第03讲 分式（讲义，2考点+2命题点8种题型（含4种解题技巧）)-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第一章 数与式 第03讲 分式 （思维导图+2考点+2命题点8种题型（含4种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式及其性质 考点二 分式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式及其性质 ►题型01 分式有、无意义的条件 ►题型02 分式值为0的条件 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的运算 ►题型02 判断分式运算的错误步骤 ►题型03 分式的化简求值 ►题型04 分式运算的应用 ►题型05 分式的规律探究 ►题型06 与分式运算有关的新定义问题 01考情透视·目标 中考考点 考查频率 新课标要求 分式的相关概念 ★ 了解分式和最简分式的概念. 分式的基本性质 ★★ 能利用分式的基本性质进行约分与通分. 分式的化简及求值 ★★★ 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 【考情分析】本考点主要考查分式的化简和求值，考查形式多样，其中分式的考查以解答题为主，难度一般. 解分式化简、求值问题时，一要注意整体思想的应用，二要注意解题技巧(分母为多项式时，先分解因式，进行约分，再计算)，三要注意代入的值要使分式有意义. 02知识导图·思 03考点突破·考 考点一 分式及其性质 1.分式及其性质 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 2.分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 3.分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 4.分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 5.分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 2．（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A． B． C．5 D．a 【答案】D 【分析】分子分解因式，再约分得到结果． 【详解】解： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 3．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得且， 故答案为：且． 5．（2023·四川南充·中考真题）若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件．根据分式的值为0的条件，可得且，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为： 考点二 分式的运算 1.分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 2.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2024·四川雅安·中考真题）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查零指数幂，掌握“任何不为零的零次幂等于1”是正确解答的关键． 根据零指数幂的运算性质进行计算即可． 【详解】解：原式． 故选：C． 2．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． 【答案】3 【分析】根据，通过平方变形可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式． 4．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 【答案】3 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先利用完全平方公式和整式的加法，乘法对分母分子化简，再对化简得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 命题点一 分式及其性质 ►题型01 分式有、无意义的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 1．（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，列式解答即可． 【详解】解：由题意可得且， 解得：且， 故选：C． 2．（2024·安徽·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件，分母不能等于，列不等式求解即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不能等于， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义的条件． 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得，，且， 解得，， 故答案为：． 4．（21-22八年级下·广东佛山·阶段练习）当时，分式无意义；当时分式的值为，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据分式无意义即分母为，分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为；（2）分母不为进行解答即可． 【详解】解：分式无意义时，， 分式 为时，， 当，时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式无意义和分式为的条件，掌握分式无意义即分母为，分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为；（2）分母不为是解题的关键． ►题型02 分式值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 1．（2023·四川凉山·中考真题）分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】A 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 2．（2021·四川雅安·中考真题）若分式的值等于0，则x的值为（    ） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【答案】A 【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意，−1＝0，x−1≠0， ∴x＝−1， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 3．（2021·江苏扬州·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别找到各式为0时的x值，即可判断． 【详解】解：A、当x=-1时，x+1=0，故不合题意； B、当x=±1时，x2-1=0，故不合题意； C、分子是1，而1≠0，则≠0，故符合题意； D、当x=-1时，，故不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 4．（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ． 【答案】1 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零进而得出答案． 【详解】∵分式的值为0， ∴x−1＝0，2x≠0 解得：x＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，正确把握分式的相关性质是解题关键． 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的运算 相关公式：1）2) 3） 4）5）（n为正整数，b≠0） 混合运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的除法运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值可以解答本题； （2）将除法转换为乘法，再根据分式的乘法法则化简即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ． 3．（2024·四川泸州·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将括号里的通分，再将除法转化为乘法，然后根据完全平方公式和平方差公式整理，最后约分即可得出答案． 【详解】解： 4．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可； （2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴ ； 5．（2023·江西·中考真题）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：    解：原式 …… 解：原式 ……    (1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)②，③ (2)见解析 【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可； 乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； （2）解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． ►题型02 判断分式运算的错误步骤 常见错误类型： 1）错在颠倒运算顺序，例如：，错误原因：运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的. 2）错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母. 3）错在符号变化，例如： ，错误原因：去括号时没有注意前面的符号. 1．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． (1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 【答案】(1)③ (2)见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底； （2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底， 应为：； （2）解： 当时，原式 2．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 【答案】从第②步开始出现错误，正确过程见解析 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先通分，然后分母不变，分子相减，最后将结果化为最简分式即可．掌握相应的计算法则，是解题的关键． 【详解】解：从第②步开始出现错误． 正确的解题过程为： 原式． 3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …… (1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： 故第一步错误． 故答案为：一． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键． 4．（2023·山东临沂·中考真题）（1）解不等式，并在数轴上表示解集． （2）下面是某同学计算的解题过程： 解：                       ①                          ②                        ③                               ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 【答案】（1）（2）从第①步开始出错，过程见解析 【分析】（1）根据解不等式的步骤，解不等式即可； （2）根据分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：（1）， 去分母，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （2）从第①步开始出错，正确的解题过程如下： ． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，分式的加减运算．熟练掌握解不等式的步骤，分式的运算法则，是解题的关键． ►题型03 分式的化简求值 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法. 3）若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 1．（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用因式分解和除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 2．（2024·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时，原式． 3．（2024·四川广安·中考真题）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，时，原式，时，原式. 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 【详解】解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式. 4．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：依题意，，且为整数，又，则， ； 当，时，原式． 5．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出的值，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴的平方根为， ∵， ∴， 又∵为的平方根， ∴， ∴原式． 6．（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解． 【详解】解： ； ∵， 即， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解． ►题型04 分式运算的应用 1．（2024濠江区一模）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：． 根据材料和已学知识解决下列问题 (1)因式分解：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)，5 【分析】（1）根据材料给出的立方差公式，分解因式即可； （2）根据材料给出的立方差公式，先对分式进行因式分解，化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】（1））原式 （2）原式 = ． 当时，原式． 【点睛】本题考查了公式法分解因式、分式化简求值，掌握立方差公式的应用，读懂材料是解题关键． 2．（2022·湖北鄂州·一模）若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)S的整数部分2019 (3)代数式取得最小值时，x的取值范围是 【分析】（1）根据范例中提供的计算方法进行计算即可； （2））利用题目的仅能式将其进行化简，再确定整数部分； （3）将原式化简为，再根据||取最小值时，确定x的取值范围． 【详解】（1） （2） ， ∴S的整数部分2019； （3）由已知得：，且， ， ∵， ∴原式， 当时， ； 当时， ； ∴当，即时，取得最小值为2， ∴代数式取得最小值时，x的取值范围是：． 【点睛】本题考查无理数的大小比较，分式的加减法以及找规律等知识，理解题意和推广应用是本题的亮点． 3．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题． (2)比较大小：__________．（填“”“”或“”） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据作差法求的值即可得出答案； （2）根据作差法求的值即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式运算的应用，解题关键是理解材料，通过作差法求解，掌握分式运算的方法． 4．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【答案】(1)种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为 (2)“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高；倍 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、不等式的性质、分式除法的应用，正确建立方程和熟练掌握分式除法的应用是解题关键． （1）设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为，根据题意建立一元一次方程，解方程即可得； （2）先分别求出两块试验田的面积，再求出单位面积产量，然后根据不等式的性质和分式的除法求解即可得． 【详解】（1）解：设种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，则种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为， 由题意得：， 解得， 则， 答：种植“丰收1号”小麦试验田的产粮量为，种植“丰收2号”小麦试验田的产粮量为． （2）解：由题意得：“丰收1号”小麦试验田的面积为，“丰收2号”小麦试验田的面积为， 则“丰收1号”小麦试验田的单位面积产量为，“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， 所以“丰收2号”小麦试验田的单位面积产量高． ， 所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． ►题型05 分式的规律探究 1．（2023·湖北恩施·一模）对于正数，规定，例如：，，，…利用以上的规律计算： ． 【答案】 【分析】根据，得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：； 【点睛】本题考查分式化简求值及规律，解题的关键是得到． 2．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为． （2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为，用分式的加法计算式子右边即可证明． 【详解】（1）解：∵第一个式子， 第二个式子， 第三个式子， …… ∴第（n+1）个式子； （2）解：∵右边==左边， ∴． 【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律． 3．（2021·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：　　　　第2个等式： 第3个等式：　　　　第4个等式： … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________________________； （2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】（1）根据题意规律，结合有理数混合运算的性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，根据数字规律、整式混合运算的性质分析，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得： 故答案为：； （2）∵第1个等式：　　　　 第2个等式： 第3个等式：　　　　 第4个等式： … ∴第n个等式： ∵， ∴等式成立； 故答案为：，证明见解析． 【点睛】本题考查了数字规律、有理数混合运算、整式混合运算,分式的运算等知识；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解． 4．（2020·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式： 第个等式： 第3个等式： 第个等式： 第5个等式： ······ 按照以上规律．解决下列问题： 写出第个等式____________； 写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析． 【分析】（1）根据前五个个式子的规律写出第六个式子即可； （2）观察各个式子之间的规律，然后作出总结，再根据等式两边相等作出证明即可． 【详解】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：； （2）， 证明：∵左边==右边， ∴等式成立． 【点睛】本题是规律探究题，解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来． 5．（2023·山东青岛·模拟预测）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题． 设n是正整数， 材料1： ．．． 问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果） 材料2： = 问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）． （3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________． 【答案】（1）；（2）；（3）2． 【分析】本题考查了代数式的运算过程中的规律问题， （1）根据表达式中分母上两个乘数和前面的下标数之间的关系，可得出的表达式． （2）根据所给示例，找出规律（括号中的数，消完后，就只剩下首和尾），进而得出结果． （3）对（2）中求出的代数式，进行变形处理，便可得出这个常数． 【详解】解：（1）由题知，． 即． 故答案为：； （2）由题知， ． 故答案为：； （3）由（2）知：， 将变形得：． 则当无限大时，无限接近于0． 所以无限接近于2，即这个常数是2． ►题型06 与分式运算有关的新定义问题 1．（2021·黑龙江绥化·中考真题）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出算式，求解即可 【详解】 ． 故选B． 【点睛】本题考查了新定义运算、负指数幂的运算，绝对值的计算，解决本题的关键是牢记公式与定义，本题虽属于基础题，但其计算中容易出现符号错误，因此应加强符号运算意识，提高运算能力与技巧等． 2．（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了定义下的实数运算，二次根式的意义，分式的意义，根据新定义，由，得到且即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 3．（2022·甘肃平凉·模拟预测）已知为实数，规定运算：，，，……，．按以上算法计算：当时，的值等于 ． 【答案】 【分析】化简前几个数，得到an以三个数为一组，不断循环，因为2022÷3=674，所以a2021=a3，再代数求值即可． 【详解】解：a1=a1， ， ， ， ∴an以三个数为一组，不断循环， ∵2022÷3=674， ∴a2021=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法，探索规律，通过计算找到规律是解题的关键． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于实数a、b，定义运算：①② 例如 ①依此定义方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 先根据题意列出方程，再去分母，转化为解一元二次方程，最后需要注意分母不为0． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得：或， 当时，，不符合题意， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 5．（2024·湖南永州·一模）对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】1012 【分析】根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．本题考查了分式的化简求值，理解定义的新运算是解题的关键． 【详解】解：， ，（不为0） ， ∴ 故答案为：1012． 6．（2024青岛市模拟）定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）； ①；②③④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：__________+___________． (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2)， (3)， 【分析】本题考查了分式的混合运算及和新定义“和谐分式”， （1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断； （2）把分式先变形为，再写成整式与分式分子为常数的形式； （3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值； 解决本题的关键是理解定义的内容并能运用． 【详解】（1）①，是和谐分式；②是整式，③，是和谐分式， ④，是和谐分式． 故答案为：①③④； （2） ， 故答案为：，； （3） ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数， ∴当时，分式运算的结果是整数． $$第一章 数与式 第03讲 分式 （思维导图+2考点+2命题点8种题型（含4种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式及其性质 考点二 分式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式及其性质 ►题型01 分式有、无意义的条件 ►题型02 分式值为0的条件 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的运算 ►题型02 判断分式运算的错误步骤 ►题型03 分式的化简求值 ►题型04 分式运算的应用 ►题型05 分式的规律探究 ►题型06 与分式运算有关的新定义问题 01考情透视·目标 中考考点 考查频率 新课标要求 分式的相关概念 ★ 了解分式和最简分式的概念. 分式的基本性质 ★★ 能利用分式的基本性质进行约分与通分. 分式的化简及求值 ★★★ 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 【考情分析】本考点主要考查分式的化简和求值，考查形式多样，其中分式的考查以解答题为主，难度一般. 解分式化简、求值问题时，一要注意整体思想的应用，二要注意解题技巧(分母为多项式时，先分解因式，进行约分，再计算)，三要注意代入的值要使分式有意义. 02知识导图·思 03考点突破·考 考点一 分式及其性质 1.分式及其性质 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 2.分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 3.分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 4.分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 5.分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： 1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A． B． C．5 D．a 3．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 4．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 5．（2023·四川南充·中考真题）若分式的值为0，则 ． 考点二 分式的运算 1.分式的加减法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减；符号表示为： 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为： 2.分式的乘除法 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 3）分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，b≠0） 3.分式的混合运算 运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2024·四川雅安·中考真题）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D．4 2．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 ． 4．（2024·北京·中考真题）已知，求代数式的值. 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 命题点一 分式及其性质 ►题型01 分式有、无意义的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 1．（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 2．（2024·安徽·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 4．（21-22八年级下·广东佛山·阶段练习）当时，分式无意义；当时分式的值为，则的值是 ． ►题型02 分式值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 1．（2023·四川凉山·中考真题）分式的值为0，则的值是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 2．（2021·四川雅安·中考真题）若分式的值等于0，则x的值为（    ） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 3．（2021·江苏扬州·中考真题）不论x取何值，下列代数式的值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东济南·中考真题）若分式的值为0，则的值是 ． 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的运算 相关公式：1） 2) 3） 4） 5）（n为正整数，b≠0） 混合运算顺序：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 2．（2024·江苏扬州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 3．（2024·四川泸州·中考真题）化简：． 4．（2024·广东广州·中考真题）关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简：． 5．（2023·江西·中考真题）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：    解：原式 …… 解：原式 ……    (1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． ►题型02 判断分式运算的错误步骤 常见错误类型： 1）错在颠倒运算顺序，例如：，错误原因：运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的. 2）错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母. 3）错在符号变化，例如： ，错误原因：去括号时没有注意前面的符号. 1．（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． (1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）下面是某同学计算的解题过程： 解：① ② ③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程． 3．（2023·内蒙古通辽·中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程： 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …… (1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 4．（2023·山东临沂·中考真题）（1）解不等式，并在数轴上表示解集． （2）下面是某同学计算的解题过程： 解：                       ①                          ②                        ③                               ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． ►题型03 分式的化简求值 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）若题干中明确给出字母的数值，通常选用直接代入法. 3）若题干中未明确给出字母的数值，可考虑使用整体代入法. 1．（2024·江苏苏州·中考真题）先化简，再求值：．其中． 2．（2024·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 3．（2024·四川广安·中考真题）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 4．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    5．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 6．（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． ►题型04 分式运算的应用 1．（2024濠江区一模）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下： 立方和公式：； 立方差公式：． 根据材料和已学知识解决下列问题 (1)因式分解：； (2)先化简，再求值：，其中． 2．（2022·湖北鄂州·一模）若三个实数x，y，z满足，且，则有：（结论不需要证明） 例如： 根据以上阅读，请解决下列问题： 【基础训练】 (1)求的值； 【能力提升】 (2)设，求S的整数部分． 【拓展升华】 (3)已知，其中，且．当取得最小值时，求x的取值范围． 3．（2023·江苏盐城·中考真题）课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题． (2)比较大小：__________．（填“”“”或“”） 4．（2024·内蒙古·中考真题）某研究人员对分别种植在两块试验田中的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦的试验田产粮量的1.2倍少，其中“丰收1号”小麦种植在边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的试验田中，“丰收2号”小麦种植在边长为的正方形试验田中． (1)请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦两块试验田的产粮量； (2)哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ ►题型05 分式的规律探究 1．（2023·湖北恩施·一模）对于正数，规定，例如：，，，…利用以上的规律计算： ． 2．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 3．（2021·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：　　　　第2个等式： 第3个等式：　　　　第4个等式： … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第5个等式：__________________________； （2）写出你猜想的第n个等式：______________________（用含n的等式表示），并证明． 4．（2020·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式： 第个等式： 第3个等式： 第个等式： 第5个等式： ······ 按照以上规律．解决下列问题： 写出第个等式____________； 写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明． 5．（2023·山东青岛·模拟预测）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题． 设n是正整数， 材料1： ．．． 问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果） 材料2： = 问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）． （3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________． ►题型06 与分式运算有关的新定义问题 1．（2021·黑龙江绥化·中考真题）定义一种新的运算：如果．则有，那么的值是（    ） A． B．5 C． D． 2．（2024·内蒙古乌海·一模）对于任意两个不相等的正实数定义新运算“”，规定： ，求中的取值范围是 ． 3．（2022·甘肃平凉·模拟预测）已知为实数，规定运算：，，，……，．按以上算法计算：当时，的值等于 ． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）对于实数a、b，定义运算：①② 例如 ①依此定义方程的解为 ． 5．（2024·湖南永州·一模）对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：，例如：．若，则的值为 ． 6．（2024青岛市模拟）定义，如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”如：，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：___________（填序号）； ①；②③④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：__________+___________． (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． $$null