黄金卷05（北京专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．记等差数列的前n项和为.若，，则（    ） A．49 B．63 C．70 D．126 5．已知，那么下列命题中正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 6．已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为（    ）． A．， B．， C．， D．， 8．“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（   ）    A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 10．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论： ①存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④存在正整数，，，，且，使得. 其中所有正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 12．已知双曲线．则的离心率是 ；若的一条渐近线与圆交于，两点，则 ． 13．已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ． 14．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题： 问题1：你的阳历生日日期是否偶数？    问题2：你是否有A习惯？ 调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为 ． 15．已知函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有2个零点； ②存在正数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有2个零点； ④对任意只有一个零点. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分） 在中，，. (1)求A的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：. 17．（14分） 如图，在直三棱柱中， 为直角，侧面为正方形， ，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 18．（13分） 近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在，，，，，这6个国产新能源品牌或在，，，这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表： 充电时间段 充电价格（元/千瓦时） 充电服务费（元/千瓦时） 峰时 10：00-15：00和18：00-21：00 1.0 0.8 平时 7：00-10：00，15：00-18：00和21：00-23：00 0.7 谷时 当日23：00-次日7：00 0.4 (1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率； (2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望； (3)求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用. (4)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少. 19．（15分） 已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 20．（15分） 设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点，． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程． 21．（15分） 设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数 (1)已知集合，集合，分别求解． (2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合” ①求的最大值（无需证明）． ②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和． 试卷第2页，共22页 5 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷05·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B C D A C C A C A 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11． 12． 13． / 14. 5% 15.②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．（13分） 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 又，所以.-----------------------------------5分 （2）若选①，边上的高，在中，， 即，-----------------------------8分 在中，由余弦定理，得， 整理得，而，解得， 的三边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一， 所以的面积为；-----------------------------13分 若选②，，则， 在中，， 由正弦定理，得， 根据三角形中大角对大边可知，不存在；-----------------------------13分 若选③，，由余弦定理，得， 则，显然，即方程无解， 因此不存在，③不可选.-----------------------------13分 17．（14分） 【详解】（1）连接， 在中，因为分别为，的中点，所以 又平面，平面，所以平面．-----------------------------5分 （2）因为直三棱柱中，为侧棱， 所以平面， 因为平面， 所以， 又为直角， 所以 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 由（1），所以.-----------------------------10分 （3）建立空间直角坐标系， 则，，，．， 因此，． 设平面的法向量为， ，即 令，则，于是， 设直线与平面所成角为． 所以．-----------------------------14分 18．（13分） 【详解】（1）记事件品牌被选中，则.-----------------------------2分 （2）由题，在18：00-21：00有6个时间点，充电价格为1.0元/千瓦时， 在21：00-23：00有4个时间点，充电价格为0.7元/千瓦时， 在23：00，23：30有2个时间点，充电价格为0.4元/千瓦时， 可能的取值有，则 分布列如下： 54 45 36 所以元.-----------------------------7分 （3）充电1千瓦时的费用为1.8元的概率为， 充电1千瓦时的费用为1.5元的概率为， 充电1千瓦时的费用为1.2元的概率为， 所以充电1千瓦时的平均费用为元.-----------------------------11分 （4）若选择新能源汽车，则需要的能源消耗支出为元， 若选择新燃油汽车，则需要的能源消耗支出为元， 结合购车成本有，所以新能源汽车花费更少.-----------------------------14分 19．（15分） 【详解】（1）定义域为， ， 设 恒成立 所以在上是减函数，且 则当时，，即， 则当时，，即， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间-----------------------------7分 （2）由（1）知，所以， 令， ， 当时，，当时，， 所以在上的最小值为， 所以若关于的不等式有解，则， 即.-----------------------------15分 20．（15分） 【详解】（1）由题意可知，解得 ， 则椭圆方程为，椭圆的离心率为.-----------------------------5分 （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，，设直线方程为， 取，得， 联立得，， ，得，则．-----------------------------10分 ， . 因为的面积是面积的倍， ，即，得， 直线的方程为．-----------------------------15分 21．（15分） 【详解】（1）已知集合的非空子集有15个： 计算可得，即． 集合的非空子集有15个： 计算可得，即-----------------------------5分 （2）①集合共有个非空子集，的最大值为 ②， 即证-----------------------------10分 不妨设，即的非空子集中元素和最小的子集的为，最大的为 集合是极异集合，，代表有个不同的正整数， 即， 所以中有个元素，由元素互异性可得 又，即可得， 因此数列的前项和.-----------------------------15分 试卷第2页，共22页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（北京专用） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以, 因为，所以, 所以. 故选：D. 2．在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】∵， ∴该复数在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3．下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于ACD，、、是非奇非偶函数，故排除ACD， 对于B，是奇函数且是定义域上的增函数，故B对； 故选：B. 4．记等差数列的前n项和为.若，，则（    ） A．49 B．63 C．70 D．126 【答案】B 【详解】因是等差数列，故，于是 故选：B 5．已知，那么下列命题中正确的是（   ）. A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】C 【详解】．若，当时， ，所以选项不成立； ．若，当时，则，所以选项不成立； ．因为，将两边同除以，则，所以选项成立； ．如果满足，但是，所以选项不成立． 故选：． 6．已知抛物线的焦点为F，点P为C上一点.若，则点 P的横坐标为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意知，， 由抛物线的定义知，，得， 即点P的横坐标为7. 故选：C 7．函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】点与代入中， ， ∴，， 故选：A． 8．“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若“直线与圆相交”， 则可得，解得， 又 故“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件. 故选：. 9．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（   ）    A．1:1 B．1:2 C．1:3 D．1:4 【答案】B 【详解】由题意，， 所以， 所以. 故选：B． 10．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论： ①存在，使得，，成等差数列； ②存在，使得，，成等比数列； ③存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④存在正整数，，，，且，使得. 其中所有正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，由题意得，有， 故成等差数列，故①正确； 对于②，由，则为偶数，则、为奇数，为偶数， 则、为奇数，，故，，中有两个奇数，一个偶数， 不可能成等比数列，故②错误； 对于③，， 故当时，对任意，，，成等差数列，故③正确， 对于④，依次写出数列中的项为： ， 可得，故④正确， 故选：C. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．在的展开式中，常数项为 .（用数字作答） 【答案】 【详解】由的展开式的通项为， 令，，则， 即在的展开式中，常数项为， 故答案为：. 12．已知双曲线．则的离心率是 ；若的一条渐近线与圆交于，两点，则 ． 【答案】 【详解】由双曲线，可得，则， 所以双曲线的离心率为； 又由双曲线的其中一条渐近线方程为，即， 因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到渐近线的距离为， 由圆的弦长公式，可得. 故答案为：；. 13．已知正方形的边长为1，点满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系， 则， 因为， 所以， 所以当时，取得最大值. 故答案为：. 14．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题： 问题1：你的阳历生日日期是否偶数？    问题2：你是否有A习惯？ 调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为 ． 【答案】5% 【详解】根据题意，被调查者回答第一个问题的概率为；其阳历生日日期是偶数的概率也是， 所以随机抽出的200名学生中，回答两个问题的人数估计各有人， 所以200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有人； 所以抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为人， 由此估计此中学学生有A习惯人数的百分比为． 故答案为：5%. 15．已知函数，给出下列四个结论： ①当时，恰有2个零点； ②存在正数，使得恰有1个零点； ③存在负数，使得恰有2个零点； ④对任意只有一个零点. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②④ 【详解】令，得， 函数的零点个数，即为方程的根的个数， 方程根的个数，即为与函数的交点个数， 又函数是过定点的直线， 作出的图象如图所示， 当直线与函数有一个交点， 故有一个零点，故①错误； 当在第一象限与函数相切时， 函数有一个零点，故②正确； 函数绕着顺时针从转到时，两图象只有一个交点， 故时，函数只有一个零点，故③错误，④正确. 故答案为：②④. 三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 16．在中，，. (1)求A的大小； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 又，所以. （2）若选①，边上的高，在中，， 即， 在中，由余弦定理，得， 整理得，而，解得， 的三边已知，由三角形全等的判定知，存在且唯一， 所以的面积为； 若选②，，则， 在中，， 由正弦定理，得， 根据三角形中大角对大边可知，不存在； 若选③，，由余弦定理，得， 则，显然，即方程无解， 因此不存在，③不可选. 17．如图，在直三棱柱中， 为直角，侧面为正方形， ，分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）连接， 在中，因为分别为，的中点，所以 又平面，平面，所以平面． （2）因为直三棱柱中，为侧棱， 所以平面， 因为平面， 所以， 又为直角， 所以 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 由（1），所以. （3）建立空间直角坐标系， 则，，，．， 因此，． 设平面的法向量为， ，即 令，则，于是， 设直线与平面所成角为． 所以． 18．近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在，，，，，这6个国产新能源品牌或在，，，这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如表： 充电时间段 充电价格（元/千瓦时） 充电服务费（元/千瓦时） 峰时 10：00-15：00和18：00-21：00 1.0 0.8 平时 7：00-10：00，15：00-18：00和21：00-23：00 0.7 谷时 当日23：00-次日7：00 0.4 (1)若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌被选中的概率； (2)若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X为遥遥每次充电的费用，求X的分布列和数学期望； (3)求新能源汽车在某个时间段充电1千瓦时的平均费用. (4)假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少. 【详解】（1）记事件品牌被选中，则. （2）由题，在18：00-21：00有6个时间点，充电价格为1.0元/千瓦时， 在21：00-23：00有4个时间点，充电价格为0.7元/千瓦时， 在23：00，23：30有2个时间点，充电价格为0.4元/千瓦时， 可能的取值有，则 分布列如下： 54 45 36 所以元. （3）充电1千瓦时的费用为1.8元的概率为， 充电1千瓦时的费用为1.5元的概率为， 充电1千瓦时的费用为1.2元的概率为， 所以充电1千瓦时的平均费用为元. （4）若选择新能源汽车，则需要的能源消耗支出为元， 若选择新燃油汽车，则需要的能源消耗支出为元， 结合购车成本有，所以新能源汽车花费更少. 19．已知函数. (1)求的单调区间； (2)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【详解】（1）定义域为， ， 设 恒成立 所以在上是减函数，且 则当时，，即， 则当时，，即， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间 （2）由（1）知，所以， 令， ， 当时，，当时，， 所以在上的最小值为， 所以若关于的不等式有解，则， 即. 20．设椭圆的左、右顶点分别为，右焦点，． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的倍，求直线的方程． 【详解】（1）由题意可知，解得 ， 则椭圆方程为，椭圆的离心率为. （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，，设直线方程为， 取，得， 联立得，， ，得，则． ， . 因为的面积是面积的倍， ，即，得， 直线的方程为． 21．设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数 (1)已知集合，集合，分别求解． (2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合” ①求的最大值（无需证明）． ②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和． 【详解】（1）已知集合的非空子集有15个： 计算可得，即． 集合的非空子集有15个： 计算可得，即 （2）①集合共有个非空子集，的最大值为 ②， 即证 不妨设，即的非空子集中元素和最小的子集的为，最大的为 集合是极异集合，，代表有个不同的正整数， 即， 所以中有个元素，由元素互异性可得 又，即可得， 因此数列的前项和. 试卷第2页，共22页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$