专题07 角的和与差及角平分线问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（北师大版2024）

专题07 角的和与差及角平分线问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、角的和与差多解问题 3 类型二、单条角平分线问题 5 类型三、双条角平分线问题 8 类型四、多条角平分线问题 12 压轴能力测评（12题） 16 解题知识必备 1. 角的和与差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 3.双角平分线模型 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 4.角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：∵分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 压轴题型讲练 类型一、角的和与差多解问题 例题：（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若，，则 ． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内，若，，则的大小是 ． 【变式训练2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）是从的顶点O引出的一条射线，若，，则的度数是 °． 类型二、单条角平分线问题 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【变式训练1】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点O在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，顶点O在直线上，，是的平分线． (1)当点A，B在直线的同侧时，如图1： ①若，则 ； 若，则 ； ②若，则 （用n表示）； (2)当A，B在直线的异侧时，如图2： ①猜想与之间的数量关系，并说明理由； ②若，直接写出的度数． 类型三、双条角平分线问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 类型四、多条角平分线问题 例题：（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【变式训练1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西柳州·开学考试），平分，以为一边作，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 二、填空题 4．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知平分平分．则的度数为 ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 6．（23-24七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 三、解答题 7．（2024七年级上·全国·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 8．（22-23七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 9．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，点O是直线上的一点，是的平分线，在内，且． (1)设，用含x的式子表示： ， ； (2)如果，那么与相等吗？为什么？ (3)如果，求的度数． 10．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知，作射线．射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时，如图． ①若，则的度数为 ； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； (2)当射线在的左边时，若，且，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 11．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，O是直线上一点，，作射线． (1)如图1，若平分，，则＝______°(直接写出答案)； (2)如图2，若平分，比大36°，求的度数 (3)如图3，若平分，当时，能否求出的度数？若可以，求出度数；若不可以，请说明理由． 12．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 角的和与差及角平分线问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、角的和与差多解问题 3 类型二、单条角平分线问题 5 类型三、双条角平分线问题 8 类型四、多条角平分线问题 12 压轴能力测评（12题） 16 解题知识必备 1. 角的和与差 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 2. 角平分线模型 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 3.双角平分线模型 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 4.角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：∵分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 压轴题型讲练 类型一、角的和与差多解问题 例题：（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若，，则 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角的和差，分类讨论是解题的关键． 分两种情况，根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：分两种情况： 不在内， 则； 在内， 则； 故答案为：或． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内，若，，则的大小是 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，分在的内部和外部讨论即可． 【详解】解：当在的内部时， ∵，， ∴； 当在的外部时， ∵，， ∴； 故答案为：或． 【变式训练2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）是从的顶点O引出的一条射线，若，，则的度数是 °． 【答案】或120 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的有关计算，掌握数形结合以及分类讨论思想成为解题的关键． 分在内部和外部两种情况，分别画出图形，运用角的和差及已知条件计算即可． 【详解】解：①如图所示：当在内部时， ∵，， ∴， ∴； ②如图所示：当在外部时， ∵，， ∴， ∴． 综上，的度数是或． 故答案为：或120． 类型二、单条角平分线问题 例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）如图，是的平分线，． (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，是基础题，准确识图是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出，于是得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）如图，点O在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)平分，理由见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； （1）由角分线的定义，得到的度数； （2）根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； （3）由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1） 解：，平分， ， ； （2）解：，， ， ； （3）平分； 理由：，， ， 又 ， 平分． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知，顶点O在直线上，，是的平分线． (1)当点A，B在直线的同侧时，如图1： ①若，则 ； 若，则 ； ②若，则 （用n表示）； (2)当A，B在直线的异侧时，如图2： ①猜想与之间的数量关系，并说明理由； ②若，直接写出的度数． 【答案】(1)①20，40；② (2)①，理由见解析；② 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角的计算及角平分线的定义，熟记这些知识点并灵活运用是解题的关键． （1）①根据，再利用角平分线的定义求解即可； ②先求出，再根据是的平分线，得到，最后求即可； （2）①分别写出与可得其数量关系； ②由①的结论即可得的度数． 【详解】（1）解：①，， ， 是的平分线， ， ， 当时， ∵， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：20，40， ②，， ， 是的平分线， ， ， 故答案为：； （2）解：①，理由如下： 平分， ， ， ， ， ②若， ∴． 类型三、双条角平分线问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的和差运算等知识点，弄清角之间的关系成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得最后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线的定义可得，进而得到，再由角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴ ∴． （2）解：∵是的平分线， ∴， ∴． ∵OD是的平分线， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，已知内部有三条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数（写出求解过程）； (3)若将条件中“平分，平分．平分”改为“，”，且，求的度数（写出求解过程）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）先求得的度数，然后，再依据角平分线的定义求得、的度数，最后，再依据求解即可； （2）按照（1）的思路先求得的度数，然后再求得、的度数，最后，再依据求解即可； （3）先求得的度数，然后，依据题意求得、的度数，最后，再依据求解即可． 本题主要考查的是角的计算，熟练掌握图形中相关角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ； 平分，平分， ，， ． （2）解：，平分，平分， ． （3）解：，，， ． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图①，是内部的一条射线，、分别平分，． (1)若，，求 ； (2)与的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由． (3)如图②，如果是外部的一条射线，、分别平分，．那么（2）中与的大小关系还成立吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)成立，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出，进而即可求得； （2）由角平分线的定义得出，即； （3）由角平分线的定义得出得出，根据，，进而即可求解． 【详解】（1）解：、分别平分，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 、分别平分，， ， ， ， ； （3）解：成立，理由如下， 、分别平分，， ， ， ． 类型四、多条角平分线问题 例题：（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【知识点】角n等分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 【变式训练1】（23-24七年级上·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】角n等分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式训练2】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西柳州·开学考试），平分，以为一边作，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角有关的计算，解题的关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系． 分两种情况讨论：①如图当射线在的内部时，根据求出答案；②当射线在的内部时，根据求出答案即可． 【详解】分两种情况讨论： 如图所示：当射线在的内部时， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 如图所示：当射线在的内部时， ∵，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（22-23七年级上·浙江杭州·期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【答案】A 【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 二、填空题 4．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，已知平分平分．则的度数为 ． 【答案】/50度 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了有关角平分线的计算，求出，再根据角平分线的定义分别求出和的度数，由角的和差关系可得答案． 【详解】解：，， ， 平分，平分． ，， ， 故答案为：． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，射线是的平分线，射线是的平分线，．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角的计算，以及角的平分线定义，关键是注意分析角之间的和差关系．首先设，，再根据角平分线性质可得，再根据角的和差关系可得，进而得到，再解方程即可得到，进而得到答案 【详解】解：设，． 则． 是的平分线， ， ， ， ， 解得，， 是的平分线， ， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线． （1）若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 【答案】 或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算 【分析】本题属于新定义类型的问题，考查角的计算， （1）根据，则，由此可得出结论； （2）根据，是的三分线，且，可得，，据此可得的度数；然后分两种情况：当是的三分线，且时，；当是的三分线，且时，，分别求得的值； 解题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是的一条三分线，，且， ∴，， ∴， ∵将顺时针旋转（）得到， ∴， 分两种情况： 如图，当是的三分线，且时， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的值为； 如图2，当是的三分线，且时， ∴， ∴， ∴， 即的值为； 综上所述，的值为或． 三、解答题 7．（2024七年级上·全国·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了几何图形中角度计算，角平分线的意义，掌握角度的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，根据即可求解； （2）同理（1）即可求得． 【详解】（1）解： 平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：同理（1）得：， ， ． 8．（22-23七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 9．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，点O是直线上的一点，是的平分线，在内，且． (1)设，用含x的式子表示： ， ； (2)如果，那么与相等吗？为什么？ (3)如果，求的度数． 【答案】(1)， (2)相等，理由见解析 (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出的度数，在求出，根据平角的定义求出的度数； （2）根据角的和差即可求出答案； （3）根据角平分线的定义得，设，，根据角的和差关系，及平角定义列出方程即可解答． 【详解】（1），， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）相等，理由如下： ，即， ； （3）是的平分线， ， 设，， 则，， ， ， ， 即 解得： ， ， ． 10．（23-24六年级下·山东烟台·期末）已知，作射线．射线，分别是，的平分线． (1)当射线在的内部时，如图． ①若，则的度数为 ； ②若，求的度数（用含α的式子表示）； (2)当射线在的左边时，若，且，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）①利用角平分线的定义解答即可； ②利用角平分线的定义解答即可； （2）根据题意画出图形,利用角平分线的定义解答即可； 【详解】（1）解：①由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， 当射线在的内部时，； ②由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， 当射线在的内部时，； （2）解：由题意得，射线，分别是，的平分线， ，， ，， ． 11．（22-23七年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，O是直线上一点，，作射线． (1)如图1，若平分，，则＝______°(直接写出答案)； (2)如图2，若平分，比大36°，求的度数 (3)如图3，若平分，当时，能否求出的度数？若可以，求出度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)30 (2)18° (3)不能求出的度数；理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算．灵活应用角平分线的定义是解题的关键． （1）利用角平分线的定义和邻补角的意义解答即可； （2）设，利用角平分线的定义与已知条件列出方程即可求解； （3）设，利用角平分线的定义和已知条件列出式子即可说明理由． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：30． （2）∵平分， ∴， ∵， ∴． 设，则，， ∵比大36°， ∴． ∴． ∴． （3）不能求出的度数． 理由：∵平分， ∴．设，则，， ∴， ∴， 即．就是说，无论等于多少度，总等于它的一半，而不确定，故不能求出的度数． 12．（23-24六年级下·上海徐汇·期末）定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们将这条射线称为这个角的分位线．例如：如图1，，则为的分位线；，则也是的分位线． (1)若，为的分位线，且，则 ． (2)如图，点、、在同一条直线上，为一条射线，，分别为与的分位线，（，）． ①已知，，则 ． ②若，当变化时，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． (3)如果点、、在同一条直线上，为一条射线，已知射线、分别为与的分位线，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①；②不变，见解析 (3)或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，正确联系新定义的内容是解题的关键； （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得到，，求解即可；②不变，根据题意，，代入即可求解； （3）因为，位置不确定，有两种情况，第一种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数；第二种情况，设，，，代入求解，进而求得的度数． 【详解】（1），为的分位线，且； ， （2）①，分别为与的分位线，（，） ，， ，， ，， ，， ； ②不变；，分别为与的分位线，（，）， ， 若，的度数不会改变； （3）根据题意作图，如图所示 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ，， 点、、在同一条直线上 ， ， ； 根据题意作图，如图所示； 已知射线、分别为与的分位线， 设，， ， 点、、在同一条直线上 ， ， 解得 的度数为或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$