专题07 角的和与差及角平分线问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题07 角的和与差及角平分线问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、角的和与差多解问题 3 类型二、单条角平分线问题 6 类型三、双条角平分线问题 9 类型四、多条角平分线问题 13 压轴能力测评（15题） 17 解题知识必备 1. 角的和与差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 3.双角平分线模型 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 4.角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：∵分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 压轴题型讲练 类型一、角的和与差多解问题 例题：（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）从O点出发的三条射线，若，则的度数为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，分当在内部时，当在外部时，两种情况根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ∵， ∴； 如图所示，当在外部时， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或， 故选：A． 【变式训练1】（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图，点，，在同一条直线上，，若从点引出一条射线，使，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了平面内角的计算，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．分在线段上方和线段下方两种情况，分别求解即可． 【详解】解：如图1， 此时； 如图2， 此时， ∴． 综上所述，的度数为或． 故选：D． 【变式训练2】（23-24六年级下·山东东营·期末）已知，，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的有关计算，解题关键是正确识别图形，找出角与角之间的和差关系．分两种情况讨论：①在内部时；②在外部时，画出图形求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①在内部时，如图所示： ∵，， ∴， ∴； ②在外部，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 综上可知：∠BOC的度数为或． 故答案为：或． 【变式训练3】（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的定义和巧分线定义，正确理解“巧分线”的定义是解题的关键． 分3种情况，根据巧分线定义即可求解． 【详解】解：∵，是的“巧分线”， 则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意： ①，此时； ②，此时； ③，此时； ∴的度数为或或． 故答案为：或或． 类型二、单条角平分线问题 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，于是得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点O在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)平分，理由见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （1）由角分线的定义，得到的度数； （2）根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； （3）由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1） 解：，平分， ， ； （2）解：，， ， ； （3）平分； 理由：，， ， 又 ， 平分． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，顶点O在直线上，，是的平分线． (1)当点A，B在直线的同侧时，如图1： ①若，则 ； 若，则 ； ②若，则 （用n表示）； (2)当A，B在直线的异侧时，如图2： ①猜想与之间的数量关系，并说明理由； ②若，直接写出的度数． 【答案】(1)①20，40；② (2)①，理由见解析；② 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的计算及角平分线的定义，熟记这些知识点并灵活运用是解题的关键． （1）①根据，再利用角平分线的定义求解即可； ②先求出，再根据是的平分线，得到，最后求即可； （2）①分别写出与可得其数量关系； ②由①的结论即可得的度数． 【详解】（1）解：①，， ， 是的平分线， ， ， 当时， ∵， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：20，40， ②，， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：； （2）解：①，理由如下： 平分， ， ， ， ， ②若， ∴． 类型三、双条角平分线问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴ ∴． （2）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可； （2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可； （3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可． 本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ； 平分，平分， ，， ． （2）解：，平分，平分， ． （3）解：，，， ． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解：、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 类型四、多条角平分线问题 例题：（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【知识点】角n等分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 【变式训练1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】角n等分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）若，，则（    ） A．或 B． C． D．以上都不对 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角度的运算，分在左侧和右侧两类讨论即可得到答案； 【详解】解：当在左侧时， ， ∵，， ∴； 当在右侧时， ， ∵，， ∴， 故选：A． 2．（23-24七年级下·陕西西安·开学考试）以的顶点O为端点引射线，使，若，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．以上答案都不正确 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，熟练掌握角的大小的计算方法，能够分类讨论是解题的关键． 由题知，的位置存在以下两种情况，分类讨论即可解答． 【详解】解：由题知，的位置存在以下两种情况： ∴或， 故选：C． 3．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义与角的计算， 分为两种情况，当在内部时，当在外部时，分别求出和度数，即可求出答案．注意根据题意进行分类讨论，属于基础题． 【详解】解：分为两种情况： 如图，当在内部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 如图，当在外部时， ，， ， 平分，平分， ，， ； 综上所述：的度数为或， 故选C． 4．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【知识点】角n等分线的有关计算、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 二、填空题 5．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）已知，，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，先求出，再分当在内部时，当在外部时，两种情况根据角之间的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如图所示，当在内部时，则； 如图所示，当在外部时，则； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 6．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）在同一平面内，若，平分，平分，则的度数是 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分当点C在内部时，当点C在外部时，两种情况根据角平分线的定义得到，，再根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，当点C在内部时， ∵，平分，平分， ∴，， ∴；    如图所示，当点C在外部时， ∵，平分，平分， ∴，， ∴； 综上所述，的度数是或，    故答案为：或． 7．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知，以为顶点作射线，．若，，则的度数为 ． 【答案】或或或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和与差计算．分情况讨论：①、在直线同侧，②、在直线异侧，再根据角的和差计算即可． 【详解】解：①、在直线同侧， 当、在直线上方时，如图， ， ， ， ， ， ． 当、在直线下方时，如图， ， ， ， ， ． ②、在直线同侧， 当在直线上方、在直线下方时，如图， ， ， ， ， ． 当在直线下方、在直线上方时，如图， ， ， ， ， ． 故答案为：或或或． 8．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，为直线上的一点，在直线的同侧做射线，使得，过点做射线，使得，另做射线，使得平分角，当时，则 ． 【答案】或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算，根据图中角的和差关系和角平分线的定义分类讨论求解即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】设 当在下方时， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 当在上方时，， ∴， ， ∴， ∴（舍去）， 当在的右方时， ∴， ， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 三、解答题 9．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）如图，直线，交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义、求一个角的余角和补角，解答关键是根据图形各角度之间的数量关系． （1）由对顶角相等求出，再根据，即可得出结果； （2）设，则，利用邻补角定义求出，利用对顶角相等求出，根据平分，求出，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：设． ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 10．（23-24七年级上·广东东莞·期末）如1图，已知 平分 ，平分 ． (1)若，，则 ； (2)如2图，将1图中的边 绕 点向下旋转，不变，若此时 ，仍然平分 ，，则 的度数是否发生改变？若不变，请写出推理过程，若改变，请求出其值； (3)如3图，在2图的前提下，边绕 点向下旋转，若此时 ，仍然平分 ，求此时 的度数． 【答案】(1)45 (2)的度数没发生改变，理由见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，角度的和差计算， （1）根据角度的和差以及角平分线的定义进行计算即可； （2）根据角度的和差以及角平分线的定义进行计算即可； （3）根据角度的和差以及角平分线的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分 ，平分 ， ，， ， 故答案为：45； （2）的度数没发生改变，理由如下： ，， 平分 ，平分 ， ，， ； （3）， ， 平分 ，平分 ， ，， ． 11．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)40 (2)①135；②不变，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； 【详解】（1），为的二倍分线，且， ，， ， ， 故答案为：40； （2）①，分别为和的三倍分线（，）， ，， ， ， ，， ，， ， 故答案为：135； ②不变， ，分别为和的三倍分线，，， ，， ． 12．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． (1)如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角的运算，角平分线的概念，解题的关键是找到角的和差关系． （1）① 由，，可得，由平分，平分，可得，，最后根据角的和差即可求解； ②，结合平分，平分，即可求解； （2）由，，，，可推出，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：①，， ， 平分，平分， ，， ； ②，理由如下： ， ； （2），， ， 即， ，， ， 即， ， ， ， ， ． 13．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且．    【问题再现】（1）如图，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ． （2），， ； ． ． 又平分， ， ． （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 14．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）某数学兴趣小组利用直尺和三角板研究角的平分线，如图所示．    (1)如图①，求的度数； (2)如图②，当时，平分平分，求的度数； (3)如图③，当，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键． （1）利用平角的定义，进行计算即可； （2）利用平角的定义，求出的度数，进而求出的度数，再根据，进行计算即可； （3）同法（2），进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴ （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（22-23七年级上·吉林白山·期末）【特值初探】： （1）如图1，将一副三角板按此位置摆放，点D在上，若，则 ； 【变式再探】： （2）①如图2，将一副三角板按此位置摆放，点D在上，和分别是和的平分线，求的度数； ②和分别是和内的一条射线，且（，且n为整数），请直接写出 ； 【抽象深探】： （3）当和分别是和内的一条射线时，小刚发现将一副三角板去掉多余的线，可以抽象得到图3的．若在的内部，和分别是和的平分线，设（），请在图3中补全图形并求出的度数．（用含有k，x的代数式表示） 【答案】（1）；（2）①；②；（3）见解析，的度数为或 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【详解】 本题主要考查了角平分线的定义，平角的定义等知识点，明确各角之间的关系成为解题的关键． （1）根据平角的定义得，然后代入相关数据计算即可解答； （2）①先根据平角的定义得，再根据角平分线的定义得，进而可得，然后再根据即可解答；②先根据平角的定义得，再根据得，进而根据即可解答 （3）分在的左侧和右侧两种情况，分别根据角平分线的、平角的定义解答即可． 解：（1）∵， ∴； 故答案为：． （2）①∵， ∴， ∵和分别是和角平分线， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）分两种情况讨论如下： ①当在的左侧时，如图1所示： ∵， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴； ②当在的右侧时，如图2所示： 设， ∵， ∴， ∴，； ∵DP和DQ分别是和的平分线， ∴， ， ∴． 综上所述：的度数为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 角的和与差及角平分线问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、角的和与差多解问题 3 类型二、单条角平分线问题 4 类型三、双条角平分线问题 5 类型四、多条角平分线问题 6 压轴能力测评（15题） 7 解题知识必备 1. 角的和与差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 3.双角平分线模型 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 4.角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：∵分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 压轴题型讲练 类型一、角的和与差多解问题 例题：（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）从O点出发的三条射线，若，则的度数为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练1】（23-24七年级下·山西晋中·期中）如图，点，，在同一条直线上，，若从点引出一条射线，使，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练2】（23-24六年级下·山东东营·期末）已知，，则的度数为 ． 【变式训练3】（23-24六年级下·山东烟台·期中）如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则的度数为 ． 类型二、单条角平分线问题 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【变式训练1】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点O在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，顶点O在直线上，，是的平分线． (1)当点A，B在直线的同侧时，如图1： ①若，则 ； 若，则 ； ②若，则 （用n表示）； (2)当A，B在直线的异侧时，如图2： ①猜想与之间的数量关系，并说明理由； ②若，直接写出的度数． 类型三、双条角平分线问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 类型四、多条角平分线问题 例题：（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【变式训练1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）若，，则（    ） A．或 B． C． D．以上都不对 2．（23-24七年级下·陕西西安·开学考试）以的顶点O为端点引射线，使，若，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．以上答案都不正确 3．（23-24七年级上·四川绵阳·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·安徽淮南·期中）已知，，则的度数为 ． 6．（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）在同一平面内，若，平分，平分，则的度数是 ． 7．（23-24七年级下·四川德阳·阶段练习）已知，以为顶点作射线，．若，，则的度数为 ． 8．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，为直线上的一点，在直线的同侧做射线，使得，过点做射线，使得，另做射线，使得平分角，当时，则 ． 三、解答题 9．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）如图，直线，交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，平分，求． 10．（23-24七年级上·广东东莞·期末）如1图，已知 平分 ，平分 ． (1)若，，则 ； (2)如2图，将1图中的边 绕 点向下旋转，不变，若此时 ，仍然平分 ，，则 的度数是否发生改变？若不变，请写出推理过程，若改变，请求出其值； (3)如3图，在2图的前提下，边绕 点向下旋转，若此时 ，仍然平分 ，求此时 的度数． 11．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．     (1)应用：若，为的二倍分线，且，则 ． (2)如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线 ①若，分别为和的三倍分线（，），已知，则 ． ②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？请说明理由． 12．（23-24七年级上·湖北孝感·期末）从直线上一点在同侧顺次引射线，，，，，其中点在直线上． (1)如图1，若平分，平分． ①当，时，求的度数： ②当与的大小都发生变化时，试探究与间的数量关系，并说明理由： (2)如图2，若为的一条等分线，且，为的一条等分线，，当时，此时，试直接写出的值． 13．（23-24七年级上·陕西榆林·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且．    【问题再现】（1）如图，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 14．（23-24七年级上·贵州遵义·期末）某数学兴趣小组利用直尺和三角板研究角的平分线，如图所示．    (1)如图①，求的度数； (2)如图②，当时，平分平分，求的度数； (3)如图③，当，直接写出的度数． 15．（22-23七年级上·吉林白山·期末）【特值初探】： （1）如图1，将一副三角板按此位置摆放，点D在上，若，则 ； 【变式再探】： （2）①如图2，将一副三角板按此位置摆放，点D在上，和分别是和的平分线，求的度数； ②和分别是和内的一条射线，且（，且n为整数），请直接写出 ； 【抽象深探】： （3）当和分别是和内的一条射线时，小刚发现将一副三角板去掉多余的线，可以抽象得到图3的．若在的内部，和分别是和的平分线，设（），请在图3中补全图形并求出的度数．（用含有k，x的代数式表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$