专题12 平方根与立方根的七种考法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（湘教版）

专题12 平方根与立方根的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 3 类型二、利用算术平方根的非负性解题 3 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 3 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 3 类型五、利用立方根的性质求解 5 类型六、利用平方根、立方根解方程 5 类型七、平方根与立方根的综合 6 压轴能力测评（15题） 6 解题知识必备 知识点1 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 知识点2 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 知识点3 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 知识点3 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点4 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 压轴题型讲练 类型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）64的平方根是 ，立方根是 ；6的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）的平方根是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·天津滨海新·期中）的立方根是 ，的平方根是 ．的算术平方根是 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）15的平方根是 ；算术平方根是 ；125的立方根是 ；的算术平方根是 ；的相反数是 ；绝对值是 ． 类型二、利用算术平方根的非负性解题 例题：（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知，则的值是 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知、为实数，且，则 【变式训练2】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【变式训练3】（24-25八年级上·北京·开学考试）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形周长为 ． 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 例题：（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知的整数部分为a，则 ． 【变式训练1】（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）若的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【变式训练2】（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则的值是 ． 【变式训练3】（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 例题：（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． a 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 【变式训练2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【变式训练3】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，；，； ，． (1)推算出______；______． (2)请用含（是正整数）的式子填空： ______  ______ (3)求出的值． 类型五、利用立方根的性质求解 例题：（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）若和互为相反数，则的值 ． 【变式训练1】（23-24七年级下·北京·期中）若和互为相反数，则 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·重庆南川·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【变式训练3】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）一个正数的两个平方根分别是和，且，则 ， ． 类型六、利用平方根、立方根解方程 例题：（23-24七年级下·山西吕梁·期中）解方程 (1) (2) 【变式训练1】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解下列方程（组） (1) (2) 【变式训练2】（23-24七年级下·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式训练3】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）求下列各式中x的值 (1)； (2)． 类型七、平方根与立方根的综合 例题：（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【变式训练3】（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．是81的一个平方根 D．的立方根是 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 3．（24-25八年级上·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期中）4的算术平方根为 ，的立方根为 ，的平方根为 ． 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）若是的算术平方根，，则的立方根为 ． 7．（23-24七年级下·山东临沂·期末）对实数定义一种新的运算，规定，例如：，若，，则 ． 8．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 三、解答题 9．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）解方程： (1)； (2) 10．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是与． (1)求x和m的值； (2)求的平方根． 11．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 12．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求：的平方根． 13．（23-24七年级下·全国·期中）如图，实数，，是数轴上三点，，所对应的数． (1) ，_______，________用“”，“”或“”号填空； (2)化简：． 14．（2024·浙江嘉兴·一模）观察下面的等式：，，，， (1)写出的结果； (2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数） (3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的． 15．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 平方根与立方根的七种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 3 类型二、利用算术平方根的非负性解题 4 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 6 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 8 类型五、利用立方根的性质求解 12 类型六、利用平方根、立方根解方程 13 类型七、平方根与立方根的综合 16 压轴能力测评（15题） 18 解题知识必备 知识点1 算术平方根 （1）定义：一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作，读作“根号a”, （2）表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a, （3）性质：①正数只有一个算术平方根，并且恒为正；②0的算术平方根为0，即；③负数没有算术平方根，当式子有意义时，a一定是一个非负数。 知识点2 平方根 （1）定义:一般地，如果一个正数x的平方根等于a,即：那么数x就叫做a的平方根，记作，读作“正负根号a”, （2）表示方法：一个数a（a≧0）的平方根记作(a≧0)，读作根号a,“正负根号a”, （3）性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是它本身，负数没有平方根。 知识点3 开平方 （1）定义:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数； （2） （1） （2） （3） 区别：取值范围不同：中a为任意实数； 中a； 被开方数不同：中被开方数为； 中被开方数为a； 运算顺序不同：先平方再开方；先开方再平方。 联系：结果为非负数；中a≧0时，= 知识点3 立方根的定义 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 注意：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 注意：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点4 立方根的性质 注意：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 压轴题型讲练 类型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 例题：（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）64的平方根是 ，立方根是 ；6的算术平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 4 2 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，立方根的性质，熟练掌握平方根、立方根性质是关键． 根据平方根、算术平方根，立方根性质解答即可． 【详解】解：64的平方根是， 64的立方根是， 6的算术平方根是， ∵， ∴算术平方根，即4的算术平方根为． 故答案为：；4；；2． 【变式训练1】（24-25八年级上·山东青岛·阶段练习）的平方根是 ；的立方根是 ；的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了立方根、算术平方根和平方根等知识，利用立方根、算术平方根和平方根的定义求解，即可解题． 【详解】解：的平方根是；的立方根是；的算术平方根是． 故答案为：，，． 【变式训练2】（23-24七年级下·天津滨海新·期中）的立方根是 ，的平方根是 ．的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的概念的运用以及应用，根据平方根，算术平方根和立方根的定义解答即可． 【详解】解：的立方根是：， 的平方根是：， 的算术平方根是：， 故答案为：，，． 【变式训练3】（23-24七年级下·天津宁河·阶段练习）15的平方根是 ；算术平方根是 ；125的立方根是 ；的算术平方根是 ；的相反数是 ；绝对值是 ． 【答案】 2 / / 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】此题要考查了平方根、算术平方根、相反数、绝对值， 根据平方根、算术平方根、相反数、绝对值的定义求解即可． 【详解】15的平方根是；算术平方根是；125的立方根是； 的算术平方根是2；的相反数是；绝对值是． 故答案为：；；；2；；． 类型二、利用算术平方根的非负性解题 例题：（24-25九年级上·云南曲靖·阶段练习）已知，则的值是 ． 【答案】16 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查偶次幂与算术平方根的非负性，熟练掌握偶次幂与算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴； 故答案为16． 【变式训练1】（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知、为实数，且，则 【答案】2010 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了算术平方根的被开方数非负，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．由得到，则，即可求解的值． 【详解】解：由题意得， 则， ∴， ∴， 故答案为：2010． 【变式训练2】（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如果和互为相反数，那么的平方根是 ． 【答案】 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根、相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，算术平方根的非负性，先根据和互为相反数，得出，求出，，然后再求出的值，最后求出的平方根即可． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴， ∵9的平方根为， ∴的平方根是． 故答案为：． 【变式训练3】（24-25八年级上·北京·开学考试）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且a，b满足，则此等腰三角形周长为 ． 【答案】7或8 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】根据算术平方根和平方的非负性，求出a和b的值，再根据三角形三边之间的关系以及等腰三角形的定义，即可解答， 本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，三角形三边之间的关系，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， 当a为腰长时，该等腰三角形三边为3、3、2， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长； 当b为腰长时，该等腰三角形三边为3、2、2， ∵， ∴该等腰三角形存在， ∴此等腰三角形的周长； 综上：此等腰三角形的周长为7或8． 故答案为：7或8． 类型三、求算术平方根的整数部分和小数部分 例题：（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知的整数部分为a，则 ． 【答案】3 【知识点】无理数整数部分的有关计算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握夹逼法估算无理数是解题关键．先估算出，从而得到，再带代入求值即可． 【详解】解：， ，即， 的整数部分为， ， 故答案为：3． 【变式训练1】（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）若的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】/ 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了无理数大小的估算，熟练掌握无理数大小的估算方法是解答本题的关键，一个无理数是由整数部分和小数部分组成的，根据算术平方根的定义可估算，从而得到，，再代入计算即得答案． 【详解】解：， ， 的整数部分，小数部分， ． 故答案为：． 【变式训练2】（24-25八年级上·四川宜宾·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则的值是 ． 【答案】3 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，解答此题的关键是确定出无理数的整数及小数部分． 先估算出的取值范围，进而可求出a、b的值，代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是1，小数部分是， ∴，， ∴． 故答案为：3． 【变式训练3】（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、无理数整数部分的有关计算、无理数的大小估算 【分析】先利用夹逼法估算、的取值范围，即可求出、的值，再计算的值，最后求出平方根即可．本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 的整数部分是12，小数部分是， 即， ， ， ， ， 的整数部分是5，小数部分是， 即， ， 的平方根是， 的平方根是， 故答案为：． 类型四、与算术平方根有关的规律探索题 例题：（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】解：（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ； ， ， ∵， ． 【变式训练1】（23-24七年级下·安徽芜湖·期中）（1）填表并观察规律： a 0.0064 0.64 64 6400 ___________ ___________ ___________ ___________ （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则___________； ②已知，则___________． （3）从以上问题的解决过程中，你发现了什么规律，试简要说明． 【答案】（1）0.08，0.8，8，80；（2）①5800；②0.001225；（3）求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的 【分析】本题考查算术平方根中的规律探究： （1）根据算术平方根的定义，填表即可； （2）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，进行求解即可； （3）根据表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的，作答即可． 【详解】解：（1）填表如下： a 0.0064 0.64 64 6400 0.08 0.8 8 80 （2）①，则：； 故答案为：5800； ②已知，则； 故答案为：0.001225； （3）由表格可知：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大100倍或缩小为原来的，则它的算术平方根扩大10倍或缩小为原来的． 【变式训练2】（23-24七年级下·贵州黔东南·阶段练习）先填写表，通过观察后再回答问题∶ a … 1 … … x 1 y … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题∶ ①已知，则________； ②已知，若，用含m的式子表示b，则________； (3)试比较与a的大小． 【答案】(1)，； (2)①；②； (3)见解析 【分析】本题考查了求算术平方根及算术平方根的规律： （1）根据算术平方根定义直接求解即可得到答案； （2）①根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案；②根据表格得到算术平方根的规律被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍求解即可得到答案； （3）分，，，四类讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得， ，， 故答案为：，； （2）解：由表格及（1）得， 被开方数扩大倍，算术平方根扩大倍， ①∵， ∴， 故答案为：； ②∵，， ∴， 故答案为：； （3）解：当时， ， 当时， ， 当，时， ． 【变式训练3】（23-24八年级下·广东江门·期中）如图，细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题． ，；，； ，． (1)推算出______；______． (2)请用含（是正整数）的式子填空： ______  ______ (3)求出的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查的是勾股定理、数字的变化规律； （1）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （2）根据题意找出规律，根据规律解答即可； （3）根据题意列出算式，根据乘方法则，加法法则计算即可． 【详解】（1）解：依题意，，， 故答案为：，． （2）解：由题意得：，， 故答案为：，； （3） ． 类型五、利用立方根的性质求解 例题：（23-24七年级下·内蒙古赤峰·期中）若和互为相反数，则的值 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查立方根的性质，代数式求值，根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴ ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式训练1】（23-24七年级下·北京·期中）若和互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查立方根的性质，代数式求值，根据相反数及立方根的性质列出方程即可求解．解题的关键是熟知立方根的性质与相反数的定义． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴ ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式训练2】（23-24七年级下·重庆南川·期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、算术平方根、立方根的性质等知识点，掌握根据数轴判定代数式的正负是解题的关键；根据数轴可得：，从而得到，再根据算术平方根和立方根的性质求解即可． 【详解】由数轴可得： ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式训练3】（23-24七年级下·湖北武汉·期中）一个正数的两个平方根分别是和，且，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，据此列式，得出的值，再求出的值，根据立方根的性质得出的值，再代入，即可作答． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2，3． 类型六、利用平方根、立方根解方程 例题：（23-24七年级下·山西吕梁·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根的知识求解方程的解的知识，掌握平方根和立方根的求解方法是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义解方程即可； （2）利用平方根的意义解方程即可． 【详解】（1）原式为， 解： ． （2）原式为， 解： 即或 或． 【变式训练1】（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解下列方程（组） (1) (2) 【答案】(1)和 (2) 【分析】本题考查了考查实数的综合运算能力以及立方根和平方根的应用，熟练掌握立方根和平方根的运算是本题的关键． （1）开平方得出两个一元一次方程，继而可得出x的值． （2）化简后，两边开立方，即可得出一个一元一次方程，求出即可． 【详解】（1）， 化简为：， 开平方得：， 即和， 解得：和． （2）， 移项得：， 开立方得：， 解得：． 【变式训练2】（23-24七年级下·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，能把方程利用平方根和立方根转化成一元一次方程是解此题的关键． （1）根据平方根的性质求解即可； （2）根据立方根的性质求解即可． 【详解】（1） ∴或 解得或； （2） 解得． 【变式训练3】（23-24七年级下·黑龙江牡丹江·期中）求下列各式中x的值 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根求解方程，注意计算的准确性． （1）根据即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， 解得：． 类型七、平方根与立方根的综合 例题：（23-24七年级下·吉林四平·期中）已知的算术平方根是3，的立方根是4，求： (1)a、b的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，准确计算． （1）根据的算术平方根是，的立方根是，得出，，求出结果即可； （2）把，代入求出，然后求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是， ∴，， 解得：，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根是． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北黄石·期中）已知的平方根是，的立方根是2，． (1)求a、b、c的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根，算术平方根及其非负性，代数式求值，正确求出a、b、c的值是解题关键． （1）根据平方根、立方根，以及算术平方根的非负性求解即可； （2）根据（1）所得结果，求出，进而得出算术平方根即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是2，， ，，， ，，； （2）解：由（1）可知，，，， ， 的算术平方根是5． 【变式训练2】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根和相反数，代数式求值，掌握相关概念和运算法则是解题关键 （1）根据算术平方根、立方根、相反数的定义求解即可； （2）先将a、b、c的值代入代数式，再求出平方根即可． 【详解】（1）解：a的算术平方根为3，ab的立方根为，b和c是互为相反数， ，，， ，； （2）解：由（1）可知，，，； ， 的平方根是． 【变式训练3】（23-24七年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知表示9的算术平方根，的立方根是2，d是的小数部分． (1)求a、b、c、d的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算．熟练掌握平方根，立方根的定义，以及无理数的估算方法，是解题的关键． （1）根据平方根，立方根的定义，求出的值，无理数的估算求出c的值； （2）将的值代入代数式，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵表示9的算术平方根， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的整数部分为3， ∴； （2）解：由（1） ∴， ∴的平方根是． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．的平方根是 B．的算术平方根是 C．是81的一个平方根 D．的立方根是 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根的定义，算术平方根的定义，平方根的定义，理解平方根的概念是解题的关键．根据立方根、算术平方根的定义及平方根的定义即可解答． 【详解】解：A、∵，， ∴的平方根是，故选项A正确，但不符合题意； B、∵， ∴0.2的算术平方根不是，故选项B错误，符合题意； C、∵， ∴是的一个平方根，故选项C正确，但不符合题意； D、∵， ∴，故选项D正确，但不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，即可求得，的值，再代数求值． 【详解】解：， ，， 解得，， 故， 故选：C． 3．（24-25八年级上·全国·期中）设，，，，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查的是算术平方根及数字算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ∴， ． 故选：C． 4．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知实数、、在数轴上的对应点如图所示，化简（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、求一个数的算术平方根、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了数轴上点的特点、绝对值和算术平方根的运用等知识，根据数轴确定相关代数式的正负是解题的关键．先根据数轴确定、、的正负，然后根据算术平方根的性质和绝对值的性质化简，最后计算即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∴，， ∴． 故选：D． 二、填空题 5．（23-24七年级下·新疆阿克苏·期中）4的算术平方根为 ，的立方根为 ，的平方根为 ． 【答案】 2 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义与平方根的定义．根据算术平方根的定义，立方根的定义与平方根的定义进行计算即可． 【详解】， 4的算术平方根为：2； , 的立方根是； , 的平方根是． 故答案为：，，． 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）若是的算术平方根，，则的立方根为 ． 【答案】 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查的是立方根及算术平方根的定义，掌握立方根及算术平方根的定义是解题的关键．根据题意列出关于、的方程，求出、的值，即可求解． 【详解】∵是的算术平方根， ∴，， 解得：，， ∴，， ∴的立方根为， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·山东临沂·期末）对实数定义一种新的运算，规定，例如：，若，，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．根据题意联立二元一次方程组，解出m，n的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 得：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 8．（23-24八年级上·云南红河·期末）在等腰三角形中，顶点A，B，C所对的边分别用a，b，c表示，已知a，b满足，则的周长为 ． 【答案】10或11 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三边关系、等腰三角形的定义，算术平方根、绝对值的非负性，先根据算术平方根、绝对值的非负性得出a，b的值，再结合三边关系，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵a，b为等腰三角形的两边， ∴当腰是3时，则，此时的周长为； ∴当腰是4时，则，此时的周长为； 综上所述，的周长为10或11． 故答案为：10或11． 三、解答题 9．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程： （1）先把18移到方程右边，再把方程两边同时除以2，接着把方程两边同时开平方，再解方程即可； （2）先把方程两边同时除以27，再把方程两边同时开立方，最后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 10．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是与． (1)求x和m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】本题考查平方根定义与性质、相反数性质，理解平方根的定义是正确解答的关键． （1）根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中，，代入，利用平方根定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， ∴； （2）解： ∴的平方根为 11．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】求一个数的算术平方根、求算术平方根的整数部分和小数部分、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】（1）分别根据立方根，算术平方根的意义，无理数的估算等知识进行计算即可求解； （2）把a，b，c的值代入求值，再根据平方根的意义即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是3， ∴，解得， ∵的算术平方根是4， ∴， 又∵， ∴， ∵c是的整数部分，， ∴， ∴，，； （2）解：把，，代入得 ， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了立方根，算术平方根的意义，无理数的估算，平方根的意义等知识，熟知相关知识并能正确进行计算是解题关键． 12．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求：的平方根． 【答案】(1)2 (2)的平方根是 【知识点】化简绝对值、绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． （1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 13．（23-24七年级下·全国·期中）如图，实数，，是数轴上三点，，所对应的数． (1) ，_______，________用“”，“”或“”号填空； (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、化简绝对值、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根 【分析】（1）利用数轴上，，的位置进而分别得出各式的符号； （2）直接利用（1）中各式的符号进而化简即可． 此题主要考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，数轴与实数，化简绝对值，立方根、算术平方根，正确化简各数是解题关键． 【详解】（1）解： ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：；；； （2）解：原式 ． 14．（2024·浙江嘉兴·一模）观察下面的等式：，，，， (1)写出的结果； (2)按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数） (3)试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、整式与分式相加减 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索． （1）由上述等式得，； （2）观察上面的等式可得规律，（n为正整数）； （3）计算是否等于． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ∴； （2）解：观察上面的等式可得规律（n为正整数）； （3）证明： ， 因此归纳正确． 15．（23-24七年级下·湖北荆州·期中）先观察下列等式，再回答问题：第一个等式；第二个等式；第三个等式． (1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3)2023 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 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