第01讲 实数（讲练）（思维导图+6考点+2命题点10种题型（含11种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第一章 数与式 第01讲 实数（8~13分） （思维导图+6考点+2命题点10种题型（含11种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 考点三 科学记数法 考点四 平方根、立方根 考点五 比较实数的大小 考点六 实数的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 ►题型02 相反数、绝对值、倒数的概念 ►题型03 科学记数法 ►题型04 实数与数轴 ►题型05 无理数的估算 ►题型06 实数大小的比较 ►题型07 平方根、立方根 命题点二 实数的运算 ►题型01 实数非负性的应用 ►题型02 实数的混合运算 ►题型03 新定义下的实数运算 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的。 10年2考 实数这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题或填空题形式出现；实数的运算考查形式多样，多数以填空填空题、计算题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 近10年连续考查 科学记数法 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 近10年连续考查 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 10年3考 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 近10年连续考查 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 10年8考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类 1.正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2.正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3.整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4.实数的分类： 判断一个数是有理数或无理数的方法 1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 4 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 乘方 n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数， 乘方的结果叫做幂. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数. 规定：a0=1（a≠0） 数轴上的动点问题：解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解.而对于建立在数轴上的动点问题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路.一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程. 因此解决数轴上的动点问题要明确以下几个问题： 1.找出动点的基准坐标，即运动的起始坐标； 2.算出动点运动后的坐标： 向右运动：运动后的坐标 = 基准坐标 + 运动路程； 向左运动：运动后的坐标 = 基准坐标 - 运动路程； 3.表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数； 4.列方程：根据运动的关系或题目中的条件，列出方程，未知数通常是运动时间t、速度v或所求坐标； 5.求解 利用零点分段法化简绝对值 零点:使得绝对值符号内的代数式为0的未知数的值，称为绝对值的零点. 利用零点分段法去绝对值符号的方法： 1.化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号，先根据所给的条件,确定绝对值符号内的数的正负(即a>0，a<0，还是a =0)如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论. 2.分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数(或式子)等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点(零点)将数轴分成了若干段，在每一小段上，绝对值内代数式的符号都是能够判定的；最后依次在每一段上化简原式，这种方法被称为零点分段法 零点分段法的具体步骤： 1.找零点;2.分区间; 3.定正负;4.去符号. 考点三 科学记数法 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 近似数 近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字 考点四 平方根、立方根 相关概念 概念 补充与拓展 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为，a叫做被开方数. 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 正数有两个平方根，且它们互为相反数. 0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 立方根 如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根 正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 常见实数的平方根与立方根： 常见数的平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 625 900 1225 1600 常见数的立方 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 实数的非负性及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数. 2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 考点五 比较实数的大小 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若则 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a=b 2)任意正实数a，b，a>b , a>b 3)任意负实数a，b，a<b , a>b 考点六 实数的运算 常见的实数运算： 三角函数 30° 45° 60° 1 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 例题．（2022·安徽·中考真题）下列为负数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据正负数的意义分析即可； 【解析】解：A、=2是正数，故该选项不符合题意； B、是正数，故该选项不符合题意； C、0不是负数，故该选项不符合题意； D、-5＜0是负数，故该选项符合题意．故选D. 判断正负数的方法： （1）看符号，任何一个实数由符号和绝对值两部分组成，绝对值前面有负号的数是负数； （2）与0比较法：比0大的数为正数，比0小的数为负数； （3）利用数轴比较，位于数轴原点左边的数为负数，位于数轴原点右边的数为负数。 （4）利用特殊值法判断式子正负 利用数轴来判断代数式的符号这类题目，在做选择题和填空题的时候，还可以利用数轴，选择特殊值法.利用特殊值法做题时，大家需要注意：根据题目信息将合适的数值带入到代数式中判断式子正负. 1.在判断正负数时，有多重负号的应注意负号的个数，有偶数个负号的是正数，奇数个负号的数是负数； 2.在表示相反意义的量时，应注意看清题目如何定义正方向，而不能仅凭常识判断。 1．（2024·安徽亳州·三模）下列各数中是负数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值，相反数以及负数的定义，把A、B化简后根据负数的定义判断即可． 【解析】解：A．是正数，不符合题意；     B．是正数，不符合题意；     C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意； D．是负数，符合题意；故选：D． 2．（2024·安徽六安·三模）下列为负数的是（    ） A．0 B．2024 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查负数的认识，根据负数的定义判断即可． 【解析】 B，C均为正数 0既不是正数也不是负数， 是负数故选：D． 3．（2024·安徽·模拟预测）下列选项中，比低的温度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的意义，涉及有理数比较大小，根据题意及选项中的数据，比较大小即可得到答案，熟练掌握正负数的意义是解决问题的关键． 【解析】解：，，，， 比低的温度是，故选：B． 4．（2023·安徽·模拟预测）在，，，这四个数中，是负数的是（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了负数的概念，正确理解负数的概念是解答本题的关键．我们把一种意义的量规定为正，用大于零的数来表示，这样的数叫做正数，把另一种与之意义相反的量规定为负，用大于零的数前面放上负号“”来表示，这样的数叫做负数．根据负数的概念，即可判断答案． 【解析】由题意知，是负数；是正数；既不是正数，也不是负数；是正数． 所以这四个数中，是负数的是．故选A． ►题型02 相反数、绝对值、倒数的概念 例题．（2021·安徽·中考真题）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用绝对值的定义直接得出结果即可 【解析】解：的绝对值是：9故选:A 正确掌握相反数、绝对值以及倒数的含义和性质，是正确解答此类问题的关键。 （1）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数的和为0； （2）绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离称为a的绝对值；正数和0的绝对值是它本身；负数的绝对值等于它的相反数。 （3）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 1.零的相反数是它本身；正数和0的绝对值是它本身；1和-1的倒数是它本身，0没有倒数； 2.绝对值具有非负性，因此绝对值不可能等于一个负数； 3.在求一个数的倒数时，注意它的符号不发生改变。 1．（2024·安徽淮北·三模）下列各数的倒数比它本身大的是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较和倒数，求得各数的倒数后再比较大小即可． 【解析】解：的倒数为，1的倒数为1，的倒数是，的倒数是， ， 所以倒数比它本身大的是， 故选：C． 2．（2024·安徽合肥·二模）下列各数中，绝对值大于3的是（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值，根据题意求出各个选项的绝对值，即可得；解题的关键是掌握绝对值． 【解析】解：A、，选项说法正确，符合题意； B、，选项说法错误，不符合题意； C、0的绝对值是0，选项说法错误，不符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：A． 3．（2024·安徽蚌埠·二模）与数4的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的判断和定义，根据相反数的判断和定义得出答案即可，理解“和为零的两数互为相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题的关键． 【解析】解：∵与数4的和等于0， ∴该数是4的相反数，即为， 故选：B． 4．（2024·安徽马鞍山·二模）的绝对值是（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据是正数，正数的绝对值是它本身，即可作答． 【解析】解：的绝对值是， 故选：C． ►题型03 科学记数法 例题．（2024·安徽·中考真题）据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，然后根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【解析】解：万， 故选：． 用科学记数法表示数时，应先确定a（），其次确定n的值； 确定n的值的方法有两个： （1）整数数位减1； （2）将原数小数点向左移动几位，n的值就是几。 1.含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值. 2.科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数； n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 3.对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105. 4.用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0. 1．（2024·安徽合肥·二模）据中国经济网2024年1月30日报道，2023年，安徽粮食播种面积达到11000万亩．其中数据11000万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【解析】11000万用科学记数法表示为． 故选：A． 2．（2024·安徽合肥·三模）纳米氧化锌应用于红外线检测，能有效吸收雷达波，应用于新型的隐身材料，其直径仅有20纳米，已知1纳米米，那么20纳米转化为米做单位，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的定义，理解定义“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当时，n是正整数，当时，n是负整数．”是解题的关键. 【解析】解：由题意得 20纳米 ； 故选：A． 3．（2024·安徽安庆·二模）华为海思麒麟990（5G）采用的是7纳米工艺制程，纳米是一个长度单位，7纳米是指芯片线路宽度，其宽度越小，对制作工艺要求越高，已知1纳米是千分之一微米，一微米是百万分之一米，如果将纳米换算成国际标准长度单位米，那么7纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解析】由题意可得1纳米等于米，故7纳米等于米． 故选：A 4．（2024·安徽淮南·二模）某种球形冠状病毒的直径是约为纳米(纳米米)，那么这种球形冠状病毒半径约为米．把数用科学记数法表示为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【解析】解： 故答案为：． ►题型04 实数与数轴 例题．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了是实数与数轴，绝对值的意义，实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴可得，，根据绝对值的意义，实数的加法和乘法法则分别对选项进行判断即可． 【解析】解：A、由数轴可知，故本选项不符合题意； B、由数轴可知，由绝对值的意义知，故本选项不符合题意； C、由数轴可知，而，则，故，故本选项符合题意； D、由数轴可知，而，因此，故本选项不符合题意． 故选：C． 1.第一步应先根据数轴确定数的符号，然后根据距离原点的远近确定绝对值的大小，再对式子的符号进行判断或者化简。 2.数轴上表示实数的步骤： （1）找到起始点（起始点必须是已知点）； （2）计算所要表示的点与已知点之间的距离； （3）所要表示的点在起始点的左边，则用起始点对应的数减去两点间的距离；所要表示的点在起始点的右边，则用起始点对应的数加上两点间的距离。 1．（2024·安徽合肥·二模）如图，直径为1的圆上有一点，且点与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（    ） A．3与4之间 B．6与7之间 C．与之间 D．与之间 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，直接求出圆的周长，进行利用点位置即可得出答案，正确求出圆的周长是解此题的关键． 【解析】解：∵这个圆在数轴上无滑动的滚动， ∴滚动一周行进的距离为圆的周长（前进或者后退的距离）， ∵该圆的直径为， ∴周长为， ∴当点再次与数轴上的某个点重合，可能是或，分别约为或（取），位于和之间或与之间， 故选：D． 2．（2024·广东广州·三模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号即可． 【解析】解：由图可知：， ∴， 故正确的是C选项， 故选C． 3．（2024·河北邯郸·二模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足，，则b的值可以是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，不等式的性质，解题的关键是根据数轴确定点的取值范围． 根据数轴得出a的取值范围，再根据倒数的定义得出b的取值范围，进而得出b的值． 【解析】解：由数轴可知，， ∴， ∵， ， 即， 由此可知，满足条件的b的值可以是1， 故选：D． 4．（2024·北京·三模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数和数轴，四则运算法则，根据点在数轴上的位置，结合，逐一进行判断即可． 【解析】解：由数轴可知：， ∴，故B选项错误； 当，，故选项C错误； 无法得到与的关系，故选项A错误； ∵， ∴，， ∴， ∴，故选项D正确； 故选D． ►题型05 无理数的估算 例题．（2021·安徽·中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是 ． 【答案】1 【分析】先估算出，再估算出即可完成求解． 【解析】解：∵； ∴； 因为1.236介于整数1和2之间， 所以; 故答案为：1． 估算无理数的方法： 含有根号的无理数大小的估算，通常是先对含有根号的无理数进行平方（立方），看其平方处在哪两个完全平方数中间，再开方（开立方）可得含有根号的无理数的范围。例如估算的大小时，先对平方得11，因为9<11<16，所以3<<4。 1．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，再估算出第三边的范围，结合整数直接求解即可得到答案． 【解析】解：由题意可得，设第三边为x，即， ∵，即 ∴， ∵第三条边长为整数， ∴x可能为：2，3，4， 则第三边长不可能为1， 故选：A 2．（2024·安徽滁州·二模）已知正整数m、n满足：，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．27 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据，，即可得，，问题随之得解． 【解析】∵，， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 3．（2024·安徽滁州·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的含义以及无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键．首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【解析】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ∵， ∴， ∴， ∴的值为3． 故选：B． 4．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）已知a为整数，且，则 ； 【答案】4 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题关键．根据，即可求出的值． 【解析】解：， ， ， 又， ， 故答案为：4 ►题型06 实数大小的比较 例题．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 【答案】> 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案． 【解析】解：∵，， 而，∴，∴； 故答案为： 1.作差法比较实数大小的方法：作差——变形——判断符号——与0比较大小。 2.作商法比较实数的方法：坐商——变形——与1比较大小。 3.取近似值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 4.添加根号法：如果两个数都是正数，且一个带根号.一个不带根号时，可以将不带根号写成带根号的形式根据“两个正无理数，被开方数大的那个数大”，即可与另一个含根号的数比较大小. 5.放缩法：将一个实数取比它大的整数，而另一个实数取比它小的整数，通过这两个整数的大小即可比较两个实数的大小.（例如：比较和2.5大小.∵<2,2<2.5 ∴<2.5） 在比较两个负数的大小时，有的考生容易出错，一方面要熟记绝对值大的反而小，另一方面也可以借助数轴比较大小，切不可粗心。 1．（2024·安徽滁州·模拟预测）在四个数，，0，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查实数大小的比较，实数大小比较原则是：正数大于零，零大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小．根据实数大小比较法则求解即可． 【解析】解：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴在四个数，，0，中，最小的数是， 故选：A． 2．（2024·安徽合肥·三模）实数，，，中，最大的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，进行作答即可． 【解析】解：依题意，， ∴最大的数是， 故选：C． 3．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得，根据得，则，即可得，综上，即可得． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故选：A 4．（2024·安徽合肥·二模）比较大小： 2（填“＞”“=”或“＜”）． 【答案】＞ 【分析】先估算，再比较大小即可，本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键． 【解析】∵ ∴， 故答案为：＞． ►题型07 求一个数的平方根、立方根 例题．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据求一个数的立方根，有理数的加法即可求解． 【解析】解：， 故答案为：． 1. 一个正数a的算数平方根用符号表示为，一个非负数a的平方根用符号表示为±；一个数a的立方根用符号表示为 2. 0的算术平方根、平方根和立方根都是0； 平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1. 3. 有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 1．（2024·安徽·模拟预测）的平方根为 ，的立方根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了立方根及平方根的知识．解题的关键是掌握立方根及平方根的定义，属于基础题． 根据平方根及立方根的定义，进行解答即可． 【解析】解：的平方根是， ，的立方根为． 故答案为：、． 2．（2024·安徽淮北·三模）计算： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了有理数的运算，求一个数的算术平方根，根据，再计算有理数加减即可． 【解析】原式． 故答案为：3． 3．（2024·安徽淮北·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．先计算绝对值和开立方，再进行加减运算即可． 【解析】解：， 故答案为：． 4．（2024·安徽亳州·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和负整数指数幂，先计算算术平方根和负整数指数幂，再计算加法即可得到答案． 【解析】解； ， 故答案为：． 命题点二 实数的运算 ►题型01 实数非负性的应用 例题．（2024·安徽芜湖·一模），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性和平方的非负性，先根据算术平方根的非负性和平方的非负性求出x、y的值，再代入计算即可． 【解析】解：∵ ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 1.绝对值的非负性：； 2.偶次幂的非负性：； 3.算术平方根的非负性：。 1.几个非负数的和为零，则每个非负数都为零； 2.双重非负性，再利用算术平方根的非负性时，同时要注意被开方数大于等于0，这一点考生容易忽略。 1．（2024·广东·模拟预测）若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查非负性，勾股定理的逆定理，根据非负性，求出的值，再利用勾股定理逆定理进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴以a，b，c为边长的三角形的形状是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 2．（2024·四川南充·二模）已知实数，满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性，先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入代数式进行计算即可． 【解析】∵有理数x、y满足， 又∵，， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 3．（2024·云南·模拟预测）已知a，b满足等式，则 【答案】 【分析】根据偶次方的非负性、算术平方根的非负性、得出，．再代入进行计算，即可作答．本题主要考查偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、算术平方根的非负性、幂的乘方与积的乘方是解决本题的关键． 【解析】解：， ． ，， 当时，，． ，． ． 故答案为：． 4．（2024·四川内江·二模）若与互为相反数，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查相反数的应用，解二元一次方程组及根式、绝对值的非负性，解题的关键是熟练掌握非负式子和为0则它们分别等于0．根据互为相反两个数和为0列方程组，解方程组，即可得到答案． 【解析】解：∵与互为相反数，∴， ∵，， ∴， 解得： ， ∴ 故答案为：6． ►题型02 实数的混合运算 例题．（2022·安徽·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】原式运用零指数幂，二次根式的化简，乘方的意义分别计算即可得到结果． 【解析】 实数运算的“两个关键”： 1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 1．（2024·安徽合肥·三模）计算： 【答案】4 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别化简各项后，再进行加减运算即可得到答案． 【解析】解： 2．（2024·安徽六安·二模）计算： 【答案】5 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则． 由绝对值、特殊角的三角函数、零指数幂、负整数指数幂进行化简，然后合并同类项，即可得到答案． 【解析】解： 原式 ． 3．（2024·安徽滁州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值进行计算，即可求解． 【解析】解： ． ►题型04 新定义下的实数运算 例题．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． 根据题意，将原方程化为，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可． 【解析】解：根据题意可得：， ， ∵， ∴， 整理得：， 解得：，， 故选：B． 在解决与实数有关的新定义类题目时，考生应仔细阅读材料，认识新定义的运算法则，研读例题，进行模仿，可以不必理解新定义的概念或运算法则的内在含义。 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的新定义运算，一元二次方程根的判别式，先由新定义运算得，即得，再根据即可求解，理解新定义运算是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 整理得，， ∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 2．（2022·安徽亳州·二模）用“★”定义某种新运算：对于任意两个数a和b，规定，则 ． 【答案】1 【分析】根据新定义列出式子进行计算即可． 【解析】解：∵ ∴ 故答案为：1 3．（2022·山东青岛·一模）对于实数x，规定表示不小于x的最小整数，例如，，；若，则x的取值范围是 ． 【答案】﹣3＜x≤﹣2 【分析】根据[x]表示不小于x的最小整数，即可得答案． 【解析】解：∵[x]=−2， ∴﹣3＜x≤﹣2， 故答案为：﹣3＜x≤﹣2． 4．（2022·安徽安庆·一模）阅读材料：设，，如果，则．已知， 且，则m= ． 【答案】 【分析】由题意设＝(x1，y1），＝(x2，y2），如果，则x1x2+y1y2=0，由此列出方程即可解决问题． 【解析】解：∵＝(x1，y1），＝(x2，y2），如果，则x1x2+y1y2=0， 又∵=（-2，5），=（4，m），且， ∴-2×4+5m=0． 解得m=． 故答案是：． 基础巩固 一、单选题 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可． 【解析】解：的绝对值是， 故选：A． 2．（2024·江苏扬州·三模）2024的倒数是（　　） A． B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，乘积是的两数互为倒数，据此解答即可． 【解析】解：2024的倒数是， 故选：A 3．（2024·山东日照·中考真题）实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【解析】解：都是有理数，是无理数． 故选：C 4．（2024·湖北恩施·一模）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，岛屿周围的海域面积约170000平方公里，相当于五个台湾本岛面积．这里的“170000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【解析】解：170000用科学记数法表示为． 故选：B． 5．（2024·四川绵阳·三模）估算的运算结果应是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和估算无理数的大小的应用，先将原式中的二次根式化简，再进行估算． 【解析】解： ， ， ， 故选：C． 6．（2024·天津河北·模拟预测）计算的值为（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】此题考查了平方根，根据平方根的意义进行解答即可． 【解析】解：∵， ∴． 故选：B． 7．（2024·广东中山·三模）已知和是正数的两个平方根，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的性质，根据一个正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可． 【解析】解：由题意，得：， 解得：； 故选D． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义一种新运算：对于两个非零实数a，b， ，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、代数式求值， 先根据可得一个关于x，y的等式，再根据新运算的定义代入计算即可得． 【解析】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．（2024·吉林长春·模拟预测）若，则表示实数a的点会落在数轴的（    ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】D 【分析】此题主要考查了算术平方根的含义和无理数的估算．判断出的取值范围，推出表示实数a的点会落在数轴的哪个段上即可． 【解析】∵， ∵ ∴， ∴表示实数a的点会落在数轴的段④上． 故选：D． 10．（2024·福建莆田·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数比较大小，平方差公式，完全平方公式，通过得到，通过，利用完全平方公式和算术平方根得到，利用平方差公式得到，从而推出，据此可得答案． 【解析】解： ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 11．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是倒数的含义，二次根式的化简，先求解，再化简即可． 【解析】解：∵a的倒数是， ∴， ∴； 故答案为：． 12．（2024·江西·模拟预测）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，平方和绝对值的非负性，熟知平方和绝对值的非负性是解题的关键． 根据平方和绝对值的非负性求出、的值，然后代值计算即可． 【解析】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 13．（2024·安徽池州·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及零指数幂、开立方，掌握这两个知识点是关键；根据零指数幂、求立方根即可完成． 【解析】解：； 故答案为：． 14．（2024·安徽淮北·模拟预测）若估算的值在整数n和之间，则n= ． 【答案】4 【分析】本题考查估算无理数的大小．先化简，然后用平方法估算的大小即可． 【解析】解：， 又 即， ， 又的值在整数n和（n＋1）之间， ． 故答案为：4． 三、解答题 15．（2024·安徽滁州·二模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开立方，再算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【解析】原式 ． 16．（2024·安徽合肥·一模）计算：． 【答案】． 【分析】此题考查了实数的混合运算，先进行有理数的乘方，负整数次幂和化简绝对值，再计算乘法，最后加减即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解析】解：原式， ， ． 17．（2024·安徽淮南·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数值的混合运算、零次幂、负整数次幂等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先运用特殊角三角函数值、零次幂、负整数次幂、绝对值的知识化简，然后再计算即可． 【解析】解： ． 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式的运算法则计算即可． 【解析】解：原式 ． 19．（2024·安徽宿州·二模）某文具店购进24色与48色两种型号的马克笔共50盒，这两种马克笔的进价与售价如下表： 型号 进价（元/盒） 售价（元/盒） 24色 25 35 48色 45 65 (1)如果进货款为1650元，那么24色和48色的马克笔分别进货多少盒? (2)销售完这批马克笔共获利多少元? 【答案】(1)24色的马克笔进了30盒，48色的马克笔进了20盒 (2)700元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用: （1）设24色的马克笔进了x盒，48色的马克笔进了y盒，根据购进24色与48色两种型号的马克笔共50盒，进货款为1650元，列出方程组求解即可； （2）根据每盒的利润乘销售量可得结论 【解析】（1）解：设24色的马克笔进了x盒，48色的马克笔进了y盒，根据题意得， ， 解得，， 答：24色的马克笔进了30盒，48色的马克笔进了20盒 （2）解：销售完这批马克笔共获利： （元） 答：销售完这批马克笔共获利700元 20．（2024·安徽蚌埠·二模）观察下列等式． …… (1)请写出第 5 个等式： (2)猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值． 【答案】(1) (2)2870 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算： （1）根据上述等式写出第5个等式即可； （2）根据上述等式写出第n个等式，并据此计算的值． 【解析】（1）解：第5个等式：， 故答案为：； （2）解：第n个等式：， ∴ ． 能力提升 1．（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； (1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：__________________． (2)请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了算术平方根，规律问题，根据题意得出等式的规律是解题的关键． （1）根据题中给出的等式的规律即可写出第4个等式； （2）根据（1）中等式的规律即可写出第n个等式，然后根据算术平方根的意义化简计算即可． 【解析】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 故第4个等式为：． （2）第n个等式：． 证明：左边， 右边． 左边=右边， 等式成立． 2．（2024·北京·模拟预测）从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理．你只需要“说明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”． 问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大？ 问题二：是有理数还是无理数？ 问题三：均为正整数，且．是正整数吗？ 问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的“多”的定义） 【答案】问题一：4更大；问题二：是无理数；问题三：是正整数；问题四：无理数比有理数“多”，理由见解析 【分析】本题考查了实数比较大小，有理数，无理数，正整数， 问题一：计算出圆周长与直径的比值直接与4比较大小即可； 问题二：根据无理数的概念，开立方开不尽的数即可判断； 问题三：可以不妨取计算进行判断； 问题四：通过研究两个有理数之间可以找到无数个无理数来进行判断． 【解析】解：问题一：圆周长与直径的比值为：， ， 圆周长与直径的比值与4比较，4更大； 问题二：开立方，开不尽，故是无理数， 问题三：均为正整数，且， 不妨取， ， 为正整数， 是正整数； 问题四：在实数轴上，有理数和无理数都是密集分布的，但有理数的数量是可数的，无理数的数量是“不可数”的，即无理数的数量比有理数的数量“多”，这里的“多”是从“可数”与“不可数”来比较的． 3．（2024·山东青岛·三模）阅读以下信息，完成下列小题 材料一：对数是高中数学必修一中的一个重要知识点，是高中运算的基础． 材料二：对数的基本运算法则：对数公式是数学中的一种常见公式，如果（，且），则x叫做以a为底N的对数，记做，其中要写于右下．其中叫做对数的底，叫做真数．通常以10为底的对数叫做常用对数，记作；以e为底的对数称为自然对数，记作． (1)请把下列算式写成对数的形式：，， (2)平方运算是对数运算的基础．完成下列运算： (3)对数和我们在初中阶段学习的平方根的运算也有相似之处．请完成有关平方根的知识点的填空． 平方根，又叫二次方根，表示为〔 〕，其中属于 的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root），是一种方根．一个正数有 个实平方根，它们互为 ，负数在 范围内没有平方根，0的平方根是0 【答案】(1)，， (2)，，27 (3)，，两，相反数，实数 【分析】本题考查了幂的运算，对数与幂的转化，平方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据对数的定义，结合示例即可求得写出； （2）根据对数的定义，结合示例即可求得写出； （3）根据平方根，算术平方根的定义填空即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴； ∵， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，，27； （3）解：平方根，又叫二次方根，表示为，其中属于的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root），是一种方根．一个正数有 两个实平方根，它们互为 相反数，负数在 实数范围内没有平方根，0的平方根是0， 故答案为：，，两，相反数，实数． $$第一章 数与式 第01讲 实数（8~13分） （思维导图+6考点+2命题点10种题型（含11种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 考点三 科学记数法 考点四 平方根、立方根 考点五 比较实数的大小 考点六 实数的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 ►题型02 相反数、绝对值、倒数的概念 ►题型03 科学记数法 ►题型04 实数与数轴 ►题型05 无理数的估算 ►题型06 实数大小的比较 ►题型07 平方根、立方根 命题点二 实数的运算 ►题型01 实数非负性的应用 ►题型02 实数的混合运算 ►题型03 新定义下的实数运算 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 实数的分类 理解有理数、无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的。 10年2考 实数这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考，实数的分类及相关概念主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；科学记数法多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种形式，有时带“亿”“万”“千万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题或填空题形式出现；实数的运算考查形式多样，多数以填空填空题、计算题形式出现，结合绝对值、锐角三函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查. 对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性质的应用、实数运算法则和顺序等考点. 实数的相关概念 可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应 近10年连续考查 科学记数法 利用科学记数法简化表示非常大或非常小的数，了解近似数，会按问题的要求进行简单的近似计算 近10年连续考查 实数比较大小 灵活运用多种方法比较实数大小 10年3考 平方根、算术平方根、立方根 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根 近10年连续考查 实数的相关计算 掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 10年8考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 实数的分类 1.正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省略.0既不是正数，也不是负数. 2.正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3.整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数. 4.实数的分类： 判断一个数是有理数或无理数的方法 1.有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式. 2. 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： 1 开方开不尽的数，如：、等. 2 有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如5π，3+π等. 3 具有特定结构的数，如0.1010010001···（两个1之间依次增加1个0）. 4 某些三角函数，如sin60°、cos20°. 考点二 数轴、相反数、绝对值、倒数 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴上的点与实数具有一一对应的关系. 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 在数轴上距原点n个单位长度的点有2个. 数轴中点公式：数轴上有两点A、B分别表示的数为x，y，若C是A、B两点的中点， C所表示的数为c，则有：2c=x+y. 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数）. 相反数 只有符号不同的两个数称为互为相反数. 若a、b互为相反数，则a+b=0（反之亦成立）. 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且位于原点的两侧. 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.相反数是本身的数是0. （a+b）的相反数是-（a+b），（a-b）的相反数是-（a-b）或b-a. 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正. 绝对值 在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做a的绝对值，记为|a|． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而小. 正数的绝对值是它本身；0绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若|a|=a（或|a|-a=0），则a≥0，若|a|=-a（或|a|+a=0），则a≤0. 若a=b或a=-b，则|a|=|b|（反之亦成立）. 若|a|+|b|=0，则a=0且b=0（a、b可以是多项式）. 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x的点与表示1的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x的点与表示-2的点之间的距离 倒数 1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数． 0没有倒数. 若a、b互为倒数，则ab=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）. 倒数是本身的只有1和-1. 乘方 n个相同的因数a相乘记作an，其中a为底数，n为指数， 乘方的结果叫做幂. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数. 规定：a0=1（a≠0） 考点三 科学记数法 数轴上的动点问题：解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解.而对于建立在数轴上的动点问题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路.一种是根据“形”的关系来分析寻找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系，就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程. 因此解决数轴上的动点问题要明确以下几个问题： 1.找出动点的基准坐标，即运动的起始坐标； 2.算出动点运动后的坐标： 向右运动：运动后的坐标 = 基准坐标 + 运动路程； 向左运动：运动后的坐标 = 基准坐标 - 运动路程； 3.表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数； 4.列方程：根据运动的关系或题目中的条件，列出方程，未知数通常是运动时间t、速度v或所求坐标； 5.求解 利用零点分段法化简绝对值 零点:使得绝对值符号内的代数式为0的未知数的值，称为绝对值的零点. 利用零点分段法去绝对值符号的方法： 1.化简含绝对值的式子，关键是去绝对值符号，先根据所给的条件,确定绝对值符号内的数的正负(即a>0，a<0，还是a =0)如果已知条件没有给出其正负，应该进行分类讨论. 2.分类讨论时先假设每个绝对值符号内的数(或式子)等于0，得到相应的未知数的值；再把这些值表示在数轴上，对应的点(零点)将数轴分成了若干段，在每一小段上，绝对值内代数式的符号都是能够判定的；最后依次在每一段上化简原式，这种方法被称为零点分段法 零点分段法的具体步骤：1.找零点;2.分区间; 3.定正负;4.去符号. 相关概念 概念 补充与拓展 科学记数法 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数． 用科学记数法表示数时，确定a，n的值是关键 当原数绝对值大于10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1 当原数绝对值小于1时，写成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数（包括小数点前面的零）. 小技巧：1万=104，1亿=1万*1万=108 近似数 近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0 一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字 一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字 考点四 平方根、立方根 相关概念 概念 补充与拓展 算术平方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为，a叫做被开方数. 正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根. 正数有两个平方根，且它们互为相反数. 0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 立方根 如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么x叫做a的立方根或三次方根 正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 互为相反数的两个数的立方根互为相反数 常见实数的平方根与立方根： 常见数的平方 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 625 900 1225 1600 常见数的立方 1 8 27 64 125 216 343 512 729 1000 实数的非负性及性质： 1.在实数范围内，正数和零统称为非负数. 2.非负数有三种形式：①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0； ②任何一个实数a的平方是非负数，即≥0； ③任何非负数的算术平方根是非负数，即≥0 3.非负数具有以下性质 ：①非负数有最小值零；②非负数之和仍是非负数； ③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0 考点五 比较实数的大小 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若则 6. 作商比较法：1)任意实数a，b，a=b 2)任意正实数a，b，a>b , a>b 3)任意负实数a，b，a<b , a>b 考点六 实数的运算 常见的实数运算： 三角函数 30° 45° 60° 1 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则： 1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0. 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 实数的基础 ►题型01 正负数的意义 例题．（2022·安徽·中考真题）下列为负数的是（    ） A． B． C．0 D． 判断正负数的方法： （1）看符号，任何一个实数由符号和绝对值两部分组成，绝对值前面有负号的数是负数； （2）与0比较法：比0大的数为正数，比0小的数为负数； （3）利用数轴比较，位于数轴原点左边的数为负数，位于数轴原点右边的数为负数。 （4）利用特殊值法判断式子正负 利用数轴来判断代数式的符号这类题目，在做选择题和填空题的时候，还可以利用数轴，选择特殊值法.利用特殊值法做题时，大家需要注意：根据题目信息将合适的数值带入到代数式中判断式子正负. 1.在判断正负数时，有多重负号的应注意负号的个数，有偶数个负号的是正数，奇数个负号的数是负数； 2.在表示相反意义的量时，应注意看清题目如何定义正方向，而不能仅凭常识判断。 1．（2024·安徽亳州·三模）下列各数中是负数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．（2024·安徽六安·三模）下列为负数的是（    ） A．0 B．2024 C． D． 3．（2024·安徽·模拟预测）下列选项中，比低的温度是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·安徽·模拟预测）在，，，这四个数中，是负数的是（    ） A． B． C．0 D．3 ►题型02 相反数、绝对值、倒数的概念 例题．（2021·安徽·中考真题）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 正确掌握相反数、绝对值以及倒数的含义和性质，是正确解答此类问题的关键。 （1）相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，互为相反数的两个数的和为0； （2）绝对值：数轴上表示数a的点到原点的距离称为a的绝对值；正数和0的绝对值是它本身；负数的绝对值等于它的相反数。 （3）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 1.零的相反数是它本身；正数和0的绝对值是它本身；1和-1的倒数是它本身，0没有倒数； 2.绝对值具有非负性，因此绝对值不可能等于一个负数； 3.在求一个数的倒数时，注意它的符号不发生改变。 1．（2024·安徽淮北·三模）下列各数的倒数比它本身大的是（    ） A．1 B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）下列各数中，绝对值大于3的是（    ） A． B． C．0 D．2 3．（2024·安徽蚌埠·二模）与数4的和等于0的数是（    ） A． B． C． D．2 4．（2024·安徽马鞍山·二模）的绝对值是（    ） A． B． C．2024 D． ►题型03 科学记数法 例题．（2024·安徽·中考真题）据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 用科学记数法表示数时，应先确定a（），其次确定n的值； 确定n的值的方法有两个： （1）整数数位减1； （2）将原数小数点向左移动几位，n的值就是几。 1.含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取近似值. 2.科学记数法的表示的数a×10n还成成原数时，n＞0时，小数点就向右移动n位得到原数； n<0时，小数点则向左移动|n|位得到原数. 3.对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示.例如：356000（精确到万位）的结果是3.6×105. 4.用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字.例如：4.0×104的有效数字是4，0. 1．（2024·安徽合肥·二模）据中国经济网2024年1月30日报道，2023年，安徽粮食播种面积达到11000万亩．其中数据11000万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·三模）纳米氧化锌应用于红外线检测，能有效吸收雷达波，应用于新型的隐身材料，其直径仅有20纳米，已知1纳米米，那么20纳米转化为米做单位，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽安庆·二模）华为海思麒麟990（5G）采用的是7纳米工艺制程，纳米是一个长度单位，7纳米是指芯片线路宽度，其宽度越小，对制作工艺要求越高，已知1纳米是千分之一微米，一微米是百万分之一米，如果将纳米换算成国际标准长度单位米，那么7纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 4．（2024·安徽淮南·二模）某种球形冠状病毒的直径是约为纳米(纳米米)，那么这种球形冠状病毒半径约为米．把数用科学记数法表示为 . 题型04 实数与数轴 例题．（2024·北京·中考真题）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 1.第一步应先根据数轴确定数的符号，然后根据距离原点的远近确定绝对值的大小，再对式子的符号进行判断或者化简。 2.数轴上表示实数的步骤： （1）找到起始点（起始点必须是已知点）； （2）计算所要表示的点与已知点之间的距离； （3）所要表示的点在起始点的左边，则用起始点对应的数减去两点间的距离；所要表示的点在起始点的右边，则用起始点对应的数加上两点间的距离。 1．（2024·安徽合肥·二模）如图，直径为1的圆上有一点，且点与数轴上表示的点重合，将这个圆在数轴上无滑动的滚动，当点再次与数轴上的某个点重合，那么这个点的位置可能是（    ） A．3与4之间 B．6与7之间 C．与之间 D．与之间 2．（2024·广东广州·三模）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·河北邯郸·二模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足，，则b的值可以是（   ） A． B． C． D．1 4．（2024·北京·三模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则下列结论中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型05 无理数的估算 例题．（2021·安徽·中考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，其底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是，它介于整数和之间，则的值是 ． 估算无理数的方法： 含有根号的无理数大小的估算，通常是先对含有根号的无理数进行平方（立方），看其平方处在哪两个完全平方数中间，再开方（开立方）可得含有根号的无理数的范围。例如估算的大小时，先对平方得11，因为9<11<16，所以3<<4。 1．（2024·安徽淮北·二模）已知三角形的两边长分别为，第三边长为，若为整数，则的值不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·安徽滁州·二模）已知正整数m、n满足：，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．9 D．27 3．（2024·安徽滁州·一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么面积．若某个三角形的三边长分别为2，3，3，其面积介于整数和之间，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）已知a为整数，且，则 ； ►题型06 实数大小的比较 例题．（2024·安徽·中考真题）我国古代数学家张衡将圆周率取值为，祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小： （填“>”或“<”）． 1.作差法比较实数大小的方法：作差——变形——判断符号——与0比较大小。 2.作商法比较实数的方法：坐商——变形——与1比较大小。 3.取近似值法：通过估算，将无理数取近似值，即可比较出这两个实数的大小.这里需要我们记住三个常用的近似值: ≈1.414，≈1.732，≈2.236 4.添加根号法：如果两个数都是正数，且一个带根号.一个不带根号时，可以将不带根号写成带根号的形式根据“两个正无理数，被开方数大的那个数大”，即可与另一个含根号的数比较大小. 5.放缩法：将一个实数取比它大的整数，而另一个实数取比它小的整数，通过这两个整数的大小即可比较两个实数的大小.（例如：比较和2.5大小.∵<2,2<2.5 ∴<2.5） 在比较两个负数的大小时，有的考生容易出错，一方面要熟记绝对值大的反而小，另一方面也可以借助数轴比较大小，切不可粗心。 1．（2024·安徽滁州·模拟预测）在四个数，，0，中，最小的数是（    ） A． B． C．0 D． 2．（2024·安徽合肥·三模）实数，，，中，最大的数是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知a，b，c为实数，且，，则a，b，c之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽合肥·二模）比较大小： 2（填“＞”“=”或“＜”）． ►题型07 求一个数的平方根、立方根 例题．（2023·安徽·中考真题）计算： ． 1. 一个正数a的算数平方根用符号表示为，一个非负数a的平方根用符号表示为±；一个数a的立方根用符号表示为 2. 0的算术平方根、平方根和立方根都是0； 平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1. 3. 有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 1．（2024·安徽·模拟预测）的平方根为 ，的立方根为 ． 2．（2024·安徽淮北·三模）计算： ． 3．（2024·安徽淮北·二模）计算： ． 4．（2024·安徽亳州·三模）计算： ． 命题点二 实数的运算 ►题型01 实数非负性的应用 例题．（2024·安徽芜湖·一模），则 ． 1.绝对值的非负性：； 2.偶次幂的非负性：； 3.算术平方根的非负性：。 1.几个非负数的和为零，则每个非负数都为零； 2.双重非负性，再利用算术平方根的非负性时，同时要注意被开方数大于等于0，这一点考生容易忽略。 1．（2024·广东·模拟预测）若，则以a，b，c为边长的三角形的形状是 ． 2．（2024·四川南充·二模）已知实数，满足，则的值为 ． 3．（2024·云南·模拟预测）已知a，b满足等式，则 4．（2024·四川内江·二模）若与互为相反数，则 ． 题型02 实数的混合运算 例题．（2022·安徽·中考真题）计算：． 实数运算的“两个关键”： 1）明确运算顺序：要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 2）运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、 乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 1．（2024·安徽合肥·三模）计算： 2．（2024·安徽六安·二模）计算： 3．（2024·安徽滁州·三模）计算：． ►题型04 新定义下的实数运算 例题．（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算，如，则方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 在解决与实数有关的新定义类题目时，考生应仔细阅读材料，认识新定义的运算法则，研读例题，进行模仿，可以不必理解新定义的概念或运算法则的内在含义。 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）对于实数定义一种新运算：，若关于的方程（为整数）有两个相等的实数根，则的值为 ． 2．（2022·安徽亳州·二模）用“★”定义某种新运算：对于任意两个数a和b，规定，则 ． 3．（2022·山东青岛·一模）对于实数x，规定表示不小于x的最小整数，例如，，；若，则x的取值范围是 ． 4．（2022·安徽安庆·一模）阅读材料：设，，如果，则．已知， 且，则m= ． 基础巩固 一、单选题 1．（2024·甘肃兰州·中考真题）的绝对值是（    ） A．2024 B． C． D． 2．（2024·江苏扬州·三模）2024的倒数是（　　） A． B． C．2024 D． 3．（2024·山东日照·中考真题）实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 4．（2024·湖北恩施·一模）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，岛屿周围的海域面积约170000平方公里，相当于五个台湾本岛面积．这里的“170000”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 5．（2024·四川绵阳·三模）估算的运算结果应是（   ） A． B． C． D．无法确定 6．（2024·天津河北·模拟预测）计算的值为（    ） A． B． C．3 D．9 7．（2024·广东中山·三模）已知和是正数的两个平方根，则的值是（ ） A． B． C． D． 8．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义一种新运算：对于两个非零实数a，b， ，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·吉林长春·模拟预测）若，则表示实数a的点会落在数轴的（    ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 10．（2024·福建莆田·模拟预测）若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·河北·模拟预测）若a的倒数是，则的值为 ． 12．（2024·江西·模拟预测）若，则代数式的值是 ． 13．（2024·安徽池州·模拟预测）计算： ． 14．（2024·安徽淮北·模拟预测）若估算的值在整数n和之间，则n= ． 三、解答题 15．（2024·安徽滁州·二模）计算：． 16．（2024·安徽合肥·一模）计算：． 17．（2024·安徽淮南·模拟预测）计算：． 18．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算：． 19．（2024·安徽宿州·二模）某文具店购进24色与48色两种型号的马克笔共50盒，这两种马克笔的进价与售价如下表： 型号 进价（元/盒） 售价（元/盒） 24色 25 35 48色 45 65 (1)如果进货款为1650元，那么24色和48色的马克笔分别进货多少盒? (2)销售完这批马克笔共获利多少元? 20．（2024·安徽蚌埠·二模）观察下列等式． …… (1)请写出第 5 个等式： (2)猜想第n（n为正整数）个等式，并计算 的值． 能力提升 1．（2024·安徽合肥·二模）观察下列各等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； (1)根据你发现的规律，请写出第4个等式：__________________． (2)请写出你猜想的第n个等式（n为正整数，用含n的式子表示），并证明． 2．（2024·北京·模拟预测）从下列三个问题任选一题，结合所学的数学知识进行分析说理．你只需要“说明”这些问题即可，无需给出严格的“证明”． 问题一：圆周长与直径的比值与4哪个更大？ 问题二：是有理数还是无理数？ 问题三：均为正整数，且．是正整数吗？ 问题四：无理数比有理数“多”吗？（提示：请给出你的“多”的定义） 3．（2024·山东青岛·三模）阅读以下信息，完成下列小题 材料一：对数是高中数学必修一中的一个重要知识点，是高中运算的基础． 材料二：对数的基本运算法则：对数公式是数学中的一种常见公式，如果（，且），则x叫做以a为底N的对数，记做，其中要写于右下．其中叫做对数的底，叫做真数．通常以10为底的对数叫做常用对数，记作；以e为底的对数称为自然对数，记作． (1)请把下列算式写成对数的形式：，， (2)平方运算是对数运算的基础．完成下列运算： (3)对数和我们在初中阶段学习的平方根的运算也有相似之处．请完成有关平方根的知识点的填空． 平方根，又叫二次方根，表示为〔 〕，其中属于 的平方根称之为算术平方根（arithmetic square root），是一种方根．一个正数有 个实平方根，它们互为 ，负数在 范围内没有平方根，0的平方根是0 $$