专题06 线段的和与差及中点问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题06 线段的和与差及中点问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、线段的和与差有关的计算问题 3 类型二、线段中的单中点问题 5 类型三、线段中的双中点问题 7 类型四、线段中的多中点问题 10 压轴能力测评（12题） 14 解题知识必备 1. 线段的和与差 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2. 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 3.线段双中点问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 4. 线段的多中点问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 压轴题型讲练 类型一、线段的和与差有关的计算问题 例题：（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知点A、B、C在一条直线上，，则的长为 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·北京·开学考试）点，，在同一条直线上，如果，那么 ． 【变式训练2】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点在直线上（点不重合），，则线段的长为 ． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 类型二、线段中的单中点问题 例题：（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，点是线段的中点，点，是线段上两点，，．    (1)求的长； (2)若，求的长． 【变式训练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 【变式训练2】（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 类型三、线段中的双中点问题 例题：（23-24七年级下·吉林松原·开学考试）如图，已知点C在线段上，线段，M，N分别是的中点 (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，直接写出的长度 【变式训练1】（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知点C为线段上一点，，，点D，E分别是，的中点．求： (1)的长度； (2)的长度． 【变式训练2】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 类型四、线段中的多中点问题 例题：（23-24六年级下·山东威海·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【变式训练1】（23-24七年级上·江西南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【变式训练2】（23-24七年级上·辽宁锦州·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，点，在线段上，是的中点，若，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．13 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 3．（22-23七年级上·河北沧州·单元测试）A，B，C三点在同一直线上，线段，，那么A，C两点的距离是（　　） A． B． C．或 D．以上答案都不对 4．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 二、填空题 5．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 6．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）如图，点M是线段的中点，B是线段上一点，若，，则 ． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ． 8．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知C、 D是线段上两点，且，，若点M、N分别是线段、的中点，，则线段的长是 ． 三、解答题 9．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）如图，点是线段上的一点，其中，，是线段的中点，是线段上一点． (1)若为线段的中点，求的长度； (2)若为线段的一个三等分点，求的长度． 10．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，已知点在线段上，且． (1)比较线段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)如果是的中点，是的中点，求线段的长度． (3)在（2）中，如果，其他条件不变，那么_____．（用含的式子表示） 11．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）已知线段，点是线段的中点，点是直线上任意一点． (1)如图，当点是线段的中点，且点是线段的中点时，求线段的长； (2)若点是线段的中点； 当线段时，求线段的长； 若点在线段的延长线上，直接写出线段与线段的数量关系． 12．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）将一段长为60cm的绳子拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点，处． (1)如图1，当点，恰好重合时，的长为______cm； (2)如图2，若点落在点的左侧，且，求的长； (3)若，请直接写出的长．（用含的式子表示） 13．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②当点是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_________． 14．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 15．（23-24七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 线段的和与差及中点问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、线段的和与差有关的计算问题 3 类型二、线段中的单中点问题 5 类型三、线段中的双中点问题 7 类型四、线段中的多中点问题 10 压轴能力测评（12题） 14 解题知识必备 1. 线段的和与差 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2. 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 3.线段双中点问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 4. 线段的多中点问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 压轴题型讲练 类型一、线段的和与差有关的计算问题 例题：（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知点A、B、C在一条直线上，，则的长为 ． 【答案】或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题考查线段的和与差，分点在线段上，和在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点在线段上时，； 当点在线段的延长线上时，； 故答案为：或． 【变式训练1】（23-24七年级下·北京·开学考试）点，，在同一条直线上，如果，那么 ． 【答案】3或5/5或3 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查两点间的距离，熟练掌握线段的和差是解本题的关键． 分类讨论，在线段上或在线段的延长线上，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：当在线段上时，， ； 当在线段的延长线上，， ． 故答案为：3或5． 【变式训练2】（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点在直线上（点不重合），，则线段的长为 ． 【答案】6或14或20 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段之间的数量关系，解题的关键是数形结合，分三种情况进行讨论：当点C在线段上，点D在线段的延长线上时，当点C在线段的延长线上，点D在线段的延长线上时，当点C在线段的延长线上，点D在线段上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：当点C在线段上，点D在线段的延长线上时，如图所示：   ； 当点C在线段的延长线上，点D在线段的延长线上时，如图所示：   ； 当点C在线段的延长线上，点D在线段上时，如图所示：   ； 综上分析可知，线段的长为6或14或20． 故答案为：6或14或20． 【变式训练3】（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 类型二、线段中的单中点问题 例题：（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，点是线段的中点，点，是线段上两点，，．    (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)4 (2)6 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．理清线段之间的和差关系，是解题的关键． （1）中点得到，再根据，进行计算即可； （2）先求出的长，再根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：因为点是线段的中点，， 所以， 又因为， 所以； （2） 因为， 所以， 所以． 【变式训练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算以及图形中线段的和差关系，根据图形找准线段间的关系是解答本题的关键． （1）根据线段中点定义以及图形中，计算即可； （2）根据线段中点的定义以及图形中进行计算即可． 【详解】（1），， D为中点， （2）点D为中点， 点E为中点， ， 【变式训练2】（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、列代数式 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 类型三、线段中的双中点问题 例题：（23-24七年级下·吉林松原·开学考试）如图，已知点C在线段上，线段，M，N分别是的中点 (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，直接写出的长度 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题考查线段中点的计算，数形结合是解答本题的关键． （1）根据点M、N分别是的中点，先求出的长度，再利用即可求出的长度即可， （2）根据点M、N分别是的中点，可知，再利用即可求出的长度． 【详解】（1）∵点M、N分别是的中点，， ∴， ∴； （2）， ∵点M、N分别是的中点， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知点C为线段上一点，，，点D，E分别是，的中点．求： (1)的长度； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据E是的中点求出，根据即可求出． 【详解】（1）解：∵，点D是的中的中点， ∴； （2）∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． 【变式训练2】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【知识点】线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 类型四、线段中的多中点问题 例题：（23-24六年级下·山东威海·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 【变式训练1】（23-24七年级上·江西南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、线段n等分点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 【变式训练2】（23-24七年级上·辽宁锦州·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6 (2)①；②；③ 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、两点间的距离 【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6； （2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a； ②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a； ③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a． 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8， ∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC=4，CN=BC=2， ∴MN=CM+CN=6； 故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； 故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a， 故答案为：a． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，点，在线段上，是的中点，若，，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．13 【答案】B 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的和差关系，线段的中点的含义，由，，求解 再由是的中点，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是的中点， ∴ 故选：B． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）已知线段，点为直线上一点，且，点为线段的中点，则线段的长为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】线段的和与差、线段之间的数量关系 【分析】本题考查的知识点是线段的和与差、含中点线段之间的数量关系，解题关键是利用线段比例得出、的长． 根据题意画出图形，再分点在线段上或线段的延长线上两种情况进行讨论． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； ②当点在线段外时，如下图： ，， ，， 点是线段的中点， ， ； 综上所述，或． 故选：． 3．（22-23七年级上·河北沧州·单元测试）A，B，C三点在同一直线上，线段，，那么A，C两点的距离是（　　） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．分点C在的延长线上和点C在线段的延长线上两种情况，根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：①如图，当点C在的延长线上时， ∵，， ∴； ②如图，当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴； 综上所述：的长为或， 故选：C． 4．（22-23七年级上·湖北武汉·期末）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且、N分别是线段、的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为（   ） A． B． C．或 D．m或 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论． 由点C是线段的三等分点，可知分两种情况进行讨论，画出图形，结合线段的比例关系，及线段中点的性质即可求解． 【详解】解：∵是线段的中点， ， ①若，如图1所示： ， ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ∴． ∴； ②若，如图： ， ， ， ， ∵是线段的中点，是线段的中点， ， ， 故选：C． 二、填空题 5．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期末）如图线段，要求尺规作图，在直线上找一点，作，则_______． 【答案】图形见解析，或 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查线段和尺规作图，分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧． 【详解】分两种情况：点位于点的左侧和点位于点的右侧，如图所示． 点位于点的左侧时，． 点位于点的右侧时，． 故答案为：或 6．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）如图，点M是线段的中点，B是线段上一点，若，，则 ． 【答案】 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，先求出，进而得到，再由线段中点的定义得到，则，据此求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点M是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一条线段，E，F分别是线段的中点，且，则线段的长为 ． 【答案】/8厘米 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了两点之间的距离，关键是根据线段关系设未知数求解．设，由点，分别是，的中点可得的长，已知，可列方程解得的值，可得的长． 【详解】解：，可设， 点，分别是，的中点， ， ， 又， ，解得， （）， 即线段的长为． 故答案为：． 8．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知C、 D是线段上两点，且，，若点M、N分别是线段、的中点，，则线段的长是 ． 【答案】45或36 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了中点的定义及两点之间的距离的求法，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．设，分①当点D在点C的左边时，②当点D在点C的右边时，两种情况讨论，分别利用建立方程求解即可． 【详解】解：设，则，， ①当点D在点C的左边时，画图如下： 则，， 又∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 解得：， ②当点D在点C的右边时，画图如下： 则，， 又∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， 解得：， 综上所述：线段AB的长是45或36， 故答案为：45或36． 三、解答题 9．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）如图，点是线段上的一点，其中，，是线段的中点，是线段上一点． (1)若为线段的中点，求的长度； (2)若为线段的一个三等分点，求的长度． 【答案】(1)4 (2)3或5 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查线段中点的性质，线段的和差计算． （1）根据线段中点的性质，分别求出和再相加即可； （2）为线段的一个三等分点，则分两种情况，或者，分别计算即可． 【详解】（1） 解：， 是线段的中点，为线段的中点 ， ； （2） ， 是线段的中点 为线段的一个三等分点 或 或 的长为3或5． 10．（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图，已知点在线段上，且． (1)比较线段的大小；______；（填“＞”“＝”或“＜”） (2)如果是的中点，是的中点，求线段的长度． (3)在（2）中，如果，其他条件不变，那么_____．（用含的式子表示） 【答案】(1)=； (2)； (3)． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和与差，与线段中点有关的计算．理清线段之间的数量关系，是解题的关键． （1）根据线段的和的关系，进行比较即可； （2）先求出的长，中点，求出的长，再根据，求出的长即可； （3）同法（2），进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即：； 故答案为：； （2）∵ ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）∵ ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（22-23七年级上·河南周口·阶段练习）已知线段，点是线段的中点，点是直线上任意一点． (1)如图，当点是线段的中点，且点是线段的中点时，求线段的长； (2)若点是线段的中点； 当线段时，求线段的长； 若点在线段的延长线上，直接写出线段与线段的数量关系． 【答案】(1) (2)①或，② 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查两点间的距离，理解线段中点的定义以及线段的和差关系是正确解答的前提． 根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可； 分两种情况进行解答，即点在点的左侧和右侧，分别求出，再根据线段中点的定义进行计算即可； 根据线段中点的定义以及线段的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， 又点是线段的中点， ， 点是线段的中点， ， ； （2）当点在点的右侧时，，， ， 是的中点， ， 当点在点的左侧时，，， ， 是的中点， ， 因此的长为或； ，理由： 是的中点， ， 又是的中点， ， ，， ． 12．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）将一段长为60cm的绳子拉直铺平，沿点M，N折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），设点A，B分别落在点，处． (1)如图1，当点，恰好重合时，的长为______cm； (2)如图2，若点落在点的左侧，且，求的长； (3)若，请直接写出的长．（用含的式子表示） 【答案】(1)30 (2) (3)的长为或 【知识点】线段的和与差、两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离． （1）因为点，恰好重合，所以，已知，可得的长； （2）已知，，可得的长，又因，可得的长； （3）分点落在点的左侧、点落在点的右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：点，恰好重合， ， ， ， 故答案为：30； （2）解：，， ， ， ． （3）解：①当点落在点的左侧时， ，，， ， ， ， ②当点落在点的右侧时， ，，，， ， ， ， 综上，的长为或． 13．（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知点在线段上，，点、在直线上，点在点的左侧． (1)若，，线段在线段上移动． ①如图1，当为中点时，求的长； ②当点是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，则_________． 【答案】(1)①15；②19或14 (2)或 【知识点】数轴上的动点问题、线段的和与差、线段之间的数量关系 【分析】本题主要考查线段和差倍数关系以及分类讨论思想， （1）①根据题意可求得和，即可求得的长；②根据三等分点得或：当时，求得和，即可求得；当时，可求得、和，即可求得； （2）设，则，，以及，①当点在线段之间时，设，表示出、和，即可求得n和m的关系；②当点在点的左侧时，设，表示出、和，即可求得n和m的关系；③当点在线段上及点在点右侧时，无解． 【详解】（1）解：①， ， 为中点， ， ， 的长为15； ②点是线段的三等分点， 或， 当时，，则， ， ， ， 当时，，则，， ， ， ， 的长为19或14； （2）设，则，， ， ①当点在线段之间时，如图，    设，则，， ， ， ， ， ， ， ②当点在点的左侧时，如图，    设，则， ， ， ， ， ， ， ， ③当点在线段上及点在点右侧时，无解， 综上所述，或． 14．（23-24七年级上·江西南昌·期末）已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【知识点】线段的和与差、线段之间的数量关系、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 15．（23-24七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、线段中点的有关计算、数字类规律探索 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得． 所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$