第03讲 分式（讲练）（思维导图+9考点+4种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第一章 数与式 第03讲 分式 （思维导图+9个考点+4种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 分式的相关概念 3 重点考点二 分式的基本性质 4 重点考点三 分式的运算 5 题型精研 考向洞悉 6 第一部分：常考考点讲练 6 考点1：分式的值为零的条件 6 考点2：分式的值 7 考点3：分式的基本性质 7 考点4：最简公分母 7 考点5：分式的乘除法 7 考点6：分式的加减法 8 考点7：分式的混合运算 9 考点8：分式的化简求值 9 考点9：负整数指数幂 10 第二部分：高频题型洞悉 10 题型1：求分数值为正（负）数时未知数的取值范围 10 题型2：求使分数值为整数时未知数的取值范围 11 题型3：利用分式的基本性质判断分式值的变化 11 题型4：分式加减乘除混合运算 12 分层训练 巩固提升 13 基础夯实训练 13 能力拔高训练 15 考点要求 新课标要求 命题预测 分式的相关概念 · 理解分式和最简分式的概念. 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 分式的基本性质 · 能利用分式的基本性质进行约分与通分. 分式的运算 · 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 重点考点一 分式的相关概念 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题. 2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号. 3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号. 4）分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.确定分子、分母的公因式的方法: 分子、分母类型 具体方法 单项式 1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幂. 多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式 重点考点二 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：（C0）或（C0），其中A，B，C是整式. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：. 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的. 重点考点三 分式的运算 1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母． 2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． 3.分式与分式相乘, ①若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式或整式; ②若分子、分母是多项式,则先把分子、分母分解因式,看能否约分,再相乘. 4.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变. 5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方. 6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即： ①正分式的任何次幂都为正; ②负分式的偶次幂为正,奇次幂为负. 7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体. 如： 8. 分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 第一部分：常考考点讲练 考点1：分式的值为零的条件 【例1】（2024•武进区校级模拟）若代数式的值为0，则实数的值是　　 A．0 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2024•泗阳县三模）若使分式的值为0，则的值为　　 A．或1 B．或3 C．3 D．或3 【变式2】（2024•东台市校级模拟）若分式的值为0，则　　． 考点2：分式的值 【例2】（2024•姜堰区一模）对于分式的值，下列说法一定正确的是　　 A．不可能为0 B．比1大 C．可能为2 D．比大 【变式1】（2024•天宁区校级一模）分式的值，可以等于　　 A． B．0 C．1 D．2 【变式2】（2024•溧阳市一模）若，，且，则的值为 　　． 考点3：分式的基本性质 【例3】（2024•宜兴市二模）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•鼓楼区一模）若，则下列化简一定正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•海门市二模）如果把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值　　 A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的2倍 D．不变 考点4：最简公分母 【例4】（2020•江阴市模拟）分式的最简公分母是　　． 【变式1】（2021•宜兴市校级二模）分式和的最简公分母为　　． 考点5：分式的乘除法 【例5】（2024•秦淮区二模）． 【变式1】（2024•扬州）（1）计算：； （2） 化简：． 【变式2】（2023•新吴区二模）（1）计算：； （3） 化简：． 考点6：分式的加减法 【例6】（2024•梁溪区校级一模）已知实数、、满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的为　　 A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【变式1】（2024•锡山区一模）化简的结果是　　 A．1 B． C． D． 【变式2】（2024•建邺区二模）计算的结果是 　　． 【变式2】（2024•扬中市二模）（1）计算：； （2）化简：． 考点7：分式的混合运算 【例7】（2024•沭阳县模拟）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•徐州）计算： （1） ； （2）． 【变式2】（2024•滨湖区校级一模）（1）计算：； （2） 化简：． 考点8：分式的化简求值 【例8】（2024•高新区校级模拟）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（2024•亭湖区三模）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的的值代入求值． 【变式2】（2022•南京模拟）已知实数，，，满足，，，且，则代数式的值等于 　　． 考点9：负整数指数幂 【例9】（2024•武进区校级一模）计算：　　． 【变式1】．（2020•盐城二模）计算：． 【变式2】（2023•东海县二模）比较大小：　　．（用“”、“ ”或“”填空） 第二部分：高频题型洞悉 题型1：求分数值为正（负）数时未知数的取值范围 【例1】（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（16-17八年级上·北京房山·期中）若分式的值为正数，则满足 【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 题型2：求使分数值为整数时未知数的取值范围 【例2】（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【变式1】（17-18八年级·山东济南·期末）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【变式2】（16-17八年级下·江苏扬州·阶段练习）当x取何整数时，分式的值是整数？ 题型3：利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例3】（2024·江苏泰州·一模）对于分式 的值，下列说法一定正确的是（     ） A．不可能为 B．比大 C．可能为 D．比大 【变式1】（21-22八年级上·江苏南通·期末）如果把分式中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的2倍 D．不变 【变式2】（2024·江苏徐州·三模）如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（  ） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 题型4：分式加减乘除混合运算 【例4】（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）计算： (1) ； (2)． 【变式1】（18-19八年级上·北京房山·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式2】（2024·江苏·模拟预测）（1）计算：； （2）解分式方程：． 基础夯实训练 1．（2020·湖北恩施·中考真题）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．（2024·江苏无锡·二模）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 3．（2024·江苏宿迁·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·二模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（14-15九年级上·福建龙岩·期末）若式子，在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 6．（2024·山东聊城·一模）已知，那么 ． 7．（2023·江苏扬州·模拟预测）已知，其中A、B为常数，那么的值为 ． 8．（21-22七年级下·浙江杭州·期末），，等代数式，如果交换和的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式． 若关于，的分式是完美对称式，则： ；若完美对称式满足：，且，则 （用含的代数式表示）． 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）（1）计算：； （3） 解不等式组：． 10．（16-17七年级下·江苏无锡·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下的证明： 设，则，即， ∴，即， ∴， 请你尝试用这种方法证明下面这个等式： 11． （2022·江苏徐州·模拟预测）（1）计算： （2） 先化简，再求值：，其中． 能力拔高训练 12．（2024·江苏南京·三模）已知反比例函数的图像经过点，则下列关于与的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．不能确定 13．（2024·江苏宿迁·二模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组的值,得到了如图函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的的值满足（    ） A． B． C． D． 14．（2021·江苏苏州·中考真题）已知两个不等于0的实数、满足，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 15．（2024·江苏无锡·二模）请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 16．（2020·江苏连云港·二模）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 17．（2017·江苏泰州·三模）已知，则代数式的值等于 ． 18．（2024·江苏常州·一模）若，，且，则的值为 ． 19．（18-19八年级上·北京平谷·期末）当x 时，分式的值为0；若分式有意义，则x的取值范围是 ． 20．（2023·江苏无锡·模拟预测）（1）计算：； （3） 化简：． 21．（2024·江苏扬州·模拟预测）计算： (1) (2) 22．（2024·江苏泰州·三模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，且为整数，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： ①甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是________；（填序号） A、等式的基本性质， B、分式的基本性质， C、乘法分配律， D、乘法交换律． ②请选择一种解法，写出完整的解答过程 23．（2023·江苏扬州·一模）将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． (1)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______； (2)请证明（1）中的数学关系式； (3)在中，三条边的长度分别为，证明：． 24．（2021·江苏南京·一模）阅读： （1）若a＜b，则2a﹣3＜2b﹣3，简述理由： 小明的解法：∵a＜b， ∴2a＜2b，（不等式性质2：　 　）， ∴2a﹣3＜2b﹣3，（不等式性质1）． 小亮的解法：令y＝2x﹣3， ∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大． ∵a＜b， ∴2a﹣3＜2b﹣3． 小敏的解法： ∵a＜b，观察函数y＝2x﹣3的图象可知，图象上点（a，2a﹣3）在点（b，2b﹣3）的左边，而图象由左往右呈上升趋势， ∴2a﹣3＜2b﹣3． （2）若a＜b＜0，请用两种不同的方法比较﹣与﹣的大小． （3）若a＜b＜0，比较（a+2）2+1与（b+2）2+1的大小，简述理由． （4）若a＜b＜0，且a≠﹣2，b≠﹣2，直接写出﹣与﹣的大小关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数与式 第03讲 分式 （思维导图+9个考点+4种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 分式的相关概念 3 重点考点二 分式的基本性质 4 重点考点三 分式的运算 5 题型精研 考向洞悉 6 第一部分：常考考点讲练 6 考点1：分式的值为零的条件 6 考点2：分式的值 7 考点3：分式的基本性质 9 考点4：最简公分母 10 考点5：分式的乘除法 10 考点6：分式的加减法 12 考点7：分式的混合运算 15 考点8：分式的化简求值 16 考点9：负整数指数幂 18 第二部分：高频题型洞悉 19 题型1：求分数值为正（负）数时未知数的取值范围 19 题型2：求使分数值为整数时未知数的取值范围 21 题型3：利用分式的基本性质判断分式值的变化 22 题型4：分式加减乘除混合运算 24 分层训练 巩固提升 27 基础夯实训练 27 能力拔高训练 33 考点要求 新课标要求 命题预测 分式的相关概念 · 理解分式和最简分式的概念. 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 分式的基本性质 · 能利用分式的基本性质进行约分与通分. 分式的运算 · 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 重点考点一 分式的相关概念 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 1）分式值为0的条件：分式的分子等于0且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题. 2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号. 3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号. 4）分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.确定分子、分母的公因式的方法: 分子、分母类型 具体方法 单项式 1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幂. 多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式 重点考点二 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：（C0）或（C0），其中A，B，C是整式. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：. 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的. 重点考点三 分式的运算 1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母． 2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． 3.分式与分式相乘, ①若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式或整式; ②若分子、分母是多项式,则先把分子、分母分解因式,看能否约分,再相乘. 4.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变. 5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方. 6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即： ①正分式的任何次幂都为正; ②负分式的偶次幂为正,奇次幂为负. 7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体. 如： 8. 分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 第一部分：常考考点讲练 考点1：分式的值为零的条件 【例1】（2024•武进区校级模拟）若代数式的值为0，则实数的值是　　 A．0 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据分式的值为0的意义得到且即可． 【规范解答】解：代数式的值为0， 且， 解得， 故选：． 【考点评析】本题考查分式的值为0的条件，掌握“分子为0，分母不为0”是分式值为0的条件是正确解答的关键． 【变式1】（2024•泗阳县三模）若使分式的值为0，则的值为　　 A．或1 B．或3 C．3 D．或3 【思路点拨】根据分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0即可求解． 【规范解答】解：根据题意得且， 解得． 故选：． 【考点评析】本题考查分式的值为零的条件，知道分子等于0分母不能等于0是解题关键． 【变式2】（2024•东台市校级模拟）若分式的值为0，则　1　． 【思路点拨】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题． 【规范解答】解：分式的值为0，得 且．解得， 故答案为：1． 【考点评析】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 考点2：分式的值 【例2】（2024•姜堰区一模）对于分式的值，下列说法一定正确的是　　 A．不可能为0 B．比1大 C．可能为2 D．比大 【思路点拨】根据分式的性质即可求出答案． 【规范解答】解：原式 ， 当时，原式， 当时，原式， ， ，原式， 不可能为2 故选：． 【考点评析】本题考查分式的性质，解题的关键是熟练运用分式的性质，本题属于基础题型． 【变式1】（2024•天宁区校级一模）分式的值，可以等于　　 A． B．0 C．1 D．2 【思路点拨】先把分式化简，再判断求解． 【规范解答】解：， 当时，原式， 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的值，掌握分式的化简是解题的关键． 【变式2】（2024•溧阳市一模）若，，且，则的值为 　　． 【思路点拨】由得，将左边配成完全平方，从而将用含的代数式表示出来，进而计算的值即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查分式的值，熟练掌握完全平方公式，将用含的代数式表示出来是解题的关键． 考点3：分式的基本性质 【例3】（2024•宜兴市二模）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，且第一项系数都是最小的正整数，正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】分式的分子、分母同乘以，再同乘以10，再化简即可． 【规范解答】解：原式， 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题． 【变式1】（2024•鼓楼区一模）若，则下列化简一定正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据分式的基本性质逐个判断即可． 【规范解答】解：．当，时，，，即，故本选项不符合题意； ．当，时，，，即，故本选项不符合题意； ．当，时，，，即，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意． 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质（分式的分子和分母都乘或除以同一个数，分式的值不变）是解此题的关键． 【变式2】（2023•海门市二模）如果把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值　　 A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的2倍 D．不变 【思路点拨】根据分式的基本性质解决此题． 【规范解答】解：， 把分式中的和都扩大到原来的20倍，那么分式的值不变． 故选：． 【考点评析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键． 考点4：最简公分母 【例4】（2020•江阴市模拟）分式的最简公分母是　　． 【思路点拨】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【规范解答】解：分式的最简公分母是； 故答案为：． 【考点评析】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【变式1】（2021•宜兴市校级二模）分式和的最简公分母为　　． 【思路点拨】利用最简公分母的定义求解即可． 【规范解答】解：分式和的分母分别是、．则它们的最简公分母是． 故答案为：． 【考点评析】主要考查了最简公分母，确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数； （2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 考点5：分式的乘除法 【例5】（2024•秦淮区二模）． 【思路点拨】做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，有括号的先算括号里面的． 【规范解答】解：原式 ． 【考点评析】分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有括号，先算括号里面的，分子或分母是多项式时，通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去． 【变式1】（2024•扬州）（1）计算：； （2）化简：． 【思路点拨】（1）先化简绝对值，三角函数，零指数幂，再按实数的运算法则进行计算； （2）按步骤依次化简分式． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 【考点评析】本题主要考查了实数的运算，分式的化简，熟练掌握法则与性质是解题的关键． 【变式2】（2023•新吴区二模）（1）计算：； （2）化简：． 【思路点拨】（1）运用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可； （2）先分解因式，然后约分． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； 【考点评析】本题考查了实数的运算和分式的乘除法，熟练运用零指数幂、负整数指数幂法则和分解因式是解题的关键． 考点6：分式的加减法 【例6】（2024•梁溪区校级一模）已知实数、、满足，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的为　　 A．②③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③④ 【思路点拨】利用有理数的大小的比较法则可以判断①正确；利用分式的加减法法则和等式的性质可以判断②正确；利用分式的加减法法则和平方差公式可以判断③的正确；利用分式的加减法法则和平方根的意义可以判断④不正确． 【规范解答】解：， ， ， ， ． ①的结论正确； ，， ， ． ，， ， ， ， ， ． ②的结论正确； ， ，， ， ． ， ， ， ， ③的结论正确； ， ， ， ． ， ， ， ， ． ④的结论不正确． 正确的结论为①②③． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了分式的加减法，等式的性质，平方差公式，平方根，将所给等式适当变形是解题的关键． 【变式1】（2024•锡山区一模）化简的结果是　　 A．1 B． C． D． 【思路点拨】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【规范解答】解：原式 ． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了分式的加减，正确通分运算是解题关键． 【变式2】（2024•建邺区二模）计算的结果是 　　． 【思路点拨】先通分，然后根据同分母的分式相加减的运算法则计算即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分式的加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【变式2】（2024•扬中市二模）（1）计算：； （2）化简：． 【思路点拨】（1）根据绝对值的性质、负整数指数幂对值性质、零指数幂的性质和特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）先把和1写成分母是的分式 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】本题主要考查了实数的混合运算和分式的加减运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质、负整数指数幂对值性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值和分式的通分与约分． 考点7：分式的混合运算 【例7】（2024•沭阳县模拟）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先算括号里，再算括号外，即可解答． 【规范解答】解： ， 故选：． 【考点评析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 【变式1】（2024•徐州）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）先计算括号里的，再把除法运算化为乘法运算，最后约分即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 【考点评析】本题考查了实数的运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】（2024•滨湖区校级一模）（1）计算：； （2）化简：． 【思路点拨】（1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后化简即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 【考点评析】本题考查实数的运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 考点8：分式的化简求值 【例8】（2024•高新区校级模拟）先化简，再求值：，其中． 【思路点拨】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 【考点评析】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键． 【变式1】（2024•亭湖区三模）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的的值代入求值． 【思路点拨】先根据分式的混合运算法则进行化简，再进行代入计算． 【规范解答】解：原式 ， 的范围内的整数为，，0， 又当或时，分式无意义， 可以取0或， 当时，原式； 或当时，原式． 【考点评析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【变式2】（2022•南京模拟）已知实数，，，满足，，，且，则代数式的值等于 　　． 【思路点拨】根据，可以先将所求式子化简，然后根据，，，可以得到，，，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【规范解答】解：， ， ，，， ，，， 原式， 故答案为：． 【考点评析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 考点9：负整数指数幂 【例9】（2024•武进区校级一模）计算：　4　． 【思路点拨】先根据乘方的意义和负整数指数幂的性质计算乘方，再算加法即可． 【规范解答】解：原式 ， 故答案为：4． 【考点评析】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义和负整数指数幂的性质． 【变式1】．（2020•盐城二模）计算：． 【思路点拨】根据负整数指数幂和零指数幂的概念和运算法则求解即可． 【规范解答】解：原式 ． 【考点评析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂的知识，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则． 【变式2】（2023•东海县二模）比较大小：　　．（用“”、“ ”或“”填空） 【思路点拨】根据负整数指数幂的运算性质以及零指数的幂计算方法，分别计算和即可． 【规范解答】解：，，而， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂，零指数幂的计算方法是正确解答的前提． 第二部分：高频题型洞悉 题型1：求分数值为正（负）数时未知数的取值范围 【例1】（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【规范解答】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 【变式1】（16-17八年级上·北京房山·期中）若分式的值为正数，则满足 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了分式，解不等式，要使得分数为正数，则分子、分母必须同号，据此作答即可． 【规范解答】根据题意有：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）阅读材料： 解分式不等式 解：根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：无解，解②得： 所以原不等式的解集是 (1)请运用上述方法，直接写出下列分式不等式的解集 ：________；：________；：________； (2)解分式不等式：． 【答案】(1)；或；或； (2) 【思路点拨】（1）先把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求分式不等式． （2）根据题意可得，原不等式变形为，即，把不等式转化为不等式组，然后通过解不等式组来求解即可． 【规范解答】（1）解：， 根据实数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，因此，原不等式可转化为①或② 解①得：，解②得：无解， 所以原不等式的解集是； ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； ， ∴①或②， 解①得：，解②得：， 所以原不等式的解集是或； 故答案为：；或；或； （2）解： ∵， ∴， 整理得：， 即， ∴①或② 解①得：无解，解②得：， ∴原不等式的解集是． 题型2：求使分数值为整数时未知数的取值范围 【例2】（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【思路点拨】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【规范解答】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 【变式1】（17-18八年级·山东济南·期末）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【思路点拨】把分子写成6x-3+6，化为分子上不含有x的形式，再根据分式的值是整数讨论求解即可. 【规范解答】解：， ∵为奇数，分式的值为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴整数的值有：、0、1、2，共4个； 故选择：A. 【考点评析】本题考查了分式的值，把分子转化为不含有字母x的形式是解题的关键． 【变式2】（16-17八年级下·江苏扬州·阶段练习）当x取何整数时，分式的值是整数？ 【答案】x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7 【规范解答】当x-1是6的约数时，分式的值才是整数. 解：∵分式的值是整数 ∴x-1＝±6或x-1＝±3或x-1＝±2或x-1＝±1 解得：x=-5、-1、-2、0、2、3、4、7 题型3：利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例3】（2024·江苏泰州·一模）对于分式 的值，下列说法一定正确的是（     ） A．不可能为 B．比大 C．可能为 D．比大 【答案】D 【思路点拨】本题考查了分式的性质，根据分式的性质，分式的值为零逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握分式的性质． 【规范解答】、当，当时，分式的值为，原选项说法错误，不符合题意； 、，可能比小，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，，此时分母为零，原选项说法错误，不符合题意； 、，比大，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 【变式1】（21-22八年级上·江苏南通·期末）如果把分式中的x和y都扩大到原来的20倍，那么分式的值（    ） A．扩大到原来的20倍 B．缩小到原来的 C．扩大到原来的2倍 D．不变 【答案】D 【思路点拨】根据分式的性质，可得答案． 【规范解答】把x和y都扩大20倍后，原式变为， 即约分后仍为原式，分式的值不变． 故选D． 【考点评析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式2】（2024·江苏徐州·三模）如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（  ） A．扩大为原来的9倍 B．扩大为原来的3倍 C．不变 D．缩小为原来的倍 【答案】B 【思路点拨】本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键． 把分式中的换成换成，然后根据分式的基本性质进行化简即可． 【规范解答】解：中的都扩大3倍，得出， 那么分式的值扩大3倍， 故选：B． 题型4：分式加减乘除混合运算 【例4】（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根定义进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（18-19八年级上·北京房山·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ＝________（要写出变形过程）； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【思路点拨】对于（1），由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； 对于（2），由原式，再整理可得； 对于（3），根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【规范解答】（1）①，是和谐分式； ②不是分式，不是和谐分式； ③，是和谐分式； ④，是和谐分式. 故答案为：①③④． （2）， 故答案为:. （3）（3）原式 ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又∵分式有意义时、1、、， ∴． 【考点评析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． 【变式2】（2024·江苏·模拟预测）（1）计算：； （2）解分式方程：． 【答案】（）1（） 【思路点拨】（）先把括号里通分合并，然后再约分即可， （）根据解分式方程的步骤求解即可； 本题考查了分式的化简，解分式方程，熟练掌握法则即解法步骤是解题的关键． 【规范解答】解：（） ； （）， 方程两边都乘，得， ， ， ， 检验：当时，， ∴分式方程的解是． 基础夯实训练 1．（2020·湖北恩施·中考真题）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【思路点拨】本题考查了函数自变量取值范围的问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【规范解答】解：根据分式和二次根式有意义的条件可得， 解得：且， 故选：B． 2．（2024·江苏无锡·二模）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【思路点拨】本题考查了自变量的取值范围，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：， 故选：C． 3．（2024·江苏宿迁·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，负整数指数幂．熟练掌握二次根式的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，负整数指数幂是解题的关键． 根据二次根式的乘法，同底数幂的除法，完全平方公式，负整数指数幂对各选项进行判断作答即可． 【规范解答】解：A、，故不符合要求； B、，故不符合要求； C、，故不符合要求； D、，故符合要求； 故选：D． 4．（2024·江苏无锡·二模）函数中自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【规范解答】解：根据题意得：， 解得：． 故选：A． 5．（14-15九年级上·福建龙岩·期末）若式子，在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式．熟练掌握二次根式有意义的条件及分式有意义的条件是解题的关键．由题意知，，计算求解即可． 【规范解答】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 6．（2024·山东聊城·一模）已知，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了分式的化简和求值，把整体代入到代数式中化简求值是解题的关键．由条件得，整体代入到代数式中化简求值即可． 【规范解答】解：由得，， ， 故答案为：． 7．（2023·江苏扬州·模拟预测）已知，其中A、B为常数，那么的值为 ． 【答案】1 【思路点拨】由，可得，即可求出与的值． 【规范解答】解：由可得， ， ， ，， ． 故答案为：1． 【考点评析】本题考查分式的加减法，能够熟练掌握分式的加法的运算法则是解题的关键． 8．（21-22七年级下·浙江杭州·期末），，等代数式，如果交换和的位置，式子的值不变，我们把这样的式子叫做完美对称式． 若关于，的分式是完美对称式，则： ；若完美对称式满足：，且，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【思路点拨】根据完美对称式的定义可得，化简即可得的值；将代入可得，从而可得，再根据平方根的性质可得，由此即可得出答案． 【规范解答】解：由完美对称式的定义得：， 整理得：， 则， 解得， 将代入得：， ， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：，． 【考点评析】本题考查了分式的加减运算、平方根的性质，掌握理解完美对称式的定义是解题关键． 9．（2024·江苏扬州·模拟预测）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【思路点拨】此题考查了化简绝对值，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先化简绝对值，负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后计算加减即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【规范解答】（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 10．（16-17七年级下·江苏无锡·期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么，例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象，，小明给出了如下的证明： 设，则，即， ∴，即， ∴， 请你尝试用这种方法证明下面这个等式： 【答案】(1)27，0 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了乘方的运算、幂的乘方以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是理解题目中定义的运算法则. （1）根据规定的运算规则即可求解； （2）设，，则，，．，即可证得结果． 【规范解答】（1）根据规定的运算规则：如果，那么． ∵， ∴； ∵， ∴； （2）设，， 则，， ∴． ∴， ∴． 11．（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【思路点拨】本题考查分式的化简求值、零指数幂的意义、绝对值的性质、负整数指数幂的意义以及特殊角的三角函数值，本题属于基础题型． （1）根据零指数幂的意义、绝对值的性质、负整数指数幂的意义以及特殊角的三角函数值即可求出答案． （2）根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将化简后的的值代入原式即可求出答案． 【规范解答】解：（1） ； （2） ， 当， 原式． 能力拔高训练 12．（2024·江苏南京·三模）已知反比例函数的图像经过点，则下列关于与的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一次函数图像上点的坐标特征、分式运算等知识，正确求得的值是解题关键．首先根据题意可得， ，，进而可求得，结合，即可获得答案． 【规范解答】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 13．（2024·江苏宿迁·二模）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组的值,得到了如图函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的的值满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了函数的图象与系数之间的关系以及分式方程有意义的条件，由两支曲线的分界线在轴右侧可以判断的正负，由时的函数图象判断的正负． 【规范解答】 的取值范围是 两支曲线的分界线位于轴的右侧 当时，函数图象位于轴的下方 当时， 又 故选：C． 14．（2021·江苏苏州·中考真题）已知两个不等于0的实数、满足，则等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【思路点拨】先化简式子，再利用配方法变形即可得出结果． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵两个不等于0的实数、满足， ∴， 故选：A． 【考点评析】本题考查分式的化简、配完全平方、灵活应用配方法是解题的关键． 15．（2024·江苏无锡·二模）请写出一个关于x的分式，无论x取何值该分式都有意义，且当时，分式的值为2： ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查分式的定义、分式有意义的条件，结合分式的定义和分式有意义的条件，再根据题意列举符合题意的分式即可． 【规范解答】解：∵， ∴，即无论x取何值该分式都有意义， ∵当时，分式的值为2， ∴符合题意关于x的分式为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 16．（2020·江苏连云港·二模）若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】x≠-3． 【思路点拨】根据分式的分母不为零，即2x+6≠0求解即可． 【规范解答】若分式有意义，则有： 2x+6≠0， 解得，x≠-3， 故答案为：x≠-3． 【考点评析】从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零； （3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 17．（2017·江苏泰州·三模）已知，则代数式的值等于 ． 【答案】 【思路点拨】根据题目中的式子，等式两边同时除以ab，然后变形即可解答本题． 【规范解答】解：∵a2+5ab+b2=0（a≠0，b≠0）， ∴+5+＝0， ∴=-5， 故答案为：-5． 【考点评析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法． 18．（2024·江苏常州·一模）若，，且，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查分式的值，熟练掌握完全平方公式，将用含的代数式表示出来是解题的关键． 由得，将左边配成完全平方，从而将用含的代数式表示出来，进而计算的值即可． 【规范解答】解：， ， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（18-19八年级上·北京平谷·期末）当x 时，分式的值为0；若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 x=1 x≠-5； 【思路点拨】根据分式有意义求出条件，再解式子即可． 【规范解答】解：（1）若分式的值为0， 则，解得. 所以x=1. （2）若分式有意义， 则x+5≠0，解得x≠-5. 【考点评析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 20．（2023·江苏无锡·模拟预测）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）4；（2） 【思路点拨】此题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂和化简绝对值，然后计算加减； （2）首先计算完全平方公式和单项式乘以多项式，然后计算加减． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 21．（2024·江苏扬州·模拟预测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了实数的运算，整式的运算，求特殊角三角函数值，解题的关键是： （1）利用二次根式的性质，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义化简计算即可； （2）利用多项式乘以多项式法则，完全平方公式，合并同类项法则计算即可． 【规范解答】（1）解：原式 ； （2）解∶原式 ． 22．（2024·江苏泰州·三模）（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中，且为整数，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： ①甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是________；（填序号） A、等式的基本性质， B、分式的基本性质， C、乘法分配律， D、乘法交换律． ②请选择一种解法，写出完整的解答过程 【答案】（1）；（2）①B，C；②见解析． 【思路点拨】本题主要考查实数的运算法则，分式的化简计算，掌握锐角三角函数的计算，负指数幂的运算法则，分式的性质，乘法分配律的计算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，余弦函数的计算，负指数幂的计算方法先计算，再根据实数的混合运算法则即可求解； （2）①根据分式的性质，乘法分配律的计算方法进行判定；②选择甲同学运用分式的性质进行化简；选择乙同学运用乘法分配律进行计算即可． 【规范解答】解：（1） ； （2）①甲同学先计算括号，根据异分母分式的运算法则先通分，再计算，运用的是分式的性质，乙同学根据乘法分配律去括号，再根据分式的乘法运算进行计算， ∴甲同学计算的依据是：分式的性质；乙同学计算的依据是：乘法分配律； 故选：B，C； ②选择甲同学的计算方法： 原式 ， ∵，且为整数， ∴， ∵根据分式的性质得，， ∴， ∴原式； 选择乙同学的计算方法： ， 同理，， ∴． 23．（2023·江苏扬州·一模）将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． (1)再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为______； (2)请证明（1）中的数学关系式； (3)在中，三条边的长度分别为，证明：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）根据浓度公式代入以及变甜了判断所得分式大小即可； （2）利用作差法，并化简通过判断结果的正负即可； （3）利用三角形的三边关系得到，，，即，，，在通过本题糖水不等式变形求证即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：加入克糖后糖水浓度为：， 由糖水变甜可知：， 故答案为： （2）解：利用作差法比较大小： ． ∵，， ∴，，即， ∴，即． （3）解：在中，，，，且， ∴，，． 由糖水不等式得，，，， ∴， ∴． 【考点评析】本题主要考查分式的运算及大小比较，理解不等式并能够利用糖水不等式以及三角形三边关系证明是解决本题的关键． 24．（2021·江苏南京·一模）阅读： （1）若a＜b，则2a﹣3＜2b﹣3，简述理由： 小明的解法：∵a＜b， ∴2a＜2b，（不等式性质2：　 　）， ∴2a﹣3＜2b﹣3，（不等式性质1）． 小亮的解法：令y＝2x﹣3， ∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大． ∵a＜b， ∴2a﹣3＜2b﹣3． 小敏的解法： ∵a＜b，观察函数y＝2x﹣3的图象可知，图象上点（a，2a﹣3）在点（b，2b﹣3）的左边，而图象由左往右呈上升趋势， ∴2a﹣3＜2b﹣3． （2）若a＜b＜0，请用两种不同的方法比较﹣与﹣的大小． （3）若a＜b＜0，比较（a+2）2+1与（b+2）2+1的大小，简述理由． （4）若a＜b＜0，且a≠﹣2，b≠﹣2，直接写出﹣与﹣的大小关系． 【答案】（1）不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变；（2）见解析，；（3）见解析；（4）当-2<a＜b＜0和a＜b＜-2时，﹣>﹣；当a＜-2< b＜0时，﹣<﹣ 【思路点拨】（1）根据不等式的性质回答即可； （2）方法一：利用作差法比较；方法二：利用反比例函数的性质比较； （3）利用二次函数的性质比较； （4）利用作差法比较即可． 【规范解答】解：（1）不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向不变； （2）方法1： ＝， ∵a＜b＜0， ∴ab＞0，a﹣b＜0， ∴2(a﹣b)＜0， ∴， ∴． 方法2：令y＝， ∵k＝﹣2＜0， ∴在第二象限内，y随x的增大而增大． ∵a＜b＜0， ∴； （3）令y＝(x+2)2+1，则该二次函数图象的对称轴是x＝﹣2且开口向上． ∴当x＜﹣2时，y随着x的增大而减小；当x＞﹣2时，y随着x增大而增大． ∵a＜b＜0， ∴当a＜b＜﹣2时，(a+2)2+1＞(b+2)2+1； 当﹣2＜a＜b＜0时，(a+2)2+1＜(b+2)2+1； 当a<-2<b<0且|a+2|＜|b+2|时，(a+2)2+1＜(b+2)2+1． （4）﹣-(﹣)=， ∵a＜b＜0， ∴b-a>0， 当-2<a＜b＜0时，∵a+2>0，b+2>0，∴﹣>﹣； 当a＜-2< b＜0时，∵a+2<0，b+2>0，∴﹣<﹣； 当a＜b＜-2时，∵a+2<0，b+2<0，∴﹣>﹣； 综上可知，当-2<a＜b＜0和a＜b＜-2时，﹣>﹣；当a＜-2< b＜0时，﹣<﹣． 【考点评析】本题考查了不等式的性质，分式的加减，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，作差法比较代数式的大小，以及分类讨论的数学思想，熟练掌握函数的图象与性质是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$