第02讲 代数式与整式（讲练）（思维导图+24考点+6种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

·第一章 数与式 第02讲 代数式与整式 （思维导图+24考点+6种题型+难度分层练） 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 代数式的相关概念 4 重点考点二 整式的相关概念 4 重点考点三 整式的运算 5 重点考点四 整式化简求值（高频考点） 9 重点考点五 因式分解 10 题型精研 考向洞悉 12 第一部分：常考考点讲练 12 考点1：列代数式 12 考点2：代数式求值 15 考点3：合并同类项 15 考点4：规律型：数字的变化类 17 考点5：规律型：图形的变化类 20 考点6：整式的加减 24 考点7：整式的加减—化简求值 26 考点8：幂的乘方与积的乘方 27 考点9：同底数幂的除法 28 考点10：单项式乘单项式 29 考点11：单项式乘多项式 32 考点12：多项式乘多项式 33 考点13：完全平方公式的几何背景 35 考点14：平方差公式的几何背景 39 考点15：整式的除法 40 考点16：整式的混合运算 42 考点17：整式的混合运算—化简求值 44 考点18：因式分解-提公因式法 45 考点19：因式分解-运用公式法 46 考点20：提公因式法与公式法的综合运用 47 考点21：因式分解-分组分解法 47 考点22：因式分解-十字相乘法等 48 考点23：实数范围内分解因式 49 考点24：因式分解的应用 50 第二部分：高频题型洞悉 54 题型1：代数式的相关概念与列代数式 54 题型2：同类项与合并同类项 56 题型3：实数指数幂及其运算法则 58 题型4：完全平方公式与平方差公式及其应用 60 题型5：整式的混合运算与化简求值 61 题型6：因式分解及其应用 63 分层训练 巩固提升 66 基础夯实训练 66 能力拔高训练 70 考点要求 新课标要求 命题预测 代数式的相关概念 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的相关概念 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) 整式的运算 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 整式化简求值 灵活运用多种方法化简代数式 因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 重点考点一 代数式的相关概念 代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母， 按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 1. 代数式中不含有=、<、>、≠等. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 重点考点二 整式的相关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算. 2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3. 3.圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母. 4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－的次数是2＋3＋4=9而不是14. 5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算. 6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数. 7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式. 通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键． 重点考点三 整式的运算 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”． 2．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆． 3．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系． 4．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意. 幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 重点考点四 整式化简求值（高频考点） 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 重点考点五 因式分解 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 因式分解的关键在于熟练掌握因式分解的两种基本方法：提取公因式法和公式法．因式分解的一般步骤： 第一部分：常考考点讲练 考点1：列代数式 【例1】（2024•高港区三模）用面积为1，3，4，8的四张长方形纸片拼成如图所示的一个大长方形，则图中阴影的面积为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2022•广陵区校级三模）某便利店的咖啡单价为10元杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表： 会员卡类型 办卡费用元 有效期 优惠方式 类 40 1年 每杯打九折 类 80 1年 每杯打八折 类 130 1年 一次性购买2杯，第二杯半价 例如，购买类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为　　 A．购买类会员卡 B．购买类会员卡 C．购买类会员卡 D．不购买会员卡 【变式2】（2024•溧阳市一模）班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：8元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：1元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用 　　元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5000元和7600元．问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用年行驶费用年其它费用） 考点2：代数式求值 【例2】（2024•鼓楼区校级三模）如果，那么代数式的值是 　　． 【变式1】（2024•鼓楼区一模）若，则的值是 　　． 【例3】（2021•江阴市模拟）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•海陵区校级三模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】．（2020•东台市模拟）下列各式，运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•亭湖区一模）若为大于1的整数），则的值是 　　． 考点4：规律型：数字的变化类 【例4】（2024•徐州）观察下列各数：3、8、18、38、，按此规律，第个数可能为　　 A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【变式1】（2024•海陵区校级三模）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，甲醇的化学式为，乙醇的化学式为，丙醇的化学式为可以预见醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，则碳原子的数目为15的醇的化学式是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•高邮市一模）已知且，我们定义，记为，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为，，；将，，作的变换，得到的数组记为，，；；则的值为 　 ． 【变式3】（2024•南京三模）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：　　 ； （2）写出第个等式（用含的等式表示），并证明． 考点5：规律型：图形的变化类 【例5】（2024•连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•盐都区校级一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面： 依上推测，第14个图形中黑色瓷砖的块数为 　　． 【变式2】（2022•江阴市校级一模）如图中，分别是由1个、2个、个正方形连接成的图形，在图1中，；在图2中，；通过以上计算，请写出图3中　　．（用含的式子表示） 【变式3】（2024•秦淮区校级三模）高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： （1）图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：；， 图的彩色正方形有：　　． （2）图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个；图3中，白色正方形比彩色正方形多3个；；图的白色正方形有 　　个． （3）若图中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图中白色正方形的个数． 考点6：整式的加减 【例6】（2023•清江浦区二模）已知、是两个连续自然数，且，设，则下列对的表述中正确的是　　 A．总是偶数 B．总是奇数 C．总是无理数 D．有时是有理数，有时是无理数 【变式1】（2023•阜宁县模拟）计算：　　． 【变式2】（2024•玄武区校级模拟）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠的放在一个底面为长方形（长为，宽为的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 　24　． 【变式3】（2019•姑苏区校级模拟）已知多项式，，中不含有项和项，求的值． 考点7：整式的加减—化简求值 【例7】（2024•靖江市一模）已知，那么代数式的值是 　． 【变式1】（2021•泗洪县三模）已知，求代数式的值． 【变式2】（2016•常州二模）先化简，再求值： 已知是方程的实根，求代数式的值． 【变式3】（2020•盐城二模）先化简，再求值：，其中，． 考点8：幂的乘方与积的乘方 【例8】（2024•高新区校级模拟）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•靖江市二模）已知，，，则，，之间满足的等量关系是 　　． 【变式2】（2024•连云区二模）已知，，则的值　 　． 考点9：同底数幂的除法 【例9】（2018•常熟市一模）下列运算结果等于的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•响水县二模）下列计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2021•阜宁县模拟）已知，，则的值为 ． 考点10：单项式乘单项式 【例10】（2023•海陵区校级二模）下列各式运算结果与相同的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2021•扬州模拟）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•高邮市三模）定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，为常数，，则称点是点的“系友好点”．例如，点是点的“1系友好点”． （1）点的“2系友好点”的坐标是 　　，若一个点的“系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是 　　； （2）已知点在第二象限，且满足，点是点的“系友好点”，求的值； （3）点在轴正半轴上，“系友好点”为点，若无论为何值，的值恒为0，求的值． 考点11：单项式乘多项式 【例11】（2024•无锡模拟）计算或化简 （1） 计算：． （2）化简：． 【变式1】（2018•镇江） （1） 计算： （2） 化简：． 【变式2】（2020•连云港模拟）计算或化简： （1） ． （2）． 考点12：多项式乘多项式 【例12】（2022•南通）已知实数，满足，则的最大值为　　 A．24 B． C． D． 【变式1】（2023•惠山区校级模拟）（1）计算：； （2） 化简：． 【变式2】（2017•惠山区模拟）计算： （1） ； （2）． 考点13：完全平方公式的几何背景 【例13】（2021•淮安模拟）如图，两个正方形的边长分别为，，如果，则阴影部分的面积为　　 A．9 B．18 C．27 D．36 【变式1】（2021•南京一模）如图①，一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块全等的小长方形，然后按照图②那样拼成一个面积为49的大正方形，若中间小正方形的面积为1，则　　，　　． 【变式2】（2022•沭阳县校级模拟）如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有，的正确的等式　　 ． 【变式3】．（2023•建湖县校级模拟）【探究】 若满足，求的值． 设，，则，， ； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 考点14：平方差公式的几何背景 【例14】（2024•启东市一模）如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2019秋•丹徒区期中）如图，边长为的正方形纸片，剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2022•宿迁三模）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 　 　．（请填上正确的序号） 考点15：整式的除法 【例15】（2022•建湖县二模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2020•如东县模拟）下列计算错误的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•海州区二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 考点16：整式的混合运算 【例16】（2024•滨海县一模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】．（2024•惠山区校级模拟）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2021春•奉化区校级期末）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为　　 A．100 B．96 C．90 D．86 考点17：整式的混合运算—化简求值 【例17】（2024•六合区校级三模）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（2023•宝应县模拟）计算或化简： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】（2022•海门市二模）（1）先化简，再求值：，其中； （2） 解方程：． 考点18：因式分解-提公因式法 【例18】（2024•玄武区校级三模）因式分解：　　． 【变式1】（2023•苏州）因式分解：　　． 【变式2】（2023•东台市一模）因式分解：　． 考点19：因式分解-运用公式法 【例19】（2024•宿豫区三模）因式分解：　　． 【变式1】（2020•建湖县模拟）若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是　　． 【变式2】（2021•盐城一模）把多项式分解因式的结果是　　． 考点20：提公因式法与公式法的综合运用 【例20】（2020•邗江区校级一模）因式分解：　　． 【变式1】（2020•仪征市模拟）因式分解：　　． 【变式2】（2024•睢宁县校级模拟）分解因式：　　． 考点21：因式分解-分组分解法 【例21】（2021•高邮市模拟）分解因式：　　． 【变式1】（2019•亭湖区校级模拟）分解因式：　　． 【变式2】（2019•崇川区模拟）（1）计算； （3） 分解因式． 考点22：因式分解-十字相乘法等 【例22】（2023•梁溪区校级模拟）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•盐城模拟）分解因式：　　． 【变式2】（2021•广陵区校级模拟）分解因式：　　． 考点23：实数范围内分解因式 【例23】（2017•江阴市校级一模）在实数范围内分解因式　　． 【变式1】（2019•姑苏区校级二模）在实数范围内分解因式：　　． 【变式2】（2024•沭阳县校级三模）在实数范围内分解因式：　　． 考点24：因式分解的应用 【例24】（2024•南通二模）定义：如果两个实数，满足，则称，为一对“互助数”．已知，为实数，且，是一对“互助数”．若，则的值可以为　　 A． B．6 C． D．3 【变式1】（2024•南通一模）已知实数，满足，，．其中为自然数，则的最小值是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（2023•盐都区三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为某个正数的平方． 举例验证：（1）当，，则　　； 推理证明：小刚同学做了如下的证明： 设， ，是连续的正整数， ． ， 　　． 一定是正数的平方数． （2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容； （注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可） 类比探究： （3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论； 深入思考： （4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若，为两个连续正整数，，，则一定是 　　．（填：奇数、偶数） 第二部分：高频题型洞悉 题型1：代数式的相关概念与列代数式 【例1】（2024•高港区三模）用面积为1，3，4，8的四张长方形纸片拼成如图所示的一个大长方形，则图中阴影的面积为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•盐城模拟）如图是三角形数阵，，则：若，相等，则用含的式子表示，　　． 【变式2】（2024•盐都区三模）观察下面的等式：，，， （1）根据题目中规律的格式，写出的结果为　　； （2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； （3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【变式3】．（2024•秦淮区校级三模）某汽车店去年销售燃油汽车辆，新能源汽车辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半．今年计划销售燃油汽车比去年减少，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变． （1）今年燃油汽车计划的销量为 　　辆（用含或的代数式表示）． （2）若今年计划的总销量就比去年增加，求的值． 题型2：同类项与合并同类项 【例2】（2024•盐城三模）下列计算，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•宿迁三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•东台市一模）下列运算：①；②；③；④；正确的是　　 A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式3】（2020•苏州）若单项式与单项式是同类项，则　　． 题型3：实数指数幂及其运算法则 【例3】（2024•无锡模拟）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•江都区一模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•沛县校级三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•连云港二模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 题型4：完全平方公式与平方差公式及其应用 【例4】（2024•盐都区校级一模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•宿豫区一模）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•宜兴市模拟）计算： （1） 计算：； （2）化简：． 【变式3】（2024•高邮市三模）（1）计算：； （2） 化简：． 题型5：整式的混合运算与化简求值 【例5】（2024•秦淮区模拟）若为整数，则代数式的值一定可以　　 A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除 【变式1】（2023•海安市校级二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•靖江市校级三模）已知是方程的一个根，则代数式的值　　． 【变式3】（2024•无锡模拟）计算或化简 （1） 计算：． （2）化简：． 题型6：因式分解及其应用 【例6】（2023•盐都区三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为某个正数的平方． 举例验证：（1）当，，则　　； 推理证明：小刚同学做了如下的证明： 设， ，是连续的正整数， ． ， 　　． 一定是正数的平方数． （2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容； （注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可） 类比探究： （3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论； 深入思考： （4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若，为两个连续正整数，，，则一定是 　　．（填：奇数、偶数） 【变式1】（2022•常州自主招生）因式分解：　． 【变式2】（2022•扬州三模）因式分解：　　． 基础夯实训练 1．（2024•宿豫区三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 2．（2024•泗阳县二模）对于任意整数，多项式都能　　 A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 3．（2024•邗江区校级三模）下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•邗江区二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2024•玄武区校级三模）因式分解：　　． 6．（2024•新吴区一模）计算：　　． 7．（2023•靖江市二模）当，时，代数式的值为 　　． 8.（2024•亭湖区三模）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的的值代入求值． 9．（2023•泉山区校级三模）计算： （1）； （2）． 10．（2023•靖江市模拟）化简求值：，其中是不等式组的一个整数解． 能力拔高训练 1．（2024•海安市一模）已知，则满足等式的的值可以是　　 A． B． C． D． 2．（2024•灌南县二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2024•大丰区模拟）计算的结果是　　 A． B． C． D． 4．（2023•海陵区校级模拟）若，则代数式的值是 　　． 5．（2024•宿迁模拟）若，，则　　． 6．（2024•高邮市校级模拟）（1）计算； （2）解方程：． 7． （2022•淮安）（1）计算：； （2） 化简：． 8． （2024•镇江一模）（1）计算：； （3） 化简：． 9．（2023•射阳县校级模拟）先化简，再求值：，其中． 10．（2021•广陵区二模）（1）计算：； （2）已知，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ ·第一章 数与式 第02讲 代数式与整式 （思维导图+24考点+6种题型+难度分层练） 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 代数式的相关概念 4 重点考点二 整式的相关概念 4 重点考点三 整式的运算 5 重点考点四 整式化简求值（高频考点） 9 重点考点五 因式分解 10 题型精研 考向洞悉 12 第一部分：常考考点讲练 12 考点1：列代数式 12 考点2：代数式求值 15 考点3：合并同类项 15 考点4：规律型：数字的变化类 17 考点5：规律型：图形的变化类 20 考点6：整式的加减 24 考点7：整式的加减—化简求值 26 考点8：幂的乘方与积的乘方 27 考点9：同底数幂的除法 28 考点10：单项式乘单项式 29 考点11：单项式乘多项式 32 考点12：多项式乘多项式 33 考点13：完全平方公式的几何背景 35 考点14：平方差公式的几何背景 39 考点15：整式的除法 40 考点16：整式的混合运算 42 考点17：整式的混合运算—化简求值 44 考点18：因式分解-提公因式法 45 考点19：因式分解-运用公式法 46 考点20：提公因式法与公式法的综合运用 47 考点21：因式分解-分组分解法 47 考点22：因式分解-十字相乘法等 48 考点23：实数范围内分解因式 49 考点24：因式分解的应用 50 第二部分：高频题型洞悉 54 题型1：代数式的相关概念与列代数式 54 题型2：同类项与合并同类项 56 题型3：实数指数幂及其运算法则 58 题型4：完全平方公式与平方差公式及其应用 60 题型5：整式的混合运算与化简求值 61 题型6：因式分解及其应用 63 分层训练 巩固提升 66 基础夯实训练 66 能力拔高训练 70 考点要求 新课标要求 命题预测 代数式的相关概念 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大. 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的相关概念 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘) 整式的运算 能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 整式化简求值 灵活运用多种方法化简代数式 因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 重点考点一 代数式的相关概念 代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母， 按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 1. 代数式中不含有=、<、>、≠等. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项： ①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 重点考点二 整式的相关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算. 2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3. 3.圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母. 4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－的次数是2＋3＋4=9而不是14. 5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算. 6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数. 7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式. 通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键． 重点考点三 整式的运算 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”． 2．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆． 3．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系． 4．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意. 幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 完全平方公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 2. 常见验证完全平方公式的几何图形 结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 平方差公式的几何背景 1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 2. 常见验证平方差公式的几何图形 结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2 整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止； ②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换. 重点考点四 整式化简求值（高频考点） 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 重点考点五 因式分解 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 因式分解的关键在于熟练掌握因式分解的两种基本方法：提取公因式法和公式法．因式分解的一般步骤： 第一部分：常考考点讲练 考点1：列代数式 【例1】（2024•高港区三模）用面积为1，3，4，8的四张长方形纸片拼成如图所示的一个大长方形，则图中阴影的面积为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设面积为1的长方形长、宽分别为、，则，根据面积发分别计算面积为3、4、8的长、宽，用、表示阴影部分的面积，即可解题． 【规范解答】解：如图，设面积为1的长方形长、宽分别为、，则，， 面积为3的长方形宽为，长为， 面积为4的长方形和面积为8的长方形的长相等，则宽的比例为， 故面积为4的长方形的宽为，长为， ， 阴影部分的面积为和面积之和， 阴影部分的面积为， 故选：． 【考点评析】本题考查了长方形面积的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求的长是解题的关键． 【变式1】（2022•广陵区校级三模）某便利店的咖啡单价为10元杯，为了吸引顾客，该店共推出了三种会员卡，如表： 会员卡类型 办卡费用元 有效期 优惠方式 类 40 1年 每杯打九折 类 80 1年 每杯打八折 类 130 1年 一次性购买2杯，第二杯半价 例如，购买类会员卡，1年内购买50次咖啡，每次购买2杯，则消费元．若小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为　　 A．购买类会员卡 B．购买类会员卡 C．购买类会员卡 D．不购买会员卡 【思路点拨】设一年内在便利店购买咖啡次，用表示出购买各类会员年卡的消费费用，把、85代入计算，比较大小得到答案． 【规范解答】解：设一年内在便利店购买咖啡次， 购买类会员年卡，消费费用为元； 购买类会员年卡，消费费用为元； 购买类会员年卡，消费费用为元； 把代入得元；元；元， 把代入得元；元；元， 则小玲1年内在该便利店购买咖啡的次数介于次之间，且每次购买2杯，则最省钱的方式为购买类会员年卡． 故选：． 【考点评析】本题考查的是有理数的混合运算的应用，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【变式2】（2024•溧阳市一模）班主任王老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：8元升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：1元千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用 　　元 （1）用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5000元和7600元．问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低？ （年费用年行驶费用年其它费用） 【思路点拨】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【规范解答】解：（1）由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为： （元， 故答案为：． （2）①， 解得， 经检验，是原分式方程的解， （元，（元． 答：燃油车的每千米行驶费用为0.64元，新能源车的每千米行驶费用为0.12元． ②设每年行驶里程为 ． 由题意得：， 解得， 答：当每年行驶里程大于时，买新能源的年费用更低． 【考点评析】本题考查了列代数式的问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． 考点2：代数式求值 【例2】（2024•鼓楼区校级三模）如果，那么代数式的值是 　7　． 【思路点拨】将变形后得，代入原式求解可得． 【规范解答】解：， ， 则原式 故答案为：7． 【考点评析】本题主要考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入思想的运用． 【变式1】（2024•鼓楼区一模）若，则的值是 　14　． 【思路点拨】将转化为再整体代入计算即可． 【规范解答】解：， ． 故答案为：14． 【考点评析】本题考查了代数式求值，整体代入是解答本题的关键． 考点3：合并同类项 【例3】（2021•江阴市模拟）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用同并同类项对各选项进行判断． 【规范解答】解：、原式，所以选项错误； 、和不能合并，所以选项错误； 、原式，所以选项正确； 、和不能合并，所以选项错误； 故选：． 【考点评析】本题考查了合并同类项：”合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 【变式1】（2024•海陵区校级三模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据合并同类项的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方分别进行计算即可得出答案． 【规范解答】解：、，故本选项正确； 、，故本选项错误； 、，故本选项错误； 、，故本选项错误； 故选：． 【考点评析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、完全平方公式和合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键，是一道基础题． 【变式2】．（2020•东台市模拟）下列各式，运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此逐项判定即可． 【规范解答】解：，选项不符合题意； ，选项不符合题意； ，选项不符合题意； ，选项符合题意． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了合并同类项的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 【变式3】（2024•亭湖区一模）若为大于1的整数），则的值是 　9　． 【思路点拨】将个相加合并同类项，根据同底数幂的乘法运算法则化简求出的值即可． 【规范解答】解：， ， ． 故答案为：9． 【考点评析】本题考查合并同类项，掌握合并同类项的方法及同底数幂的乘法运算法则是解题的关键． 考点4：规律型：数字的变化类 【例4】（2024•徐州）观察下列各数：3、8、18、38、，按此规律，第个数可能为　　 A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【思路点拨】根据题意得出已知数组的规律，得到第个数的表示方法，从而得出结果． 【规范解答】解：， ， ， 第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键． 【变式1】（2024•海陵区校级三模）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．比如化学中，甲醇的化学式为，乙醇的化学式为，丙醇的化学式为可以预见醇类物质的分子中碳原子和氢原子的数目满足一定的数学规律，则碳原子的数目为15的醇的化学式是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由题目可知，碳原子和氢原子的数目规律为：氢原子的数目碳原子的数目，由此计算即可得出结果． 【规范解答】解：由题意可知： 碳原子的数目为1的甲醇的化学式为，其氢原子的数目为， 碳原子和氢原子的数目规律为：氢原子的数目碳原子的数目； 碳原子的数目为2的乙醇的化学式为，其氢原子的数目为， 碳原子和氢原子的数目规律为：氢原子的数目碳原子的数目； 碳原子的数目为3的丙醇的化学式为，其氢原子的数目为， 碳原子和氢原子的数目规律为：氢原子的数目碳原子的数目； ， 碳原子的数目为15的醇的氢原子数目， 碳原子的数目为15的醇的化学式为：， 故选：． 【考点评析】本题考查的是数字的变化规律，从题目中找出化学式之间的变化规律是解题的关键． 【变式2】（2024•高邮市一模）已知且，我们定义，记为，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为，，；将，，作的变换，得到的数组记为，，；；则的值为 　4160　． 【思路点拨】要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果． 【规范解答】解：数组，，确定为，将一个数组，，、、均不等于0和中的各数分别作的变换，第1次变换得到，，；第2次变换得到，，；；第次变换得到，，，依题意得： ，，，，，2，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，2，，， ， 由规律可得每三次变换为一个循环， ， ， ． 故答案为：4160． 【考点评析】本题考查了数字类规律探索，准确计算、发现规律是解题的关键． 【变式3】（2024•南京三模）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式：　　； （2）写出第个等式（用含的等式表示），并证明． 【思路点拨】（1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系，第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数，以此规律可得结论； （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子，通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确． 【规范解答】解：（1）观察等式中的4个数中的数字与等式的序号的关系可得：第一个数的分子是序号的2倍的平方，分母是从1开始的连续奇数，第二个数是从3开始的连续奇数，第三个数均是1，第四个数的分子是从0开始的连续偶数，分母是从1开始的连续奇数． ， 故答案为：． （2）依据（1）中找出的规律得到第个式子为： ． 证明：左边， 右边， 左边右边． 等式成立． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了数字的变化的规律，列代数式，分式的加减．准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键． 考点5：规律型：图形的变化类 【例5】（2024•连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是，则图中阴影图形的周长是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是的正方形的周长，加上边长是的正方形的两条边长，再减去，即可得出结果． 【规范解答】解：阴影图形的周长， 故选：． 【考点评析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长进行转化是解题的关键． 【变式1】（2024•盐都区校级一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按如图的方式铺地面： 依上推测，第14个图形中黑色瓷砖的块数为 　43　． 【思路点拨】依次求出图形中黑色瓷砖的块数，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中黑色瓷砖的块数为：； 第2个图形中黑色瓷砖的块数为：； 第3个图形中黑色瓷砖的块数为：； ， 所以第个图形中黑色瓷砖的块数为块， 当时， （块， 即第14个图形中黑色瓷砖的块数为43块． 故答案为：43． 【考点评析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现黑色瓷砖的块数依次增加3是解题的关键． 【变式2】（2022•江阴市校级一模）如图中，分别是由1个、2个、个正方形连接成的图形，在图1中，；在图2中，；通过以上计算，请写出图3中　　．（用含的式子表示） 【思路点拨】根据图形的变化规律归纳出有个小正方形时各夹角的度数和是即可． 【规范解答】解：连接各小正方形的对角线，如图： 图1中，， 即， 图2中，， 即， ， 以此类推，， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出有个小正方形时各夹角的度数和是是解题的关键． 【变式3】（2024•秦淮区校级三模）高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： （1）图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：；， 图的彩色正方形有：　　． （2）图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个；图3中，白色正方形比彩色正方形多3个；；图的白色正方形有 　　个． （3）若图中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图中白色正方形的个数． 【思路点拨】（1）根据所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）根据（1）中发现的规律即可解决问题． 【规范解答】解：（1）由题知， 图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：； ， 所以图的彩色正方形有：． 故答案为：． （2）因为图1中，白色正方形比彩色正方形多1个； 图2中，白色正方形比彩色正方形多2个； 图3中，白色正方形比彩色正方形多3个； ； 所以图中，白色正方形比彩色正方形多个； 所以图中，白色正方形的个数为：． 故答案为：． （3）由所给图形可知， 图1中，等边三角形的个数为2； 图2中，等边三角形的个数为3； 图3中，等边三角形的个数为4； ， 所以图中，等边三角形的个数为个． 因为图中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， 所以， 解得（舍负）， 则（个， 即白色正方形的个数为66个． 【考点评析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现等边三角形、白色正方形和彩色正方形个数变化的规律是解题的关键． 考点6：整式的加减 【例6】（2023•清江浦区二模）已知、是两个连续自然数，且，设，则下列对的表述中正确的是　　 A．总是偶数 B．总是奇数 C．总是无理数 D．有时是有理数，有时是无理数 【思路点拨】根据题意可得，从而可得，然后把的值代入式子中，利用二次根式的性质进行计算即可解答． 【规范解答】解：由题意得： ， ， ， ， 的值总是奇数， 故选：． 【考点评析】本题考查了二次根式的化简求值，整式的加减，熟练掌握二次根式的性质进行计算是解题的关键． 【变式1】（2023•阜宁县模拟）计算：　　． 【思路点拨】原式去括号合并即可得到结果． 【规范解答】解：原式． 故答案为： 【考点评析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式2】（2024•玄武区校级模拟）如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠的放在一个底面为长方形（长为，宽为的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是 　24　． 【思路点拨】根据题意，可以先设小长方形卡片的长为，宽为，然后即可表示出两个阴影部分的周长，再去括号，合并同类项即可． 【规范解答】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 图②中两块阴影部分的周长和是： ， 故答案为：24． 【考点评析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确题意，表示出阴影部分的长和宽． 【变式3】（2019•姑苏区校级模拟）已知多项式，，中不含有项和项，求的值． 【思路点拨】把与代入中，去括号合并得到最简结果，由结果不含有项和项求出与的值，代入原式计算即可得到结果． 【规范解答】解：，， ， 由结果不含有项和项，得到，， 解得：，， 则原式． 【考点评析】此题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． 考点7：整式的加减—化简求值 【例7】（2024•靖江市一模）已知，那么代数式的值是 　6　． 【思路点拨】根据整式的加减化简求值方法进行解答． 【规范解答】解： ， ， ． 故答案为：6． 【考点评析】本题考查了整式的加减化简求值，掌握整式的加减化简求值方法是关键． 【变式1】（2021•泗洪县三模）已知，求代数式的值． 【思路点拨】先根据整式的混和运算顺和法则分别进行计算，再把所得的结果进行合并，最后把的值代入即可． 【规范解答】解： ． ． ， 原式 ． 【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，在解题时要注意混合运算的顺序和结果的符号是本题的关键． 【变式2】（2016•常州二模）先化简，再求值： 已知是方程的实根，求代数式的值． 【思路点拨】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把代入已知方程变形后代入计算即可求出值． 【规范解答】解：原式， 把代入方程得：，即， 则原式． 【考点评析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3】（2020•盐城二模）先化简，再求值：，其中，． 【思路点拨】首先去括号合并同类项，化简后再代入、的值可得答案． 【规范解答】解：原式， 当，时，原式． 【考点评析】此题主要考查了整式的化简求值，关键是注意去括号时符号的变化． 考点8：幂的乘方与积的乘方 【例8】（2024•高新区校级模拟）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用同底数的乘法运算法则以及合并同类项法则分别化简求出答案． 【规范解答】解：、，故此选项错误，不符合题意； 、，故此选项错误，不符合题意； 、，此选项错误，不符合题意； 、，此选项正确，符合题意； 故选：． 【考点评析】此题主要考查了同底数的乘法运算以及合并同类项法则，正确化简各数是解题关键． 【变式1】（2024•靖江市二模）已知，，，则，，之间满足的等量关系是 　　． 【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则，进行计算即可解答． 【规范解答】解：，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式2】（2024•连云区二模）已知，，则的值　256　． 【思路点拨】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则，将原式变形得出答案． 【规范解答】解：，， ， ． 故答案为：256． 【考点评析】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘法运算，正确将原式变形是解题关键． 考点9：同底数幂的除法 【例9】（2018•常熟市一模）下列运算结果等于的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【规范解答】解：，故选项不符合题意， 不能合并，故选项不符合题意， ，故选项不符合题意， ，故选项符合题意， 故选：． 【考点评析】本题考查幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘除法，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． 【变式1】（2024•响水县二模）下列计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可； ．根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可； ．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； ．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可． 【规范解答】解：．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项计算错误，故此选项不符合题意； ．，此选项计算正确，故此选项符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则和同底数幂相乘除法则． 【变式2】（2021•阜宁县模拟）已知，，则的值为 　4.5　． 【思路点拨】首先根据幂的乘方的运算方法，求出的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出的值为多少即可． 【规范解答】解：， ， ． 故答案为：4.5． 【考点评析】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 考点10：单项式乘单项式 【例10】（2023•海陵区校级二模）下列各式运算结果与相同的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】按照单项式乘以单项式法则、积的乘方等知识分别计算后，即可得到答案． 【规范解答】解：．，故选项不符合题意； ．，故选项不符合题意； ．，故选项符合题意； ．，故选项不符合题意． 故选：． 【考点评析】此题考查了单项式乘单项式、积的乘方等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】（2021•扬州模拟）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】分别根据积的乘方法则、单项式乘以多项式、同底数幂的乘法及除法法则进行逐一解答． 【规范解答】解：、，选项错误； 、，选项错误； 、，选项错误； 、，选项正确； 故选：． 【考点评析】本题考查的是同底数幂的乘法与除法，单项式乘以多项式及积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键． 【变式2】（2024•高邮市三模）定义：在平面直角坐标系中，若点与的坐标满足，为常数，，则称点是点的“系友好点”．例如，点是点的“1系友好点”． （1）点的“2系友好点”的坐标是 　　，若一个点的“系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是 　　； （2）已知点在第二象限，且满足，点是点的“系友好点”，求的值； （3）点在轴正半轴上，“系友好点”为点，若无论为何值，的值恒为0，求的值． 【思路点拨】（1）根据新定义可得的“2系友好点”的坐标是；设的“系友好点”的坐标是，可得，即可解得答案； （2）由点是点的“系友好点”，可得，而，故，由点在第二象限，得； （3）由在轴正半轴上，“系友好点”为点，得，，根据无论为何值，的值恒为0，得对任意都成立，分两种情况讨论即可． 【规范解答】解：（1），， 点的“2系友好点”的坐标是； 设的“系友好点”的坐标是， 则， 解得， 的“系友好点”的坐标是； 故答案为：；； （2）点是点的“系友好点”， ， ， ， ， 点在第二象限， ， ； （3）在轴正半轴上，“系友好点”为点， ，， ，， ， 无论为何值，的值恒为0， 对任意都成立， 若，则对任意都成立， ， 解得或（舍去）； 若，则对任意都成立， ，此时无解； 的值为1． 【考点评析】本题考查点的坐标，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“系友好点“的定义． 考点11：单项式乘多项式 【例11】（2024•无锡模拟）计算或化简 （1）计算：． （2）化简：． 【思路点拨】（1）根据负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值和绝对值的性质进行计算即可； （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】本题主要考查了实数和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、完全平方公式和单项式乘多项式法则． 【变式1】（2018•镇江） （1） 计算： （2） 化简：． 【思路点拨】（1） 先计算负整数指数幂、 零指数幂、 代入三角函数值， 再计算加减可得； （2） 先计算乘方和乘法， 再合并同类项即可得 ． 【规范解答】解： （1） 原式； （2） 原式． 【考点评析】本题主要考查整式和实数的运算， 解题的关键是掌握整式的运算顺序和运算法则及负整数指数幂、 零指数幂、 三角函数值 ． 【变式2】（2020•连云港模拟）计算或化简： （1）． （2）． 【思路点拨】（1）先化简二次根式、负整数指数幂、代入三角函数值及零指数幂，再先后计算乘法和加减运算即可； （2）先计算完全平方式和单项式乘多项式的积，再合并同类项即可得． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式． 【考点评析】本题主要考查实数和整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数和整式的混合运算顺序和运算法则． 考点12：多项式乘多项式 【例12】（2022•南通）已知实数，满足，则的最大值为　　 A．24 B． C． D． 【思路点拨】方法1、先化简，再判断出，即可求出答案． 方法2、设，则，进而得出，进而得出原式，即可求出答案． 【规范解答】解：方法1、， ， ， （当时，取等号）， ， （当时，取等号）， ， ， ， ， 即的最大值为， 故选：． 方法2、设，则， ， ， 原式， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了完全平方公式，整式的乘法，化简是解本题的关键． 【变式1】（2023•惠山区校级模拟）（1）计算：； （2）化简：． 【思路点拨】（1）按照实数的绝对值、负整数指数幂、特殊角的三角函数值分别计算，再进行减法运算即可； （2）利用单项式乘多项式和多项式乘法法则展开，再进行合并同类项即可． 【规范解答】解：（1） ； （2） ． 【考点评析】此题考查了实数的混合运算、特殊角的三角函数值、整式的混合运算等知识，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】（2017•惠山区模拟）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）原式利用算术平方根定义，乘方的意义，零指数幂法则计算即可得到结果； （2）原式利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到最简结果． 【规范解答】解：（1）原式； （2）原式． 【考点评析】此题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 考点13：完全平方公式的几何背景 【例13】（2021•淮安模拟）如图，两个正方形的边长分别为，，如果，则阴影部分的面积为　　 A．9 B．18 C．27 D．36 【思路点拨】阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个直角三角形面积，求出即可． 【规范解答】解：， ． 故选：． 【考点评析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式1】（2021•南京一模）如图①，一个长为，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块全等的小长方形，然后按照图②那样拼成一个面积为49的大正方形，若中间小正方形的面积为1，则　4　，　　． 【思路点拨】由图1得，一个小长方形的长为，宽为，由图2得：中间小正方形的面积大正方形的面积个小长方形的面积，代入计算即可求解． 【规范解答】解：由题意得，中间小正方形的面积大正方形的面积个小长方形的面积， 大正方形的面积，小正方形的面积， ， 解得，． 故答案为：4，3． 【考点评析】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，利用几何图形面积公式和或差列等式进行计算． 【变式2】（2022•沭阳县校级模拟）如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有，的正确的等式　　． 【思路点拨】根据面积的和差，可得答案． 【规范解答】解：由面积相等，得 ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了完全平方公式，利用面积的不同表示是解题关键． 【变式3】．（2023•建湖县校级模拟）【探究】 若满足，求的值． 设，，则，， ； 【应用】 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若满足，求的值； 【拓展】 （2）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是8，分别以、为边作正方形． ①　　，　　；（用含的式子表示） ②求阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）仿照题中所给的解答方式进行求解即可； （2）①分析图形可知，，从而可得解； ②根据矩形的面积公式以及正方形的面积公式以及完全平方公式求解即可． 【规范解答】解：（1）设，， 则，， ； （2）①四边形是长方形，，四边形是正方形， ，， ， ， 故答案为：，； ②长方形的面积是8， ， 阴影部分的面积． 设，，则，， ， ， 又， ， ． 即阴影部分的面积12． 【考点评析】本题考查了完全平方公式的几何背景．应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． 考点14：平方差公式的几何背景 【例14】（2024•启东市一模）如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成如图的长方形，则可以验证下列等式成立的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】分别将图①和图②中阴影部分的面积表示出来，二者相等即可得到答案． 【规范解答】解：图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， ． 故选：． 【考点评析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握长方形和正方形的面积公式是本题的关键． 【变式1】（2019秋•丹徒区期中）如图，边长为的正方形纸片，剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由于边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长． 【规范解答】解：依题意得剩余部分的面积为： ， 而拼成的矩形一边长为3， 另一边长是． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则． 【变式2】（2022•宿迁三模）数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 　①②　．（请填上正确的序号） 【思路点拨】针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案． 【规范解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，不可以验证平方差公式． 故答案为：①②． 【考点评析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前后的面积是得出答案的前提． 考点15：整式的除法 【例15】（2022•建湖县二模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用算术平方根的意义，整式的乘法法则，乘方的意义，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案． 【规范解答】解：， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项符合题意； ， 选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了算术平方根，整式的除法，完全平方公式，掌握算术平方根的意义，整式的除法法则，乘方的意义，完全平方公式的特点是解决问题的关键． 【变式1】（2020•如东县模拟）下列计算错误的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用二次根式的性质以及整式的除法运算法则、幂的乘方运算法则分别化简得出答案． 【规范解答】解：、，计算正确，不合题意； 、，计算正确，不合题意； 、，计算正确，不合题意； 、，原式计算错误，符合题意． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了二次根式的性质以及整式的除法运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式2】（2024•海州区二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识求解即可求得答案． 【规范解答】解：、，故错误； 、，故正确； 、，故错误； 、，故错误． 故选：． 【考点评析】本题主要考查了同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方和完全平方公式的知识，解题的关键是熟记法则． 考点16：整式的混合运算 【例16】（2024•滨海县一模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式除单项式、单项式乘单项式法则逐项判断即可． 【规范解答】解：，故不正确，不符合题意； ，故不正确，不符合题意； ，故正确，符合题意； ，故不正确，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查整式运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式除单项式、单项式乘单项式法则． 【变式1】．（2024•惠山区校级模拟）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【规范解答】解：，故选项正确，符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【变式2】（2021春•奉化区校级期末）如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形（正方形和正方形．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为　　 A．100 B．96 C．90 D．86 【思路点拨】设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积． 【规范解答】解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为：，宽为：，故， 的长为：，，宽为：，故， 的长为：，宽为：，故， ， ， ， ， ． 故选：． 【考点评析】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 考点17：整式的混合运算—化简求值 【例17】（2024•六合区校级三模）先化简，再求值：，其中，． 【思路点拨】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【规范解答】解： ， 当，时， 原式 ． 【考点评析】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． 【变式1】（2023•宝应县模拟）计算或化简： （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【思路点拨】（1）直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数的性质、绝对值的性质、二次根式分别化简得出答案； （2）根据平方差公式、完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当，时， 原式． 【考点评析】本题考查了实数的运算，整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 【变式2】（2022•海门市二模）（1）先化简，再求值：，其中； （2）解方程：． 【思路点拨】（1）先根据多项式乘多项式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【规范解答】解：（1） ， 当时，原式； （2）， 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即原方程无解． 【考点评析】本题考查了整式的化简求值和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键． 考点18：因式分解-提公因式法 【例18】（2024•玄武区校级三模）因式分解：　　． 【思路点拨】先提公因式，再利用平方差公式分解即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了提公因式法与公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【变式1】（2023•苏州）因式分解：　　． 【思路点拨】直接把公因式提出来即可． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是是解题的关键． 【变式2】（2023•东台市一模）因式分解：　　． 【思路点拨】观察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案． 【规范解答】解：． 【考点评析】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题 考点19：因式分解-运用公式法 【例19】（2024•宿豫区三模）因式分解：　　． 【思路点拨】根据公式法分解因式即可． 【规范解答】解：原式， 故答案为：． 【考点评析】本题是对因式分解的考查，熟练掌握因式分解的公式法是解决本题的关键． 【变式1】（2020•建湖县模拟）若多项式能用完全平方公式分解因式，则的值是　　． 【思路点拨】利用完全平方公式、计算即可． 【规范解答】解：， 即， ． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键． 【变式2】（2021•盐城一模）把多项式分解因式的结果是　　． 【思路点拨】原式利用平方差公式分解即可． 【规范解答】解：原式， 故答案为： 【考点评析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 考点20：提公因式法与公式法的综合运用 【例20】（2020•邗江区校级一模）因式分解：　　． 【思路点拨】先提公因式，然后根据平方差公式可以对原式进行因式分解． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是明确因式分解的方法． 【变式1】（2020•仪征市模拟）因式分解：　　． 【思路点拨】原式提取4，再利用完全平方公式分解即可． 【规范解答】解：原式， 故答案为： 【考点评析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【变式2】（2024•睢宁县校级模拟）分解因式：　　． 【思路点拨】原式提取3，再利用平方差公式分解即可． 【规范解答】解：原式， 故答案为： 【考点评析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 考点21：因式分解-分组分解法 【例21】（2021•高邮市模拟）分解因式：　　． 【思路点拨】先分组，再根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可． 【规范解答】解：原式， 故答案为：． 【考点评析】本题考查分组分解法、完全平方公式、平方差公式，掌握分组的原则和公式的特征是正确解答的前提． 【变式1】（2019•亭湖区校级模拟）分解因式：　　． 【思路点拨】前3项为一组，运用十字相乘法分解因式，后2项为一组，两组之间再提取公因式即可． 【规范解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了分组分解法分解因式，十字相乘法分解因式，多项式有3项以上时，考虑分组分解法，再根据2项式和3项式的分解方法进行分解． 【变式2】（2019•崇川区模拟）（1）计算； （2）分解因式． 【思路点拨】（1）直接利用负指数幂的性质以及结合零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简进而得出答案； （2）直接提取公因式，进而分解因式得出答案． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】此题主要考查了实数运算以及分解因式，正确化简各数是解题关键． 考点22：因式分解-十字相乘法等 【例22】（2023•梁溪区校级模拟）下列因式分解正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】各式分解得到结果，即可作出判断． 【规范解答】解：、原式，不符合题意； 、原式，符合题意； 、原式，不符合题意； 、原式不能分解，不符合题意． 故选：． 【考点评析】此题考查了因式分解十字相乘法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【变式1】（2024•盐城模拟）分解因式：　　． 【思路点拨】首先提取公因式，再利用十字相乘法分解因式得出答案． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键． 【变式2】（2021•广陵区校级模拟）分解因式：　　． 【思路点拨】原式利用十字相乘法分解即可． 【规范解答】解：原式 ． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． 考点23：实数范围内分解因式 【例23】（2017•江阴市校级一模）在实数范围内分解因式　　． 【思路点拨】对一个多项式进行因式分解时，当要求在实数范围内进行因式分解时，分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．本题和16分别是和的平方，并且符号相反，因此可采用平方差公式进行分解，分解后再根据式子特点继续分解． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 【变式1】（2019•姑苏区校级二模）在实数范围内分解因式：　　． 【思路点拨】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【规范解答】解：原式， 故答案为： 【考点评析】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 【变式2】（2024•沭阳县校级三模）在实数范围内分解因式：　　． 【思路点拨】提取公因式后运用平方差公式进行二次分解即可． 【规范解答】解：． 【考点评析】本题考查提公因式法、平方差公式分解因式，把2写成是继续利用平方差公式进行因式分解的关键． 考点24：因式分解的应用 【例24】（2024•南通二模）定义：如果两个实数，满足，则称，为一对“互助数”．已知，为实数，且，是一对“互助数”．若，则的值可以为　　 A． B．6 C． D．3 【思路点拨】根据题意，互助数，应满足，因此，化简得：，将每个选项的数字代入，看能否求解出符合要求的实数、即可． 【规范解答】解：根据题意，互助数，应满足， 因此， 化简得：； ．若，则，，，故选项正确； ．若，则，，，故选项错误； ．若，则，，，故选项错误； ．若，则，，明显不符合题意，故选项错误； 故选：． 【考点评析】本题考查的是因式分解的应用，关键在于根据互助数的定义，得到，然后将每个选项的数字代入验证即可． 【变式1】（2024•南通一模）已知实数，满足，，．其中为自然数，则的最小值是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【思路点拨】由原式知，，进一步变形得 ，因为，所以，得，代入得，，配方法求极值． 【规范解答】解：由原式知，， ， ， 代入得，， 整理，得 ， 自然数的最小值为6 故选． 【考点评析】本题考查等式的基本性质，平方差公式、完全平方公式、配方法求极值；根据式子的具体特征，结合乘法公式对代数式作恒等变形是解题的关键． 【变式2】（2023•盐都区三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为某个正数的平方． 举例验证：（1）当，，则　4　； 推理证明：小刚同学做了如下的证明： 设， ，是连续的正整数， ． ， 　　． 一定是正数的平方数． （2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容； （注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可） 类比探究： （3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论； 深入思考： （4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若，为两个连续正整数，，，则一定是 　　．（填：奇数、偶数） 【思路点拨】（1）根据猜想计算即可； （2）把代入即可； （3）设，由，是连续的正整数，可得．在计算即可； （4）首先根据题意推出，即可求出关于的表达式，然后把，，代入到的表达式，通过为自然数及根式的性质对根式进一步化简，即可推出，由此可知总是奇数． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：4， （2）证明：设， ，是连续的正整数， ， ， ， 一定是正数的平方数． 故答案为：， （3）证明：设， ，是连续的正整数， ， ， ， 任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方． （4）解：，是两个连续自然数，且， ，， ， ， ， 是自然数， ，， ， 总是奇数． 故答案为：奇数． 【考点评析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的化简，奇数的性质等知识点，关键在于通过题意推出和关于的表达式 第二部分：高频题型洞悉 题型1：代数式的相关概念与列代数式 【例1】（2024•高港区三模）用面积为1，3，4，8的四张长方形纸片拼成如图所示的一个大长方形，则图中阴影的面积为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设面积为1的长方形长、宽分别为、，则，根据面积发分别计算面积为3、4、8的长、宽，用、表示阴影部分的面积，即可解题． 【规范解答】解：如图，设面积为1的长方形长、宽分别为、，则，， 面积为3的长方形宽为，长为， 面积为4的长方形和面积为8的长方形的长相等，则宽的比例为， 故面积为4的长方形的宽为，长为， ， 阴影部分的面积为和面积之和， 阴影部分的面积为， 故选：． 【考点评析】本题考查了长方形面积的计算，考查了三角形面积的计算，本题中求的长是解题的关键． 【变式1】（2024•盐城模拟）如图是三角形数阵，，则：若，相等，则用含的式子表示，　　． 【思路点拨】根据前面两个三角形数阵中数字的位置与算式之间的关系得到三个字母、和之间的关系式，再根据和之间的大小关系把换成即可． 【规范解答】解：前边两个三角形数阵中右下角的数字等于左下角数字的2倍再加上上面的数字， 第三个数阵中三个字母之间的关系为：， 又，相等， ． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查数字的变化规律，认真观察三角形数阵，发现其中的数字之间的关系是解决问题的关键． 【变式2】（2024•盐都区三模）观察下面的等式：，，， （1）根据题目中规律的格式，写出的结果为　　； （2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）； （3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【思路点拨】（1）根据前4个等式，写出结果即可； （2）根据上述等式，可得一般规律：第个等式为； （3）证明等式左边等式右边即可． 【规范解答】解：（1）， 故答案为：． （2）根据上述等式，可得一般规律：第个等式为； （3）推理如下： 等式左边 等式右边， 故等式成立． 【考点评析】本题考查的是数字的变化规律，有理数的混合运算和列代数式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 【变式3】．（2024•秦淮区校级三模）某汽车店去年销售燃油汽车辆，新能源汽车辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半．今年计划销售燃油汽车比去年减少，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变． （1）今年燃油汽车计划的销量为 　　辆（用含或的代数式表示）． （2）若今年计划的总销量就比去年增加，求的值． 【思路点拨】（1）根据今年计划销售燃油汽车比去年减少列出代数式即可； （2）分别计算去年、今年的总销量，然后列出方程求解即可． 【规范解答】解：（1）某汽车店去年销售燃油汽车辆，今年计划销售燃油汽车比去年减少， 今年燃油汽车计划的销量为，即辆， 故答案为：； （2）某汽车店去年销售燃油汽车辆，新能源汽车辆，混动汽车的销量是燃油车辆的一半， 混动汽车的销量是辆， 去年总销量为辆，即辆， 今年计划销售燃油汽车比去年减少，新能源汽车是去年的2倍，混动汽车保持不变， 今年总销量为辆，即辆， 由题意得，， 解得． 【考点评析】本题考查了列代数式以及分式的值，读懂题意，正确列出代数式是解题的关键． 题型2：同类项与合并同类项 【例2】（2024•盐城三模）下列计算，正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【规范解答】解：、与不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】（2024•宿迁三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据二次根式的性质、合并同类项的方法、完全平方式进行解题即可． 【规范解答】解：、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查二次根式的性质与化简、合并同类项、完全平方式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【变式2】（2024•东台市一模）下列运算：①；②；③；④；正确的是　　 A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【思路点拨】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【规范解答】解：①，故该项正确； ②，故该项不正确； ③．故该项正确； ④，故该项正确； 故正确的有①③④． 故选：． 【考点评析】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3】（2020•苏州）若单项式与单项式是同类项，则　4　． 【思路点拨】根据同类项的意义，列方程组求解即可． 【规范解答】解：单项式与单项式是同类项， ， ， 故答案为：4． 【考点评析】本题考查同类项的意义，理解同类项的意义是正确解答的前提． 题型3：实数指数幂及其运算法则 【例3】（2024•无锡模拟）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】运用完全平方公式、开平方、单项式的乘法和减法进行计算，即可得出结论． 【规范解答】解：、，故此选项计算正确，符合题意． 、，故此选项计算错误，不符合题意． 、，故此选项计算错误，不符合题意． 、，故此选项计算错误，不符合题意． 故选：． 【考点评析】此题考查了完全平方公式、开平方、单项式的乘法和减法，熟练掌握相关运算的运算法则，并能准确运用其求解是解题的关键． 【变式1】（2024•江都区一模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【规范解答】解：、与不是同类项，不能进行合并，故该不项正确，不符合题意； 、，故该不项正确，不符合题意； 、，故该不项正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式2】（2024•沛县校级三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【规范解答】解：、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式3】（2024•连云港二模）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用合并同类项法则，幂的乘方法则，同底数幂乘除法法则逐项判断即可． 【规范解答】解：与不是同类项，无法合并，则选项不符合题意； ，则选项不符合题意； ，则选项不符合题意； ，则选项符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型4：完全平方公式与平方差公式及其应用 【例4】（2024•盐都区校级一模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据完全平方式、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可． 【规范解答】解：、，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项正确，符合题意； 、与不是同类项，不能进行合并，故该项不正确，不符合题意； 、，故该项不正确，不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查完全平方式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】（2024•宿豫区一模）下列运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用合并同类项法则，同底数幂乘法法则，完全平方公式，幂的乘方法则逐项判断即可． 【规范解答】解：与无法合并，则不符合题意； ，则符合题意； ，则不符合题意； ，则不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式2】（2024•宜兴市模拟）计算： （1）计算：； （2）化简：． 【思路点拨】（1）利用特殊锐角三角函数值，零指数幂及负整数指数幂计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则，完全平方公式计算即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】本题考查实数与整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【变式3】（2024•高邮市三模）（1）计算：； （2）化简：． 【思路点拨】（1）利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质计算即可； （2）利用平方差公式，单项式乘多项式法则计算即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，二次根式的性质，整式的运算，平方差公式，单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 题型5：整式的混合运算与化简求值 【例5】（2024•秦淮区模拟）若为整数，则代数式的值一定可以　　 A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被9整除 【思路点拨】先运用多项式乘多项式和合并同类项对该式进行计算，再运用因式分解进行求解． 【规范解答】解： ， 该代数式的值一定可以被3整除， 故选：． 【考点评析】此题考查了多项式乘多项式的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算、变形． 【变式1】（2023•海安市校级二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用同底数幂的乘法法则、多项式乘多项式法则、积的乘方法则、合并同类项法则逐个计算得结论． 【规范解答】解：．，故选项计算错误； ．，故选项计算错误； ．，故选项计算正确； ．，故选项计算错误． 故选：． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键． 【变式2】（2023•靖江市校级三模）已知是方程的一个根，则代数式的值　3　． 【思路点拨】根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后再对多项式进行去括号，合并同类项，最后把代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【规范解答】解：是方程的一个根， ， ， ， 当时，原式 ， 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式3】（2024•无锡模拟）计算或化简 （1）计算：． （2）化简：． 【思路点拨】（1）根据负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值和绝对值的性质进行计算即可； （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】本题主要考查了实数和整式的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、完全平方公式和单项式乘多项式法则． 题型6：因式分解及其应用 【例6】（2023•盐都区三模）小明提出这样一个猜想：对于任意两个连续的正整数、，它们的乘积与较大数的和一定为某个正数的平方． 举例验证：（1）当，，则　4　； 推理证明：小刚同学做了如下的证明： 设， ，是连续的正整数， ． ， 　　． 一定是正数的平方数． （2）请你补上小刚同学的证明过程的空格所缺内容； （注：推理论证中的两个是同一个代数式，答题卡上只需填写一个即可） 类比探究： （3）小红同学类比小刚同学的证明方法，提出“任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方”，请证明该结论； 深入思考： （4）老师在三位同学的基础上，鼓励同学们继续探究：若，为两个连续正整数，，，则一定是 　　．（填：奇数、偶数） 【思路点拨】（1）根据猜想计算即可； （2）把代入即可； （3）设，由，是连续的正整数，可得．在计算即可； （4）首先根据题意推出，即可求出关于的表达式，然后把，，代入到的表达式，通过为自然数及根式的性质对根式进一步化简，即可推出，由此可知总是奇数． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：4， （2）证明：设， ，是连续的正整数， ， ， ， 一定是正数的平方数． 故答案为：， （3）证明：设， ，是连续的正整数， ， ， ， 任意两个连续正整数的乘积与较小数的差也为某个正数的平方． （4）解：，是两个连续自然数，且， ，， ， ， ， 是自然数， ，， ， 总是奇数． 故答案为：奇数． 【考点评析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的化简，奇数的性质等知识点，关键在于通过题意推出和关于的表达式． 【变式1】（2022•常州自主招生）因式分解：　　． 【思路点拨】先分组，再利用完全平方公式，最后把看成一个整体，运用十字相乘法分解． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了整式的因式分解，掌握完全平方公式、整体的思想和十字相乘法是解决本题的关键． 【变式2】（2022•扬州三模）因式分解：　　． 【思路点拨】先提取公因式，再利用平方差公式． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键． 基础夯实训练 1．（2024•宿豫区三模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据合并同类项法则，同底数幂的除法的运算法则，积的乘方的运算法则解答即可． 【规范解答】解：、，不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 、，原计算错误，故此选项不符合题意； 、，原计算错误，故此选项不符合题意； 、，原计算正确，故此选项符合题意． 故选：． 【考点评析】此题考查了同底数幂的除法，积的乘方，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 2．（2024•泗阳县二模）对于任意整数，多项式都能　　 A．被整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【思路点拨】先根据平方差公式对原式进行变形，即原式，而是任意整数，因此多项式都能被整除． 【规范解答】解：原式 ， 是任意整数， 多项式都能被整除， 故选：． 【考点评析】本题考查的是因式分解的应用和整式的除法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 3．（2024•邗江区校级三模）下列运算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】运用合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂的除法法则进行逐一计算、辨别． 【规范解答】解：， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项不符合题意； ， 选项符合题意， 故选：． 【考点评析】此题考查了合并同类项、同底数幂相乘、同底数幂除法的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 4．（2024•邗江区二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据完全平方公式，合并同类项和幂的乘方与积的乘方等知识点计算即可． 【规范解答】解：、，故选项不符合题意； 、，故选项不符合题意； 、，故选项不符合题意； 、，故选项符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查的是完全平方公式，合并同类项和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 5．（2024•玄武区校级三模）因式分解：　　． 【思路点拨】先提公因式，再利用平方差公式分解即可． 【规范解答】解：， 故答案为：． 【考点评析】此题考查了提公因式法与公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 6．（2024•新吴区一模）计算：　　． 【思路点拨】先按照混合运算法则，先算乘方，再根据单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则算乘法，最后算加减即可． 【规范解答】解：原式 ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则和同底数幂相乘法则． 7．（2023•靖江市二模）当，时，代数式的值为 　3　． 【思路点拨】利用加减消元法消去即可求解． 【规范解答】解：，整理得①， ，整理得②， ②得③， ③①得， 故答案为：3． 【考点评析】本题考查了加减消元法，利用了消元的思想，利用加减消元法消去是解题的关键． 8.（2024•亭湖区三模）先化简：，再从的整数中选取一个你喜欢的的值代入求值． 【思路点拨】先根据分式的混合运算法则进行化简，再进行代入计算． 【规范解答】解：原式 ， 的范围内的整数为，，0， 又当或时，分式无意义， 可以取0或， 当时，原式； 或当时，原式． 【考点评析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 9．（2023•泉山区校级三模）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）利用负指数幂的性质，化简二次根式，绝对值的性质进行计算，先算乘方和开方，最后算加减即可； （2）先把化成分母是的分式，然后利用同分母的分式相加减的方法进行计算． 【规范解答】解：（1）原式， ； （2）原式， ， ． 【考点评析】本题主要考查了有理数的混合运算和分式的加减运算，解题关键是熟练掌握负指数幂的性质，化简二次根式，绝对值的性质和分式的通分． 10．（2023•靖江市模拟）化简求值：，其中是不等式组的一个整数解． 【思路点拨】利用分式的混合运算法则将分式化简，求得一元一次不等式组的整数解，利用分母不为0，求得的值，将的值代入运算即可得出结论． 【规范解答】解：原式 ， 不等式组的解集为， 原不等式的整数解为0，1，2， 由题意：且， ， 原式． 【考点评析】本题主要考查了分式的混合运算，一元一次不等式组的整数解，利用已知条件求得的值是解题的关键． 能力拔高训练 1．（2024•海安市一模）已知，则满足等式的的值可以是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由得，当时，不合适．当时，，代入选项、、均不合适，故选． 【规范解答】解：， ， ， 当时，即时， 左边，右边，左边右边， 舍去． 当时， ， 代入选项、、均不合适， 故选：． 【考点评析】本题考查了因式分解的知识，掌握顶点式是解题关键． 2．（2024•灌南县二模）下列运算正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：、与不能合并，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2024•大丰区模拟）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【规范解答】解：原式 ， 故选：． 【考点评析】本题考查的是幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 4．（2023•海陵区校级模拟）若，则代数式的值是 　3　． 【思路点拨】先运用完全平方公式和非负数的性质求得和的值，再将变形为后代入、求解． 【规范解答】解：， ， ，， 解得，， ， 故答案为：3． 【考点评析】此题考查了非负数的性质、完全平方公式、因式分解的综合运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 5．（2024•宿迁模拟）若，，则　　． 【思路点拨】根据已知条件逆用同底数幂相乘法则进行计算即可． 【规范解答】解：，， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则． 6．（2024•高邮市校级模拟）（1）计算； （2）解方程：． 【思路点拨】（1）先将特殊角的三角函数值代入，计算绝对值、零指数幂，再进行实数的混合运算即可作答； （2）采用因式分解法即可求解． 【规范解答】解：（1） ； （2）， ， 有或， 则，， 故原方程的解为：，． 【考点评析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，利用因式分解法解一元二次方程等知识，掌握负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值是解题的关键． 7．（2022•淮安）（1）计算：； （2）化简：． 【思路点拨】（1）先计算零次幂、代入特殊角的函数值，再化简绝对值，最后算加法； （2）先通分计算括号里面的，再把除法转化为乘法． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】本题考查了实数和分式的运算，掌握零次幂、绝对值的意义及分式的运算法则是解决本题的关键． 8．（2024•镇江一模）（1）计算：； （2）化简：． 【思路点拨】（1）根据特殊角的三角函数值和绝对值的性质，先算乘法和去绝对值符号，再把二次根式化成最简二次根式，进行计算即可； （2）先把分母化成同分母，然后按照同分母的分式相加减法则进行计算，最后把分子分解因式再约分即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【考点评析】本题主要考查了实数和分式的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、绝对值的性质、分式的通分和约分． 9．（2023•射阳县校级模拟）先化简，再求值：，其中． 【思路点拨】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可． 【规范解答】解： ， 当时，原式． 【考点评析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 10．（2021•广陵区二模）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【思路点拨】（1）利用负整数指数幂的意义，二次根式的性质，特殊角的三角函数值和零指数幂的意义化简计算即可； （2）将多项式利用完全平方公式，单项式乘多项式的运算法则化简合并后因式分解，利用整体代入的方法解答即可． 【规范解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ， ， 原式． 【考点评析】本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，二次根式的性质，特殊角的三角函数值和零指数幂的意义，整式的混合运算与化简求值，完全平方公式，准确使用上述法则与公式进行运算是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$