精品解析：安徽省六安第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

六安二中河西校区2024年秋学期高一年级期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分150分 命题人：张亮亮 审题人：柴明明 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得B，根据并集的定义求得，再根据补集的定义求解即可. 【详解】，， 又， ． 故选：C. 2. 已知：，且，下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过赋值法举反例排除A,B,C项，对于D项，则可寻找条件成立的充要条件，再用作差法判断即得. 【详解】对于A，可取，满足，但得不到，故A错误； 对于B，可取，满足，但不满足，故B错误； 对于C，可取，满足，但，故C错误； 对于D，因，而，故必有成立，即D正确. 故选：D. 3. 已知集合， 若， 则实数a的值为（ ） A. 5或 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求得值，再验证每个取值是否满足条件. 【详解】因为，所以，所以或. 若，则，此时，此时不成立； 若，则或， 当时，，B中有两元素相等，故不成立； 当时，此时，此时成立； 综上：. 故选：D 4. 若函数，则的值是（ ） A. 9 B. 25 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】令，求出，再代入解析式求出即可； 【详解】令，则，则， 故选：D. 5. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义以及定义域和值域的概念分析即可. 【详解】选项A：定义域为，但是值域不是故错误； 选项B：定义域不是，值域为，故错误； 选项C：定义域和值域均为，故正确； 选项D：不满足函数的定义，故错误； 故选：C. 6. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】首先对进行分类讨论，然后分别将其代入对应的解析式中即可求解的值 【详解】当时，得：，不符合题意，故舍去； 当时，得：，解得：，不符合范围条件，故舍去； 当时，得：，解得：或， 由于，故得：. 故选：C 7. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知的定义域，再根据函数成立的条件建立不等式进行求解即可． 【详解】因为的定义域是， 所以要使得有意义， 需满足，解得． 则函数的定义域为是 故选：B 8. 不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 与表示同一个集合 B. 集合与表示不同集合 C. 方程的所有解的集合可表示为 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合的含义判断A；根据集合元素的无序性判断B；根据集合元素的互异性判断C；根据“”和“”之间的逻辑关系判断D. 【详解】对于A，表示没有任何元素的集合，表示元素为0的数集， 故二者不是同一个集合，A错误； 对于B，由于集合的元素具有无序性，故集合与表示同一个集合，B错误； 对于C，方程的解为两相等实数解以及， 结合集合元素的互异性可知其解集为，C错误； 对于D，取满足，但不满足， 当时，必有，故“”是“”的必要不充分条件，D正确， 故选：ABC 10. 下列每组函数是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，两函数的定义域均为,且函数与， 两函数的对应关系也相同，所以是同一函数，符合题意； 对于B中，函数与， 两函数的对应关系不同，所以不是同一函数，不符合题意； 对于C中，函数的定义域为，的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数，不符合题意； 对于D中，函数，， 两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数，符合题意. 故选：AD. 11. 设正实数满足，则下列选项正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A ：根据基本不等式直接计算并判断；B：采用常数代换法直接计算并判断；CD：根据选项A的结论化简判断即可. 【详解】A：，当且仅当时取等号，故正确； B：，当且仅当时取等号，故正确； C：，且， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故错误； D：，当且仅当时取等号，故正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．答案需填写最简形式） 12. 命题“，”的否定是_____. 【答案】， 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为存在量词命题， 该命题的否定为“，”. 故答案为：，. 13. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式对应的二次函数开口向上，只需判别式小于0，函数图像与轴无交点，则不等式大于0恒成立，从而求出参数取值范围. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 故答案为： 14. 已知函数，若，则x的取值范围为____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意分析可知：是偶函数，且在内单调递增，在内单调递减，进而可得，运算求解即可. 【详解】由题意可知：的定义域为， 若，则，可得； 同理可得：当时，； 且时，； 综上所述：是偶函数． 因为开口向上，且对称轴为， 可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减， 则不等式等价于， 即，整理得，解得或， 所以x的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）求集合中的取值范围． （2）若是的充分不必要条件，求取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式，然后直接求出结果； （2）先表示出集合，然后将问题转化为⫋，由此列出不等式组求解出结果. 【小问1详解】 因为，所以，解得或， 所以的取值范围是或. 【小问2详解】 因为恒成立，所以或， 所以或， 又因为是的充分不必要条件，所以⫋， 所以，解得， 当或时，，所以满足要求， 综上所述，的取值范围是. 16. （1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1），；（2），，. 【解析】 【分析】（1）分是否等于0两种情况讨论即可； （2）分是否等于0两种情况讨论即可. 【详解】（1）情形一：若，则中只有这一个元素，故符合题意； 情形二：若，且集合中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得； 综上所述，实数的所有取值可能为：，； （2）， 情形一：当时，，此时满足，故符合题意； 情形二：当时，， 若要，则当且仅当或， 解得或； 综上所述，实数的值可能是：，，. 17. （1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值； （2）先化简得到，然后采用常数代换法求解出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 18. 已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. （1）求的值； （2）证明：为偶函数； （3）若在上单调递增，求不等式的解集. 【答案】（1）， （2）证明：因为是定义在非零实数集上的函数， 令，故， 为偶函数； （3）或， 【解析】 【分析】（1）令以及即可求解， （2）令，即可根据偶函数的定义求解， （3）先得出，根据函数的奇偶性和单调性求解. 【小问1详解】 令得：，故， 令得：，故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上单调递增，且为偶函数， 故在上是减函数，由于， 则， 故，且，解得且， 故不等式的解集为或. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 在上单调递增，证明如下： 取任意，且， 则； 因为，且， 所以，，即， 所以，即， 因此在上单调递增. （3）. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质利用以及可得结果； （2）利用函数单调性定义按步骤即可证得在上单调递增； （3）由函数奇偶性及其单调性解不等式即可得a的取值范围为. 【小问1详解】 由题意可知，故， 又由可得，解得； 所以， 此时定义域关于原点对称，且， 故是定义在上的奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）（2）知，是在上单调递增的奇函数， 所以由，得， 因此需满足，解得，即， 故实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安二中河西校区2024年秋学期高一年级期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 满分150分 命题人：张亮亮 审题人：柴明明 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知：，且，下列不等关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合， 若， 则实数a的值为（ ） A. 5或 B. C. 5 D. 4. 若函数，则的值是（ ） A. 9 B. 25 C. 8 D. 4 5. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 下列说法中错误的是（ ） A. 与表示同一个集合 B. 集合与表示不同集合 C. 方程的所有解的集合可表示为 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 下列每组函数是同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 设正实数满足，则下列选项正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最大值为2 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．答案需填写最简形式） 12. 命题“，”的否定是_____. 13. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______． 14. 已知函数，若，则x的取值范围为____． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合，集合． （1）求集合中的取值范围． （2）若是的充分不必要条件，求取值范围． 16. （1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 17. （1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 18. 已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. （1）求的值； （2）证明：为偶函数； （3）若在上单调递增，求不等式的解集. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值： （2）试判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）求使成立的实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $