专题01 平方根、立方根与实数相关计算题专训（6大题型）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题01 平方根、立方根与实数计算题重难点题型专训（6大题型） 【题型目录】 题型一 利用平方根、立方根解方程 题型二 平方根相关的计算 题型三 立方根相关的计算 题型四 实数的混合运算 题型五 新定义的实数计算 题型六 实数相关的规律探究题 【经典例题一 利用平方根、立方根解方程】 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）求的值：； 2．（22-23八年级上·湖南益阳·期中）解方程：． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）求式中的的值：． 4．（22-23八年级上·湖南益阳·阶段练习）求下列式子中的值： (1)； (2) 5．（23-24八年级上·湖南益阳·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 6．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 7．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）解下列方程和方程组： (1) (2) 8．（22-23八年级上·湖南张家界·阶段练习）解方程 (1) (2)． 9．（22-23七年级下·湖南张家界·期中）求下列各式中的值： (1)； (2) 10．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）求下列各式中的x值： （1） （2） 【经典例题二 平方根相关的计算】 11．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）计算∶ 12．（2024·湖南益阳·三模）计算： ． 13．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）已知的平方根是，的算术平方根是1，求的值． 14．（22-23七年级下·湖南永州·期中）若有理数满足，求的值． 15．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）已知的算术平方根是，，求，的值． 16．（23-24八年级上·湖南永州·期末）解方程： (1) (2) 17．（22-23八年级上·湖南永州·阶段练习）计算： (1) (2) 18．（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知x、y满足．求 (1)x、y的值． (2)的平方根． 19．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）已知． （1）求x与y的值； （2）求x+y的算术平方根． 20．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题． （1）已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值． 解：因为 所以 所以     解得 （2）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【经典例题三 立方根相关的计算】 21．（22-23八年级下·湖南永州·期末）计算： 22．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）解方程： (1)； (2)． 23．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程： (1) (2) 24．（23-24八年级上·湖南永州·期中）已知的平方根是， ，求的平方根． 25．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知64的立方根为，b的平方根等于它本身，关于x的方程满足． (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 26．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 27．（22-23七年级下·河北张家口·期末）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，y的值； (2)求的算术平方根． 28．（22-23八年级上·湖南湘潭·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的值． 29．（22-23八年级上·湖南永州·期末）（1）若实数m，n满足等式，求的立方根； （2）已知 ，求的平方根． 30．（22-23八年级上·湖南张家界·期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的立方根 【经典例题四 实数的混合运算】 31．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）计算：． 32．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）计算：． 33．（2024·湖南株洲·一模）计算： 34．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）计算：． 35．（22-23七年级下·湖南株洲·阶段练习）计算 (1)； (2)． 36．（2024·湖南永州·模拟预测）（1）计算：． （2）解方程：． 37．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）（1）计算：； （2）求下面式子中x的值：． 38．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 39．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 40．（22-23八年级上·湖南衡阳·期中）按要求作答： (1)设的小数部分为，的平方根等于它本身，求的值． (2)已知，，求代数式的值． 【经典例题五 新定义的实数计算】 41．（23-24七年级上·湖南常德·阶段练习）若规定： ，如，请计算： 42．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）若“*”表示一种新运算，规定，请计算下列各式的值． （1）． （2）． 43．（23-24七年级上·湖南常德·期末）若新规定这样一种运算法则：a※b=a2+2ab，例如3※(﹣2)=32+2×3×(﹣2)=﹣3． （1）试求(﹣2)※3的值； （2）若(﹣2)※x=﹣1+x，求x的值． 44．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对______； (2)若有理数对，求x的值． 45．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：， ． (1)按照这个规定，请你计算的值； (2)按照这个规定请你计算：当时，求的值． 46．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）对于有理数，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，求的最小值． 47．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．譬如：，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即）．根据对数的定义完成下列问题： (1)计算以下各对数的值： ； ； ． (2)由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出；；满足的等量关系式； (3)由（2）猜想一般性结论： （，且），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想． 48．（23-24七年级下·重庆丰都·期末）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个自然数m为“三峡数”．当三位自然数m为“三峡数”时，交换m的百位数字和个位数字后会得到一个三位自然数n，规定．例如：当时，因为，所以671是“三峡数”；此时，则． (1)判断253和142是否是“三峡数”？并说明理由； (2)求的值； (3)若三位自然数（即m的百位数字是a，十位数字是（），个位数字是b，，，a，b是整数，）为“三峡数”，且时，求满足条件的所有三位自然数m． 49．（22-23七年级下·福建龙岩·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数． 例如：如果我们对连续求根整数，直到结果为为止． 例如：对连续求根整数次，这时候结果为 (1)仿照以上方法计算： ___________ ； ___________ ； (2)若，写出满足题意的的整数值___________ ； (3)对100连续求根整数，___________ 次之后结果为1； (4)计算：． 50．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：． (1)填空：__________，__________． (2)计算：①；②； (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：，（为实数），求的值． (4)试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式． 【经典例题六 实数相关的规律探究题】 51．（23-24八年级下·福建漳州·单元测试）如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…，求的值（结果用含n的代数式表示）． 52．（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为： 所以： 计算：①                 ② 53．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）规律探究 计算： 如果一个个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的的运算律，可简化计算， 提高计算速度． 计算： （1） （2） 54．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，… (1)利用以上运算的规律写出 ；（为正整数） (2)计算； (3)计算的值． 55．（22-23八年级上·湖南株洲·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成： (1)______； (2)______； (3)计算：的值． 56．（2023八年级上·江苏·专题练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么　　，　　； (2)如果，其中a、b为有理数，求的平方根． 57．（23-24七年级下·全国·假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题： ， ， , ， … (1)计算：； (2)试比较与的大小． 58．（2023·湖南张家界·一模）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如，计算：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：________，_______； (2)计算：； (3)计算：． 59．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列各式： 第一个式子：； 第二个式子：； 第三个式子：； … (1)求第四个式子为：　 ； (2)求第n个式子为：　 （用n表示）； (3)求＋…＋的值． 60．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 求：， 解：设…① 将等式①两边同时乘2，得： …② 得： 即 请你根据以上材料，解答： (1)计算：； (2)已知数列：，，，，，…． ①它的第100个数是多少？ ②求这列数中前100个数的和． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根、立方根与实数计算题重难点题型专训（6大题型） 【题型目录】 题型一 利用平方根、立方根解方程 题型二 平方根相关的计算 题型三 立方根相关的计算 题型四 实数的混合运算 题型五 新定义的实数计算 题型六 实数相关的规律探究题 【经典例题一 利用平方根、立方根解方程】 1．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）求的值：； 【答案】或． 【分析】根据平方根定义即可解答． 【详解】解：由 得 或 【点睛】本题考查了平方根，解决本题的关键在于熟记平方根定义． 2．（22-23八年级上·湖南益阳·期中）解方程：． 【答案】． 【分析】方程整理后，利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：， 整理得， ∴． 【点睛】此题主要考查了平方根，正确掌握平方根的定义是解题关键． 3．（23-24七年级下·湖南常德·期末）求式中的的值：． 【答案】或 【分析】根据平方根的定义计算即可． 【详解】解：， 开方，得 或， 解得 或． 【点睛】本题主要考查了平方根的知识，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键． 4．（22-23八年级上·湖南益阳·阶段练习）求下列式子中的值： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了运用平方根和立方根解方程： （1）方程两边同除以3后再开平方即可得到方程的解； （2）方程两边同除以2后再开立方即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， 两边同除以3，得，， 开方得，， 即：或； （2）， 方程两边同除以2，得：， 开方得，， 解得，． 5．（23-24八年级上·湖南益阳·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）若()，则，据此即可求解； （2）若，则，据此即可求解． 【详解】（1）解：， 或， ，； （2）解： ， ， ． 【点睛】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，理解定义是解题的关键． 6．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）原式变形后利用平方根的定义求解； （2）利用平方根的定义求解． 【详解】（1）解： （2）解： 或 【点睛】本题考查平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． 7．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）解下列方程和方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用立方根的定义进行计算即可； （2）按照解二元一次方程组的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：， 两边同除以64得：， ， ， 解得：； （2）解：， 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， 故方程组的解为． 【点睛】本题考查立方根的应用和解二元一次方程组，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 8．（22-23八年级上·湖南张家界·阶段练习）解方程 (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项，整理，利用平方根的性质求解即可； （2）移项，利用立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ∴； （2）解：， 移项得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了利用立方根和平方根的定义求未知数的值，熟记平方根和立方根的定义是解题的关键． 9．（22-23七年级下·湖南张家界·期中）求下列各式中的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先移项，变形然后根据求一个数的平方根解方程； （2）先移项，然后根据求一个数的立方根解方程； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了根据平方根与立方根解方程，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 10．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）求下列各式中的x值： （1） （2） 【答案】（1）x=-15；（2）x=8或x=-4 【分析】（1）利用直接开立方法求得x的值； （3）利用直接开平方法求得x的值． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， 解得：x=-15； （2）， ∴， ∴， 解得：x=8或x=-4． 【点睛】本题考查了立方根和平方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． 【经典例题二 平方根相关的计算】 11．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）计算∶ 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的意义，先根据算术平方根、零指数幂、负整数指数幂的意义化简，再算加减． 【详解】解： ． 12．（2024·湖南益阳·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，求一个数的算术平方根，进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 13．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）已知的平方根是，的算术平方根是1，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根及算术平方根，熟练掌握平方根及算术平方根的求法是解题的关键；由题意易得，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是1， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为． 14．（22-23七年级下·湖南永州·期中）若有理数满足，求的值． 【答案】 【分析】先代数式的非负性求得的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解答本题的关键． 15．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）已知的算术平方根是，，求，的值． 【答案】或 【分析】首先利用平方根的概念解出x，然后再根据算术平方根的定义，得出，进而得出，最后把的值代入并计算，即可得出结果． 【详解】解：， ， ， ∴或， 又∵的算术平方根是4， ∴， ∴整理，得， ∴当时，， 当时，， ∴，的值为或． 【点睛】本题考查了用平方根的概念解方程、算术平方根定义，解本题的关键在正确运用平方根求方程的解．算术平方根：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数就为的算术平方根；平方根：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根． 16．（23-24八年级上·湖南永州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)原方程无解 (2)或 【分析】（1）先确定分式方程的最简公分母，将分式方程化为整式方程，解整式方程后再检验即可； （2）根据平方根的定义，进行开平方运算，得到方程的解． 【详解】（1）解： 化为整式方程得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 经检验：使得分母，是原方程的增根． ∴原方程无解． （2）解： 开平方得：或， 解得或． 【点睛】本题考查的是解分式方程和利用平方根解方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，并能应用平方根的知识是解题的关键，平方根的定义是：如果一个数x满足，则x是a的平方根，． 17．（22-23八年级上·湖南永州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和绝对值，然后计算加减； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） 【点睛】此题考查了算术平方根，零指数幂，负整数指数幂和绝对值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 18．（22-23九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知x、y满足．求 (1)x、y的值． (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出的值，然后代入式子求出的值； （2）求出的值，从而得到平方根． 【详解】（1）解：， ， 解得， 故； （2）， 的平方根为． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出和的值，本题难度一般． 19．（23-24八年级上·湖南张家界·期末）已知． （1）求x与y的值； （2）求x+y的算术平方根． 【答案】（1），；（2）2 【分析】（1）根据绝对值和平方根的非负性求出x与y的值； （2）先计算的值，即可得出的算术平方根． 【详解】（1）由题可得：， 解得：， ∴，； （2）， ∵4的算术平方根为2， ∴的算术平方根为2． 【点睛】本题考查绝对值与平方根的性质，以及算术平方根，掌握绝对值和平方根的非负性是解题的关键． 20．（23-24七年级下·湖南张家界·阶段练习）先阅读第（1）题的解法，再解答第（2）题． （1）已知a，b是有理数，并且满足等式，求a，b的值． 解：因为 所以 所以     解得 （2）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】（1）；（2）－1或9 【分析】（1）代入消元法求解方程组即可； （2）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程即可． 【详解】解：（1） 由②得，将代入①式得解得 ∴ （2）∵， ∴， 所以，将代入得，解得 ∴或， 所以或 【点睛】此题考查了二元一次方程组和平方根的求解，理解题意列出方程组是解题的关键． 【经典例题三 立方根相关的计算】 21．（22-23八年级下·湖南永州·期末）计算： 【答案】4 【分析】本题考查了实数的运算．由绝对值、零指数幂、负整数指数幂、立方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 22．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去分母，再移项、合并同类项，求出方程的解，最后对所求的解进行检验即可； （2）将等式整理成，再利用立方根求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 经检验，是方程的解， 原方程的解为； （2）解： ． 【点睛】本题考查了分式方程、利用立方根求解方程，解题的关键是需要对分式方程的根进行检验． 23．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查已知一个数，求这个数的立方根、加减消元法； （1）根据已知一个数，求这个数的立方根解答即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ∴， 解得： （2）解： 得： 得： 把代入①得： ∴二元一次方程组的解为 24．（23-24八年级上·湖南永州·期中）已知的平方根是， ，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根、算术平方根及平方根，根据平方根与立方根可进行求解． 【详解】解：由的平方根是可得：， 解得：， 由可得， 解得：， ∴， ∴的算术平方根为， 故答案为：． 25．（23-24七年级下·湖南长沙·期中）已知64的立方根为，b的平方根等于它本身，关于x的方程满足． (1)求a，b，x的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，，或 (2)或 【分析】此题主要考查了平方根，算术平方根的含义，平方根含义解方程； （1）直接利用平方根即立方根的定义分别化简得出答案； （2）把（1）中的结果代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵64的立方根为，b的平方根等于它本身，关于x的方程满足， ，，， ∴，，或． （2）解：由（1）得： 当时，， 当时，． 26．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）已知的平方根是，的立方根是3． (1)求，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题主要考查平方根、立方根、算术平方根，解题的关键是掌握平方根、立方根和算术平方根的定义是解此题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义得出，，解之即可得到答案； （2）将的值代入求得其结果，再由算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的平方根是，的立方根是3， ，， 解得：，； （2）解：由（1）得：，， ， 的算术平方根为． 27．（22-23七年级下·河北张家口·期末）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，y的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2)5 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后怎根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得， 解得， ∴，， ∴． ∵负数y的立方根与它本身相同， ∴； （2）解：当，时，， ∴的算术平方根为5． 【点睛】本题考查平方根和立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． 28．（22-23八年级上·湖南湘潭·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)13 【分析】（1）直接根据题意列等式求解即可； （2）直接将，代入计算即可． 【详解】（1）∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， 解得，； （2）∵，， ∴． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 29．（22-23八年级上·湖南永州·期末）（1）若实数m，n满足等式，求的立方根； （2）已知 ，求的平方根． 【答案】（1）3；（2） 【分析】 （1）根据绝对值的和算术平方根的非负性，可得，再代入，根据立方根的性质，即可求解； （2）根据算术平方根的非负性，可得，且，从而得到，，再根据平方根的性质，即可求解． 【详解】 （1）解：∵， ∴， 解得∶， ∴， ∴的立方根是3． （2）解：∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 30．（22-23八年级上·湖南张家界·期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值； (2)求的立方根 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根互为相反数，列一元一次方程，即可求解； （2）将（1）中结论带入，求出的值，再求立方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根互为相反数， ∴， 解得：， ∴； （2）解：， ， ∴的立方根为3． 【点睛】本题主要考查平方根和立方根，根据“正数的两个不同的平方根互为相反数”求出a的值是解题的关键． 【经典例题四 实数的混合运算】 31．（23-24八年级上·湖南郴州·期中）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，先根据零指数幂、立方根、负整数指数幂、绝对值的意义化简，再算加减． 【详解】解：原式． 32．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义和算术平方根的定义分别运算，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 33．（2024·湖南株洲·一模）计算： 【答案】1 【分析】本题考查了实数的运算，原式利用绝对值的代数意义、特殊角的三角函数值和负整数指数幂法则计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 34．（23-24七年级下·安徽亳州·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式先计算乘方，算术平方根和立方根，再计算除法，最后计算加法即可． 【详解】解： ． 35．（22-23七年级下·湖南株洲·阶段练习）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先化简绝对值，然后合并同类二次根式即可； （2）根据平方根的意义可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 根据平方根的意义，可得， 即或， ∴，． 【点睛】本题主要考查了化简绝对值、实数运算、平方根的意义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 36．（2024·湖南永州·模拟预测）（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算和一元一次方程的解法，关键是熟练运用相关的运算法则运算． （1）先计算平方根、负整数指数幂、零指数幂、立方根，再进行有理数的加减混合运算即可； （2）分别去分母、移项、系数化1，求解即可． 【详解】（1）原式 ． （2）去分母，得 移项，得 系数化1得 37．（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）（1）计算：； （2）求下面式子中x的值：． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，利用平方根解方程： （1）先化简各式，然后再进行计算即可解答； （2）利用立方根的意义进行计算，即可解答． 【详解】解：（1） （2） ∴， ∴或， 解得：或． 38．（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握数的开方运算和乘方运算，绝对值的定义． （1）先算开方和乘方，再算加减运算； （2）先算开方，再算加减运算； （3）先算开方和乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式． 39．（23-24八年级上·湖南衡阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的运算和实数的运算， （1）直接利用完全平方根式将原式展开即可； （2）先利用完全平方根式将原式展开，再合并同类项即可； （3）先利用绝对值，立方根，有理数的乘方将原式化简，再进行加减运算即可； （4）先利用绝对值，算术平方根将原式化简，再进行加减运算即可； 掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ； （4） ． 40．（22-23八年级上·湖南衡阳·期中）按要求作答： (1)设的小数部分为，的平方根等于它本身，求的值． (2)已知，，求代数式的值． 【答案】(1) (2)6或30 【分析】（1）先估算出，进而得到，再由只有0的平方根等于它本身得到，据此代值计算即可； （2）先由得到，再由推出，再讨论a的值进行代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的小数部分为， ∴， ∵的平方根等于它本身， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 当时，； ∴代数式的值为6或30． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，代数式求值，平方根和立方根，灵活运用所学知识是解题的关键． 【经典例题五 新定义的实数计算】 41．（23-24七年级上·湖南常德·阶段练习）若规定： ，如，请计算： 【答案】 【分析】根据题目所给的定义新运算进行求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，关键是根据题目所给的定义新运算进行列式计算即可． 42．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）若“*”表示一种新运算，规定，请计算下列各式的值． （1）． （2）． 【答案】（1）37；（2）９ 【分析】（1）根据新运算得到，先进行乘法运算，再进行加减运算； （2）根据新运算先计算，得到3，再计算 【详解】解：由题意可知： （1） （2） =9 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新运算正确列出式子． 43．（23-24七年级上·湖南常德·期末）若新规定这样一种运算法则：a※b=a2+2ab，例如3※(﹣2)=32+2×3×(﹣2)=﹣3． （1）试求(﹣2)※3的值； （2）若(﹣2)※x=﹣1+x，求x的值． 【答案】（1）﹣8；（2）x=1． 【分析】（1）根据规定的运算法则代数计算即可. （2）根据规定的运算法则代入数值与未知数,转化为方程解答即可. 【详解】（1）(﹣2)※3=(﹣2)2+2×(﹣2)×3 =4﹣12 =﹣8； （2）∵(﹣2)※x=﹣1+x，∴(﹣2)2+2×(﹣2)×x=﹣1+x，即4﹣4x=﹣1+x， 解得：x=1． 【点睛】本题以定义新运算的形式考查了有理数的计算,与解一元一次方程,理解题意,列出式子是解答关键. 44．（22-23七年级下·湖南衡阳·期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． 根据上述规定解决下列问题： (1)有理数对______； (2)若有理数对，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据所给的定义进行列式计算即可； （2）根据所给的定义列出对应的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运用，正确理解题意是解题的关键． 45．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：， ． (1)按照这个规定，请你计算的值； (2)按照这个规定请你计算：当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据提供的方法进行计算即可； （2）根据提供的方法得到，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 当时，原式． 【点睛】本题考查整式的加减，化简求值，理解“新定义”的运算方法是正确解答的前提，掌握去括号、合并同类项法则是正确计算的关键． 46．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）对于有理数，若，则称和关于的“美好关联数”为，例如，则，则2和3关于1的“美好关联数”为3． (1)和5关于2的“美好关联数”为______； (2)若和2关于3的“美好关联数”为4，求的值； (3)若和关于1的“美好关联数”为1，求的最小值． 【答案】(1)8 (2)6或0 (3)1 【分析】（1）根据“美好关联数”的定义求解即可； （2）根据“美好关联数”的定义求解即可； （3）根据“美好关联数”的定义得到，可以看成到1的距离与数到1的距离和为1，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由题意得： ∴， 解得：或； （3）解：由题意得： ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， 当时，有，∴， 当时，有，∴，∴， 当时，有，∴，∴， 当时，有，∴， 综上所述，有最小值1； 【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，解绝对值方程，数字类的规律探索，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． 47．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为，即．譬如：，则4叫做以3为底81的对数，记为 （即）．根据对数的定义完成下列问题： (1)计算以下各对数的值： ； ； ． (2)由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出；；满足的等量关系式； (3)由（2）猜想一般性结论： （，且），并根据幂的运算法则：以及对数的含义证明你的猜想． 【答案】(1)，， (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是熟知指数与对数的相互联系． （1）根据指数与对数的相互关联的定义即可得出答案； （2）根据计算结果可得到满足的等量关系式； （3）根据同底数幂相乘的法则再结合对数的定义即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴根据对数的定义可知：． 故答案为：2；4；6． （2）解：∵，且， ∴． （3）解：由（2）猜想一般性的结论是：． 设，则根据对数的定义可知：， ∴①， ∵， ∴根据对数的定义：②， 由①②可知：． 48．（23-24七年级下·重庆丰都·期末）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位自然数m，若m的十位数字等于百位数字与个位数字之和，则称这个自然数m为“三峡数”．当三位自然数m为“三峡数”时，交换m的百位数字和个位数字后会得到一个三位自然数n，规定．例如：当时，因为，所以671是“三峡数”；此时，则． (1)判断253和142是否是“三峡数”？并说明理由； (2)求的值； (3)若三位自然数（即m的百位数字是a，十位数字是（），个位数字是b，，，a，b是整数，）为“三峡数”，且时，求满足条件的所有三位自然数m． 【答案】(1)253是“三峡数”，142不是“三峡数”；理由见解析 (2)7； (3)满足条件的所有三位自然数m=561或682． 【分析】（1）根据新定义进行解答便可； （2）根据公式F（m）=计算便可； （3）根据F（m）=4列出a、b的方程，再根据题目字母的取值范围求得方程的整数解便可得答案． 【详解】（1）解：253是“三峡数”，142不是“三峡数”．理由如下： ∵2+3=5，1+2≠4， ∴253是“三峡数”，142不是“三峡数”； （2）解：F（891）==7； （3）解：∵m=100a+10（a+b）+b， ∴n=100b+10（a+b）+a， ∴F（m）==a−b， ∵1≤a≤9，1≤b≤9，a，b是整数，1≤a+b≤9， ∴a=5，b=1或a=6，b=2， ∴m=561或682． 【点睛】本题主要考查了新定义，不定方程的应用，关键是读懂新定义，正确求不定方程的解． 49．（22-23七年级下·福建龙岩·期中）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数． 例如：如果我们对连续求根整数，直到结果为为止． 例如：对连续求根整数次，这时候结果为 (1)仿照以上方法计算： ___________ ； ___________ ； (2)若，写出满足题意的的整数值___________ ； (3)对100连续求根整数，___________ 次之后结果为1； (4)计算：． 【答案】(1) (2) (3)3 (4)625 【分析】（1）先估算和的大小，再由并新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的的整数值； （3）根据定义对进行连续求根整数，可得次之后结果为； （4）根据根整数的定义分别计算相加，即可得出答案． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：． （2）解：，且为整数， 可以取， 故答案为：． （3）解：第一次求根整数：， 第二次求根整数：， 第三次求根整数： 故答案为：． （4）解： 【点睛】本题考查了取整函数、估算无理数的大小、阅读能力和猜想能力，准确的估算无理数的大小是解题关键． 50．（23-24八年级上·湖南衡阳·阶段练习）阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为（为实数），叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：． (1)填空：__________，__________． (2)计算：①；②； (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：，（为实数），求的值． (4)试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式． 【答案】(1)， (2)①10；② (3)， (4) 【分析】（1）根据，则，，然后计算． （2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现化简为计算． （3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得x，y的值． （4）分子分母同乘以后，把分母化为不含i的数后计算． 【详解】（1）， ，． 故答案为：，1； （2）①； ②； （3）， ， ； （4）． 【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【经典例题六 实数相关的规律探究题】 51．（23-24八年级下·福建漳州·单元测试）如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…，求的值（结果用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】先根据题意得到，，进而推出，则，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴ 又； ∴． 【点睛】本题主要考查了与实数运算相关的规律，正确根据题意得到是解题的关键． 52．（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为： 所以： 计算：①                 ② 【答案】①② 【分析】①根据给出的例子列出式子进行计算即可； ②由，…，找到规律进行计算即可. 【详解】① =1- = ②∵，…， ∴ =++…+ = = = = 【点睛】此题主要考查有理数的计算，解题的关键是根据题意找到规律进行求解. 53．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）规律探究 计算： 如果一个个顺次相加显然太繁杂，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的的运算律，可简化计算， 提高计算速度． 计算： （1） （2） 【答案】（1）2550；（2） 【分析】（1）利用所给规律计算求解即可； （2）先去括号，再分组利用所给规律计算． 【详解】解：（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查的知识点是去括号与添括号、有理数的加法、合并同类项，灵活运用加法的运算律是解此题的关键． 54．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）符号“f”表示一种运算，它对一组数的运算如下： ，，，… (1)利用以上运算的规律写出 ；（为正整数） (2)计算； (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了定义新运算，解题的关键是观察数字规律和熟练掌握实数的运算法则． （）根据题意中的运算，观察规律即可写出； （）由（）中求出的表达式，即可求出的值； （）由（）中求出的表达式，即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，，，，…， ∴， 故答案为：； （2）∵，，，，， ∴； （3）． 55．（22-23八年级上·湖南株洲·期中）请你观察： ；；；… ； ； 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成： (1)______； (2)______； (3)计算：的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据题意，对式子进行裂项，求解即可； （2）根据题意，对式子进行裂项，求解即可； （3）根据题意，对式子中的每一项进行裂项，然后求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】此题考查了与实数有关的运算，解题的关键是理解题意，正确的对每一项进行裂项，然后求解． 56．（2023八年级上·江苏·专题练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a、b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： (1)如果，其中a、b为有理数，那么　　，　　； (2)如果，其中a、b为有理数，求的平方根． 【答案】(1)2，6 (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，平方根，本题是阅读型题目，正确理解题干中的信息并熟练运用是解题的关键． （1）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程即可得出结论； （2）利用材料中的规定列出a，b的方程，解方程求得a，b的值，再利用平方根的意义解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：2；6； （2）∵， ∴， ∴， ∴． ∵16的平方根为， ∴的平方根为． 57．（23-24七年级下·全国·假期作业）观察下列等式，利用你发现的规律解答下列问题： ， ， , ， … (1)计算：； (2)试比较与的大小． 【答案】(1)2022 (2) 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， ． 又, ， ， ． 58．（2023·湖南张家界·一模）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如，计算：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)填空：________，_______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)−i，1； (2)10-5i； (3)i−1 【分析】（1）把化为，把化为，再结合进行计算； （2）根据复数的乘法法则进行计算即可； （3）根据，，可知，…，且，，然后将原式化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：−i，1； （2）解： ； （3）∵，，， ∴，，，……， ∴，……，，， ∴ ＝0＋……＋0＋i－1 ＝i−1． 【点睛】此题考查了新定义，实数的运算，关键是能根据新定义和实数的运算方法进行准确计算． 59．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）观察下列各式： 第一个式子：； 第二个式子：； 第三个式子：； … (1)求第四个式子为：　 ； (2)求第n个式子为：　 （用n表示）； (3)求＋…＋的值． 【答案】(1) (2)（n为正整数） (3) 【分析】本题考查二次根式的性质与化简及数字变化的规律，解题的关键是： （1）观察题中所给式子各部分的变化规律即可解决问题． （2）利用（1）中的发现即可解决问题． （3）根据（2）中的结论即可解决问题． 【详解】（1）解：观察题中所给式子可知， 第四个式子为：． 故答案为：． （2）由（1）中的发现可知， 第个式子为：． 故答案为：为正整数）． （3）原式 ． 60．（22-23七年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读材料： 求：， 解：设…① 将等式①两边同时乘2，得： …② 得： 即 请你根据以上材料，解答： (1)计算：； (2)已知数列：，，，，，…． ①它的第100个数是多少？ ②求这列数中前100个数的和． 【答案】(1) (2)①它的第100个数是；②这列数中前100个数的和为 【分析】（1）令和为S，用S乘3减S即可得解； （2）①根据数列中的数的规律： ，进行计算即可；②令和为S，用S乘3加S即可得解． 【详解】（1）解：设…①， 将等式①两边同时乘3，得： …② 得： ， 即； （2）解：①由，，，，，…可知： 第个数为：， ∴第100个数为：； ②设…①， 将等式①两边同时乘3，得： …② 得： ， 即． 【点睛】本题考查数字类规律探究．通过题目给出的数据和运算方法，抽象概括出数字规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$