期末考试B卷填空动角问题压轴题专项训练-【B卷常考题型】2024-2025学年四川成都七年级数学上学期题型全攻略（北师大版）

期末考试B卷填空动角问题压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（2024·天府新区期末）如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，（，）中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值与最小值之差为 ． 例2．（2024·嘉祥期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在F处，折痕为BC．作∠FBD的平分线BE，则∠CBE的度数为 ；现将∠FBD沿BF折叠使BE、BD落在∠FBC的内部，且折叠后的BE交CF于点M，BD交CF于点N，若BN平分∠CBM，则∠ABC的度数为 ． 例3．（2024·锦江区期末）如图，在三角形中，，、为边上两动点，连接、，将三角形的边和边分别沿着射线、翻折，、两点翻折后的对应点为、，作射线、（和均落在内部），若，则 ． 【专项训练】 1．已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ． 2．一副三角板如图摆放，点F是边中点，连接．将绕点B旋转．若，则 ． 3．如图，在平面内，点是直线上一点，，射线不动，射线，同时开始绕点顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线，的转动速度分别为每秒和每秒．若转动秒时，射线，，中的一条是另外两条组成角的角平分线，则 秒．    4．已知，以为端点画射线．将射线沿直线翻折，得到射线，将射线绕点顺时针旋转，得到射线．若，则 °． 5．新定义：已知射线、为内部的两条射线，如果，那么把叫作的幸运角．已知，射线与射线重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线，，，中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角） 6．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 7．已知：如图1，点依次在直线上，现同时将射线绕点按逆时针方向分别以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为（）秒，经过 秒． 8．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则 ． 9．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝ ． 10．已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么 ． 11．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 12．我校金沙校区的小叶同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点，在直线上，第一步，绕点顺时针旋转度至；第二步，绕点顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点反方向旋转．当时，则等于 度． 13．如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线、分别平分、，当时， ． 14．如图，将笔记本活页一角以为折痕折叠，使所折部分与活页在同一平面内，其中．现将图中的另一角的边沿着过点的直线折叠，折痕为，点在活页纸边上边足够长，点的对应点也落在活页的同一平面内．若，则 (用含的代数式表示)． 15．如图，正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合，已知点E为正方形的边上一点，连接，将三角形沿折叠，点D落在点处，作平分．若，则的度数为 ． 16．在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，与三角尺的一边平行． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末考试B卷填空动角问题压轴题专项训练 【例题精讲】 例1．（2024·天府新区期末）如图，，是同一平面上的一条射线，若在，，（，）中，有一个角的度数恰好是另一角度数的一半，则的最大值与最小值之差为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了角度的和差计算；根据题意分别画出的最小情况与最大情况，然后求出差即可求解． 【详解】解：如图所示，当在的内部时，最小， 此时， ∴， 如图所示，当在的外部时， 当时，， ∴的最大值与最小值之差为 故答案为：． 例2．（2024·嘉祥期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在F处，折痕为BC．作∠FBD的平分线BE，则∠CBE的度数为 ；现将∠FBD沿BF折叠使BE、BD落在∠FBC的内部，且折叠后的BE交CF于点M，BD交CF于点N，若BN平分∠CBM，则∠ABC的度数为 ． 【答案】 【分析】由折叠知∠ABC＝∠FBC＝∠ABF，由BE平分∠FBD知∠FBE＝∠FBD，由∠ABF+∠FBD＝180°可得答案；设∠DBE＝∠EBF＝x．根据折叠的性质构建方程求出x，即可解决问题． 【详解】解：由折叠知∠ABC＝∠FBC＝∠ABF， ∵BE平分∠FBD， ∴∠FBE＝∠FBD， ∵∠ABF+∠FBD＝180°， ∴∠ABF+∠FBD＝90°，即∠FBC+∠FBE＝90°， ∴∠CBE＝90°， 如图，设∠DBE＝∠EBF＝x． ∵∠FBD′是由∠FBD沿BF翻折得到， ∴∠MBF＝∠MBN＝x， ∵BN平分∠CBM， ∴∠CBN＝∠MBN＝x， ∴∠CBF＝3x， ∵△CBF是由△CBA翻折得到， ∴∠ABC＝∠CBF＝3x， ∵∠ABF+∠FBD＝180°， ∴8x＝180°， ∴x＝22.5°， ∴∠ABC＝3x＝67.5°， 故答案为：90°，67.5°． 【点睛】本题考查了角的计算，理解角平分线的定义，折叠的意义，是解题关键． 例3．（2024·锦江区期末）如图，在三角形中，，、为边上两动点，连接、，将三角形的边和边分别沿着射线、翻折，、两点翻折后的对应点为、，作射线、（和均落在内部），若，则 ． 【答案】75或45 【分析】本题主要考查了平面几何图形中角的计算，理解题意，弄清角度关系是解题关键．根据题意可得，，结合，，分两种情况讨论，分别求解，即可获得答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如下图， 根据题意，可得 ，， ∵，， ∴， ∴， ∴． ②如下图， 根据题意，可得 ，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：75或45． 【专项训练】 1．已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线和角三等分线的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．为的三等分线，设，则或2x，再由平分，设，则，则或，由此求解即可． 【详解】解：∵为的三等分线，设，则或2x， ∵平分，设，则， 则或， ∵平分， ∴或， ∴或x， ∵， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 2．一副三角板如图摆放，点F是边中点，连接．将绕点B旋转．若，则 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查平行线的性质，与三角板有关的计算，分4种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵点是边中点， ∴， ∴， 如图， ∵， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 3．如图，在平面内，点是直线上一点，，射线不动，射线，同时开始绕点顺时针转动，射线首次回到起始位置时两线同时停止转动，射线，的转动速度分别为每秒和每秒．若转动秒时，射线，，中的一条是另外两条组成角的角平分线，则 秒．    【答案】4或5 【分析】根据已知条件可知，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t,然后按照OA、OB、OC三条射线构成相等的角分三种情况讨论：①当OA平分∠BOC；②当OC平分∠AOB；③当OB平分∠AOC，分别列方程即可求出t的值． 【详解】解：根据题意，在第t秒时，射线OA转过的角度为40°t，射线OB转过的角度为20°t, ①当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图①所示，∠A′OC=∠A′OB′，    ∵∠A′OC=180°-40°t，∠A′OB′=∠AOA′-∠AOB-∠BOB′=40°t-60°-20°t=20°t-60°， ∴180°-40°t =20°t-60°， 即t=4； ②当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图②所示，∠A′OC=∠B′OC，    ∵∠A′OC=40°t-180°，∠B′OC=180°-∠AOB-∠BOB′=180°-60°-20°t=120°-20°t， ∴40°t-180°=120°-20°t， 即t=5； ③当OA，OB转到OA′，OB′的位置时，如图③，∠B′OC=∠A′OB′，    ∵∠B′OC=20°t-120°，∠A′OB′=∠A′OC=(180°-∠AOA′)=[180°-（360°-40°t）]=20°t-90°， ∴20°t-120°=20°t-90°，此时方程不成立． 综上所述：t的值为4或5． 故答案：4或5． 【点睛】题主要考查角的和、差关系，难点是找出变化过程中的不变量，需要结合图形来计算，在计算分析的过程中注意动手操作，在旋转的过程中得到不变的量． 4．已知，以为端点画射线．将射线沿直线翻折，得到射线，将射线绕点顺时针旋转，得到射线．若，则 °． 【答案】55或65或115或125 【分析】本题考查几何图形中角度的计算．根据题意，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】解：①当在的内部，在上方时，如图： ∵，，    ∴， ∵翻折， ∴， ∴； ②当在的内部，在下方时，如图： ∵，，    ∴， ∵翻折， ∴， ∴； ③当在的外部，在下方时，如图： ∵，，    ∴， ∵翻折， ∴， ∴； ④当在的外部，在上方时，如图： ∵，，    ∴， ∵翻折， ∴， ∴； 故答案为：55或65或115或125． 5．新定义：已知射线、为内部的两条射线，如果，那么把叫作的幸运角．已知，射线与射线重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，射线与射线重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线，，，中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时， 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角） 【答案】，15， 【分析】根据边的运动分类讨论即可． 【详解】解：①如图 当， 则 解得： ②如图 当， 则 解得： ③如图 当， 则 解得： 故答案为：，15， 【点睛】本题考查了新定义，相关知识点有：角的计算、分类讨论思想等，分情况讨论是解题关键． 6．定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 7．已知：如图1，点依次在直线上，现同时将射线绕点按逆时针方向分别以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为（）秒，经过 秒． 【答案】或或24 【分析】本题考查的是角的动态定义，角的和差关系，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键． 第一次追上之前，，得到；第一次追上之后，，得到；第二次追上之前，，得到；第二次追上之后，，，分别解方程，最后一次不成立． 【详解】解：①如图，第一次追上之前，， 由题可知， ， 的运动速度是每秒， ， ， 即， 解得； ②如图，第一次追上之后，， 此时，， ， ， 解得； ③如图，第二次追上之前，， 此时，， ， ， 解得； ④如图，第二次追上之后，， 此时，， ， ， 解得（不合题意）； 综上，的值为6或12或24． 故答案为：6或12或24． 8．如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则 ． 【答案】52° 【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A． 【详解】解：、分别平分、， ，， ，， 即，， ， 、分别平分、， ，， ， ， ∴， ∴， 、分别平分、， ，， ∴， ， 故答案为：52°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 9．如图，直线AB⊥OC于点O，∠AOP＝40°，三角形EOF其中一个顶点与点O重合，∠EOF＝100°，OE平分∠AOP，现将三角形EOF以每秒6°的速度绕点O逆时针旋转至三角形E′OF′，同时直线PQ也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转至P′Q′，设运动时间为m秒（0≤m≤20），当直线P′Q′平分∠E′OF′时，则∠COP′＝ ． 【答案】或 【分析】由题意，分两种情况讨论，当平分时，当平分时作出图形，分别画出对应图，对比开始时刻的角度，通过角度的加减计算即可． 【详解】平分， ， 以每秒的速度绕点O逆时针旋转，以每秒的速度点O顺时针旋转， ①如图1中，当平分时， 解得 ， ②如图2，当平分时， 解得 故答案为：或 【点睛】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义，通过旋转的速度和时间可得旋转的角度，对比旋转之前的图形是解题的关键． 10．已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么 ． 【答案】或/ 或 【分析】先通过方程有无数多个解解出的值，然后分类讨论C点的位置直接求解即可． 【详解】关于x的方程有无数多个解 ，则，解得 1.当C在内部时，如图 平分， 设，则，， ，解得 2.当C在外部时，如图 平分， 设，则，， ，解得 综上所述：或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查一元一次方程解的情况，以及角的计算，解题关键是无数组解的情况是未知数的系数和常数项分别为0，解题技巧是射线需要分类讨论不同的位置． 11．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 12．我校金沙校区的小叶同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点，在直线上，第一步，绕点顺时针旋转度至；第二步，绕点顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点反方向旋转．当时，则等于 度． 【答案】5或25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平角的定义，角度的和差关系，解题的关键是理解题意，掌握角度的规律探索，注意运用分类讨论的思想进行分析． 根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹；②反弹后落在之间；③反弹后落在之间；④反弹后落在之间；分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可对射线进行讨论分析： ①未反弹时，如图： ∵， ∴， ∴ 此时满足题意； ②反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， 此时，不符合题意，舍去； ③反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴ ， ， 此时，成立； ④反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴，不合题意舍去 综上所述，等于或． 故答案为：或． 13．如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方且，有一大小为的可绕其顶点O旋转一周，其中射线、分别平分、，当时， ． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，分射线 在的内部，射线的反向延长线在的内部两种情况进行讨论，设，分别用含x的式子表示和，根据建立方程即可求解． 【详解】解：如图，当射线在内部时， 设， 则， 则， ， ， ， ， ， ， ； 当点射线的反向延长线在内部时，如图， 设， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 14．如图，将笔记本活页一角以为折痕折叠，使所折部分与活页在同一平面内，其中．现将图中的另一角的边沿着过点的直线折叠，折痕为，点在活页纸边上边足够长，点的对应点也落在活页的同一平面内．若，则 (用含的代数式表示)． 【答案】或 【分析】此题主要考查了角的计算，折叠问题，依题意有以下两种情况：①点落在的右侧时，②当点落在的左侧时，分别画出图形，根据折叠的性质以及三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：依题意有以下两种情况： ①点落在的右侧时，如图所示： 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ； ②当点落在的左侧时，如图所示： 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， '． 综上所述：或． 故答案为：或． 15．如图，正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合，已知点E为正方形的边上一点，连接，将三角形沿折叠，点D落在点处，作平分．若，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、正方形的性质、角平分线的性质、分类讨论等知识点，熟练掌握翻折变换的性质和角平分线的性质是解题的关键． 设，由折叠的性质得，分点在的下方和上方两种情况，分别由角的关系求解即可． 【详解】解：设， ∵正方形纸片的四个角都为，若该纸片沿折叠，则点D会与点B重合， ∴， ①如图1：当点在的下方时，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：； ②如图2：当点在的上方时，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得：； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 16．在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点P以每秒速度逆时针旋转，同时三角尺绕点P以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，与三角尺的一边平行． 【答案】6或15或33 【分析】本题考查了平行线的性质，旋转的知识，解题关键把所有的情况都分析出来，注意结果是否符合题意，这也是学生很容易忽略的地方. ①当时，②当时，③当时，分三种情况分别讨论． 【详解】①Ⅰ当时，， ， ， ， Ⅱ当时，， ， ， (舍去) ②当时， ， ③当时， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当运动时间6或15或33秒时，与三角尺的一边平行. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$