问题 例3 函数f(x)=log1 2 (16-x),x∈ (-∞,8]的值域为 。 解:因为f(x)=log1 2 (16-x),所以16 -x>0,即x<16。由复合函数的单调性知 函数f(x)=log1 2 (16-x)在(-∞,8]上单 调递增,所以f(x)max=log1 2 8=-3,所以 f(x)≤-3,即所求函数的值域为(-∞,-3]。 评注:函数问题要优先考虑定义域,复合 函数的单调性,要遵循“同增异减”的法则。 题型4:函数在动区间上的最值问题 例4 已知实数a满足0<a<1,则函数 y=logax 在[a3,a2]上的最大值是 。 解:由0<a<1,可得函数y=logax 在 [a3,a2]上为减函数,所以ymax=loga 3=3。 评注:求函数在动区间上的最值,需要确 定函数在该区间上的单调性,若函数在该区 间上不具有单调性,则需要分类讨论。 题型5:分段函数的最值问题 例 5 设 函 数 f (x ) = -x2-x,x<0, log1 2 (x2+2),x≥0, 则函数f(x)的最大值 为 。 解:当x<0时,函数f(x)=-x2-x= - x+ 1 2 2 + 1 4 ,则 f(x)max=f - 1 2 = 1 4 ;当x≥0时,函数f(x)=log1 2 (x2+2),由 x2+2≥2,可 得log1 2 (x2+2)≤ -1,则 f(x)max=f(0)=-1。综上可得,f(x)max= f - 1 2 =14。 评注:分段函数应注意各段中自变量的 取值范围。 题型6:嵌套函数的最值问题 例6 若f(x)=2-lnx(1≤x≤e4,e为 自然对数),则函数y=[f(x)]2+f(x2)的 最小值为 。 解:由题意得 1≤x≤e4, 1≤x2≤e4, 所以1≤x≤ e2,则lnx∈[0,2]。设t=lnx,t∈[0,2],所 以y=[f(x)]2+f(x2)=(2-lnx)2+2- lnx2=ln2x-6lnx+6=t2-6t+6。因为 y=t2-6t+6=(t-3)2-3,而t∈[0,2],所 以当t=2时,可得ymin=-2,所以函数y= [f(x)]2+f(x2)的最小值为-2。 评注:嵌套函数是指在一个函数内部定 义的另一个函数。 作者单位:湖北省恩施市第三高级中学 (责任编辑 郭正华) 6 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 ■闫佳慧 对数换底公式是对数中一个非常重要的 运算公式,其目的是完成不同底数的对数之 间的化归与转化。对数换底公式,可正向应 用、逆向应用,还可以变形应用。对数换底公 式应用的关键是恰当选择底数,换底的目的 是利用对数的运算性质进行对数的化简。 一、落实化简求值 例1 计算:ln2e2+log37·log781-ln2 -log2 2-log2 8= 。 分析:求解涉及不同底数的对数式的运 算问题,可结合题中已有的自然对数进行换 底处理。 解:原式=ln2+lne2+ ln7 ln3 ·ln3 4 ln7-ln2 -log2 1 2-log2 3 2=ln2+2+4-ln2- 1 2- 3 2=4 。 点评:利用换底公式进行代数式的化简 与求值的关键是寻找题中已有的底数,或利 用常用对数、自然对数的底数进行同底化处 理。 二、体会参数确定 例2 已知3x=6y=M,且 x+2y xy =1,则 M 的值是 。 分析:利用分式的结构特征,借助换底公 式进行变形与转化,再利用对数的运算法则, 确定参数的值。 解:由3x=6y=M,结合指数式化对数式 得x=log3M,y=log6M。 由 x+2y xy =1,整理得 1 y + 2 x=1 ,所以 1 log6M + 2 log3M =1。 借助换底公式得logM6+2logM3=1,所 以logM(6×32)=1,所以logM54=1,可得 M=54。 点评:求解对数的综合问题的三种基本 方法:统一法,把已知条件转化为对数式;选 底数法,针对具体问题,选择恰当的底数;结 合法,换底公式与对数运算法则结合应用。 三、关注等式证明 例3 已知x,y,z 为正数,3x=4y=6z, 2x=py。 (1)求p 的值。 (2)证明: 1 z- 1 x= 1 2y 。 分析:化指数式为对数式,利用题设中的 关系式进行替换,通过换底公式进行变形与 转化,实现求值的目的;通过替换处理,结合 对数式的变形与换底公式,逆向替换实现等 式的证明。 解:(1)设3x=4y=6z=k(显然k>0且 k≠1),则x=log3k,y=log4k,z=log6k。 由2x=py,可得2log3k=plog4k=p· log3k log34 。 结合题设知log3k≠0,所以p=2log34= 4log32。 (2)由题意得 1 z- 1 x= 1 log6k - 1 log3k = logk6-logk3=logk2= 1 2logk4= 1 2log4k = 1 2y , 所以原式成立。 点评:涉及指数的连等式的求值问题的 三个基本步骤:令连等式等于k(k>0),将指 数式用对数式表示;由换底公式,将指数的倒 数化为同底的对数;利用对数的运算性质进 行化简与求值。 四、注重实践应用 例4 如图1所示,2000年我国国内生 产总值(GDP)为89442亿 元。如 果 我 国 GDP年均增长7.8%,那么按照这个增长速 度,在2000年的基础上,经过多少年以后,我 国GDP就能实现比2000年翻两番的目标? 7 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月 (结果取整数年,参考数据:lg2≈0.301, lg1.078≈0.0326) 图1 分析:设我国实现 GDP比2000年翻两 番的目标所经过的年数为x。由题意构建方 程,利用代数式的变形与转化,化指数式为对 数式,结合换底公式进行求解。 解:设经过x 年以后,我国实现GDP比 2000年翻两番的目标。 由题意得89442×(1+7.8%)x=89442 ×22,化简得1.078x=4,所以x=log1.0784= lg4 lg1.078 = 2lg2 lg1.078 ≈18.5。故约经过19年 以后,我国GDP就能实现比2000年翻两番 的目标。 点评:解决实际应用问题的关键是正确 阅读并理解问题场景,构建相应的数学模型, 借助数学模型达到求解的目的。在具体求解 过程中,通过指数式与对数式的相互转化,借 助换底公式的应用,为实际应用中的判断与 求解提供数据支持。 五、体察数学文化 例5 1614年纳皮尔在研究天文学的过 程中,为了简化计算而发明对数;1637年笛 卡儿开始使用指数运算;1707年欧拉发现了 指数与对数的互逆关系。对数源于指数,对 数的发明先于指数,这已成为历史珍闻。若 ex=2.5,lg2=0.301,lge=0.4343,根据指 数与对数的关系,估计x 的值约为( )。 A.0.4961 B.0.6941 C.0.9164 D.1.469 分析:以指数式与对数式的互逆关系,化 指数式为对数式,结合换底公式、对数运算法 则合理变形与转化,即可确定参数的值。 解:因为ex=2.5,所以 x=ln2.5= lg2.5 lge = lg 5 2 lge = lg5-lg2 lge = 1-2lg2 lge ≈ 0.9164。应选C。 点评:涉及数学文化的应用问题,认真阅 读并理解其中的文化内涵与实质,可以为问 题的进一步求解开拓空间。本题中的数学文 化背景,提供了指数式与对数式之间的互逆 关系,为问题的求解指明了方向。 六、开拓创新发展 例6 在数学中连乘符号是“∏”,这个 符号就是连续求积的意思,把满足“∏”这个 符号下面条件的所有项都乘起来,例如:∏ n i=1 i =1×2×3×…×n。函数f(n)=log(n+1)(n +2)(n∈N*),定义使∏ k i=1 f(i)为整数的数k (k∈N*)叫作“企盼数”,则在区间[1,2023] 内,这样的“企盼数”共有的个数为 。 分析:理解“连续求积”的创新符号与“企 盼数”的概念,合理构建新函数,结合对数的 换底公式,合理化简函数表达式,利用参数的 取值限制,通过创新定义进行分析与求解。 解:借助换底公式得f(n)=log(n+1)(n+ 2)= lg(n+2) lg(n+1) 。 令函数g(k)=∏ k i=1 f(i)=f(1)·f(2)· f(3)·…·f(k),则g(k)= lg3 lg2 × lg4 lg3 × lg5 lg4 ×…× lg(k+2) lg(k+1)= lg(k+2) lg2 =log2(k+2)。 要使g(k)为“企盼数”,即log2(k+2)必 须为整数,需满足k+2=2n,n∈N*。 由k∈ [1,2023],即 (k+2)∈ [3, 2025],可得2n∈[3,2025]。 因为22=4,23=8,…,210=1024,211= 2048>2025,所以n=2,3,…,10,所以在区 间[1,2023]内,这样的“企盼数”共有的个数 为9。 点评:这里融入创新定义与对数中的换 底公式,以及指数、对数运算加以交汇,着重 考查创新思维能力,开拓创新发展。 作者单位:徐州市郑集高级中学城区校区 (责任编辑 郭正华) 8 知识结构与拓展 高一数学 2024年11月