15.3 等腰三角形（7个知识点+5个题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

15.3 等腰三角形 课程标准 学习目标 ①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理； ②探索并掌握等腰三角形的判定定理； ③探索等边三角形的性质定理； ④探索等边三角形的判定定理。 1.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理与判定定理，会运用判定定理和性质进行证明； 2.理解并掌握含 30°角的直角三角形的性质定理，会应用其分析30°直角三角形的边角关系问题； 3.会根据等腰三角形的性质作简单的辅助线解决问题。 知识点01 等腰三角形的定义 ·等腰三角形：在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． ·等腰三角形中的角度关系：∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ·等腰直角三角形：顶角为直角，两个底角都等于45° 【即学即练1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）若一个三角形的底角比顶角大，则顶角为（ ） A． B． C． D． 知识点02 等腰三角形的性质 ·对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴 ·性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） ·几何语言： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∴∠ B= ∠ C. 【即学即练2】（2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【即学即练3】如图，在中，，P是边的中点，，垂足分别为D ，E．求证：．    性质定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 补充：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”） 【即学即练4】（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：①；②；③平分；④垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练5】如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，求证：．    知识点03 等边三角形的定义和性质 ·等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形 【即学即练6】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B．2 C． D．3 ·对称性：等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线 . 定理1推论（等边三角形的性质）：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°． 【即学即练7】（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，等边三角形中，点D，E分别在，边上，且，，相交于点F． (1)请在图中找出与相等的线段，并证明． (2)求出的度数． 定理2推论：各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等 【即学即练9】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，等边的高相交于点O．若，则的长为 ． 知识点04 等腰三角形的判定 ·定义法：证明一个三角形的两边相等 ·判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边” ) . 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵∠ B= ∠ C，∴ AB=AC. ◆特别注意： “等角对等边”不能叙述为“ 如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”， 因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“顶角”、 “ 腰”、“ 底边”这些名词. 【即学即练10】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ． 【即学即练11】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 知识点05 含 30°角的直角三角形的性质 ·定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （含 30° 角的直角三角形的性质揭示直角边与斜边的数量关系） 几何表述：在Rt△ ABC中 ，∵∠ C=90°，∠A=30°，∴ BC= AB. 【即学即练12】如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：． ·性质应用：①证线段的倍分关系；②计算角度 知识点06 等边三角形的判定 ·定义法：证明一个三角形的三边相等. 【即学即练13】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练14】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．不等边三角形 D．等边三角形 ·推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵∠ A= ∠ B= ∠ C，∴△ ABC 是等边三角形. 【即学即练15】如图，在中，，点在上，，．求证：为等边三角形． ·推论２：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∴∠A=60 °(或∠ B=60 °或∠C=60°)，∴△ ABC 是等边三角形. 【即学即练16】（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的中线； (2)判断的形状，并说明理由． 知识点07 尺规作等腰三角形 ·已知底边及底边上的高作等腰三角形 以a为等腰三角形的底边，h为底边上的高，作等腰三角形. 作图步骤： 1.作线段AB = a； 2. 作线段AB的垂直平分线 MN，交 AB 于点 D； 3. 在 MN 上取一点 C，使DC = h； 4. 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求作的等腰三角形. 【即学即练17】（2021·安徽·一模）如图，在中，，根据作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 【即学即练18】尺规作图．已知：线段，，求作等腰三角形，使其底边长为，底角为．（不写作图作图过程，保留作图痕迹） 1.“三线合一”性质应用：在等腰三角形中，运用“三线合一”的性质时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. ·几何表述：如图，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC， AD ⊥ BC ，∴ AD平分∠BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC， BD=DC，∴ AD ⊥ BC(或AD平分∠BAC)； (3)∵ AB=AC， AD平分∠BAC，∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)． 2.等腰三角形的性质与判定的异同 ·相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” . ·不同点：条件和结论相反 ·等腰三角形的性质： 条件：两边相等→结论：这两边所对的角相等 . ·等腰三角形的判定： 条件：两角相等→结论：这两角所对的边相等. 3.证明等边三角形的一般思路： 【题型一：分类讨论等腰三角形的个数】 例1．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是以为顶角的等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 变式1.如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（    ）个． A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 例2.如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    例3.平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【方法技巧与总结】解决分类讨论等腰三角形的个数问题时，主要从边（分为腰和底来讨论）；角（分为顶角和底角）来讨论；如果是一腰上的高问题：要分锐角和钝角三角形来讨论 【题型二：等腰三角形的性质和判定】 例4．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 变式4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，为边上一点，，交的延长线于点，于，． (1)求证：点为的中点； (2)若，求证：． 例5.如图，在中，，点D为上一点，且满足．点F在延长线上，连接并延长，交于点E，连接． (1)求和的度数； (2)若点E是的中点，求证：是等腰三角形． 变式5．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，是斜边上的高线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【方法技巧与总结】①在含等腰三角形的复杂图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解；②证明两条线段相等的常用方法：利用等腰三角形的判定——“等角对等边”，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等；③方程思想解决角度问题。 【题型三：应用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线解边角关系】 例6．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为 ． 例7．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 例8．（2024·安徽阜阳·三模）如图，在四边形中，，，边上的点与点B关于对角线对称，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】在等腰三角形的有关计算中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．主要是利用等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数。 【题型四：根据等腰三角形的性质求线段最值】 例9．如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ） A． B． C． D． 变式9-1.（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，，是边上的中线．    （1）若，则的度数是 （用含的式子表示）； （2）若点是线段上的一个动点，点为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 变式9-2.（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，点，若点是直线上一动点，点是直线上的一动点，，，则的最小值为 ． 【方法技巧与总结】①轴对称的性质——将同侧点转换为异侧点，三点共线求线段和的最小值；②利用三角形的三边关系求最值；③利用“垂线段最短”求最值 【题型五：等腰三角形与全等综合】 （手拉手全等模型）例10．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 变式10.（23-24八年级上·安徽·单元测试）已知，在和中，，，，且，，三点在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2) 如图2，连接，并延长交于点．当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，过点作，垂足为，若，，当时，求的长． （一线三直角全等模型）例11.如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题： (1)若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度； (2)在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求． (3)三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由． 一、选择题 1．（2024八年级上·湖南·专题练习）在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角等于（  ） A．或 B． C． D．或 4．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，点在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 5.在中，平分，则的长为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使 ，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴． 8．如图，在中，，是边上的中线，是底边上的高．若的面积为24，则的面积为 ．    9．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，过点作于点，且，过点作于点，连接，过点作，交于点与交于点． （1）的度数为 ． （2）若为的中点，，则 ． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等边中，，垂足为点O，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称．（1）连接，则的度数为 ；（2）连接，当的长取得最小值时，的长为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图，点B，F，C，E在同一直线上，，相交于点M，，，，求证：是等腰三角形． 12．如图，在中，，、分别是、的中点，且、交于点，求证：．    13．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求度数． 14．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知是等边三角形，、分别为、上的点，且，、相交于点，于点． (1)求证：； (2)求证：． 15．如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 16．（2024·安徽安庆·二模）如图，四边形，，对角线相交于点，，点是上一点，，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若为边中点，连接并延长交的延长线于点，，，，求的长． 17．（2024·安徽淮北·二模）如图，在中，是边上的高线，已知． (1)如图1，证明：； (2)点是上一点，． ①若，如图2，求的长； ②延长至点，使得，如图3，证明：． 18．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 15.3 等腰三角形 课程标准 学习目标 ①理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理； ②探索并掌握等腰三角形的判定定理； ③探索等边三角形的性质定理； ④探索等边三角形的判定定理。 1.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理与判定定理，会运用判定定理和性质进行证明； 2.理解并掌握含 30°角的直角三角形的性质定理，会应用其分析30°直角三角形的边角关系问题； 3.会根据等腰三角形的性质作简单的辅助线解决问题。 知识点01 等腰三角形的定义 ·等腰三角形：在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． ·等腰三角形中的角度关系：∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ ·等腰直角三角形：顶角为直角，两个底角都等于45° 【即学即练1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）若一个三角形的底角比顶角大，则顶角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质． 设底角为，则顶角为，根据三角形内角和定理得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设底角为，则顶角为， 则， 解得， ， 即顶角为， 故选：C 知识点02 等腰三角形的性质 ·对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴 ·性质定理1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） ·几何语言： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∴∠ B= ∠ C. 【即学即练2】（2024·安徽·模拟预测）如图，将绕点C顺时针旋转得到，且点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据旋转的性质求解、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角定理，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 根据旋转得出，则，根据三角形的外交定理，即可解答． 【详解】解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【即学即练3】如图，在中，，P是边的中点，，垂足分别为D ，E．求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角 【分析】利用证明即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵P是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 性质定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边 补充：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”） 【即学即练4】（23-24八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：①；②；③平分；④垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的判定、根据三线合一证明 【分析】本题考查三线合一．根据三线合一进行判断即可． 【详解】解：∵直线经过线段的中点，点在直线上，且， ∴，平分，垂直平分线段， 故①③④正确， 条件不足，无法求出的度数，故②错误； 故选C． 【即学即练5】如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，连接，由等腰三角形的三线合一性质得出，证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：连接，如图所示： ，为的中点， ， 在和中， ， ， ．    知识点03 等边三角形的定义和性质 ·等边三角形的定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形 【即学即练6】（23-24八年级上·安徽·期末）如图，是边长为1的等边三角形，，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处，则阴影部分图形的周长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【知识点】等边三角形的性质、折叠问题 【分析】本题考查了等边三角形的性质和折叠问题．根据等边三角形的性质和折叠性质进行解答即可得． 【详解】解：∵等边的边长为， ∴， ∵，分别是边，上的两点，将沿直线折叠，点落在处， ∴，， 则阴影部分图形的周长为：， 故选：D． ·对称性：等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴，分别为三边的垂直平分线 . 定理1推论（等边三角形的性质）：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°． 【即学即练7】（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，等边三角形中，点D，E分别在，边上，且，，相交于点F． (1)请在图中找出与相等的线段，并证明． (2)求出的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形性质和全等三角形判定与性质， （1）由等边三角形性质可得，，结合已知利用边角边即可证明，由此得出结论． （2）由可得，再由三角形外角性质可得． 【详解】（1）解：； 理由如下： ∵为等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 定理2推论：各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等 【即学即练9】（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，等边的高相交于点O．若，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质．由等边三角形的性质知，高也是角平分线，，求得，在中，由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，且是高， ∴也是的角平分线，， ∴， ∴， 在中，，， ∴； 故答案为：1． 知识点04 等腰三角形的判定 ·定义法：证明一个三角形的两边相等 ·判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边” ) . 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵∠ B= ∠ C，∴ AB=AC. ◆特别注意： “等角对等边”不能叙述为“ 如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两条腰相等”， 因为在未判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”、“顶角”、 “ 腰”、“ 底边”这些名词. 【即学即练10】（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F．若，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定；掌握等腰三角形的判定是解题的关键． 由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：6． 【即学即练11】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证； （2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数； 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 知识点05 含 30°角的直角三角形的性质 ·定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （含 30° 角的直角三角形的性质揭示直角边与斜边的数量关系） 几何表述：在Rt△ ABC中 ，∵∠ C=90°，∠A=30°，∴ BC= AB. 【即学即练12】如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形．连接，求出，再根据可求出的度数，由直角三角形的性质即可求出．掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ·性质应用：①证线段的倍分关系；②计算角度 知识点06 等边三角形的判定 ·定义法：证明一个三角形的三边相等. 【即学即练13】（24-25八年级上·广东惠州·期中）如图，下列哪个条件能推出是等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定 【分析】根据等边三角形的判定方法（三边相等或三个角都是60度，或有一个角是的等腰三角形是等边三角形）进行判断，解答即可．本题考查了等腰三角形的判定与等边三角形的判定． 【详解】解：A、，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； B、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； C、∵∴，∴是等腰三角形，∵，∴，∴是等边三角形，该选项符合题意； D、，，只能说明是等腰三角形，该选项不符合题意； 故选：C． 【即学即练14】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长a，b，c满足等式，则的形状是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．不等边三角形 D．等边三角形 【答案】D 【知识点】加减消元法、等边三角形的性质、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题 【分析】此题考查了等边三角形的定义，解二元一次方程组，非负数的性质，绝对值和二次根式的性质，得出的值是解题关键； 先根据非负数的性质，求出、、的值，再判断即可； 【详解】解：， ， 解得：， ∴是等边三角形， 故选：D． ·推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵∠ A= ∠ B= ∠ C，∴△ ABC 是等边三角形. 【即学即练15】如图，在中，，点在上，，．求证：为等边三角形． 【答案】见详解 【知识点】等边三角形的判定、等边对等角、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定，以及等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，即可解答． 【详解】证明：，， ， ，， ， ，， ， 为等边三角形． ·推论２：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 几何表述： 如图，在△ ABC 中，∵AB=AC，∴∠A=60 °(或∠ B=60 °或∠C=60°)，∴△ ABC 是等边三角形. 【即学即练16】（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，在中，． (1)尺规作图：作边上的中线； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作已知线段的垂直平分线，直角三角形斜边中线性质，等边三角形的判定； （1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作的垂直平分线即可； （2）直角三角形斜边中线可得，再由可得即可判断为等边三角形． 【详解】（1）解：如图，为的中线； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 知识点07 尺规作等腰三角形 ·已知底边及底边上的高作等腰三角形 以a为等腰三角形的底边，h为底边上的高，作等腰三角形. 作图步骤： 1.作线段AB = a； 2. 作线段AB的垂直平分线 MN，交 AB 于点 D； 3. 在 MN 上取一点 C，使DC = h； 4. 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求作的等腰三角形. 【即学即练17】（2021·安徽·一模）如图，在中，，根据作图痕迹，可知（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、作等腰三角形(尺规作图)、等边对等角 【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵AB=AC， ∴． 由作图痕迹可知BC=BD， ∴． ∴． 故选D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据作图痕迹得出BC=BD是解答本题的关键． 【即学即练18】尺规作图．已知：线段，，求作等腰三角形，使其底边长为，底角为．（不写作图作图过程，保留作图痕迹） 【答案】图形见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、尺规作图——作三角形、作等腰三角形(尺规作图) 【分析】作射线，在射线上截取，在的上方作，，射线交于点A，即为所求． 【详解】解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 1.“三线合一”性质应用：在等腰三角形中，运用“三线合一”的性质时，已知其中“一线”，就可以得到另外“两线”. ·几何表述：如图，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC， AD ⊥ BC ，∴ AD平分∠BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC， BD=DC，∴ AD ⊥ BC(或AD平分∠BAC)； (3)∵ AB=AC， AD平分∠BAC，∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)． 2.等腰三角形的性质与判定的异同 ·相同点： 使用的前提都是“在同一个三角形中” . ·不同点：条件和结论相反 ·等腰三角形的性质： 条件：两边相等→结论：这两边所对的角相等 . ·等腰三角形的判定： 条件：两角相等→结论：这两角所对的边相等. 3.证明等边三角形的一般思路： 【题型一：分类讨论等腰三角形的个数】 例1．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．要在格点上确定一点C，连接和，使是以为顶角的等腰三角形，则网格中满足条件的点C的个数是（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】利用格点分别作出等腰三角形，即可得到答案. 【详解】如图所示． 网格中满足条件的点C有，共4个, 故选B． 【点睛】此题考查的是等腰三角形的判定，正确画出图形是解题的关键. 变式1.如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使成为等腰三角形，则满足条件的点C有（    ）个． A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【知识点】格点图中画等腰三角形 【分析】根据等腰三角形的定义判断即可． 【详解】解：如图， AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C， AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C， 所以，满足条件的点C的个数是4+4=8． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意AB是腰长与底边两种情况讨论求解． 例2.如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    【答案】或或或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【分析】画出图形，分四种情况分别求解． 【详解】解：若， 则；    若， 则， ∴；    若，且三角形是锐角三角形， 则；    若，且三角形是钝角三角形， 则．    综上：的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论． 例3.平面直角坐标系中，已知A（2，2）、B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【知识点】坐标与图形、找出图中的等腰三角形 【详解】解：构造等腰三角形， ①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆； ②作AB的中垂线． 如图，一共有5个C点， 注意，与B重合及与AB共线的点要排除． 故选A. 【方法技巧与总结】解决分类讨论等腰三角形的个数问题时，主要从边（分为腰和底来讨论）；角（分为顶角和底角）来讨论；如果是一腰上的高问题：要分锐角和钝角三角形来讨论 【题型二：等腰三角形的性质和判定】 例4．（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，的平分线交边于点，为的中点，连接． (1)求证：为等腰三角形． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用三角形的内角和求出，再利用角平分线的定义求出，得到，最后根据等角对等边即可求证； （2）由（1）可得，根据等腰三角形三线合一即可求得的度数； 【详解】（1）证明：，， ， 平分， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：， ， ，为的中点， ∴平分， ； 变式4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，为边上一点，，交的延长线于点，于，． (1)求证：点为的中点； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、线段中点的有关计算、垂线的定义理解 【分析】（1）证明，得到，即可证明； （2）由（1）得，从而，，进而，由三线合一得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴为的中点 （2）证明：由（）得 ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 【点睛】本题考查三角形的全等判定，等腰三角形的性质，垂线定义，中点定义，根据定理内容解题是重点． 例5.如图，在中，，点D为上一点，且满足．点F在延长线上，连接并延长，交于点E，连接． (1)求和的度数； (2)若点E是的中点，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据等边对等角证明、根据三线合一证明、根据等角对等边证明边相等 【分析】（1）设，由知，，由列方程求解可得； （2）依据E是的中点，即可得到，进而得出． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则，． （2）解：∵E是的中点，， ∴，，即， ∴，即为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 变式5．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，是斜边上的高线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明边相等 【分析】该题主要考查了三角形内角和以及等腰三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点； （1）根据三角形内角和以及角平分线求解即可； （2）根据题意中结论设表示出即可证明 【详解】（1）解：根据题意， 是的平分线， （2）根据题意， 是的平分线， 设 【方法技巧与总结】①在含等腰三角形的复杂图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解；②证明两条线段相等的常用方法：利用等腰三角形的判定——“等角对等边”，在证明过程中，经常通过计算三角形各角的度数，或利用角的关系得到角相等，从而得到所对的边相等；③方程思想解决角度问题。 【题型三：应用等腰三角形“三线合一”的性质作辅助线解边角关系】 例6．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的平分线，于，连接，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】/2平方厘米 【知识点】根据三角形中线求面积、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线定义，关键是由角平分线的定义，垂直的定义推出，由等腰三角形的性质得到．延长交于，由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，由三角形内角和定理推出，得到，由等腰三角形的性质推出，由三角形面积公式推出的面积的面积，的面积的面积，即可得到的面积的面积的面积，于是得到的面积． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积，的面积的面积， 的面积的面积的面积的面积的面积， 的面积． 故答案为：． 例7．（2024·安徽·中考真题）在凸五边形中，，，F是的中点．下列条件中，不能推出与一定垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形“三线合一”性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定的方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定及性质对各选项进行判定，结合根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论． 【详解】解：A、连接，    ∵，，， ∴， ∴     又∵点F为的中点 ∴，故不符合题意； B、连接，    ∵，，， ∴， ∴， 又∵点F为的中点， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； C、连接，    ∵点F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故不符合题意； D、，无法得出题干结论，符合题意； 故选：D． 例8．（2024·安徽阜阳·三模）如图，在四边形中，，，边上的点与点B关于对角线对称，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据成轴对称图形的特征进行求解、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，三线合一，直角三角形两锐角互余．连接，，过A作于E，依据，，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过作于，如图所示： 边上的点与点B关于对角线对称， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 故选：A． 【方法技巧与总结】在等腰三角形的有关计算中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．主要是利用等腰三角形的判定，解题的关键是求出各个角的度数。 【题型四：根据等腰三角形的性质求线段最值】 例9．如图，在中，，、是的两条中线，P是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一、两点之间线段最短 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点间线段最短，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是关键．由等腰三角形三线合一的性质，得到垂直平分，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，是的中线， ，， 垂直平分， ， ， 即的最小值是线段的长， 故选：C． 变式9-1.（22-23七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，，是边上的中线．    （1）若，则的度数是 （用含的式子表示）； （2）若点是线段上的一个动点，点为线段上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、等腰三角形的性质和判定、等边对等角、三线合一 【分析】（1）因为为等腰三角形，且是边上的中线，所以，，所以．又因为，所以． （2）如图，连接，由对称性可知．由垂线段最短及三点共线可知，的最小值是边上的高线长．又因为，所以． 【详解】解：（1）在等腰，， 是边上的中线， 由等腰三角形“三线合一”可知， ， ， ， 故答案为：； （2）连接，如图所示：    由等腰三角形的对称性可知， ， 根据动点最值问题-点线模型，当三点共线，且由垂线段最短可知，的最小值是边上的高线长， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、动点最值问题-点线模型等知识，熟记等腰三角形性质并灵活运用是解决问题的关键． 变式9-2.（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点，点，若点是直线上一动点，点是直线上的一动点，，，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】最短路径问题、垂线段最短、线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】此题考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识． 连接过点A作于点H，求出，证明，当且仅当A、F、G三点共线时，，则当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时,据此即可求出答案． 【详解】解：连接过点A作于点H， ∵，， ∴， 解得， ∵的垂直平分线分别交于点，点， ∴， ∴， 当且仅当A、F、G三点共线时，， ∵点是直线上的一动点， ∴当点G运动到点H时，根据垂线段最短，则取得最小值，此时, 即的最小值为4． 故答案为：4 【方法技巧与总结】①轴对称的性质——将同侧点转换为异侧点，三点共线求线段和的最小值；②利用三角形的三边关系求最值；③利用“垂线段最短”求最值 【题型五：等腰三角形与全等综合】 （手拉手全等模型）例10．（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】（1）①∵和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高 ∴ ∵ ∴                 （3）∵是等腰三角形， ∴ ∴ 同（1）可得： ∴ ∴ ∵是等腰三角形， ∴ ∴ 变式10.（23-24八年级上·安徽·单元测试）已知，在和中，，，，且，，三点在同一条直线上． (1)如图1，求证：； (2) 如图2，连接，并延长交于点．当时，判断的形状，并说明理由； (3)如图3，过点作，垂足为，若，，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形；理由见解析 (3)6 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明和都是等边三角形，得到，求得，即可得到是等边三角形； （3）在上取点H，使，连接，证明，得到，由（1）可知，得到，推出，由（2）可知，当时，求出，由此推出，，即可求出． 【详解】（1）解：在和中， ， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：如图，在上取点H，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， 由（2）可知，当时，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （一线三直角全等模型）例11.如图1，把一块直角三角尺的直角顶点C放置在水平直线上，在中，，，试回答下列问题： (1)若把三角尺绕着点C按顺时针方向旋转，当时， 度； (2)在三角尺绕着点C按顺时针方向旋转过程中，分别作于M，与N，若，，求． (3)三角尺绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置，其他条件不变，则、与之间有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)45 (2)8 (3)，理由见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据平行线的性质求角的度数、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）根据等腰直角三角形的性质以及平行线的性质求解即可； （2）根据等腰直角三角形的性质以及等角的余角相等，先证明，进而可得结论； （3）证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 45； （2）∵于M，于N， ∴，． 在中， ∴， 同理：． 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 一、选择题 1．（2024八年级上·湖南·专题练习）在中，，添加下列一个条件后，仍不能判定为等边三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的判定定理，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：在中，， 如果添加条件，可判定为等边三角形．故A选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故B选项不符合题意； 如果添加条件，不能判定为等边三角形． 例如：，时，仍然可以作出，此时就不是等边三角形． 故C选项不符合题意； 如果添加条件，可判定为等边三角形．故D选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键，由垂直平分．得，进而得，再证，可得，即可得解． 【详解】解：垂直平分． ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项正确； 故选． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角等于（  ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出高在三角形内部一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当高在三角形内部时，如图， ∵ ∴， ∴ ∴底角为； 当高在三角形外部时， 如图， ∵于D， ∴， ∴ ∴底角是是． 故选：A． 4．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，，，点在边上，且，若，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，准确作出辅助线求出与是解题的关键． 过点作于，根据等腰三角形三线合一的性质得出，由含30度角的直角三角形的性质求出，那么． 【详解】解：如图，过点作于， 又，， ， 在直角中，，， ， ， ． 故选：B． 5.在中，平分，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等角对等边证明边相等、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可． 【详解】解：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，，， 又， ， 而， ， ， ， ． 故选：． 6．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至E，使 ，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质、垂线段最短、三角形的外角的定义及性质 【分析】由是等边三角形，得，由，得，则，所以，可判断A正确； 由是等边三角形的中线，得，而，则，可判断B正确； 由，得，可判断C正确； 由，根据垂线段最短得，所以，可判断D错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故A正确，不符合题意； B、是等边三角形的中线， ，， ， 故B正确，不符合题意； C、， ， 故正确，不符合题意； D、， ， ， 故D错误，符合题意 故选：D． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，正确地求出的度数和的度数是解题的关键． 二、填空题 7．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）公路边上的很多汽车警示标志形状都是等边三角形．我们知道等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴． 【答案】3 【知识点】轴对称图形的识别、等边三角形的性质 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，等边三角形有3条对称轴．等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线所在的直线． 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，就是三条角平分线所在的直线． 故答案为：3． 8．如图，在中，，是边上的中线，是底边上的高．若的面积为24，则的面积为 ．    【答案】6 【知识点】根据三角形中线求面积、三线合一 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可求出的面积，再根据三角形中线平分三角形的面积，即可求解． 【详解】解：∵在中，，是底边上的高， ∴， ∵的面积为24， ∴， ∵是边上的中线，即， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质求出的面积是正确解答本题的关键． 9．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，过点作于点，且，过点作于点，连接，过点作，交于点与交于点． （1）的度数为 ． （2）若为的中点，，则 ． 【答案】 /45度 3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． （1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明． （2）作于点，证明可得，由，推出，，由此即可证明． 【详解】解：∵，且， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴． ∴． 如图，过点作于点，又， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：；3． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等边中，，垂足为点O，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称．（1）连接，则的度数为 ；（2）连接，当的长取得最小值时，的长为 ． 【答案】 /60度 4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）根据题意得，由对称性可证得，有即可求得答案； （2）延长至点P，使，则点F在线段上运动，当时，最短，且，即可求得答案． 【详解】解：（1）是等边三角形，且， ， 由题意知，在和中， ， ， ， ； （2）延长至点P，使，如图， 由题意知，点F在线段上运动， 当时，最短，此时， ， ． 故答案为：，4． 【点睛】本题主要考查对称的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质和含角的直角三角形性质，解题的关键是熟练对称性和找最短距离． 三、解答题 11．（24-25八年级上·广东中山·阶段练习）如图，点B，F，C，E在同一直线上，，相交于点M，，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明过程见详解 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 根据线段间的数量关系得出，再由全等三角形的判定和性质证明，，即可证明是等腰三角形． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ， 即是等腰三角形． 12．如图，在中，，、分别是、的中点，且、交于点，求证：．    【答案】证明见解析 【知识点】线段中点的有关计算、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据等边对等角证明、根据等角对等边证明边相等 【分析】根据等边对等角的性质，得到，再利用线段中线，得出，证明，得到，再根据等角对等边的性质，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别是、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 13．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）在中，，，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． （1）根据可证明； （2）根据题意可得，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】（1）证明：，为延长线上一点， ， 在和中， ， ； （2）解：，， ， ， 由（1）知：， ， ． 14．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，已知是等边三角形，、分别为、上的点，且，、相交于点，于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征； （1）由等边三角形的性质得，，由即可得证； （2）由全等三角形的性质得，从而可证，由直角三角形的特征即可求证； 掌握判定方法及性质，能求出是解题的关键． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， 在和中 ， （）； （2）证明： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．如图，已知中，.在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个. 【答案】6 【知识点】线段垂直平分线的性质、直线上与已知两点组成等腰三角形的点 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题。根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在AC上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边于延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故答案为：6． 16．（2024·安徽安庆·二模）如图，四边形，，对角线相交于点，，点是上一点，，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若为边中点，连接并延长交的延长线于点，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识的综合运用，作出合理的辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，可得是等边三角形，可得，在中结合三角形的内角和定理可得，可证，可得，，根据，可得，由此即可求证； （2）如图所示，作交ND的延长线于点G，可证，可得，由（1）可知是等边三角形，可得，可证，可得是等腰三角形，，可求出，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ， 在中， ∵， ∴， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：作交ND的延长线于点G， ∴，， ∵点是中点，即， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2024·安徽淮北·二模）如图，在中，是边上的高线，已知． (1)如图1，证明：； (2)点是上一点，． ①若，如图2，求的长； ②延长至点，使得，如图3，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定、三角形的外角的定义及性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据是边上的高线，得到，根据直角三角形的性质得到，由，即可得出，即可得出结论； （2）①先证明，再根据，，求出，利用含30度角的直角三角形的特征求出，再利用勾股定理求出，由，即可求解；②根据，，得到，证明，推出，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：是边上的高线， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①是边上的高线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，过点C作，垂足为G， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的特征，三角形外角的性质，勾股定理，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键． 18．（23-24八年级上·安徽·期末）如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且．    (1)如图1，当为的中点时，则______（填“”“”或“”）． (2)如图2，当为边上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，当点在的延长线上时，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)当为边上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点作，交于点，证为等边三角形，得，再证（），得，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，可证得是等边三角形，，由，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵是等边三角形，点是的中点， ∴平分，，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，如图，．理由如下：    如图，过作交于， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，∘，即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， （3）解：过点作，交的延长线于点，如图所示：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴，∘， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$