第02讲 整式与因式分解（讲练）（思维导图+5考点+2命题点12种题型（含8种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解（4~8分） （思维导图+5考点+2命题点12种题型（含8种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！55 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式的概念 考点二 整式的加减 考点三 整式的乘除 考点四 因式分解 考点五 整式求值 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式与整式概念 ►题型01 列代数式 ►题型02 单项式的系数和次数 ►题型03 单项式的规律探究 ►题型04 同类项的概念 命题点二 整式的运算 ►题型01 整式的加减运算 ►题型02 幂的运算 ►题型03 乘法公式 ►题型04 因式分解 ►题型05 代数式的求值 ►题型06 代数式的化简与求值 ►题型07 代数式与几何相结合 ►题型08 与代数式有关的新定义问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 代数式的概念 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 10年4考 安徽中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大.多以选择题的形式进行考察，对于整式的运算多以计算题的形式。 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考；其次在中考中对代数式中蕴含的规律探究类问题是高频考点，一般以解答题进行考察，难度中等；所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的加减 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算； 近10年连续考查 整式的乘除 能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)；能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 近10年连续考查 因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 10年5考 整式求值 灵活运用多种方法化简代数式 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式的概念 1.代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 2.代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 1. 代数式中不含有=、<、>、≠等. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 考点二 整式的加减 1.整式的有关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算. 2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3. 3.圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母. 4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－的次数是2＋3＋4=9而不是14. 5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算. 6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数. 7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式. 2.整式的加减 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 考点三 整式的乘除 1.幂的运算 幂的运算 内容 公式 补充说明 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 （、为整数） 1.逆用： 2.【扩展】（、、为整数） 幂的乘方 底数不变，指数相乘 （、为整数） 1.负号在括号内时，偶次方结果为正，奇次方结果为负； 2.逆用： 3.【扩展】（、、为整数） 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （为整数） 1.逆用： 2.【扩展】（为整数） 同底数幂相除 底数不变，指数相减 （、为整数） 1.逆用： 2.【扩展】（、、为整数） 零指数幂 任何一个不为零的数的0次方等于1 负整数指数幂 （，为正整数） 1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”． 2．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆． 3．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系． 4．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意. 2.整式乘除法 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 3.整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 4.乘法公式 乘法公式 基础 变形 平方差公式 1.已知，和中的两项求另一项的值： ①或 ② 2.已知、和中的两项求另一项的值： ①② ③④ 3.特殊结构： ①② ③④ 4.拓展① ② 完全平方公式 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央 考点四 因式分解 1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫作因式分解，因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.提公因式法： 3.公式法： ①运用平方差公式： ②运用完全平方公式： 4.十字相乘法：（口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中） 【特殊】①若，则必有因式 ②若，则必有因式 5.分组分解法： 6.换元法：如果多项式中某部分代数式重复出现，则可将这部分代数式用另一个字母代替。例如：分解因式，令，则原式= 7.因式分解的步骤：一提、二套、三检查。 一提：如果多项式中有公因式，应先提取公因式； 二套：如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： ①多项式有两项时，考虑运用平方差公式； ②多项式为三项时，考虑运用完全平方公式或十字相乘法； ③多项式为四项时，应考虑运用分组分解法。 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 考点五 整式求值 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式与整式的概念 ☛题型01 列代数式 例1．（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 【答案】 【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高即可得到答案； 【解析】解：由题意可得：， 故答案为：； 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用字母表示出关键的量； 3.根据数量关系列出代数式并进行化简。 1.在列代数式时要注意代数式的书写规则； 2.列代数式时，题目条件中如果有单位，所列代数式必须要带单位； 3.所列代数式如果是多项式，在带单位时必须加上括号。 1．（2024·湖南邵阳·二模）为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设购买甲种读本本，则购买乙种读本本，根据总价单价数量，可得答案．本题考查了列代数式，理解题意是关键． 【解析】解：设购买甲种读本本，则购买乙种读本本， 购买乙种读本的费用为， 故选：B． 2．（2024·湖北黄石·模拟预测）某食堂有m吨煤，计划每天用n吨煤，实际每天节约用煤b吨，节约后可多用（　　） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，原计划可以用天，实际可以用天，据此列出对应的代数式即可． 【解析】解：由题意某食堂有m吨煤，计划每天用n吨煤，实际每天节约用煤b吨，可得原计划可用天数为天，现在天数为天， ∴节约后可多用天， 故选：D． 3．（2024·河北邢台·三模）【原创新考向题】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将6个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】A 【分析】本题考查列代数式，画出相应图形，得到一定个数圆环长度和的规律，进而得到6个圆环的长度即可． 【解析】解：如图：当圆环个数为3个时，链长为：厘米， 当圆环个数为6时，链长为厘米， 故答案选：A． 4．（2024·山西大同·模拟预测）如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题主要考查了不规则图形面积的计算方法，单项式的乘法，其中利用了“分割法”将此不规则图形分割成一个长方形和一个半圆，再根据长方形的面积公式和半圆的面积公式进行计算，掌握面积计算公式是解题的关键． 【解析】解：这个拱形门的面积为， 故答案为：． ☛题型02 单项式的系数、次数 例2．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解析】单项式的次数是：， 故答案为：． 1.在确定单项式的系数时，一定要注意是数字因数并且包含数字前面的符号； 2.在确定单项式的次数时要注意单项式的次数是所有字母指数的和，与数字的指数无关，要注意π是数字而不是字母； 1．（2024·上海松江·二模）下列代数式中，单项式是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式的定义，根据数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．准确掌握定义即可解题． 【解析】解：A 、是单项式，符合题意； B、是分式，不符合题意； C、是多项式，不符合题意； D、是二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．（2024·山西朔州·模拟预测）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数：数字因数，因为单项式，所以系数是，即可作答． 【解析】解：∵单项式， ∴系数是， 故答案为：． 3．（2024·河南周口·三模）请你写出一个系数是2，次数是3的关于x和y的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式的系数、次数的定义，深刻理解定义是解题关键． 根据单项式的系数（单项式中的数字因式）、次数（单项式中所有字母指数的和为单项式的次数）的定义即可得． 【解析】解：由题意，这个单项式可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（2024·广东珠海·三模）单项式的次数是4，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】根据单项式中所有字母指数和为4，列式计算即可． 本题考查了单项式的次数，熟练掌握定义是解题的关键． 【解析】根据题意，得， 解得． 故答案为：2． ☛题型03 单项式的规律探究 例3．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 【解析】解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 1.在解决单项式的规律探究类问题时应注意分别从单项式的系数、字母以及字母的指数分析其规律； 2.当单项式中出现“+”、“-”交替出现时，只需要在单项式前面乘以，当单项式中出现“-”、“+”交替出现时，只需要在单项式前面乘以； 3.记住一些20以内的平方、10以内立方以及底数为2的幂。 1．（2024·云南昭通·二模）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了找规律．根据题意归纳出规律成为解题的关键． 由第n个单项式系数是，然后确定第n个单项式即可． 【解析】解：由第n个单项式系数是，则第n个单项式字母是． 故选：B． 2．（2023·四川成都·一模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知的式子可以得到系数是以为底的幂，指数是式子的序号减1，x的指数是式子的序号． 【解析】解：第9个单项式是．故选：B． 3．（2024·山东济宁·二模）按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，通过观察可知每一个单项式均为关于a的单项式，再分别观察单项式的系数、次数的变化规律即可得到答案． 【解析】解：第1个单项式为a， 第2个单项式为， 第3个单项式为， 第4个单项式为， 第5个单项式为， …， 以此类推可知，第n个单项式的系数为，次数为n，字母部分都为a， ∴第n个单项式为， 故答案为：． 4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）观察下列关于x的单项式：，，，，，，…，按照上述规律，第2023个单项式是 ． 【答案】 【分析】根据题目中的单项式，可以发现它们的变化规律，从而可以写出第n个单项式，进而求得第个单项式，本题得以解决． 【解析】解：∵一列关于x的单项式：，，，，，，…， ∴第个单项式为：， ∴第个单项式是，即为， 故答案为：． ☛题型04 同类项的概念 例4．（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【解析】解：的一个同类项为， 故答案为： 在遇到同类项的概念型题目时，要注意： 1.同类项是单项式； 2.同类项要求所含的字母必须相同； 3.相同字母的指数要相同。 1.在判断同类项时，所含字母相同与相同字母的指数相同这两个条件必须同时满足； 2.两个单项式是否是同类项与单项式的系数以及字母的顺序无关。 1．（2024·广东广州·模拟预测）若与是同类项，则等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了同类项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此解答即可． 【解析】若与是同类项， 则， 故选：B． 2．（2024·湖南娄底·三模）下列说法（或等式）正确的是（　　） A． B．一条线段的黄金分割点有两个 C．与是同类项 D．是最简二次根式 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式、黄金分割点、同类项、最简二次根式，逐项判断即可，熟练掌握知识点判断是解题的关键． 【解析】解：A、，原结果错误，故不符合题意； B、一条线段的黄金分割点有两个，靠近两端各有一个，正确，故符合题意； C、与相同字母的指数不同，不是同类项，原说法错误，故不符合题意； D、，不是最简二次根式，原说法错误，故不符合题意． 故选：B． 3．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查同类项定义，根据两个单项式的和仍为单项式可得与是同类项，由此求出m，n的值，代入计算可得答案． 【解析】解：∵与的和仍为单项式， ∴与是同类项， ， ∴， 故答案为：1． 4．（2024·吉林·二模）若关于和的单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项，代数式求值，根据同类项的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握同类项的定义是解题的关键． 【解析】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：． 命题点二 整式的运算 ☛题型01 整式的加减运算 例5．（2024·江苏常州·中考真题）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同类项的计算，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【解析】解：， 故选：B． 1.在进行整式加减法运算时，有括号的先去括号，去括号时看括号前面的符号，如果括号前面是正号，则直接把括号去掉，括号内原来各项不变号；如果括号前面是负号，负号连同括号一同去掉的同时，括号内原来各项均改变符号。 2.去完括号要进行合并同类项，合并同类项时只把同类项的系数相加或相减，字母及字母的指数不变； 1.在进行整式加减法运算时，不要跳步骤； 2.在运用加法交换律和结合律进行运算时，要注意符号问题。 1．（2024·安徽·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类项的概念，含有相同的字母，并且相同字母的指数相同，是同类项的两项可以合并，否则不能合并．合并同类项的法则是系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．根据合并同类项法则逐项判断即可． 【解析】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．与不是同类项，不能合并，故C错误，不符合题意； D．与b不是同类项，不能合并，故D错误，不符合题意． 故选：B． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘，根据合并同类项、同底数幂相乘的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解析】解：A、，故原选项计算正确，不符合题意； B、，故原选项计算正确，不符合题意； C、和不是同类项，不能直接相减，故原选项计算错误，符合题意； D、，故原选项计算正确，不符合题意； 故选：C． 3．（2024·贵州遵义·模拟预测）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项的法则，合并同类项得法则是系数和系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解析】解：． 故答案为：． 4．（2024·江苏南京·一模）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减法，去括号注意变号，属于基础题． 去括号化简即可． 【解析】解： ； 故答案为：． ☛题型02 幂的运算 例6．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方运算、二次根式的化简，根据相应运算法则依次判断即可 【解析】解：A、与不是同类项，不能合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、当时，，当时，，选项错误，不符合题意； 故选：C 正确使用幂的运算的各种公式（同底数幂的乘除法公式、幂的乘方以及积的乘方运算公式），熟练掌握各种公式的逆运算；切记不能混淆各种公式。 1．（2024·安徽六安·模拟预测）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了合并同类项、同底数幂乘法和除法、幂的乘方等知识.根据运算法则计算后即可得到答案. 【解析】A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 2．（2024·安徽·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是积的乘方运算，直接利用积的乘方运算法则计算即可． 【解析】解：， 故选：D． 3．（2024·安徽合肥·三模）下列算式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查合并同类项、幂的运算和积的乘方，根据各自运算法则逐项求解即可． 【解析】解：．和不是同类项不能合并，该选项错误，符合题意； ．该选项正确，不符合题意； ．，该选项正确，不符合题意； ． 该选项正确，不符合题意； 故选：A． 4．（2024·安徽亳州·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式和合并同类项，根据单项式乘以多项式的法则计算，然后合并同类项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解析】解：原式， ， 故答案为：． ☛题型03 乘法公式 例7．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【解析】解： ， 当，时， 原式． 1.在运用平方差公式和完全平方公式时，要熟记平方差公式和完全平方公式的的结构特征； 2.再利用完全平公式进行配方时，要注意首尾乘积的2倍如果有参数要注意有正负两种情况； 1．（2024·河北·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法公式及加减运算，根据完全平方公式和平方差公式及整式加减运算法则逐一计算判断即可． 【解析】解：A．，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算正确，符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【解析】解：由题意知，， 故答案为：． 3．（2024·广西南宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查代入求值，涉及整式的混合运算，先将原式化简，然后将的值代入求解． 【解析】解：∵ ， ∴当时，原式． 4．（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则进行运算，再合并同类项完成化简，然后将，代入求值即可． 【解析】解：原式 ， 当，时， 原式 ． ☛题型04 因式分解 例8．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，先提公因式是解题的关键． 【解析】解：． 故答案为：． 因式分解的方法： 1.先看是否含有公因式，有公因式的要先提公因式； 2.再看是否符合平方差公式或完全平方公式，如若符合公式，要用公式法进行分解。 3.对于一个二次三项式如果不能用完全平方公式进行分解，则可以考虑使用十字相乘法分解因式； 4.对于四项以上的多项式，一般考虑使用分组分解法，即先对有公因式或可以使用公式法分解因式的项进行分组。 5.注意分解因式时一定要分解的不能分解为止。 1．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【解析】解： 故答案为：． 2．（2024·山东·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可． 【解析】解：原式， 故答案为： ． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解 ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【解析】解：原式； 故答案为：． 4．（2024·吉林长春·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的方法，先提取公因式，再利用平方差公式进行分解，再提取公因式，最后采用十字相乘法进行分解即可． 【解析】解： 故答案为： ☛题型05 代数式的求值 例9．（2024·安徽·模拟预测）已知实数，，满足，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，先把进行因式分解，然后，代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】解：∵，， ∴原式， 故答案为：． 1.当已知字母的值且所求代数式比较简单时，可以直接将字母的值带入，进行计算； 2.当字母的值没有直接给出，而是以等式的形式间接给出且不易求解时；一般可以选择使用整体代换的方法进行求解。也可以用一个字母表示其他字母，最终消去字母的方法进行求解 3.若已知条件是高次的方程时，一般要进行将次，逐渐化简。 1．（2024·安徽蚌埠·二模）若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键．由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）若实数，满足，则代数式的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，关键是运用整体代入法解决．将变形为，再利用整体代入法即可求值． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（2024·安徽马鞍山·二模）若，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式以及非负性，已知字母的值求代数式的值，先整理，得，结合非负性，得出，再代入，即可作答． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 则， 故选：B． 4．（2024·安徽合肥·一模）若实数x，y，m满足，，则代数式的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解． 【解析】解： 解得， 设， ， ， 有最大值，最大值为， 代数式的值可以是1， 故选：A． ☛题型06 代数式的化简求值 例10．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【解析】解： ， 当时，原式． 1.化简时应注意运算顺序和符号不要出错； 2.化简求值的题目要先化简再求值，不要直接把字母的值带入，这样容易出错，另外如果题目要求先化简再求值，如果直接带入计算就错了； 1．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【解析】解： ． 当时，原式． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算整式的乘法运算，再合并同类项，最后代入计算即可； 【解析】解： ， 当时， 原式； 3．（2024·四川南充·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，先根据完全平方公式化简，再代入求值即可． 【解析】原式， 当，时，原式． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值，，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式混合运算-化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键． 先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并，然后把代入，即可求解． 【解析】解： ， 当时， 原式． ☛题型07 代数式与几何图形相结合 例11．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【解析】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 1.代数式与几何相结合多与周长和面积相结合，在与面积相结合时，要注意观察所求几何图形的面积能否直接利用面积公式求解，如果可以直接求解，则用代数式表示出面积公式的各个量即可；如果不能直接使用面积公式，则需要仔细观察拼组图形，对所求几何图形的面积进行等量转化（常用的方法用割补法、三角形的拉窗帘模型以及等积转化） 1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系式为________； (2)如图2，C是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系． （2）设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积即可得出答案． 【解析】（1）解：如图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即， 也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即， ∴等量关系为， 故答案为：； （2）设，， ∵，， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为12． 2．（2024·河北秦皇岛·二模）小明同学用四张长为 ，宽为 的矩形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． (1)通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为：____________________________． (2)利用（1）中的结论，试求：当 时， ． (3)利用（1）中的结论，试求：当 时，的值． 【答案】(1) (2)14 (3) 【分析】此题主要考查了完全平方公式的几何背景及其应用，正确利用完全平方公式是解题关键． （1）直接利用小正方形面积得出答案； （2）直接利用完全平方公式将原式变形求出答案； （3）利用多项式乘法将已知变形，进而求出答案． 【解析】（1）解：根据小正方形的面积可得：； 故答案为：； （2）解：， 故答案为：14． （3）解：设， 则，，． 所以 ． 3．（2023·河南新乡·模拟预测）如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有两个边长为米的小正方形空地，规划部计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，求出当时绿化的总面积； (3)在（2）的条件下，若有甲、乙两个绿化队共同完成此项任务．已知甲队每小时可绿化平方米，乙队每小时绿化平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？ 【答案】(1) (2)13200 (3)60 【分析】此题考查了多项式乘多项式以及长方形的面积公式，熟练掌握运算法则和公式是解本题的关键． （1）根据矩形和正方形的面积公式即可得到结论； （2）把代入（1）的代数式即可得到结论； （3）设甲队至多工作小时，根据题意列方程即可得到结论． 【解析】（1）解：； 答：绿化的总面积是平方米； （2）解：把代入得， 平方米， 答：当时绿化的总面积13200平方米； （3）解：设甲队至多工作小时， ∵要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间， ∴甲队至多工作的时间乙队的工作时间， ∴乙队的工作时间为小时， ， ， 答：甲队至多工作60小时． 4．（2023·山东青岛·中考真题）如图①，正方形的面积为1． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）由正方形的面积为1则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可； （2）与（1）相似，由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可； （3）由正方形的面积为1，则边长，根据已知，所以，根据，因为，，列式计算即可． 【解析】（1）解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5； （3）∵正方形的面积为1， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． ☛题型08 代数式中的新定义问题 例12．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，设，则（，）根据最小的“方减数”可得，代入，即可求解；根据除以余数为，且（为整数），得出为整数，是完全平方数，在，，逐个检验计算，即可求解． 【解析】设，则（，） 由题意得：， ∵，“方减数”最小， ∴， 则，， ∴， 则当时，最小，为， 故答案为：； 设，则（，） ∴ ∵除以余数为， ∴能被整除 ∴为整数， 又（为整数） ∴是完全平方数， ∵， ∴最小为，最大为 即 设，为正整数， 则 当时，，则，则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则,则是完全平方数，又，，无整数解， 当时，，则，则是完全平方数， 经检验，当时，，，， ∴， ∴ 故答案为：，． 1．（2024·陕西汉中·二模）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算下的计算，正确掌握运算公式是解题的关键． 根据新定义的运算将转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可． 【解析】根据新定义运算， 可得， 故原式 故选． 2．（2024·广东汕头·二模）若规定符号的意义是：，则当时，值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．根据定义的新运算进行计算，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【解析】解：由题意得： ， ∵， ∴， ∴当时，原式， 故答案为：6． 3．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 5 485 【分析】本题考查了因式分解的应用，解一元二次方程-公式法，解题关键在于读懂题意，理解新定义． (为正整数)等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为，则另一个正奇数为，利用求根公式求解，分情况讨论即可． 【解析】解：∵(为正整数)等于两个连续正奇数的乘积， 设较小的正奇数为，则另一个正奇数为， ， ， 利用求根公式得：或(舍)， ∴当为正奇数时，为“彗星数”， ， ， ∵为正奇数， ∴为整数， ∴也必须为整数，为偶数， 令，p为正整数， ， ∵ ∴抛物线开口向上，且对称性为y轴，当时，随的增大而增大， ∵p为正整数 ∴当时，n有最小值为，此时 ∵当时，(不符合题意，舍去)，当时，，当时，， ， ∴当时，的最大值是485， ∴“彗星数”的最小值为5，最大值为485． 故答案为：5，485． 4．（2024·山东青岛·模拟预测）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积； (3)若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义，整式的乘法，熟练运用整式乘法法则是解题的关键． （1）根据特征系数对的定义直接得出结果； （2）根据有序数对写出对应的多项式，由多项式的乘法法则求解即可； （3）根据有序数对写出含有m、n的多项式，再由其乘积为即可得出结果． 【解析】（1）解：根据题意可知关于的二次多项式的特征系数对为； （2）解：有序实数对的特征多项式为：， 有序实数对的特征多项式为：， ； （3）解：有序实数对的特征多项式为：， 有序实数对的特征多项式为：， ， 有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为， ，，， ，即的值为． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．（2024·安徽·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是整式的运算及负整数幂，掌握其运算法则是解决此题的关键．利用合并同类项法则，单项式乘单项式的运算法则，负整数幂运算法则，单项式除单项式的运算法则计算，积的乘方与幂的乘方运算法则计算判断即可． 【解析】解：A、，原式计算错误，故不合题意； B、，原式计算错误，故不合题意； C、，原式计算正确，故符合题意； D、，原式计算错误，故不合题意； 故选：C． 2．（2024·安徽合肥·三模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项等知识．分别根据同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项等知识逐项计算即可求解． 【解析】解：A. ，故原选项计算错误，不合题意； B. ，故原选项计算错误，不合题意； C. ，故原选项计算正确，符合题意； D. ，故原选项计算错误，不合题意． 故选：C 3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知一次函数的图象经过点和，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了一次函数的性质和完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识点． 根据一次函数的图象经过点和，得出，，再结合，即可解答； 【解析】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 5．（2024·安徽合肥·二模）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（    ） A． B．5 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形和长方形的性质，整式加减的应用，设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为，根据长方形周长公式分别得出，，由此即可得出答案，正确理解题意求出是解此题的关键． 【解析】解：设较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，阴影部分的长和宽分别为， ∵两个正方形的周长和为45， ∴， ∴， ∴，， ∵矩形的周长为36， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为9， 故选C． 6．（2024·安徽蚌埠·三模）下列各式的计算结果是的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了幂的乘方、合并同类项、同底数幂乘法等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据幂的乘方、合并同类项、同底数幂乘法逐项判断即可解答． 【解析】解：A. ，则该选项正确，符合题意；     B. ，则该选项错误，不符合题意；     C. 与不是同类项，不能合并，则该选项错误，不符合题意；     D. ，则该选项错误，不符合题意． 故选A． 7．（2024·安徽宿州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方、完全平方公式、合并同类项、同底数幂除法等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据积的乘方、完全平方公式、合并同类项、同底数幂除法逐项判断即可． 【解析】解：A. ，故选项A错误，不符合题意； B. ，故选项B错误，不符合题意； C. 和不是同类项，不能合并，故选项C错误，不符合题意； D. ，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 8．（2024·安徽安庆·二模）已知，，，下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查整式的乘法，先把变形为，然后代入即可确定，然后根据即可判断． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选C． 二、填空题 9．（2024·安徽马鞍山·三模）若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【解析】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 10．（2024·安徽·一模）若是关于的方程的一个解，则代数式的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，熟知方程解的概念、灵活应用整体思想是解题的关键．把代入方程并整理可得，然后整体代入所求式子解答即可． 【解析】解：∵是关于的方程的一个解， ∴，即， ∴； 故答案为：． 11．（2023·安徽马鞍山·一模）甲、乙两人都加工a个零件，甲每小时加工20个，如果乙比甲晚工作1小时，且两人同时完成任务，那么乙每小时加工 个零件（用含a的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意可得甲加工a个零件需要是时间是，乙工作时间是，列出式子化简即可． 【解析】解：甲加工a个零件需要是时间是，乙工作时间是． 则乙每小时加工的零件是：． 故答案是：． 12．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知，则 ． 【答案】4或64 【分析】先根据完全平方公式求出的值，再将要求的代数式利用完全平方公式变形，最后代入求值即可． 本题考查了代数式求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【解析】解： 即 当时，原式， 当时，原式， 综上，的值为4或64， 故答案为：4或64． 13．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，请计算代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值，由求得的值得到两个代数式的关系，并学会灵活运用是解决此题的关键．把，只需将、的值代入求得结果． 【解析】解：当，时， ， 故答案为：． 14．（2022·安徽·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解析】解：原式 故答案为：． 三、解答题 15．（2024·安徽·三模）观察下列等式： ；；；； 根据以上规律，解决如下问题： (1)请填空：； (2)请用含字母a，b的等式表示规律，并验证其正确性． 【答案】(1)2，6，2，6或3，5，3，5 (2)；证明见解析 【分析】本题考查的是分式运算的规律探究，掌握探究的方法是解本题的关键； （1）观察对应位置上的数的特点，可得答案； （2）根据提示直接归纳可得，再证明即可． 【解析】（1）解：；或；（答案不唯一） （2）解：∵；；；； 归纳可得：， 左边右边． 16．（2024·湖南邵阳·二模）由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 【答案】(1)1；5 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用“十字相乘法”进行因式分解，即可求解； （2）利用“十字相乘法”将方程左边因式分解可得，即可求解． 【解析】（1）解：； 故答案为：1；5 （2）解：将方程左边因式分解得， ∴或， 解得：． 17．（2024·安徽合肥·三模）某校为了对学生进行爱国主义教育，开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍少件，各种奖品的单价如表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价（元件） 数量（件） (1)设一等奖奖品的数量为件，请用含的代数式填表； (2)购买这件奖品所需的总费用为元，求二等奖奖品的数量． 【答案】(1)，； (2)二等奖奖品的数量为件． 【分析】（）根据已知条件列出代数式即可； （）将直接代入（）中的结论列出方程，然后解方程即可； 此题考查了列代数式与解一元一次方程，正确理解题意和熟练掌握整式的加减运算法则，及解方程是解题的关键． 【解析】（1）解：由题意得：二等奖奖品为件， 三等奖奖品为（件）， 填写表格： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价（元件） 数量（件） 故答案为：，； （2）解：根据题意得， 解得：， ∴二等奖奖品有， 答：二等奖奖品的数量为件． 18．（2024·河北邯郸·三模）如图，在一个足够长且宽为． （）的纸带上剪出一些矩形纸片，图中的虚线为裁剪线，在边l上截取不同的尺寸，得到矩形A，B，C，…，其面积分别为（）试用含x的式子解决下列问题： (1)计算 的值； (2)将 （1）中的结果写成 的形式（a，b为常数）；若图中的一个矩形D的面积刚好是 的值，求矩形D落在边l上的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先根据多项式乘多项式法则分别计算出、、，再根据整式的加减法法则计算即可． （2）将（1）中的结果利用配方法配成的形式可得结果为，将分解因式，写成两个整式的乘积的形式，即可得矩形D落在边l上的长． 本题主要考查了利用整式的加减乘除运算及分解因式来解决实际问题．熟练掌握整式的加减乘除运算法则及平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 【解析】（1）， ， ， ． （2） ； ， ∴矩形D落在边l上的长为 ． 能力提升 19．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…． (1)图案5中“☆”的个数为 ； (2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示） (3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值． 【答案】(1) (2) (3)n的值为6 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“☆”和“★”个数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，发现“☆”个数变化的规律即可解决问题； （2）根据所给图形，发现“★”个数变化的规律即可解决问题； （3根据（1）（2）中发现的规律列方程，解方程即可解决问题． 【解析】（1）第1个图案中“☆”的个数为； 第2个图案中“☆”的个数为； 第3个图案中“☆”的个数为； …… 第n个图案中“☆”的个数为； 即图案5中“☆”的个数为 故答案为： （2）由题知， 第1个图案中“★”的个数为； 第2个图案中“★”的个数为； 第3个图案中“★”的个数为； …… 第个图案中“★”的个数为； 故答案为：． （3）由题知， ， 解得或6， 因为为正整数， 所以． 故正整数的值为6． 20．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（），；（）； (2) 【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解； （）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可； 本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键． 【解析】（1）（）由规律可得，， 故答案为：，； （）由规律可得，， 故答案为：； （2）解：假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 故答案为：． $$第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解（4~8分） （思维导图+5考点+2命题点12种题型（含8种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式的概念 考点二 整式的加减 考点三 整式的乘除 考点四 因式分解 考点五 整式求值 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式与整式概念 ►题型01 列代数式 ►题型02 单项式的系数和次数 ►题型03 单项式的规律探究 ►题型04 同类项的概念 命题点二 整式的运算 ►题型01 整式的加减运算 ►题型02 幂的运算 ►题型03 乘法公式 ►题型04 因式分解 ►题型05 代数式的求值 ►题型06 代数式的化简与求值 ►题型07 代数式与几何相结合 ►题型08 与代数式有关的新定义问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 代数式的概念 借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义； 能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示； 10年4考 安徽中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大.多以选择题的形式进行考察，对于整式的运算多以计算题的形式。 因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步， 拓展延伸部分基本不考；其次在中考中对代数式中蕴含的规律探究类问题是高频考点，一般以解答题进行考察，难度中等；所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向. 整式的加减 理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算； 近10年连续考查 整式的乘除 能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)；能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算 近10年连续考查 因式分解 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数) 10年5考 整式求值 灵活运用多种方法化简代数式 10年2考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 代数式的概念 1.代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式. 2.代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值. 1. 代数式中不含有=、<、>、≠等. 2. 单独的一个数或一个字母也是代数式. 3. 列代数式时注意事项：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来． ④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 考点二 整式的加减 1.整式的有关概念 　 判断依据 次数 系数与项数 整式 单项式 ①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式 ②单独的一个数或字母 所有字母指数的和 系数：单项式中不为零的数字因数 多项式 几个单项式的和 次数最高项的次数 项数：多项式中所含单项式的个数 1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算. 2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3. 3.圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母. 4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－的次数是2＋3＋4=9而不是14. 5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算. 6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数. 7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式. 2.整式的加减 整式的 加减 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变. 添（去）括号法则 括号外是“+”，添(去) 括号不变号， 括号外是“-”，添(去) 括号都变号. 整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项. 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 点三 整式的乘除 1.幂的运算 幂的运算 内容 公式 补充说明 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 （、为整数） 1.逆用： 2.【扩展】（、、为整数） 幂的乘方 底数不变，指数相乘 （、为整数） 1.负号在括号内时，偶次方结果为正，奇次方结果为负； 2.逆用： 3.【扩展】（、、为整数） 积的乘方 把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 （为整数） 1.逆用： 2.【扩展】（为整数） 同底数幂相除 底数不变，指数相减 （、为整数） 1.逆用： 2.【扩展】（、、为整数） 零指数幂 任何一个不为零的数的0次方等于1 负整数指数幂 （，为正整数） 1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“3×2”． 2．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆． 3．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系． 4．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意. 2.整式乘除法 整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项 单项式乘单项式 ①将单项式系数相乘作为积的系数; ②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式; ③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式. 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 . 单项式乘多项式 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； ②再把所得的积相加. 1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同. 多项式乘多项式 ①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘， ②再把所得的积相加． 运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏； ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 单项式除单项式 ①将单项式系数相除作为商的系数； ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式； ③只在被除式里含有的字母连同指数不变. 　 多项式除单项式 ①先把这个多项式的每一项除以这个单项式； ②再把所得的商相加 　 3.整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的. 4.乘法公式 乘法公式 基础 变形 平方差公式 1.已知，和中的两项求另一项的值： ①或 ② 2.已知、和中的两项求另一项的值： ①② ③④ 3.特殊结构： ①② ③④ 4.拓展① ② 完全平方公式 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央 考点四 因式分解 1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫作因式分解，因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.提公因式法： 3.公式法： ①运用平方差公式： ②运用完全平方公式： 4.十字相乘法：（口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中） 【特殊】①若，则必有因式 ②若，则必有因式 5.分组分解法： 6.换元法：如果多项式中某部分代数式重复出现，则可将这部分代数式用另一个字母代替。例如：分解因式，令，则原式= 7.因式分解的步骤：一提、二套、三检查。 一提：如果多项式中有公因式，应先提取公因式； 二套：如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法： ①多项式有两项时，考虑运用平方差公式； ②多项式为三项时，考虑运用完全平方公式或十字相乘法； ③多项式为四项时，应考虑运用分组分解法。 1.因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； 2.因式分解必须是恒等变形； 3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止. 4.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 考点五 整式求值 1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值. 2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值. 3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系. ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系. ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值． 4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值． 5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值． 例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0 ②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值. 6.利用“无关”求值： ①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0； ②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关． 7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果． 8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号． 9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单． 10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可． 11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值． 12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母． 13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 代数式与整式的概念 ☛题型01 列代数式 例1．（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示 ． ①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a． 1.根据题意找出题目中的数量关系； 2.用字母表示出关键的量； 3.根据数量关系列出代数式并进行化简。 1.在列代数式时要注意代数式的书写规则； 2.列代数式时，题目条件中如果有单位，所列代数式必须要带单位； 3.所列代数式如果是多项式，在带单位时必须加上括号。 1．（2024·湖南邵阳·二模）为响应“清廉文化进校园”的政策，某校实施“清明行风、清净校风、清正教风、清新学风”等四个建设工程．现需购买甲，乙两种清廉读本共300本供教职工阅读，其中甲种读本的单价为15元/本，乙种读本的单价为20元/本，设购买甲种读本本，则购买乙种读本的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（2024·湖北黄石·模拟预测）某食堂有m吨煤，计划每天用n吨煤，实际每天节约用煤b吨，节约后可多用（　　） A．天 B．天 C．天 D．天 3．（2024·河北邢台·三模）【原创新考向题】如图，已知圆环内直径为a厘米，外直径为b厘米，将6个这样的圆环一个接一个环套环地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 4．（2024·山西大同·模拟预测）如图是某拱形门示意图，它是由上、下两部分组成的．上面是半圆，半圆的直径为；下面是长方形，宽为，长是宽的倍．这个拱形门的面积可表示为 ．（结果保留） ☛题型02 单项式的系数、次数 例2．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的次数是 ． 1.在确定单项式的系数时，一定要注意是数字因数并且包含数字前面的符号； 2.在确定单项式的次数时要注意单项式的次数是所有字母指数的和，与数字的指数无关，要注意π是数字而不是字母； 1．（2024·上海松江·二模）下列代数式中，单项式是（　） A． B． C． D． 2．（2024·山西朔州·模拟预测）单项式的系数是 ． 3．（2024·河南周口·三模）请你写出一个系数是2，次数是3的关于x和y的单项式： ． 4．（2024·广东珠海·三模）单项式的次数是4，则a的值为 ． ☛题型03 单项式的规律探究 例3．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 1.在解决单项式的规律探究类问题时应注意分别从单项式的系数、字母以及字母的指数分析其规律； 2.当单项式中出现“+”、“-”交替出现时，只需要在单项式前面乘以，当单项式中出现“-”、“+”交替出现时，只需要在单项式前面乘以； 3.记住一些20以内的平方、10以内立方以及底数为2的幂。 1．（2024·云南昭通·二模）按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·四川成都·一模）探索规律：观察下面的一列单项式：、、、、、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·山东济宁·二模）按一定规律排列的单项式：a，，，，，…，则第n个单项式为 ． 4．（2023·内蒙古呼伦贝尔·二模）观察下列关于x的单项式：，，，，，，…，按照上述规律，第2023个单项式是 ． ☛题型04 同类项的概念 例4．（2024·河南·中考真题）请写出的一个同类项： ． 在遇到同类项的概念型题目时，要注意： 1.同类项是单项式； 2.同类项要求所含的字母必须相同； 3.相同字母的指数要相同。 1.在判断同类项时，所含字母相同与相同字母的指数相同这两个条件必须同时满足； 2.两个单项式是否是同类项与单项式的系数以及字母的顺序无关。 1．（2024·广东广州·模拟预测）若与是同类项，则等于（    ） A． B．2 C．3 D．4 2．（2024·湖南娄底·三模）下列说法（或等式）正确的是（　　） A． B．一条线段的黄金分割点有两个 C．与是同类项 D．是最简二次根式 3．（2024·河南周口·三模）如果单项式：与的和仍为单项式，则 ． 4．（2024·吉林·二模）若关于和的单项式与是同类项，则 ． 命题点二 整式的运算 ☛题型01 整式的加减运算 例5．（2024·江苏常州·中考真题）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 1.在进行整式加减法运算时，有括号的先去括号，去括号时看括号前面的符号，如果括号前面是正号，则直接把括号去掉，括号内原来各项不变号；如果括号前面是负号，负号连同括号一同去掉的同时，括号内原来各项均改变符号。 2.去完括号要进行合并同类项，合并同类项时只把同类项的系数相加或相减，字母及字母的指数不变； 1.在进行整式加减法运算时，不要跳步骤； 2.在运用加法交换律和结合律进行运算时，要注意符号问题。 1．（2024·安徽·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州遵义·模拟预测）计算的结果为 ． 4．（2024·江苏南京·一模）化简的结果是 ． ☛题型02 幂的运算 例6．（2024·安徽·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 正确使用幂的运算的各种公式（同底数幂的乘除法公式、幂的乘方以及积的乘方运算公式），熟练掌握各种公式的逆运算；切记不能混淆各种公式。 1．（2024·安徽六安·模拟预测）下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽·三模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽合肥·三模）下列算式中，计算结果不是的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽亳州·二模）计算： ． ☛题型03 乘法公式 例7．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值： ，其中，． 1.在运用平方差公式和完全平方公式时，要熟记平方差公式和完全平方公式的的结构特征； 2.再利用完全平公式进行配方时，要注意首尾乘积的2倍如果有参数要注意有正负两种情况； 1．（2024·河北·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 3．（2024·广西南宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 4．（2024·青海西宁·二模）先化简，再求值：，其中，． ☛题型04 因式分解 例8．（2024·浙江·中考真题）因式分解： 因式分解的方法： 1.先看是否含有公因式，有公因式的要先提公因式； 2.再看是否符合平方差公式或完全平方公式，如若符合公式，要用公式法进行分解。 3.对于一个二次三项式如果不能用完全平方公式进行分解，则可以考虑使用十字相乘法分解因式； 4.对于四项以上的多项式，一般考虑使用分组分解法，即先对有公因式或可以使用公式法分解因式的项进行分组。 5.注意分解因式时一定要分解的不能分解为止。 1．（2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 2．（2024·山东·中考真题）因式分解： ． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解 ． 4．（2024·吉林长春·模拟预测）分解因式： ． ☛题型05 代数式的求值 例9．（2024·安徽·模拟预测）已知实数，，满足，，则的值为 ． 1.当已知字母的值且所求代数式比较简单时，可以直接将字母的值带入，进行计算； 2.当字母的值没有直接给出，而是以等式的形式间接给出且不易求解时；一般可以选择使用整体代换的方法进行求解。也可以用一个字母表示其他字母，最终消去字母的方法进行求解 3.若已知条件是高次的方程时，一般要进行将次，逐渐化简。 1．（2024·安徽蚌埠·二模）若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）若实数，满足，则代数式的值为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（2024·安徽马鞍山·二模）若，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D．0 4．（2024·安徽合肥·一模）若实数x，y，m满足，，则代数式的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ☛题型06 代数式的化简求值 例10．（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中． 1.化简时应注意运算顺序和符号不要出错； 2.化简求值的题目要先化简再求值，不要直接把字母的值带入，这样容易出错，另外如果题目要求先化简再求值，如果直接带入计算就错了； 1．（2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：，其中． 2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 3．（2024·四川南充·模拟预测）先化简，再求值：，其中，． 4．（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值，，其中． ☛题型07 代数式与几何图形相结合 例11．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 1.代数式与几何相结合多与周长和面积相结合，在与面积相结合时，要注意观察所求几何图形的面积能否直接利用面积公式求解，如果可以直接求解，则用代数式表示出面积公式的各个量即可；如果不能直接使用面积公式，则需要仔细观察拼组图形，对所求几何图形的面积进行等量转化（常用的方法用割补法、三角形的拉窗帘模型以及等积转化） 1．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系式为________； (2)如图2，C是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两个正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 2．（2024·河北秦皇岛·二模）小明同学用四张长为 ，宽为 的矩形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图形（任意两张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）． (1)通过计算小正方形面积，可推出三者之间的等量关系式为：____________________________． (2)利用（1）中的结论，试求：当 时， ． (3)利用（1）中的结论，试求：当 时，的值． 3．（2023·河南新乡·模拟预测）如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有两个边长为米的小正方形空地，规划部计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）． (2)若，，求出当时绿化的总面积； (3)在（2）的条件下，若有甲、乙两个绿化队共同完成此项任务．已知甲队每小时可绿化平方米，乙队每小时绿化平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？ 4．（2023·山东青岛·中考真题）如图①，正方形的面积为1． (1)如图②，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (2)如图③，延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______； (3)延长到，使，延长到，使，则四边形的面积为______． ☛题型08 代数式中的新定义问题 例12．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数能写成，其中与都是两位数，且与的十位数字相同，个位数字之和为，则称为“方减数”，并把分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，与的十位数字相同，个位数字与的和为，所以是“方减数”，分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”进行“方减分解”，即，将放在的左边组成一个新的四位数，若除以余数为，且（为整数），则满足条件的正整数为 ． 1．（2024·陕西汉中·二模）对于任意的实数、，定义运算，当为实数时，的化简结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头·二模）若规定符号的意义是：，则当时，值为 ． 3．（2024·四川成都·模拟预测）定义：若（正整数，且）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“彗星数”．则“彗星数”n的最小值为 ，最大值为 ． 4．（2024·山东青岛·模拟预测）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式． (1)关于的二次多项式的特征系数对为______； (2)求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积； (3)若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，求的值． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．（2024·安徽·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·三模）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知一次函数的图象经过点和，其中，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 5．（2024·安徽合肥·二模）如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为36的矩形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在矩形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为45，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为（    ） A． B．5 C．9 D．10 6．（2024·安徽蚌埠·三模）下列各式的计算结果是的是（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·安徽宿州·三模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·安徽安庆·二模）已知，，，下列结论正确的是（　　） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 9．（2024·安徽马鞍山·三模）若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 10．（2024·安徽·一模）若是关于的方程的一个解，则代数式的值为 . 11．（2023·安徽马鞍山·一模）甲、乙两人都加工a个零件，甲每小时加工20个，如果乙比甲晚工作1小时，且两人同时完成任务，那么乙每小时加工 个零件（用含a的代数式表示）． 12．（2024·湖南娄底·模拟预测）已知，则 ． 13．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知，请计算代数式的值为 ． 14．（2022·安徽·模拟预测）因式分解： ． 三、解答题 15．（2024·安徽·三模）观察下列等式： ；；；； 根据以上规律，解决如下问题： (1)请填空：； (2)请用含字母a，b的等式表示规律，并验证其正确性． 16．（2024·湖南邵阳·二模）由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 17．（2024·安徽合肥·三模）某校为了对学生进行爱国主义教育，开展了“爱我中华”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍少件，各种奖品的单价如表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价（元件） 数量（件） (1)设一等奖奖品的数量为件，请用含的代数式填表； (2)购买这件奖品所需的总费用为元，求二等奖奖品的数量． 18．（2024·河北邯郸·三模）如图，在一个足够长且宽为． （）的纸带上剪出一些矩形纸片，图中的虚线为裁剪线，在边l上截取不同的尺寸，得到矩形A，B，C，…，其面积分别为（）试用含x的式子解决下列问题： (1)计算 的值； (2)将 （1）中的结果写成 的形式（a，b为常数）；若图中的一个矩形D的面积刚好是 的值，求矩形D落在边l上的长． 能力提升 19．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，图案1中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案2中“☆”的个数为，“★”的个数为，图案3中“☆”的个数为，“★”的个数为；…． (1)图案5中“☆”的个数为 ； (2)图案n中，“★”的个数为 ；（用含n的式子表示） (3)根据图案中“☆”和“★”的排列方式及规律，若图案n中“★”的个数是“☆”的个数的，求n的值． 20．（2024·安徽·中考真题）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）： 奇数 的倍数 表示结果 一般结论      ______ 按上表规律，完成下列问题： （）（    ）（    ）； （）______； (2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下： 假设，其中均为自然数． 分下列三种情形分析： 若均为偶数，设，，其中均为自然数， 则为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数． 若均为奇数，设，，其中均为自然数， 则______为的倍数． 而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数． 若一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数． 由可知，猜测正确． 阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容． $$