专题17特殊的平行四边形-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（江苏专用）

专题17特殊的平行四边形 一、单选题 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 5．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（    ）    A． B． C． D． 6．（2023·江苏泰州·中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（    ）    A． B． C． D． 8．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 二、填空题 9．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ． 10．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是 ． 11．（2023·江苏无锡·中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为 ． 12．（2022·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是 ．    13．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ． 14．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为 ． 15．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 16．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 17．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为 ．    18．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．    19．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，，平分．若，，则 ． 20．（2022·江苏常州·中考真题）如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋 断裂（填“会”或“不会”，参考数据：）． 21．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ． 22．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 ． 三、解答题 23．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 24．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： (1)； (2)． 25．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．    26．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：． 27．（2022·江苏南京·中考真题）如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形．    28．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，已知线段和线段． (1)用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法） ①作线段的垂直平分线，交线段于点； ②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方． (2)当，时，求（1）中所作矩形的面积． 29．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． (1)求证：AF与DE互相平分； (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 30．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF． (1)求EF的长； (2)求sin∠CEF的值． 31．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 32．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值． 33．（2022·江苏南通·中考真题）【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，． 求作：菱形，使点C，D分别在上． 小明的作法： （1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D； （2）以B为圆心，长为半径画弧，交于点C； （3）连接． 四边形就是所求作的菱形， 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是菱形． 34．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 35．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； (2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 36．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 37．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边的中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”． (1)求证：中顶点四边形为平行四边形； (2)①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形； ②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 38．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．    (1)，，求函数的表达式及的面积； (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； (3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由． 39．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：． 【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_______．    40．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”． (1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）； (2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长； (3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值． 试卷第4页，共26页 12 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题17特殊的平行四边形 一、单选题 1．（2024·江苏南通·中考真题）如图，直线，矩形的顶点A在直线b上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，过点作，得到，推出，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去，由此解答即可． 【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是的正方形的周长加上边长是的正方形的两条边长再减去， 阴影图形的周长是：， 故选：A． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形中，，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边都相等，以及正确画出辅助线，构造直角三角形求解． 延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H，设，易得，则，进而得出，再得出，最后根据，即可解答． 【详解】解：延长，过点E作延长线的垂线，垂足为点H， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键． 连接，交于点，取中点，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出的轨迹，从而求出的最大值． 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 5．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，交于点，根据矩形的性质以及以点，为圆心，线段，长为半径画弧得到，，设，故，在中求出的值，从而得到，从而得到，即可求得答案． 【详解】解：设，交于点， 由题意得， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 故， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， ．    故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到是解题的关键． 6．（2023·江苏泰州·中考真题）菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积． 【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°， 连接，相交于点O，与交于点E，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形， ∴， ∴A，，C三点共线， ∴， 又∵， ∴，， ∵重叠部分的面积， ∴重叠部分的面积； ②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键． 7．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解． 【详解】解：连接、    ∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形． ∴， 则， 依题意，， ∴，则， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键． 8．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②AB=AD；③GE=DF；④OC=2OF；⑤△COF∽△CEG．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④ 【答案】B 【分析】由折叠的性质知∠FGE=90°，∠GEC=90°，点G为AD的中点，点E为AB的中点，设AD=BC=2a，AB=CD=2b，在Rt△CDG中，由勾股定理求得b=，然后利用勾股定理再求得DF=FO=，据此求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质知∠DGF=∠OGF，∠AGE=∠OGE， ∴∠FGE=∠OGF+∠OGE=(∠DGO+∠AGO) =90°， 同理∠GEC=90°， ∴∠FGE+∠GEC=180° ∴GF∥EC；故①正确； 根据折叠的性质知DG=GO，GA=GO， ∴DG=GO=GA，即点G为AD的中点， 同理可得点E为AB的中点， 设AD=BC=2a，AB=CD=2b，则DG=GO=GA=a，OC=BC=2a，AE=BE=OE=b， ∴GC=3a， 在Rt△CDG中，CG2=DG2+CD2， 即(3a)2=a2+(2b)2， ∴b=， ∴AB=2=AD，故②不正确； 设DF=FO=x，则FC=2b-x， 在Rt△COF中，CF2=OF2+OC2， 即(2b-x)2=x2+(2a)2， ∴x==，即DF=FO=， GE=a， ∴， ∴GE=DF；故③正确； ∴， ∴OC=2OF；故④正确； ∵∠FCO与∠GCE不一定相等， ∴△COF∽△CEG不成立，故⑤不正确； 综上，正确的有①③④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 二、填空题 9．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为，且有一个内角为，则该菱形的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解，过作于，结合可得答案． 【详解】解：如图，菱形的周长为， ∴， 过作于，而， ∴， 故答案为： 10．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到关于原点对称，即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的对角线相交于原点O， ∴， ∴关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点C的坐标是； 故答案为：． 11．（2023·江苏无锡·中考真题）若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意得出正三角形的边长为，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵侧面展开图是边长为的正方形， ∴底面周长为， ∵底面为正三角形， ∴正三角形的边长为 作， 是等边三角形，， ， 在直角中， ， ；    ∴该直三棱柱的表面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图的面积，等边三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2022·江苏南京·中考真题）在平面直角坐标系中，正方形如图所示，点的坐标，点的坐标是，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性质得到即可解答． 【详解】解：作轴，轴于点，与交于点， ∵点的坐标，点的坐标是， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故答案为．    【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，正确添加辅助线是解题的关键． 13．（2022·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝ ． 【答案】/ 【分析】由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．设BE=EF=x，则AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根据勾股定理，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：由折叠性质可得CF=BC=5，BE=EF， 由矩形性质有CD=AB=3，BC=AD=5， ∵∠D=90°， ∴， 所以， 所以 BE=EF=x，则AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中: ， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，在直角三角形AEF中运用勾股定理建立方程求解是关键． 14．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由旋转的性质可得由锐角三角函数可求从而得出由扇形面积公式即可求解． 【详解】解： ∵矩形中， 由旋转可知， ∵， ∴ ∴线段AB扫过的面积 故答案为： 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解此题的关键． 15．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 16．（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 17．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一张矩形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF．再将矩形纸片折叠，使点B落在BF上的点H处，折痕为AG．若点G恰好为线段BC最靠近点B的一个五等分点，，则BC的长为 ．    【答案】 【分析】本题考查矩形折叠，勾股定理，解直角三角形，设与交于点，，则：，勾股定理求出，等积法求出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵矩形， ∴， ∵翻折， ∴，， 设，则：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的解， ∴； 故答案为：．    18．（2023·江苏扬州·中考真题）如图，已知正方形的边长为1，点E、F分别在边上，将正方形沿着翻折，点B恰好落在边上的点处，如果四边形与四边形的面积比为3∶5，那么线段的长为 ．    【答案】 【分析】连接，过点作于点，设，则，则，根据已知条件，分别表示出，证明 ，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点，        ∵正方形的边长为1，四边形与四边形的面积比为3∶5， ∴， 设，则，则 ∴ 即 ∴ ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 又, ∴ ， ∴ 在中， 即 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19．（2022·江苏常州·中考真题）如图，在四边形中，，平分．若，，则 ． 【答案】 【分析】过点作的垂线交于，证明出四边形为矩形，为等腰三角形，由勾股定理算出，，即可求解． 【详解】解：过点作的垂线交于， ， 四边形为矩形， ， ， 平分， ， ， ， ∴∠CDB=∠CBD ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造直角三角形求解． 20．（2022·江苏常州·中考真题）如图，将一个边长为的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到时才会断裂．若，则橡皮筋 断裂（填“会”或“不会”，参考数据：）． 【答案】不会 【分析】设扭动后对角线的交点为，根据正方形的性质，得出扭动后的四边形为菱形，利用菱形的性质及条件，得出为等边三角形，利用勾股定理算出，从而得到，再比较即可判断． 【详解】解：设扭动后对角线的交点为，如下图： ， 根据正方形的性质得， 得出扭动后的四边形四边相等为菱形， cm， 为等边三角形， cm， cm， cm， 根据菱形的对角线的性质：(cm)， ， 不会断裂， 故答案为：不会． 【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定及性质、等边三角形、勾股定理，解题的关键是要掌握菱形的判定及性质． 21．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝ ． 【答案】1 【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可． 【详解】解：连接AG，EG，如图， ∵HG垂直平分AE， ∴AG=EG， ∵正方形ABCD的边长为8， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8， ∵点E是CD的中点， ∴CE=4， 设BG=x，则CG=8-x， 由勾股定理，得 EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2， ∴（8-x）2+42=82+x2， 解得：x=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键． 22．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为 ． 【答案】10 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形， ，， ， ， 为的中点， 中， ，， ， ， 四边形AECF的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 三、解答题 23．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 24．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）根据矩形的性质得出，再根据中点的定义得出，即可根据求证； （2）根据全等的性质得出，根据等边对等角即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴． 25．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，菱形的对角线相交于点为的中点，，．求的长及的值．    【答案】， 【分析】根据菱形的性质得出，中，勾股定理求得的长，根据正切的定义即可求解． 【详解】在菱形中，． ∵，∴． 在中，∵为中点， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，求正切，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，在矩形中，，，垂足分别为E、F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据定理证出，再根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ，， ， 在和中，， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 27．（2022·江苏南京·中考真题）如图，，平分，交于点，过点作，交于点，垂足为，连接，求证：四边形是菱形．    【答案】见解析 【分析】先证明四边形是平行四边形，再根据邻边，即可证明平行四边形是菱形． 【详解】解：证明：∵平分，， ∴，． ∴． ∴． 又∵于点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形．      【点睛】本题主要考查了菱形的判定，涉及平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 28．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，已知线段和线段． (1)用直尺和圆规按下列要求作图．（请保留作图痕迹，并标明相应的字母，不写作法） ①作线段的垂直平分线，交线段于点； ②以线段为对角线，作矩形，使得，并且点在线段的上方． (2)当，时，求（1）中所作矩形的面积． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)矩形的面积为 【分析】（1）①分别以点A，为圆心，以大于为半径画弧，两弧分别交于点，，作直线与线段交于点O，则所在直线为线段的垂直平分线； ②以点O为圆心，的长为半径画弧，再以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段上方交于点B，同理，以点O为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，两弧在线段下方交于点D，连接，即可得矩形． （2）根据矩形的性质可知道，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求出矩形的面积． 【详解】（1）解：①线段的垂直平分线，如图所示， ②如图，矩形ABCD即为所求． （2）解：如图所示， ∵在矩形中，，，， ∴在中，， ∴矩形的面积是， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查垂直平分线，矩形的性质，勾股定理，掌握垂直平分线，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 29．（2022·江苏泰州·中考真题）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． (1)求证：AF与DE互相平分； (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)AF=BC，理由见解析 【分析】（1）易知点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以线段DF与EF也为△ABC的中位线，由中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分，此题可证； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF=BC时，平行四边形ADFE为矩形． 【详解】（1）证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线， ∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴线段DF与EF也为△ABC的中位线， ∴DFAC，EFAB， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分． （2）解：当AF=BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下： ∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC， 由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若ADFE为矩形，则AF=DE， ∴当AF=BC时，四边形ADFE为矩形． 【点睛】此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识． 30．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，已知四边形ABCD为矩形，，点E在BC上，，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF． (1)求EF的长； (2)求sin∠CEF的值． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)先由可求得的长度，再由角度关系可得，即可求得的长; (2)过F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的长度，同时求出的长度，得出答案. 【详解】（1）设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠可知， ∴，， ∴， ∴， 在中，. （2）过F作FM⊥BC于M， ∴∠FME=∠FMC=90°， 设EM=a,则EC=3-a， 在中， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ . 【点睛】此题考查了锐角三角函数，勾股定理，矩形的性质，通过添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 31．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为E，AE与CD交于点F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由矩形与折叠的性质可得，，从而可得结论； （2）先证明，再求解， 结合对折的性质可得答案． 【详解】（1）证明：将矩形ABCD沿对角线AC折叠， 则，． 在△DAF和△ECF中， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵四边形ABCD是矩形， ∴． ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，熟练的运用轴对称的性质证明边与角的相等是解本题的关键． 32．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且． (1)求证：四边形为菱形； (2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据四边形为平行四边形的性质和证明四边形为平行四边形，再根据，即可得证； （2）先根据菱形对称性得，得到，进一步说明的最小值即为菱形的高，再利用三角函数即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 又∵点在的延长线上， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形． （2）解：如图，由菱形对称性得，点关于的对称点在上， ∴， 当、、共线时， ， 过点作，垂足为， ∵， ∴的最小值即为平行线间的距离的长， ∵是边长为2的等边三角形， ∴在中，，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了最值问题，考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角函数等知识，运用了转化的思想方法．将最值问题转化为求菱形的高是解答本题的关键． 33．（2022·江苏南通·中考真题）【阅读材料】 老师的问题： 已知：如图，． 求作：菱形，使点C，D分别在上． 小明的作法： （1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D； （2）以B为圆心，长为半径画弧，交于点C； （3）连接． 四边形就是所求作的菱形， 【解答问题】 请根据材料中的信息，证明四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】由作图可知AD＝AB＝BC，然后根据可得四边形ABCD是平行四边形，再由AD＝AB可得结论． 【详解】解：由作图可知AD＝AB＝BC， ∵，即， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形． 【点睛】本题考查了尺规作线段，平行四边形的判定，菱形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． 34．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在四边形中，，且，是的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论： 甲：若连接，则四边形是菱形； 乙：若连接，则是直角三角形． 请选择一名同学的结论给予证明． 【答案】见解析 【分析】选择甲：由，是的中点．得，从而得四边形是平行四边形，再根据，即可证明结论成立；选择乙：连接、，交于，分别证明四边形是平行四边形，四边形是菱形，得，，再根据平行线的性质及垂线定义即可得证． 【详解】证明：选择甲：如图1， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选择乙：如图，连接、，交于， ∵，是的中点． ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了菱形、平行四边形的判定及性质、垂线定义、平行线的性质，熟练掌握菱形、平行四边形的判定及性质是解题的关键． 35．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆可绕点A旋转，为液压可伸缩支撑杆，已知，，． (1)如图②，当活动杆处于水平状态时，求可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）； (2)如图③，当活动杆绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆的长度（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）过点C作，垂足为E，判断四边形为矩形，可求出，，然后在中，根据勾股定理求出即可； （2）过点D作，交的延长线于点F，交于点G．判断四边形为矩形，得出．在中，利用正切定义求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为E， 由题意可知，， 又， 四边形为矩形． ，， ，． ， ． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为； （2）解：过点D作，交的延长线于点F，交于点G． 由题意可知，四边形为矩形， ． 在中，， ． ， ， ，． ，， ，． 在中，． 即可伸缩支撑杆的长度为． 36．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形的面积为，求此时直线所夹锐角的度数． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，作，可证，可得，由此可证平行四边形是菱形； （2）作，根据面积的计算方法可得，结合菱形的性质可得，根据含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下， 如图所示，过点作于点，过点作于点， 根据题意，四边形，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵宽度相等，即，且， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图所示，过点作于点， 根据题意，， ∵， ∴， 由（1）可得四边形是菱形， ∴， 在中，， 即， ∴． 37．（2024·江苏盐城·中考真题）如图1，E、F、G、H分别是平行四边形各边的中点，连接交于点M，连接AG、CH交于点N，将四边形称为平行四边形的“中顶点四边形”． (1)求证：中顶点四边形为平行四边形； (2)①如图2，连接交于点O，可得M、N两点都在上，当平行四边形满足________时，中顶点四边形是菱形； ②如图3，已知矩形为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析． 【分析】题目主要考查平行四边形及菱形的判定和性质，三角形重心的性质，理解题意，熟练掌握三角形重心的性质是解题关键． （1）根据平行四边形的性质，线段的中点平分线段，推出四边形，四边形均为平行四边形，进而得到：，即可得证； （2）①根据菱形的性质结合图形即可得出结果； ②连接，作直线，交于点O，然后作，然后连接即可得出点M和N分别为的重心，据此作图即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E、F、G、H分别是各边的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）①当平行四边形满足时，中顶点四边形是菱形， 由（1）得四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴中顶点四边形是菱形， 故答案为：； ②如图所示，即为所求， 连接，作直线，交于点O，然后作（或作BM=MN=ND），然后连接即可， ∴点M和N分别为的重心，符合题意； 证明：矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形； 分别延长交四边于点E、F、G、H如图所示： ∵矩形， ∴，， 由作图得， ∴， ∴， ∴点F为的中点， 同理得：点E为的中点，点G为的中点，点H为的中点． 38．（2023·江苏泰州·中考真题）在平面直角坐标系中，点，的位置和函数、的图像如图所示．以为边在x轴上方作正方形，边与函数的图像相交于点E，边与函数、的图像分别相交于点G、H，一次函数的图像经过点E、G，与y轴相交于点P，连接．    (1)，，求函数的表达式及的面积； (2)当a、m在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由； (3)试判断直线与边的交点是否在函数的图像上？并说明理由． 【答案】(1)函数的表达式为，的面积为 (2)不变，理由见解析 (3)在，理由见解析 【分析】（1）由，，可得，，，，则，当，，则；当，，解得，则；当，，解得，则；待定系数法求一次函数的解析式为，当，，则，根据，计算求解即可； （2）求解过程同（1）； （3）设直线的解析式为，将，，代入得，，解得，即，当，，则直线与边的交点坐标为，当，，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，，， ∴， 当，，则； 当，，解得，则； 当，，解得，则； 设一次函数的解析式为， 将，，代入得，，解得， ∴， 当，，则， ∴； ∴函数的表达式为，的面积为； （2）解：的面积不变，理由如下： ∵，，，， ∴， 当，，则； 当，，解得，则； 当，，解得，则； 设一次函数的解析式为， 将，，代入得，，解得， ∴， 当，，则， ∴； ∴的面积不变； （3）解：直线与边的交点在函数的图像上，理由如下： 设直线的解析式为， 将，，代入得，，解得， ∴， 当，， ∴直线与边的交点坐标为， 当，， ∴直线与边的交点在函数的图像上． 【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数解析式，反比例函数解析式，交点坐标．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 39．（2023·江苏徐州·中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形中，若，由勾股定理，得，同理，故． 【探究发现】如图2，四边形为平行四边形，若，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由． 【拓展提升】如图3，已知为的一条中线，．求证：． 【尝试应用】如图4，在矩形中，若，点P在边上，则的最小值为_______．    【答案】探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用： 【分析】探究发现：作于点E，作交的延长线于点F，则，证明，，利用勾股定理进行计算即可得到答案； 拓展提升：延长到点C，使，证明四边形是平行四边形，由【探究发现】可知，，则，得到，即可得到结论； 尝试应用：由四边形是矩形，，得到，，设，，由勾股定理得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】探究发现：结论依然成立，理由如下： 作于点E，作交的延长线于点F，则，    ∵四边形为平行四边形，若， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 拓展提升：延长到点C，使，    ∵为的一条中线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴由【探究发现】可知，， ∴， ∴， ∴； 尝试应用：∵四边形是矩形，， ∴，， 设，则， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，的最小值是 故答案为： 【点睛】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键． 40．（2022·江苏常州·中考真题）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”． (1)正方形_______“等形点”（填“存在”或“不存在”）； (2)如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长； (3)在四边形中，EH//FG．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值． 【答案】(1)不存在，理由见详解 (2) (3)1 【分析】（1）根据“等形点”的概念，采用反证法即可判断； （2）过A点作AM⊥BC于点M，根据“等形点”的性质可得AB=CD=，OA=OC=5，OB=7=OD，设MO=a，则BM=BO-MO=7-a，在Rt△ABM和Rt△AOM中，利用勾股定理即可求出AM，则在Rt△AMC中利用勾股定理即可求出AC； （3）根据“等形点”的性质可得OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH，再根据，可得∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO，即有∠OEH=∠OHE，进而有OE=OH，可得OF=OG，则问题得解． 【详解】（1）不存在， 理由如下： 假设正方形ABCD存在“等形点”点O，即存在△OAB≌△OCD， ∵在正方形ABCD中，点O在边BC上， ∴∠ABO=90°， ∵△OAB≌△OCD， ∴∠ABO=∠CDO=90°， ∴CD⊥DO， ∵CD⊥BC， ∴， ∵O点在BC上， ∴DO与BC交于点O， ∴假设不成立， 故正方形不存在“等形点”； （2）如图，过A点作AM⊥BC于点M，如图， ∵O点是四边形ABCD的“等形点”， ∴△OAB≌△OCD， ∴AB=CD，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD， ∵，OA=5，BC=12， ∴AB=CD=，OA=OC=5， ∴OB=BC-OC=12-5=7=OD， ∵AM⊥BC， ∴∠AMO=90°=∠AMB， ∴设MO=a，则BM=BO-MO=7-a， ∴在Rt△ABM和Rt△AOM中，， ∴，即， 解得：，即， ∴MC=MO+OC=， ∴在Rt△AMC中，， 即AC的长为； （3）如图， ∵O点是四边形EFGH的“等形点”， ∴△OEF≌△OGH， ∴OF=OH，OE=OG，∠EOF=∠GOH， ∵， ∴∠EOF=∠OEH，∠GOH=∠EHO， ∴根据∠EOF=∠GOH有∠OEH=∠OHE， ∴OE=OH， ∵OF=OH，OE=OG， ∴OF=OG， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质、勾股定理、正方形的性质、平行的性质等知识，充分利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 试卷第4页，共26页 51 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$