专题15等腰三角形与直角三角形-【好题汇编】三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（江苏专用）

专题15等腰三角形与直角三角形 一、单选题 1．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 5．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 6．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 7．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．1或 D．1或2 9．（2023·江苏南京·中考真题）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．80 平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里 10．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 11．（2023·江苏无锡·中考真题）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（    ）    A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 12．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（    ）    A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 13．（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 二、填空题 14．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 15．（2023·江苏·中考真题）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是 ． 16．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ． 17．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      18．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    19．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则 ．（结果保留根号）    20．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ． 21．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 22．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 .      23．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 24．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 三、解答题 25．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 26．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： (1)； (2)． 27．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 28．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 29．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 30．（2022·江苏扬州·中考真题）如图1，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点． (1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由； ①点在线段的延长线上且； ②点在线段上且． (2)若． ①当时，求的长； ②直接写出运动过程中线段长度的最小值． 31．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 32．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2） 试卷第4页，共26页 8 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15等腰三角形与直角三角形 一、单选题 1．（2023·江苏南京·中考真题）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是（  ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，掌握相关知识是解题的关键．根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3， 等腰三角形的底长， 即等腰三角形的底长， 等腰三角形的周长， 故选：B． 2．（2023·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得． 【详解】解：等腰三角形有一个内角为， ∴这个等腰三角形的底角是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等． 3．（2023·江苏无锡·中考真题）如图，中，，将逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转可得，再结合旋转角即可求解． 【详解】解：由旋转性质可得：，， ∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了几何—旋转问题，掌握旋转的性质是关键． 4．（2024·江苏南通·中考真题）在中，，，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，当的长最小时，．请对两位同学的发现作出评判（    ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误 【答案】C 【分析】旋转得到，当点E落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法，连接，等边对等角，求出，进而求出，推出点在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而推出，判断小丽的说法即可． 【详解】解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴， 当点E落在边上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点，故小明的说法是正确的； 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， ∴当时，的长最小， ∴当的长最小时，， 又∵， ∴， ∴， ∴；故小丽的说法正确； 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质，根据题意，正确的作图，确定点的轨迹，是解题的关键． 5．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可． 【详解】∵，平分， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 6．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（    ） A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm 【答案】D 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当3是腰时， ∵3＋3＞5， ∴3，3，5能组成三角形， 此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm）， 当5是腰时， ∵3＋5＞5， 5，5，3能够组成三角形， 此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm）， 则三角形的周长为11cm或13cm． 故选：D 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 7．（2022·江苏苏州·中考真题）如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，根据将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，可得△ABC是等边三角形，又A（0，2），C（m，3），即得，可得，，从而，即可解得． 【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，如图所示： ∵CD⊥x轴，CE⊥y轴， ∴∠CDO=∠CEO=∠DOE＝90°， ∴四边形EODC是矩形， ∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC， ∵A（0，2），C（m，3）， ∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2， ∴AE＝OE−OA＝CD−OA＝1， ∴， 在Rt△BCD中，， 在Rt△AOB中，， ∵OB＋BD＝OD＝m， ∴， 化简变形得：3m4−22m2−25＝0， 解得：或（舍去）， ∴，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含m的代数式表示相关线段的长度． 8．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，为的中点．若点在边上，且，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．1或 D．1或2 【答案】D 【分析】根据题意易得，然后根据题意可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ①当点E为的中点时，如图，    ∴， ②当点E为的四等分点时，如图所示：    ∴， 综上所述：或2； 故选D． 【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握含30度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键． 9．（2023·江苏南京·中考真题）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．80 平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．过点作，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 在中，（里， 的面积（平方里）， 故选：C 10．（2024·江苏南通·中考真题）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． 11．（2023·江苏无锡·中考真题）如图中，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论：①若，与相交于，则点不一定是的重心；②若，则的最大值为；③若，则的长为；④若，则当时，取得最大值．其中正确的为（    ）    A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①有3种情况，分别画出图形，得出的重心，即可求解；当，时，取得最大值，进而根据已知数据，结合勾股定理，求得的长，即可求解；③如图5，若，，根据相似三角形的性质求得，，，进而求得，即可求解；④如图6，根据相似三角形的性质得出，在中，，根据二次函数的性质，即可求取得最大值时，． 【详解】①有3种情况，如图，和都是中线，点是重心； 如图，四边形是平行四边形，是中点，点是重心； 如图，点不是中点，所以点不是重心； ①正确    ②当，如图时最大，， ，，， ， ， ②错误；    ③如图5，若，， ∴，，，，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴③错误； ④如图6，， ∴， 即， 在中，， ∴， ∴， 当时，最大为5， ∴④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形重心的定义，勾股定理，相似三角形的性质，二次函数的性质，分类讨论，画出图形是解题的关键． 12．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有四个格点，下面四个结论中，正确的是（    ）    A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 【答案】B 【分析】根据各选项的要求，先作图，再利用平行四边形的判定与性质，垂线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：如图，连接，取与格线的交点，则，    而， ∴四边形不是平行四边形， ∴，不平行，故A不符合题意； 如图，取格点，连接，    由勾股定理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∴，故B符合题意； 如图，取格点，    根据网格图的特点可得：， 根据垂线的性质可得：，，都错误，故C，D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是垂线的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，熟记网格图形的特点与基本图形的性质是解本题的关键． 13．（2022·江苏南京·中考真题）直三棱柱的表面展开图如图所示，，，，四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱后，下列各点中，与点距离最大的是（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折叠成直三棱柱后，运用勾股定理计算比较大小即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵四边形是正方形，将其折叠成直三棱柱， ∴直棱柱的高， ∴，，，， ∵， ∴选B． 【点睛】本题考查了几何体的展开与折叠，勾股定理及其逆定理，熟练掌握展开图与折叠的意义是解题的关键． 二、填空题 14．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 15．（2023·江苏·中考真题）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是 ． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：三角形的底边长为 故答案为： 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形腰长相等． 16．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ． 【答案】6 【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3 ∴AB=AC 当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”； 当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6． 故答案为6． 【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 17．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 18．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键． 19．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，．过点作，延长到，使，连接．若，则 ．（结果保留根号）    【答案】/ 【分析】如图，过作，交的延长线于点，设，可得，证明，，为等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程组可得答案． 【详解】解：如图，过作，交的延长线于点，    设， ∵，， ∴， ∵， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：， 经检验不符合题意； ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 20．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF＝ °；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 ． 【答案】 80 / 【分析】利用SAS证明△BDC≌△AEC，得到∠DBC=∠EAC=20°，据此可求得∠BAF的度数；利用全等三角形的性质可求得∠AFB=60°，推出A、B、C、F四个点在同一个圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小，此时线段AF长度有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵△ABC和△DCE都是等边三角形， ∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°， 即∠DCB =∠ECA， 在△BCD和△ACE中，， ∴△ACE≌△BCD（ SAS）， ∴∠EAC=∠DBC， ∵∠DBC=20°， ∴∠EAC=20°， ∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°； 设BF与AC相交于点H，如图： ∵△ACE≌△BCD ∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC， ∴∠AFB=∠ACB=60°， ∴A、B、C、F四个点在同一个圆上， ∵点D在以C为圆心，3为半径的圆上，当BF是圆C的切线时，即当CD⊥BF时，∠FBC最大，则∠FBA最小， ∴此时线段AF长度有最小值， 在Rt△BCD中，BC=5，CD=3， ∴BD=4，即AE=4， ∴∠FDE=180°-90°-60°=30°， ∵∠AFB=60°， ∴∠FDE=∠FED=30°， ∴FD=FE， 过点F作FG⊥DE于点G， ∴DG=GE=， ∴FE=DF==， ∴AF=AE-FE=4-， 故答案为：80；4-． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 21．（2024·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，点是的中点，连接，将绕点旋转，得到．连接，当时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的性质的综合，掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质可得的值，作，根据平行线的性质可得是等腰直角三角形，可求出的长，在直角中，根据勾股定理可求出的长度，由此即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴在中，， ∵将绕点旋转得到， ∴， ∴，，， 如图所示，过于点， ∵∥， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 在中，， ∴， 当点D运动点F′时，此时， 同理可得，， ∴ 故答案为：或． 22．（2023·江苏盐城·中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为 .      【答案】 【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， 由旋转的性质得，， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴点的运动路径的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形． 23．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将矩形纸片沿边折叠，使点在边中点处．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．由矩形的性质推出，由线段中点定义得到，由折叠的性质得到：，设，由勾股定理得到，求出，得到的值． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是中点， ∴， 由折叠的性质得到：， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故答案为：． 三、解答题 25．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 （1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 2 图③ 1 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 （2）已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 （3）如图④，中，，点D在边上，．以点C为圆心，长为半径作弧与线段相交于点E，过点E作任意直线与边，分别交于M，N两点．请补全图形，并分析的值是否变化？ 【答案】（1）见解析； ，（2），证明见解析；（3）是定值 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别计算，再填表即可；再由可得结论； （2）如图，延长至使，连接，过作于，延长交于，证明为等边三角形，，，设，，利用相似三角形的性质求解，再进一步可得； （3）根据题目要求画图，设，运用等腰三角形性质和三角形内角和定理可求得，过点作于，于，过点作于，利用，即可求得答案． 【详解】解：（1）∵，是的角平分线，， ∴， ∴； ∴，； 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图① 1 2 4 4 图② 1 2 2 图③ 1 如图，由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴； （2）猜想：，理由如下： 如图，延长至使，连接，过作于，延长交于， ∵，平分， ∴为等边三角形，，， 设，， ∴，，而， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：， ∴； ， ∴； （3）补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由是确定的，由作图可得为定长，而和为定值， 为定值， 即为定值． 【点睛】本题属于实际探究题，考查了类比方法的应用，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的灵活应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在矩形中，是的中点，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角． （1）根据矩形的性质得出，再根据中点的定义得出，即可根据求证； （2）根据全等的性质得出，根据等边对等角即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴． 27．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，则与l的位置关系是________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定： （1）证明，得到，即可得证； （2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴． 28．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，分别以B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接，，，与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是： （1）直接利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，利用三线合一性质得出，，在中，利用正弦定义求出，即可求解． 【详解】（1）证明：由作图知：． 在和中， ． （2）解：，， ． 又， ，． ， ， ． 29．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明； （2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 由作图可得， 在和中， ， ∴ ； （2）∵，为的角平分线， ∴ 由作图可得， ∴， ∵，为的角平分线， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 30．（2022·江苏扬州·中考真题）如图1，在中，，点在边上由点向点运动（不与点重合），过点作，交射线于点． (1)分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由； ①点在线段的延长线上且； ②点在线段上且． (2)若． ①当时，求的长； ②直接写出运动过程中线段长度的最小值． 【答案】(1)①② (2)①②4 【分析】（1）①算出各个内角，发现其是等腰三角形即可推出； ②算出各内角发现其是30°的直角三角形即可推出； （2）①分别过点A，E作BC的垂线，得到一线三垂直的相似，即，设，，利用30°直角三角形的三边关系，分别表示出，，，，列式求解a即可； ②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，证明可得，然后利用完全平方公式变形得出，求出AE的取值范围即可． 【详解】（1）①∵在中，， ∴ ∵ ∴， 在中， ∴ ∴ ∴； ②如图： ∵ ∴， ∴在中， ∴ ∴； （2）①分别过点A，E作BC的垂线，相交于点H，G，则∠EGD＝∠DHA＝90°， ∴∠GED＋∠GDE＝90°， ∵∠HDA＋∠GDE＝90°， ∴∠GED＝∠HDA， ∴， 设，，则，， 在中，，AB=6 则， 在中，， 则 在中，， ∴ ∴ 由得， 即 解得：，（舍） 故； ②分别过点A，E作BC的垂线，相交于点G，H，则∠EHD＝∠AGD＝90°， ∵∠ADE＝90°， ∴∠EDH=90°-∠ADG＝∠DAG， ∵∠EHD＝∠AGD＝90°， ∴， ∴， ∴， ∵∠BAC＝90°，∠C＝60°， ∴∠B=30°， ∴， ∴， ∴=， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故AE的最小值为4. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，一线三垂直相似模型，垂线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，一线三垂直模型，垂线段最短原理是解题的关键． 31．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点为“彭城风华”观演场地，点为“水族展览馆”，点为“徐州汉画像石艺术馆”．已知，，．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离（精确到）．（参考数据：，） 【答案】“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是 【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是过作于，构造包含特殊角的直角三角形，用解直角三角形的方法来解决问题． 过作于，设，由含度角的直角三角形的性质得到，由锐角的正切定义得到 ，判定是等腰直角三角形，因此 ，得到 ，求出，即可得到的长． 【详解】解：过作于， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴． 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离约是． 32．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，△ABC为锐角三角形． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则四边形ABCD的面积为 ．（如需画草图，请使用试卷中的图2） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分线的性质作，即可找出点D； （2）由题意可知四边形ABCD是梯形，利用直角三角形的性质求出AE、BE、CE、AD的长，求出梯形的面积即可． 【详解】（1）解：如图， ∴点D为所求点． （2）解：过点A作AE垂直于BC，垂足为E， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵∠DAC＝∠ACB， ∴，四边形ABCD是梯形， ∴， ∴四边形AECD是矩形， ∴， ∴四边形ABCD的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图，作相等的角，根据垂直平分线的性质做垂线，根据直角三角形的性质及勾股定理求线段的长，正确作出图形是解答本题的关键． 试卷第4页，共26页 39 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$