专题06 线段的和与差及中点问题的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（北师大版2024）

专题06 线段的和与差及中点问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、线段的和与差有关的计算问题 3 类型二、线段中的单中点问题 5 类型三、线段中的双中点问题 8 类型四、线段中的多中点问题 11 压轴能力测评（12题） 14 解题知识必备 1. 线段的和与差 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2. 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 3.线段双中点问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 4. 线段的多中点问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 压轴题型讲练 类型一、线段的和与差有关的计算问题 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，直线上有，，，四个点，且，． (1)填空： ， ； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，求． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有______条线段，以A为端点的线段有_____条； ②___________． (2)若D是线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 类型二、线段中的单中点问题 例题：（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，点是线段的中点，点，是线段上两点，，．    (1)求的长； (2)若，求的长． 【变式训练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 【变式训练2】（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 类型三、线段中的双中点问题 例题：（23-24七年级下·吉林松原·开学考试）如图，已知点C在线段上，线段，M，N分别是的中点 (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，直接写出的长度 【变式训练1】（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知点C为线段上一点，，，点D，E分别是，的中点．求： (1)的长度； (2)的长度． 【变式训练2】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 类型四、线段中的多中点问题 例题：（23-24六年级下·山东威海·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【变式训练1】（23-24七年级上·江西南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【变式训练2】（23-24七年级上·辽宁锦州·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列三种说法：①因为，所以是的中点；②在线段的延长线上取一点，如果，那么是的中点；③因为是的中点，所以．其中正确的是（   ） A．①③ B．① C．②③ D．①②③ 2．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 二、填空题 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，若C为线段的中点，D在线段上，，则的长度是 ． 5．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）已知点A、B、C位于直线上，其中线段，且，若点M是线段的中点，则线段的长为 ． 6．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 三、解答题 7．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 8．（20-21七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， （1）若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； （2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则　 　． 9．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）直线l上有三个点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，，此时点C就是点A关于点B的其中一个“半距点”．如图2，若M，N，P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，． (1)_________； (2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段的中点，求线段的长． 10．（24-25七年级上·全国·期中）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． 当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． 当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 11．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． ①当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． ②当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 12．（21-22七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 线段的和与差及中点问题的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、线段的和与差有关的计算问题 3 类型二、线段中的单中点问题 5 类型三、线段中的双中点问题 8 类型四、线段中的多中点问题 11 压轴能力测评（12题） 14 解题知识必备 1. 线段的和与差 如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD 2. 线段的中点 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有： 3.线段双中点问题 两线段在同一直线上且有一个共同的端点，求这两条线段的中点距离的模型我们称之为线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN， ∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN， ∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点， ∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM， ∴； 4. 线段的多中点问题 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点 ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴，……发现规律：， 压轴题型讲练 类型一、线段的和与差有关的计算问题 例题：（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，直线上有，，，四个点，且，． (1)填空： ， ； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，求． 【答案】(1)、； (2)，理由见解析； (3)． 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查线段长度的计算，熟练掌握图形中线段的和差是解题的关键． （1）根据线段的和差求解即可； （2）根据线段的和差求解即可； （3）由（2）得，根据，得，进而即可得解． 【详解】（1）解：由图可得， 故答案为：、； （2）解：，理由如下， ∵，． ∴， ∴， （3）解：由（）得， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有______条线段，以A为端点的线段有_____条； ②___________． (2)若D是线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【答案】(1)①6；3，②； (2) 【知识点】直线、线段、射线的数量问题、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算； （1）①根据两点确定一条线段进行求解即可；②根据线段的和差关系求解即可； （2）先由线段中点的定义得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①图中的线段有共6条线段，其中以A为端点的线段有3条； ②由题意得，； （2）解：∵D是线段的中点，， ∴． ∵， ∴， ∴． 【变式训练2】（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 【详解】（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 类型二、线段中的单中点问题 例题：（23-24七年级上·河南安阳·期末）如图，点是线段的中点，点，是线段上两点，，．    (1)求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1)4 (2)6 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．理清线段之间的和差关系，是解题的关键． （1）中点得到，再根据，进行计算即可； （2）先求出的长，再根据，得到，求解即可． 【详解】（1）解：因为点是线段的中点，， 所以， 又因为， 所以； （2） 因为， 所以， 所以． 【变式训练1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点C在线段上，点D为的中点． (1)如图1，若，，求的长． (2)如图2，若点E为的中点，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算以及图形中线段的和差关系，根据图形找准线段间的关系是解答本题的关键． （1）根据线段中点定义以及图形中，计算即可； （2）根据线段中点的定义以及图形中进行计算即可． 【详解】（1），， D为中点， （2）点D为中点， 点E为中点， ， 【变式训练2】（23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离、列代数式 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 类型三、线段中的双中点问题 例题：（23-24七年级下·吉林松原·开学考试）如图，已知点C在线段上，线段，M，N分别是的中点 (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，直接写出的长度 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题考查线段中点的计算，数形结合是解答本题的关键． （1）根据点M、N分别是的中点，先求出的长度，再利用即可求出的长度即可， （2）根据点M、N分别是的中点，可知，再利用即可求出的长度． 【详解】（1）∵点M、N分别是的中点，， ∴， ∴； （2）， ∵点M、N分别是的中点， ∴， ∴． 【变式训练1】（23-24七年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知点C为线段上一点，，，点D，E分别是，的中点．求： (1)的长度； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和与差的计算，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解本题的关键． （1）直接根据是的中点可得答案； （2）先求出的长，然后根据E是的中点求出，根据即可求出． 【详解】（1）解：∵，点D是的中的中点， ∴； （2）∵，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． 【变式训练2】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【知识点】线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 类型四、线段中的多中点问题 例题：（23-24六年级下·山东威海·期末）已知线段，点C，D是线段上的点，且，点D是线段的三等分点，则 ． 【答案】或 【知识点】线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的计算，由题意可知或，再结合线段和差关系即可求解，明确线段三等分点的意义，正确分类计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∵点D是线段的三等分点， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，或， 故答案为：或． 【变式训练1】（23-24七年级上·江西南昌·期中）如图，图中数轴的单位长度为．若原点为的四等分点，则点代表的数为 ．    【答案】或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、线段n等分点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】根据线段的四等分点有个，分三种情况并结合图形即可得出答案． 【详解】解：∵图中数轴的单位长度为， ∴， ①如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ②如图，当点恰好是线段的中点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    ③如图，当点靠近点时， ∵原点为的四等分点， ∴， ∴点代表的数为；    综上所述，点代表的数为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查线段的四等分点，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．解题的关键是掌握线段的四等分点的定义：把一条线段平均分成份． 【变式训练2】（23-24七年级上·辽宁锦州·期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长． (1)根据题意，小明求得MN＝___________； (2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________； ②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长； ③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________； 【答案】(1)6 (2)①；②；③ 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、两点间的距离 【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6； （2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a； ②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a； ③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a． 【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8， ∴BC=AB-AC=4， ∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC=4，CN=BC=2， ∴MN=CM+CN=6； 故答案为：6； （2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； 故答案为：a； ②∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a； ③∵AM=AC，BN=BC， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=AB， ∵AB=a， ∴MN=a， 故答案为：a． 【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算． 压轴能力测评（12题） 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列三种说法：①因为，所以是的中点；②在线段的延长线上取一点，如果，那么是的中点；③因为是的中点，所以．其中正确的是（   ） A．①③ B．① C．②③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段中点定义，根据中点定义，数形结合理解即可得到答案，熟记线段中点定义是解决问题的关键． 【详解】解：若三点不在一条直线上，即使，也不一定是的中点，故①错误，不符合题意； 线段的延长分两种情况： 在线段的延长线上取一点，如图所示： 如果，那么是的中点，故②正确，符合题意； 因为是的中点，所以，故③说法正确，符合题意； 综上所述，正确的说法是②③， 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习）已知线段，点C是的中点，点D在线段上且，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段中点的定义，理解题意，考虑问题要全面是解题的关键． 根据线段中点的性质求出，根据题意求出，分点在线段上，点在线段上两种情况计算即可． 【详解】∵，点C是的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 如图，当点在线段上时， ∴， 故选： D． 3．（23-24六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 二、填空题 4．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，若C为线段的中点，D在线段上，，则的长度是 ． 【答案】1 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离．利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键．由已知条件知， ，由即可求得结果． 【详解】∵线段，线段， ∴， ∵C为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：1． 5．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）已知点A、B、C位于直线上，其中线段，且，若点M是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【知识点】线段之间的数量关系、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段之间的数量关系，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 需要分两种情况，当点在点的右侧时和当点在点的左侧时，根据题意，画出图形，再根据线段之间的数量关系计算即可． 【详解】解：如图，当点在点的右侧时， ，且， ， ， 点是线段的中点， ， ． 如图，当点在点的左侧时， ，且， ， ， 点是线段的中点， ， ． 综上所述，线段的长为或， 故答案为：5或1． 6．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）如图，C为线段的中点，，D是线段的三等分点，则的长是 ． 【答案】4或8/8或4； 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算 【分析】本题考查有关等分点的计算，根据中点得到，再分类讨论三等分点靠近B点或A点即可得到答案； 【详解】解：∵C为线段的中点，， ∴， ∵D是线段的三等分点， ①三等分点靠近B点时， ， ②三等分点靠近A点时， ， 故答案为：4或8． 三、解答题 7．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，已知线段，延长至，使得． (1)求的长； (2)若是的中点，是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离，利用中点求线段长． （1）首先根据求出，根据题意知，即可得到本题答案； （2）利用中点分别求出，，再利用线段和差即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵线段， ， ∴， ∴； （2）解：∵D是的中点，E是的中点， ∴，， ∴． 8．（20-21七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， （1）若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； （2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，则　 　． 【答案】（1）①；②或；（2）或 【知识点】线段n等分点的有关计算、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键． （1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段的三等分点时，可求得或，则或，由线段的和差即可得到结论； （2）当点E在线段之间时，设，则，求得，设，得到，求得，当点E在点A的左侧，设，则，设，求得，得到，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ①∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵点C是线段的三等分点，， ∴或， ∴或， ∴或； （2）当点E在线段之间时，如图， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴x， ∴； 当点E在点A的左侧，如图， 设，同理， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点E在线段上及点E在点B右侧时，无解， 综上所述的值为或． 故答案为：或． 9．（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）直线l上有三个点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图1，，此时点C就是点A关于点B的其中一个“半距点”．如图2，若M，N，P三个点在同一条直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，． (1)_________； (2)若点G也是直线m上一点，且点G是线段的中点，求线段的长． 【答案】(1)4或8 (2)的长度为6或2 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是分情况讨论． （1）根据点P是点M关于点N的“半距点”，可得，分两种情况画图求解； （2）根据点G是线段的中点，结合（1）分两种情况即可求线段的长度． 【详解】（1）解：如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， ， ①当点P位于之间时，， ， ， ②当点P位于右侧时，， ， ， 或8， 故答案为：4或8； （2）如图所示， ①点是线段中点， ， ， ②点是线段的中点， ， ， 的长度为6或2． 10．（24-25七年级上·全国·期中）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． 当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． 当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【答案】(1)， (2)或或 【知识点】用数轴上的点表示有理数、线段中点的有关计算、数轴上的动点问题 【分析】本题考查了数轴上点的表示，线段中点的相关计算，数轴上动点问题； （1）由线段关系可求，，即可求解； （2）分类讨论：当在的左边时，当在、之间时，当在之间右边时，即可求解； 当、在的左边，且在的左边，由线段的中点得，，由线段和差得，由，即可求解； 、其它不同位置情况同理可求； 掌握线段的中点，能根据动点不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， ， 点A表示的数为，点B表示的数为； 故答案：，； （2）解：，理由如下： 如图，当在的左边时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 如图，当在、之间时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 如图，当在之间右边时， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， ； 综上所述：； 第一种情况，如图，当、在的左边，且在的左边， 点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，，则， ； ； 第二种情况，如图，当、在的左边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴， ； 第三种情况，如图，当、在的右边，且在的左边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 第四种情况，如图，当、在的右边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 第五种情况，如图，当、在的右边，且在的左边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，，则， ∴ ； 第六种情况，如图，当、在的右边，且在的右边， ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴，， ∴ ； 综上所述，或或． 11．（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，点O是数轴的原点，点A在数轴上位于原点左侧，点B在数轴上位于原点右侧，． (1)当，时，点A表示的数为______，点B表示的数为______； (2)若点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点． ①当点C与点D重合时，探究与的数量关系，并说明理由． ②当时，直接写出的长度（用m，n表示）． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【知识点】线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴上点的表示，数轴上点的移动． （1）根据题意列出算式即可； （2）①根据题意分情况讨论列式即可证明出；②根据题意分9种情况讨论并列式分别计算即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，即， ∵点B在数轴上位于原点右侧， ∴点B表示的数为：， ∴， ∵点A在数轴上位于原点左侧， ∴点A表示的数为∶， 故答案为：； （2）解：①∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ，， 如图，当点C在线段上时： ， 即：； 如图，当点C在线段的延长线上时： ，； 如图，当点C在线段的延长线上时： ，； 综上所述，； ②∵点C、D为数轴上任意两点，点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴分情况讨论： 当在上时，点D在上时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设：，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在上时，点D在延长线上时， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在上时， 同理得：； 当在延长线上时，点D在延长线上时， 同理得：； 综上所述：或． 12．（21-22七年级上·河南周口·期末）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；… (1)请完成下列表格数据． 次数      线段的长 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 ①______ ②________ … … … (2)小明对线段的表达式进行了如下化简： 因为， 所以， 两式相加，得， 所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式． (3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、线段中点的有关计算、数字类规律探索 【分析】本题考查规律型：数字的变化类，找到规律并会表现出来是解题关键． （1）根据表中的规律可求出，根据可得出答案； （2）参照小明对线段的表达式的化简可得的表达式； （3）根据类比猜想可得答案． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）因为， 所以． 两式相加，得． 所以； （3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$