第01讲 实数及其运算（讲练）（思维导图+14考点+6种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第一章 数与式 第01讲 实数及其运算（3~6分） （思维导图+14考点+6种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 实数的分类 4 重点考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 5 重点考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 7 重点考点四 实数比较大小 8 重点考点五 平方根、算术平方根、立方根 9 重点考点六 实数的运算（高频考点） 11 题型精研 考向洞悉 12 第一部分：常考考点讲练 12 考点1：数轴 12 考点2：相反数 13 考点3：绝对值 14 考点4：科学记数法 14 考点5：平方根 16 考点6：算术平方根 16 考点7：立方根 17 考点8：无理数 18 考点9：实数 19 考点10：实数的性质 19 考点11：实数与数轴 20 考点12：实数大小比较 22 考点13：估算无理数的大小 23 考点14：实数的运算 24 第二部分：高频题型洞悉 25 题型1：有关实数的大小比较 25 题型2：有关实数的计算问题 27 题型3：无理数的估算 29 题型4：有关实数与数轴的简单应用题 30 题型5：有关实数与数轴的复杂应用题 31 题型6：数轴中的数形结合思想 35 分层训练 巩固提升 38 基础夯实训练 38 能力拔高训练 42 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 10年8考 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 近10年连续考查 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 重点考点一 实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 判断一个数是有理数或无理数的方法 关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、 等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 4 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 重点考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 乘方 n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数， 乘方的结果叫做幂. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数. 规定：a0=1（a≠0） 1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数. 2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）. 3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆． 1.数轴上的动点问题 解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解.而对于建立在数轴上的动点问题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路.一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程. 因此解决数轴上的动点问题要明确以下几个问题： 1.找出动点的基准坐标，即运动的起始坐标； 2.算出动点运动后的坐标： 向右运动：运动后的坐标 = 基准坐标 + 运动路程； 向左运动：运动后的坐标 = 基准坐标 - 运动路程； 3.表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数； 4.列方程：根据运动的关系或题目中的条件，列出方程，未知数通常是运动时间t、速度v或所求坐标； 5.求解 2.利用零点分段法化简绝对值 零点:使得绝对值符号内的代数式为0的未知数的值，称为绝对值的零点 利用零点分段法去绝对值符号的方法： 1.化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号，先根据所给的条件,确定绝对值符号内的数的正负(即a>0，a<0，还是a =0)如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论. 2.分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数(或式子)等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点(零点)将数轴分成了若干段，在每一小段上，绝对值内代数式的符号都是能够判定的；最后依次在每一段上化简原式，这种方法被称为零点分段法 零点分段法的具体步骤：1.找零点;2.分区间; 3.定正负;4.去符号. 重点考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 近似数 近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字 1.含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值. 2.科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数； n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 3.对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105. 4.用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0. 重点考点四 实数比较大小 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b 2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b 3)任意负实数a，b，a/b>1a<b , a/b<1a>b 1.取近似值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: √2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236 2.添加根号法：如果两个数都是正数，且一个带根号.一个不带根号时，可以将不带根号写成带根号的形式根据“两个正无理数，被开方数大的那个数大”，即可与另一个含根号的数比较大小. 3.放缩法：将一个实数取比它大的整数，而另一个实数取比它小的整数，通过这两个整数的大小即可比较两个实数的大小.（例如：比较√3和2.5大小.∵√3<2,2<2.5 ∴√3<2.5） 重点考点五 平方根、算术平方根、立方根 相关概念 概念 补充与拓展 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为√a，a叫做被开方数. 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 正数有两个平方根，且它们互为相反数. 0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 立方根 如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根 正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 常见实数的平方根与立方根： 实数的非负性及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数. 2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 1. 一个正数a的算数平方根用符号表示为√a，一个非负数a的平方根用符号表示为±√a；一个数a的立方根用符号表示为3√a 2. 0的算术平方根、平方根和立方根都是0； 平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1. 3. 有时候题目会故意没有把√a去根号，这时候就要注意千万不要把√a的平方根当作a的平方根，要先把√a去根号，再求平方根． 重点考点六 实数的运算（高频考点） 常见的实数运算： 三角函数 30° 45° 60° 1 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 实数运算的“两个关键”： 1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 第一部分：常考考点讲练 考点1：数轴 【例1】（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是　　 A． B．1 C．2 D．3 【变式1】（2024•灌云县一模）点在数轴上的位置如图所示，将点向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数是　　 A．4 B．3 C． D． 考点2：相反数 【例2】（2024•盐城）2024的相反数是　　 A．2024 B． C． D． 【变式1】（2024•盐城二模）若的相反数是，则的值为　　 A． B． C． D．2023 考点3：绝对值 【例3】（2024•常州）的绝对值是　　 A． B． C． D．2024 【变式1】（2024•南京模拟）实数，满足，，下列结论：①，②，③，④．其中所有正确结论的序号是　　 A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 考点4：科学记数法 【例4】（2024•灌云县二模）中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•常州）2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼” 近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系亿光年用科学记数法表示为　　 A．光年 B．光年 C．光年 D．光年 【变式2】（2024•无锡模拟）用打印技术打印出的高精密游标卡尺，其误差只有米，将0.000063用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•锡山区校级一模）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为 　　． 考点5：平方根 【例5】（2024•浦口区校级三模）已知，则的值为　　 A．3 B． C． D． 【变式1】（2024•沛县校级模拟）36的平方根是 　　． 考点6：算术平方根 【例6】（2024•南京模拟）9的平方根是　　 A． B．3 C． D． 【变式1】（2024•鼓楼区校级模拟）有理数2的平方根是　　 A．4 B． C． D． 考点7：立方根 【例7】（2024•盐城模拟）下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•梁溪区二模）8的立方根是 　 ． 考点8：无理数 【例8】（2024•姜堰区二模）下列实数中是无理数的是　　 A． B．3.14 C． D． 【变式1】（2024•亭湖区一模）下列各数中，是无理数的是　　 A． B． C．0.24 D．2024 【变式2】（2024•海安市二模）如图，点在线段上，且表示一个无理数，则可以是 　 　（写出一个即可） 考点9：实数 【例9】（2024•盐城三模）下列数中，属于有理数的是　　 A． B． C． D．0 【变式1】（2024•高新区一模）在下列实数中，是有理数的是　　 A． B． C． D． 考点10：实数的性质 【例10】（2024•扬州三模）在下列四个实数中，2024的倒数是　　 A． B． C．2024 D． 【变式1】（2024•海安市模拟）已知是整数，当取最小值时，的值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（2024•秦淮区模拟）的倒数是 　　；的平方是 　　． 考点11：实数与数轴 【例11】（2024•海州区校级二模）如图所示，在数轴上点为原点，将线段逆时针旋转，第一次与数轴相交于点时，点所表示的数是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•鼓楼区校级模拟）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•盱眙县校级一模）实数、在数轴．上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 考点12：实数大小比较 【例12】（2024•启东市一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•鼓楼区二模）下列四个数中，最小的数是　　 A． B．0 C．2 D． 【变式2】（2024•灌云县二模）已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则　　0（填“”，“ ”或“” ． 考点13：估算无理数的大小 【例13】（2024•丰县一模）与最接近的整数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2024•沛县校级二模）整数满足，则的值为　　 A．5 B．4 C．3 D．6 【变式2】（2024•崇川区校级模拟）估计的值应在　　 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 考点14：实数的运算 【例14】（2024•梁溪区一模）阅读理解：为了解决负数开平方问题，数学家大胆的引入一个符号，把叫做虚数单位，并且规定，我们把形如、为实数）的数叫做复数．复数的四则运算与整式的四则运算类似．例如： ； ． 根据以上信息，的运算结果是　　 A．21 B．29 C． D． 【变式2】（2024•响水县二模）计算：． 第二部分：高频题型洞悉 题型1：有关实数的大小比较 【例1】（2024•泗阳县三模）下列数中比大的数是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•铜山区二模）已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•南京模拟）如图，数轴上、两点分别对应实数、，则下列结论①，②，③，④，其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型2：有关实数的计算问题 【例2】（2024•武进区校级一模）计算：　　． 【变式1】（2024•苏州模拟）为了积极倡导“绿色出行，低碳生活”，某市积极构建公共绿色交通体系，公共自行车的投入使用给市民的出行带来很多便利．某学校研究性学习小组为了解某小区一周内公共自行车的使用情况，随机调查了该小区部分居民一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间（单位：分钟），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图，如图所示．请你根据图表提供的信息解答下列问题： 平均每天骑车时间统计表 组别 骑车时间（分钟） 人数（频数） 16 28 4 （1）　　，　　； （2）随机抽取的这部分居民平均每天骑车时间的中位数落在 　　组（填组别字母）； （3）若该小区居民总数为2400人，试估计该小区一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间（分钟）的人数． 【变式2】（2024•天宁区校级一模）计算：． 题型3：无理数的估算 【例3】（2024•亭湖区校级二模）点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•秦淮区校级三模）设为正整数，若，则的值为 　　． 【变式2】（2024•连云区二模）估计的运算结果应在　　 A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 题型4：有关实数与数轴的简单应用题 【例4】（2024•盐城二模）实数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中一定正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•徐州）如图，数轴上点、、、分别对应实数、、、，下列各式的值最小的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•玄武区一模）如图，数轴上，两点分别对应实数，，下列结论中一定正确的是　　 A． B． C． D． 题型5：有关实数与数轴的复杂应用题 【例5】（2024秋•吴江区月考）【数学概念】如图，、为数轴上不重合的两个点，为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“靠近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点到线段的“靠近距离”． 【概念理解】如图①，点表示的数是，点表示的数是2． （1）若点表示的数是，则点到线段的“靠近距离”为 　　； （2）若点表示的数是，点到线段的“靠近距离”为3，则的值为 　　（写出所有结果）； 【概念应用】 （3）如图②，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是2．点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动的时间为秒，当点到线段的“靠近距离”为2时，求的值． 【变式1】（2023秋•泰兴市期末）已知点、、、在数轴上，点和点表示的数分别为、2，点在点的右侧，点在点的右侧，且，． （1）直接写出点和点表示的数分别为：　　、　　； （2）若线段沿着数轴向右以2个单位长度秒的速度运动，同时线段沿着数轴向左以1个单位长度秒的速度运动，设运动的时间为（秒，． ①若和重合，则的值为 　　，若和重合，则的值为 　　； ②若线段和线段重叠部分为1个单位长度，求运动时间的值； ③当时，下面两个式子：①；②中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是 　　（填写序号），并求这个定值． 【变式2】（2024秋•无锡月考）如图在数轴上点表示数，点表示数，、满足． （1）点表示的数为　　；点表示的数为　　； （2）一小球甲从点处以1个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位秒的速度也向左运动，设运动的时间为（秒， ①当时，甲小球到原点的距离为　　；乙小球到原点的距离为　　；当时，甲小球到原点的距离为　　；乙小球到原点的距离为　　； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 题型6：数轴中的数形结合思想 【例6】（2024秋•广陵区校级月考）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是 　　． 【变式1】（2023秋•鼓楼区期末）阅读材料，回答问题： 如图1，点，在数轴上对应的数分别为，．若点在数轴上，且，则点表示的数为，理由如下： 设点表示的数为． ，，． ． ． （1）如图2，点，在，两点之间，对应的数分别为，，且． ①若，，则　　，　　． ②小明同学认为，，你同意吗？若同意，请证明；若不同意，请说明理由． （2）如图3，点在，两点之间，对应的数为，且．则　　（用含，，，的代数式表示）． 【变式2】（2024春•通州区校级月考）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点的纵坐标为．则以下说法错误的是　　 A．当，点是线段的中点 B．当，点一定在线段上 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 基础夯实训练 1．（2024•钟楼区校级二模）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是　　 A． B． C． D． 2．（2024•兴化市一模）估计的值在　　 A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 3．（2024•玄武区校级模拟）下列无理数中，与5最接近的是　　 A． B． C． D． 4．（2024•常州模拟）常州作为新崛起的新能源之都，澎湃起势年常州新能源产业产值超7600亿元，整车产量近68万辆，投资热度全国第一．数字7600用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 5．（2024•秦淮区模拟）的倒数是 　　；的平方是 　　． 6．（2024•武进区校级模拟）计算：　　． 7．（2024•南通二模）若，为连续整数，且，则　　． 8．（2024•惠山区一模）圆锥的底面半径为，母线为，则圆锥的侧面积为 　　（结果保留． 9．（2024•亭湖区三模）计算：． 10．（2024•江阴市模拟）计算： （1）； （2）． 11． （2024•高新区模拟）计算：． 12．（2024•仪征市一模）计算： （1）； （2）． 能力拔高训练 1．（2024•姑苏区校级一模）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达8016000000元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据8016000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 2．（2024•徐州模拟）有理数、在数轴上如图所示，下列式子错误的是　　 A． B． C． D． 3．（2024•苏州）苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 4．（2024•海州区校级二模）如图所示，在数轴上点为原点，将线段逆时针旋转，第一次与数轴相交于点时，点所表示的数是　　 A． B． C． D． 5．（2024•武进区校级模拟）81的算术平方根的平方根是　 　． 6．（2024•宝应县一模）已知，则与最接近的整数为 　　． 7．（2024•鼓楼区二模）为正整数）的近似值可以这样估算：，其中是最接近的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果很接近． （1）按照以上方法，估计的近似值（精确到； （2）结合图中思路，解释该方法的合理性． 8．（2024•盐城一模）计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数与式 第01讲 实数及其运算（3~6分） （思维导图+14考点+6种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 实数的分类 4 重点考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 5 重点考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 7 重点考点四 实数比较大小 8 重点考点五 平方根、算术平方根、立方根 9 重点考点六 实数的运算（高频考点） 11 题型精研 考向洞悉 12 第一部分：常考考点讲练 12 考点1：数轴 12 考点2：相反数 13 考点3：绝对值 14 考点4：科学记数法 14 考点5：平方根 16 考点6：算术平方根 16 考点7：立方根 17 考点8：无理数 18 考点9：实数 19 考点10：实数的性质 19 考点11：实数与数轴 20 考点12：实数大小比较 22 考点13：估算无理数的大小 23 考点14：实数的运算 24 第二部分：高频题型洞悉 25 题型1：有关实数的大小比较 25 题型2：有关实数的计算问题 27 题型3：无理数的估算 29 题型4：有关实数与数轴的简单应用题 30 题型5：有关实数与数轴的复杂应用题 31 题型6：数轴中的数形结合思想 35 分层训练 巩固提升 38 基础夯实训练 38 能力拔高训练 42 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的 10年8考 实数这一考点在中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 近10年连续考查 科学记数法、近似数 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 重点考点一 实数的分类 1、正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式：）、1.333333…（分数形式：）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 判断一个数是有理数或无理数的方法 关键：1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、 等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π，等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 4 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 重点考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 乘方 n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数， 乘方的结果叫做幂. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数. 规定：a0=1（a≠0） 1.0的相反数是0，0的绝对值是0.绝对值最小的数是0.最小的自然数是0.0是最小的非负数. 2.任何一个数都有且只有一个相反数. 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数）. 3.到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代数式|x−a|的几何意义是数轴上x所对应的点与a所对应的点之间的距离，代数式|x+a|的几何意义是数轴上x所对应的点与－a所对应的点之间的距离，不可将两者混淆． 1.数轴上的动点问题 解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解.而对于建立在数轴上的动点问题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路.一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程. 因此解决数轴上的动点问题要明确以下几个问题： 1.找出动点的基准坐标，即运动的起始坐标； 2.算出动点运动后的坐标： 向右运动：运动后的坐标 = 基准坐标 + 运动路程； 向左运动：运动后的坐标 = 基准坐标 - 运动路程； 3.表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数； 4.列方程：根据运动的关系或题目中的条件，列出方程，未知数通常是运动时间t、速度v或所求坐标； 5.求解 2.利用零点分段法化简绝对值 零点:使得绝对值符号内的代数式为0的未知数的值，称为绝对值的零点 利用零点分段法去绝对值符号的方法： 1.化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号，先根据所给的条件,确定绝对值符号内的数的正负(即a>0，a<0，还是a =0)如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论. 2.分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数(或式子)等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点(零点)将数轴分成了若干段，在每一小段上，绝对值内代数式的符号都是能够判定的；最后依次在每一段上化简原式，这种方法被称为零点分段法 零点分段法的具体步骤：1.找零点;2.分区间; 3.定正负;4.去符号. 重点考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 近似数 近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字 1.含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值. 2.科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数； n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 3.对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105. 4.用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0. 重点考点四 实数比较大小 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则 ①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若1/a>1/b，ab>0，则a<b 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a/b=1a=b 2)任意正实数a，b，a/b>1a>b , a/b<1a>b 3)任意负实数a，b，a/b>1a<b , a/b<1a>b 1.取近似值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: √2≈1.414，√3≈1.732，√5≈2.236 2.添加根号法：如果两个数都是正数，且一个带根号.一个不带根号时，可以将不带根号写成带根号的形式根据“两个正无理数，被开方数大的那个数大”，即可与另一个含根号的数比较大小. 3.放缩法：将一个实数取比它大的整数，而另一个实数取比它小的整数，通过这两个整数的大小即可比较两个实数的大小.（例如：比较√3和2.5大小.∵√3<2,2<2.5 ∴√3<2.5） 重点考点五 平方根、算术平方根、立方根 相关概念 概念 补充与拓展 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为√a，a叫做被开方数. 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 正数有两个平方根，且它们互为相反数. 0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 立方根 如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根 正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 常见实数的平方根与立方根： 实数的非负性及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数. 2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 1. 一个正数a的算数平方根用符号表示为√a，一个非负数a的平方根用符号表示为±√a；一个数a的立方根用符号表示为3√a 2. 0的算术平方根、平方根和立方根都是0； 平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1. 3. 有时候题目会故意没有把√a去根号，这时候就要注意千万不要把√a的平方根当作a的平方根，要先把√a去根号，再求平方根． 重点考点六 实数的运算（高频考点） 常见的实数运算： 三角函数 30° 45° 60° 1 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 实数运算的“两个关键”： 1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 第一部分：常考考点讲练 考点1：数轴 【例1】（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是　　 A． B．1 C．2 D．3 【思路点拨】根据，，，，而，可知1与原点距离最近． 【规范解答】解：，，，， 而， 与原点距离最近， 故选：． 【考点评析】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上点的分布特点是解题的关键． 【变式1】（2024•灌云县一模）点在数轴上的位置如图所示，将点向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数是　　 A．4 B．3 C． D． 【思路点拨】根据数轴上点平移规律：左减右加，直接求取即可得到答案． 【规范解答】解：由题意可得， 点向左移动3个单位长度得到点， 点代表的数字是：， 故选：． 【考点评析】本题主要考查数轴，掌握数轴上点平移规律：左减右加是解题的关键． 考点2：相反数 【例2】（2024•盐城）2024的相反数是　　 A．2024 B． C． D． 【思路点拨】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【规范解答】解：2024的相反数是， 故选：． 【考点评析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【变式1】（2024•盐城二模）若的相反数是，则的值为　　 A． B． C． D．2023 【思路点拨】根据相反数的定义可得答案． 【规范解答】解：若的相反数是，则的值为． 故选：． 【考点评析】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 考点3：绝对值 【例3】（2024•常州）的绝对值是　　 A． B． C． D．2024 【思路点拨】根据绝对值的意义解答即可． 【规范解答】解：的绝对值是2024， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个负数的绝对值是它的相反数是解题的关键． 【变式1】（2024•南京模拟）实数，满足，，下列结论：①，②，③，④．其中所有正确结论的序号是　　 A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 【思路点拨】根据，，得到，不论是正数还是负数，都小于，判断①④；举特殊值来判断②③． 【规范解答】解：，， ， ，故①符合题意，④符合题意； 当，时，，，故②不符合题意； 当，时，，，，故③不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了绝对值，掌握在数轴上，一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键． 考点4：科学记数法 【例4】（2024•灌云县二模）中国信息通信研究院测算，年，中国商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是非负数；当原数的绝对值时，是负数． 【规范解答】解：10.6万亿 0000 ． 故选：． 【考点评析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【变式1】（2024•常州）2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼” 近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系亿光年用科学记数法表示为　　 A．光年 B．光年 C．光年 D．光年 【思路点拨】把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【规范解答】解：50亿光年光年光年， 故选：． 【考点评析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式2】（2024•无锡模拟）用打印技术打印出的高精密游标卡尺，其误差只有米，将0.000063用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规范解答】解：， 故选：． 【考点评析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【变式3】（2024•锡山区校级一模）清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为 　　． 【思路点拨】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【规范解答】解：． 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 考点5：平方根 【例5】（2024•浦口区校级三模）已知，则的值为　　 A．3 B． C． D． 【思路点拨】根据平方根定义进行计算即可． 【规范解答】解：， ． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了平方根，掌握平方根的定义是解题关键． 【变式1】（2024•沛县校级模拟）36的平方根是 　　． 【思路点拨】如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，由此即可得到答案． 【规范解答】解：， 的平方根是． 故答案为：． 【考点评析】本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义． 考点6：算术平方根 【例6】（2024•南京模拟）9的平方根是　　 A． B．3 C． D． 【思路点拨】根据平方根的定义计算即可得出结论． 【规范解答】， 的平方根是， 故选：． 【考点评析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的运算是求平方根的关键． 【变式1】（2024•鼓楼区校级模拟）有理数2的平方根是　　 A．4 B． C． D． 【思路点拨】根据平方根的定义解答即可． 【规范解答】解：有理数2的平方根是， 故选：． 【考点评析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 考点7：立方根 【例7】（2024•盐城模拟）下列式子正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据算术平方根的定义可判断选项，，根据立方根的定义可判断选项，根据平方根的定义可判断选项． 【规范解答】解：．，选项不符合题意； ．，选项不符合题意； ．，选项不符合题意； ．，选项符合题意； 故选：． 【考点评析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根，掌握算术平方根，平方根和立方根的定义是解题的关键． 【变式1】（2024•梁溪区二模）8的立方根是 　2　． 【思路点拨】如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，由此即可得到答案． 【规范解答】解：， 的立方根是2． 故答案为：2． 【考点评析】本题考查立方根，关键是掌握立方根的定义． 考点8：无理数 【例8】（2024•姜堰区二模）下列实数中是无理数的是　　 A． B．3.14 C． D． 【思路点拨】根据无理数的三种形式，结合选项找出无理数的选项． 【规范解答】解：、，是有理数，故错误； 、3.14是有理数，故错误； 、，是有理数，故错误； 、，是无理数，故正确； 故选：． 【考点评析】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数． 【变式1】（2024•亭湖区一模）下列各数中，是无理数的是　　 A． B． C．0.24 D．2024 【思路点拨】无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【规范解答】解：，0.24是分数，2024是整数，它们都不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：． 【考点评析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式2】（2024•海安市二模）如图，点在线段上，且表示一个无理数，则可以是 　（答案不唯一）　（写出一个即可） 【思路点拨】无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案． 【规范解答】解：根据题意可得可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点评析】本题考查无理数，熟练掌握其定义是解题的关键． 考点9：实数 【例9】（2024•盐城三模）下列数中，属于有理数的是　　 A． B． C． D．0 【思路点拨】整数和分数统称为有理数，据此即可求得答案． 【规范解答】解：，，都是无限不循环小数，它们不是有理数； 0是整数，它是有理数； 故选：． 【考点评析】本题考查有理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 【变式1】（2024•高新区一模）在下列实数中，是有理数的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据有理数的定义判定即可． 【规范解答】解：有理数指整数可以看作分母为1的分数．正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数， 所给实数，有理数的是． 故选：． 【考点评析】本题考查实数，解题的关键是掌握有理数的定义． 考点10：实数的性质 【例10】（2024•扬州三模）在下列四个实数中，2024的倒数是　　 A． B． C．2024 D． 【思路点拨】根据倒数的定义，若，那么，互为倒数． 【规范解答】由倒数的定义可知，2024的倒数是． 故答案选． 【考点评析】本题考查了倒数，熟记定义是解题关键． 【变式1】（2024•海安市模拟）已知是整数，当取最小值时，的值是　　 A．5 B．6 C．7 D．8 【思路点拨】根据绝对值的意义，由与最接近的整数是5，可得结论． 【规范解答】解：， ， ， ， 与最接近的整数是5， 当取最小值时，的值是5， 故选：． 【考点评析】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键． 【变式2】（2024•秦淮区模拟）的倒数是 　　；的平方是 　　． 【思路点拨】运用倒数和算术平方根的知识进行计算、求解． 【规范解答】解：，， 的倒数是；的平方是， 故答案为：；． 【考点评析】此题考查了实数的性质和算术平方根方面的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 考点11：实数与数轴 【例11】（2024•海州区校级二模）如图所示，在数轴上点为原点，将线段逆时针旋转，第一次与数轴相交于点时，点所表示的数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用勾股定理求出，再写出点所表示的数即可． 【规范解答】解：根据题意得，， 由旋转可知，， 所以，点所表示的数是， 故选：． 【考点评析】本题考查了勾股定理和实数与数轴，解题关键是根据勾股定理求出的长； 【变式1】（2024•鼓楼区校级模拟）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】从图中判断的值和的取值范围，再根据有理数的运算及不等式的性质来计算． 【规范解答】解：从图中得出：，．（1）和相乘是负数，所以，故选项错误； （2）和相加是负数，所以，故选项错误； （3）因为，所以，故选项错误； （4）因为是正数，所以，又因为是负数，所以，即，故选项正确，所以选择； 答案为：． 【考点评析】主要考查了实数在数轴，有理数的运算，不等式的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键． 【变式2】（2024•盱眙县校级一模）实数、在数轴．上的对应点位置如图所示，下列结论中正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用数轴可知，的大小和绝对值，然后判断即可． 【规范解答】解：由数轴知，，， 错误， ，即正确， ，即错误， ，即错误． 故选：． 【考点评析】本题考查了数轴，绝对值，实数加减法，实数的大小比较，解题的关键是综合应用以上知识解题． 考点12：实数大小比较 【例12】（2024•启东市一模）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示．把，，，按照从小到大的顺序排列，正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据图示，可得，，判断出、的取值范围，把，，，按照从小到大的顺序排列即可． 【规范解答】解：根据图示，可得，， ，， ． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【变式1】（2024•鼓楼区二模）下列四个数中，最小的数是　　 A． B．0 C．2 D． 【思路点拨】实数的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【规范解答】解：， 最小的数是：． 故选：． 【考点评析】本题考查了实数数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 【变式2】（2024•灌云县二模）已知实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则　　0（填“”，“ ”或“” ． 【思路点拨】首先根据数轴判断出、的符号和大小，根据有理数的减法法则来解答即可． 【规范解答】解：，， ． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了实数与数轴，有理数的减法法则，根据数轴得出、的符号和二者绝对值的大小关系是解题的关键． 考点13：估算无理数的大小 【例13】（2024•丰县一模）与最接近的整数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据，可得，且更接近于，即可得出结果． 【规范解答】解：， ，且更接近于， 与最接近的整数是，即3， 故选：． 【考点评析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练计算出的大致范围是解题的关键． 【变式1】（2024•沛县校级二模）整数满足，则的值为　　 A．5 B．4 C．3 D．6 【思路点拨】根据夹逼法估算无理数的大小即可求出的值． 【规范解答】解：， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握夹逼法是解题的关键． 【变式2】（2024•崇川区校级模拟）估计的值应在　　 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【思路点拨】先计算二次根式的乘法，再估算出的值的范围，即可解答． 【规范解答】解： ， ， ， ， 估计的值应在3和4之间， 故选：． 【考点评析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握平方数是解题的关键． 考点14：实数的运算 【例14】（2024•梁溪区一模）阅读理解：为了解决负数开平方问题，数学家大胆的引入一个符号，把叫做虚数单位，并且规定，我们把形如、为实数）的数叫做复数．复数的四则运算与整式的四则运算类似．例如： ； ． 根据以上信息，的运算结果是　　 A．21 B．29 C． D． 【思路点拨】根据复数的四则运算的运算方法，以及，求出的运算结果即可． 【规范解答】解：． 故选：． 【考点评析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确复数的特征，以及复数的四则运算的运算方法． 【变式1】（2024•海州区校级二模）计算：． 【思路点拨】首先根据绝对值的性质、负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则以及特殊角的三角函数值进行运算，然后相加减即可． 【规范解答】解：原式 ． 【考点评析】本题主要考查了绝对值、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式2】（2024•响水县二模）计算：． 【思路点拨】分别计算负整数指数幂、零指数幂、绝对值、三角函数值、二次根式，然后算加减即可． 【规范解答】解： ． 【考点评析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键 第二部分：高频题型洞悉 题型1：有关实数的大小比较 【例1】（2024•泗阳县三模）下列数中比大的数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先估算的大小，再根据不等式的性质估算的大小，从而求出答案即可． 【规范解答】解：， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小． 【变式1】（2024•铜山区二模）已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据数轴上点的位置，可得，，根据有理数的运算，可得答案． 【规范解答】解：由数轴得， 、，故不符合题意， 、，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了数轴，利用数轴得出是解题关键，又利用了有理数的运算． 【变式2】（2023•南京模拟）如图，数轴上、两点分别对应实数、，则下列结论①，②，③，④，其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】根据有理数运算法则及图中、的取值范围逐个判断即可． 【规范解答】解：由图得，、异号， ，故①正确； ，且，， ，故②正确； ，， ，故③正确； ， 且，， ， ，故④正确； 故选：． 【考点评析】本题考查了有理数的运算法则的应用，利用数轴判断取值范围是解题关键． 题型2：有关实数的计算问题 【例2】（2024•武进区校级一模）计算：　4　． 【思路点拨】先根据乘方的意义和负整数指数幂的性质计算乘方，再算加法即可． 【规范解答】解：原式 ， 故答案为：4． 【考点评析】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握乘方的意义和负整数指数幂的性质． 【变式1】（2024•苏州模拟）为了积极倡导“绿色出行，低碳生活”，某市积极构建公共绿色交通体系，公共自行车的投入使用给市民的出行带来很多便利．某学校研究性学习小组为了解某小区一周内公共自行车的使用情况，随机调查了该小区部分居民一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间（单位：分钟），并根据调查结果列出统计表，绘制成扇形统计图，如图所示．请你根据图表提供的信息解答下列问题： 平均每天骑车时间统计表 组别 骑车时间（分钟） 人数（频数） 16 28 4 （1）　32　，　　； （2）随机抽取的这部分居民平均每天骑车时间的中位数落在 　　组（填组别字母）； （3）若该小区居民总数为2400人，试估计该小区一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间（分钟）的人数． 【思路点拨】（1）先计算出总抽取人数为：（人，则（人，； （2）根据中位数的定义即可求出结果； （3）估计该小区一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间（分钟）的人数为：，计算即可． 【规范解答】解：（1）（人， （人， ， 故答案为：32；20． （2）将骑车时间按从小到大的顺序排列，可知居民平均每天骑车时间的中位数落在组， 故答案为：． （3）（人， 答：估计该小区一周内平均每天使用公共自行车的骑车时间（分钟）的人数为960人． 【考点评析】本题考查的是扇形统计图，用样本估计总体，算术平均数，中位数和频数分布表，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 【变式2】（2024•天宁区校级一模）计算：． 【思路点拨】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【规范解答】解： ． 【考点评析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 题型3：无理数的估算 【例3】（2024•亭湖区校级二模）点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先计算出的取值范围，再对照点，，，在数轴上的位置，即可得出结果． 【规范解答】解：， ， ， 由数轴可知，只有点的取值范围在1和2之间， 故选：． 【考点评析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握的取值范围是解题的关键． 【变式1】（2024•秦淮区校级三模）设为正整数，若，则的值为 　2　． 【思路点拨】根据，可得，即可求出的值． 【规范解答】解：， ， ， ， 故答案为：2． 【考点评析】本题考查的是无理数的估算，正确掌握的取值范围是解题的关键． 【变式2】（2024•连云区二模）估计的运算结果应在　　 A．5到6之间 B．6到7之间 C．7到8之间 D．8到9之间 【思路点拨】根据平方数先估算出的值的范围，即可解答． 【规范解答】解：， ， ， 估计的运算结果应在6到7之间， 故选：． 【考点评析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 题型4：有关实数与数轴的简单应用题 【例4】（2024•盐城二模）实数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中一定正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】由数轴可知，，，由此逐一判断各选项即可． 【规范解答】解：由数轴可知，，， 、，，，故选项不符合题意； 、，，故选项符合题意； 、，，，故选项不符合题意； 、，故选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查的是实数与数轴和绝对值，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 【变式1】（2023•徐州）如图，数轴上点、、、分别对应实数、、、，下列各式的值最小的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】结合数轴得出，，，四个数的绝对值大小进行判断即可． 【规范解答】解：由数轴可得点离原点距离最远，其次是点，再次是点，点离原点距离最近， 则， 其中值最小的是， 故选：． 【考点评析】本题考查实数与数轴的关系及绝对值的几何意义，离原点越近的点所表示的数的绝对值越小是解题的关键． 【变式2】（2023•玄武区一模）如图，数轴上，两点分别对应实数，，下列结论中一定正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用有理数的加减运算法则判断、的绝对值的大小，再判断选项正误． 【规范解答】解：，， ，，， 只有正确． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了实数与数轴，解题的关键是掌握有理数的加减运算和数轴知识． 题型5：有关实数与数轴的复杂应用题 【例5】（2024秋•吴江区月考）【数学概念】如图，、为数轴上不重合的两个点，为数轴上任意一点，我们比较线段和的长度，将较短线段的长度定义为点到线段的“靠近距离”．特别地，若线段和的长度相等，则将线段或的长度定义为点到线段的“靠近距离”． 【概念理解】如图①，点表示的数是，点表示的数是2． （1）若点表示的数是，则点到线段的“靠近距离”为 　2　； （2）若点表示的数是，点到线段的“靠近距离”为3，则的值为 　　（写出所有结果）； 【概念应用】 （3）如图②，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是2．点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．设运动的时间为秒，当点到线段的“靠近距离”为2时，求的值． 【思路点拨】（1）由“靠近距离”的定义，可得答案； （2）点到线段的“靠近距离”为3时，分情况列出方程即可； （3）按照和分类讨论计算即可． 【规范解答】解：（1）点表示的数是，点表示的数是2，若点表示的数是， ，， 则点到线段的“靠近距离”为2， 故答案为：2； （2）根据两点间的距离可得， ，， 当时，解得或， 当时，解得或， 故的值为或或5； （3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是， ，， 当时，解得或0.5， 当时，解得或6， 综上，的值为2.5或0.5或10或6． 【考点评析】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题中的应用，数形结合并分类讨论，是解题的关键． 【变式1】（2023秋•泰兴市期末）已知点、、、在数轴上，点和点表示的数分别为、2，点在点的右侧，点在点的右侧，且，． （1）直接写出点和点表示的数分别为：　　、　　； （2）若线段沿着数轴向右以2个单位长度秒的速度运动，同时线段沿着数轴向左以1个单位长度秒的速度运动，设运动的时间为（秒，． ①若和重合，则的值为 　　，若和重合，则的值为 　　； ②若线段和线段重叠部分为1个单位长度，求运动时间的值； ③当时，下面两个式子：①；②中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是 　　（填写序号），并求这个定值． 【思路点拨】（1）点表示的数为，且，得到点表示的数；点表示的数为2，，得到点表示的数． （2）①由和重合，得，可求，由和重合，得，可求． ②当点超过点1个单位长度时，可得，可求，当点超过点3个单位长度时，可得，可求． ③根据和时，求出点和点表示的数的范围，同理求出点和点表示的数的范围，再判断定值即可． 【规范解答】解：（1）点表示的数为，点在点的右侧，且， 点表示的数为， 点表示的数为2，点在点的右侧，， 点表示的数为， 故答案为：，4． （2）①若和重合，则， ； 若和重合，则， ； 故答案为：，． ②当点超过点1个单位长度时，此时，线段和线段重叠部分为1个单位长度， ， ； 当点超过点3个单位长度时，此时，线段和线段重叠部分为1个单位长度， ， ； 故答案为：分钟或分钟； ③答：①是定值，定值是6． 解：当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间； 当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间， ； 当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间； 当和时，点表示的数为和， 故当时，点表示的数在和之间， ； ， 故答案为：①，6． 【考点评析】本题考查了数轴的知识，根据题意列出方程是解题关键． 【变式2】（2024秋•无锡月考）如图在数轴上点表示数，点表示数，、满足． （1）点表示的数为　　；点表示的数为　　； （2）一小球甲从点处以1个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以2个单位秒的速度也向左运动，设运动的时间为（秒， ①当时，甲小球到原点的距离为　　；乙小球到原点的距离为　　；当时，甲小球到原点的距离为　　；乙小球到原点的距离为　　； ②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请求出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间． 【思路点拨】（1）根据非负数的性质求得，； （2）①甲球到原点的距离甲球运动的路程的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）乙球从点处开始向左运动，一直到原点，此时的长度乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）乙球从原点处开始向右运动，此时乙球运动的路程的长度即为乙球到原点的距离； ②分两种情况：（Ⅰ），（Ⅱ），根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于的方程，解方程即可． 【规范解答】解：（1）， ，， 解得：，， 点表示的数为，点表示的数为4． （2）①当时，甲小球到原点的距离为；乙小球到原点的距离为；当时，甲小球到原点的距离为；乙小球到原点的距离为． ②当时，得， 解得； 当时，得， 解得． 故当秒或秒时，甲乙两小球到原点的距离相等． 故答案为：（1），4；（2）①3，2；5，2． 【考点评析】本题考查了非负数的性质，一元一次方程的运用，以及数轴，两点间的距离，渗透分类讨论思想、方程思想及数形结合思想是解题的关键． 题型6：数轴中的数形结合思想 【例6】（2024秋•广陵区校级月考）如图，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是，10，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上且到点的距离为6，则点表示的数是 　或1　． 【思路点拨】先根据点对折后的对应点与点的距离是6，得出对应点所表示的数，再结合点所表示的数即可解决问题． 【规范解答】解：因为点对折后的对应点与点的距离是6，且点表示的数为10， 所以，． 又因为点表示的数是， 则当点的对应点表示的数为4时， ，，， 即点表示的数是． 当点的对应点表示的数为16时， ，，， 即点表示的数是1． 综上所述，点表示的数为：或1． 故答案为：或1． 【考点评析】本题主要考查了数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 【变式1】（2023秋•鼓楼区期末）阅读材料，回答问题： 如图1，点，在数轴上对应的数分别为，．若点在数轴上，且，则点表示的数为，理由如下： 设点表示的数为． ，，． ． ． （1）如图2，点，在，两点之间，对应的数分别为，，且． ①若，，则　1　，　　． ②小明同学认为，，你同意吗？若同意，请证明；若不同意，请说明理由． （2）如图3，点在，两点之间，对应的数为，且．则　　（用含，，，的代数式表示）． 【思路点拨】（1）①先推等于6，根据线段相等可推每段距离为2，利用数轴上的数与两点之间距离即可推出与； ②利用题目所给的结论可推，，将，化简可得，同理可推； （2）首先推出与之间的距离，其次根据线段的比例关系，最后利用和的长度即可推出． 【规范解答】解；（1）①， ， ，； 故答案为：1，3； ②同意，证明如下； ， ， 化简可得， 将代入可得； （2）且， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了数轴的相关知识点，利用题目中所给的结论结合数轴相关知识是解题的关键． 【变式2】（2024春•通州区校级月考）在平面直角坐标系中，点，，，轴，点的纵坐标为．则以下说法错误的是　　 A．当，点是线段的中点 B．当，点一定在线段上 C．存在唯一一个的值，使得 D．存在唯一一个的值，使得 【思路点拨】对每个答案分别进行分析后可知三个答案都是正确的，而答案是错误的，题目要求选错误的选项，所以选． 【规范解答】解：对每个答案分别进行分析： ，当时，，，，，所以点是线段的中点，故正确； ，当时，点在点的右边，，，，所以点一定在线段上，故正确； ，，，当时，，即，，故正确； ，，，当时，，即，有2个值，故错误． 故选：． 【考点评析】本题考查了线段的代数运算及线段比较，抽象性较强，正确运用坐标和图形的性质，有一定的难度． 基础夯实训练 19．（2024•钟楼区校级二模）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】只需要计算出白色区域面积在整个转盘的面积的占比即可得到答案． 【规范解答】解：转盘中四个扇形的面积都相等，其中白色区域有两个扇形， 任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在白色区域的概率是， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了几何概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 20．（2024•兴化市一模）估计的值在　　 A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【思路点拨】利用算术平方根的性质可得，易得结果． 【规范解答】解：， ， ， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算方法是解答本题的关键． 21．（2024•玄武区校级模拟）下列无理数中，与5最接近的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】先判断各个选项中的被开方数21，23，25，26和29的大小，并比较其他各数与25的差的大小，从而进行判断解答即可． 【规范解答】解：， ， ，，，， 与25最接近的数是26， 与5最接近的是， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数介于哪两个整数之间． 22．（2024•常州模拟）常州作为新崛起的新能源之都，澎湃起势年常州新能源产业产值超7600亿元，整车产量近68万辆，投资热度全国第一．数字7600用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【规范解答】解：， 故选：． 【考点评析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 23．（2024•秦淮区模拟）的倒数是 　　；的平方是 　　． 【思路点拨】运用倒数和算术平方根的知识进行计算、求解． 【规范解答】解：，， 的倒数是；的平方是， 故答案为：；． 【考点评析】此题考查了实数的性质和算术平方根方面的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算． 24．（2024•武进区校级模拟）计算：　　． 【思路点拨】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 25．（2024•南通二模）若，为连续整数，且，则　11　． 【思路点拨】根据，可得，即可得出，，因此． 【规范解答】解：， ， ，， ， 故答案为：11． 【考点评析】本题考查的是估算无理数的大小，熟练掌握其估算方法是解题的关键． 26．（2024•惠山区一模）圆锥的底面半径为，母线为，则圆锥的侧面积为 　　（结果保留． 【思路点拨】首先求得圆锥的底面半径，即展开扇形的弧长，根据扇形的面积公式即可求解． 【规范解答】解：圆锥的底面周长是， 圆锥的侧面积是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了圆锥的基本性质及求面积公式，掌握相关求解公式是解题的关键． 27．（2024•亭湖区三模）计算：． 【思路点拨】根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质进行乘方，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【规范解答】解：原式 ． 【考点评析】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、绝对值的性质和特殊角的三角函数值． 28．（2024•江阴市模拟）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）先计算算术平方根、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减； （2）先计算完全平方公式和平方差公式，再计算合并同类项． 【规范解答】解：（1）； ； （2） ． 【考点评析】此题考查了实数的混合运算和完全平方公式和平方差公式的计算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算． 29．（2024•高新区模拟）计算：． 【思路点拨】先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【规范解答】解： ． 【考点评析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 30．（2024•仪征市一模）计算： （1）； （2）． 【思路点拨】（1）根据零指数幂：，，并结合实数的运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【规范解答】解：（1）原式； （2）原式 ． 【考点评析】本题考查的是分式的混合运算，特殊角的三角函数值和实数的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 能力拔高训练 31．（2024•姑苏区校级一模）今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达8016000000元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据8016000000用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【规范解答】解：， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，属于基础题． 32．（2024•徐州模拟）有理数、在数轴上如图所示，下列式子错误的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】直接利用数轴、绝对值的性质分别分析得出答案． 【规范解答】解：由数轴可得：，，且， 则，故选项正确，不合题意； ，故选项正确，不合题意； ，故选项正确，不合题意； ，故选项错误，符合题意； 故选：． 【考点评析】此题主要考查了数轴、绝对值的性质，正确掌握相关性质是解题关键． 33．（2024•苏州）苏州市统计局公布，2023年苏州市全年实现地区生产总值约为2.47万亿元，被誉为“最强地级市”．数据“2470000000000”用科学记数法可表示为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【规范解答】解：， 故选：． 【考点评析】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键． 34．（2024•海州区校级二模）如图所示，在数轴上点为原点，将线段逆时针旋转，第一次与数轴相交于点时，点所表示的数是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】利用勾股定理求出，再写出点所表示的数即可． 【规范解答】解：根据题意得，， 由旋转可知，， 所以，点所表示的数是， 故选：． 【考点评析】本题考查了勾股定理和实数与数轴，解题关键是根据勾股定理求出的长； 35．（2024•武进区校级模拟）81的算术平方根的平方根是　　． 【思路点拨】利用平方根和算术平方根的定义求解即可． 【规范解答】解：81的算术平方根的平方根是， 故答案为：． 【考点评析】此题主要考查了算术平方根、平方根的定义．解题时注意正数的平方根有2个，算术平方根有1个． 36．（2024•宝应县一模）已知，则与最接近的整数为 　5　． 【思路点拨】先估算的整数范围，再估算的整数范围即可． 【规范解答】解：， ， ， ， 与最接近的整数为5． 故答案为：5． 【考点评析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数估算是关键． 37．（2024•鼓楼区二模）为正整数）的近似值可以这样估算：，其中是最接近的完全平方数．例如：，这与科学计算器计算的结果很接近． （1）按照以上方法，估计的近似值（精确到； （2）结合图中思路，解释该方法的合理性． 【思路点拨】（1）根据题目中给定的运算法则进行估算即可； （2）设，其中，利用完全平方公式即可证得结论． 【规范解答】解：（1）根据题意得：， 的近似值为6.6；． （2），是最接近的完全平方数， 设，其中， ， 两边分别平方，得：， ， 的值会更接近于0，不妨设近似为0， ， ， ． 【考点评析】本题考查了无理数的估算，完全平方公式的应用，理解题意，运用完全平方公式是解题关键． 38．（2024•盐城一模）计算． 【思路点拨】首先计算乘方、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【规范解答】解： ． 【考点评析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$