第四章实数复习讲义2024-2025学年鲁教版(五四制)七年级数学上册

第四章 实数 知识点一：算术平方根、平方根、立方根 考点1：概念 例1：（1）的平方根是______； （2）的立方根是______； （3）=______； （4）0的立方根是_______； （5）的平方根是_____. （6）的立方根是_____. 考点2：开平方与开立方 重要公式： （1） （2） （4）（）3=a =a 例1：下列等式是否正确？改错。 （1）；（ ） （2）；（ ） （3）；（ ） （4）.（ ） （5）；（ ） 考点3：利用算术平方根的非负性求值 例1：式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是( ) A. x<1 B. x⩾1 C. x⩽−1 D. x<−1 变式: 在实数范围内，下列各式一定不成立的有（ ） （1） （2） （3） （4） 例2： 若和都有意义，则的值是（ ） 例3： 设x、y为实数，且，则得值是（ ） A．1 B．5 C．2 D．0 变式: 1.如果. 则的算术平方根是_____ 2.已知y＝+4，求x+y的平方根． 3.若a，b为实数，且，求的值． 例4：若，求a+b-c的平方根。 1.已知a满足=3，b满足（2k+1）²+=0，求的值. 2.若与互为相反数，则的值为 　　　 ． 考点4：利用平方根的性质求值： 例1：已知2a-1的平方根是±3， 3a+b-1的算术平方根是4，求a+2b的平方根。 变式： 1. 已知2x-y的平方根为±3，-4是3x＋y的平方根，求x-y的平方根． 例2：已知和互为相反数，求ab的算术平方根。 变式： 若和互为相反数，试求的值。 例3：已知一个正数两个不同的平方根是3x-2和5x+6，求这个正数。 变式： 1、若一个正数的平方根是2a-1和-a+2,则a=　　　　,这个正数是　　　　. 2、 与是同一个数的平方根，求这个数。 3、已知2m+3和4m+9是一个正数的平方根，求m的值和这个正数的平方根. 4、若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是多少？ 考点5：利用平方根、立方根解方程 例：求下列各式中的： （1） （2） （3）3(1-x)2=48. (4)(2x-3)2=49. 考点6：利用开平方、开立方运算化简 例1：设x=(-)2,y=,那么xy等于　(　　) A.3　 B.-3　 C.9　 D.-9 练习：1、计算=　　　,=　　　　. 2、若x≤0,|x|+=　　　　. 3、已知2<a<3,化简+|a-3|. 5、化简: = , = 6、已知：，化简： 例2：实数a在数轴上的位置如图所示,则+化简后为　(　　) A.7 B.-7 C.2a-15 D.无法确定 练习： 1、 实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简 |a+b|+=　　　　. 2、已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且。化简 C a o b 3、实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 4、已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，a、b到原点的距离相等，化简：﹣|a+b|++|b﹣c| 5、a，b，c在数轴上的位置如图所示，求|a﹣b|﹣﹣的值． 知识点二：估算 运用夹逼法求无理数的近似值 考点1：估算无理数的大小 1.1.估计—1的值在（ ） A 0到1之间 B 1到2之间 C 2到3之间 D 3到4之间 2. 一个正方体的体积为25，估计这个正方形的边长在（ ） A 2和3之间 B 3和4之间 C 4和5之间 D 5和6之间 3.一个正方体的水晶砖,体积为100cm3,它的棱长大约在　(　　) A.4～5 cm之间 B.5～6 cm之间 C.6～7 cm之间 D.7～8 cm之间 4.在下象棋时,如果设棋盘中每个小正方形的边长为1,则“象走田”一次的距离约是(　　) A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.8 5.等边△ABC中,BC边上的高是AD,如果AB=6,则AD的长是介于正整数　　　和　　　之间的无理数. 6.面积为15的正方形的边长的整数部分为a,面积为56的正方形的边长的整数部分为b,则a+b=　　　　. 7.有正方形和圆形草坪各一块,且它们的面积都为100平方米,则估算哪一块草坪的周长大? 考点2：利用估算求值 例：设的整数部分为，小数部分为,则1＋2－= 练习：1、若的整数部分为，小数部分为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 3 2、设x=2+,x的整数部分为　　　　　　,小数部分为　　　　　　. 考点3：利用估算比较两个数的大小 例：比较下列各组数的大小 （1） —和— （2） 和9 （3） 和— 练习： 比较大小: 4.9; .(填“>”或“<”) 考点4：计算器： 1.运用初中数学教材上使用的电子计算器求+的近似值，其按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 2．用科学记算器计算，按键顺序 的结果是________ ． 3.如图，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下： 则输出结果应为（　　） A． B． C． D． 知识点三.实数 考点1：实数的概念 例：把下列各数分别填入相应的集合里： ， 5.20×102 有理数集合：｛　　　　　　　　　　　　　　 　　　｝； 无理数集合：｛　　　　　　　　　　　　　 　　　　｝； 负实数集合：｛　　　　　　　　　　　　 　　　　｝． 练习： 1．下列说法错误的是（　　） A．是有理数 B．是无理数 C．不是分数 D．的平方根是±3 2．在下列四个说法中，正确的有（　　）个： ①不带根号的数一定是有理数； ②是一个负数； ③已知a是实数，则=|a|； ④全体实数和数轴上的点是一一对应． A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列各数：①3.141、②0.33333…、③﹣、④π、⑤±、⑥﹣、⑦0.3030003000003…（相邻两个3之间0的个数逐次增加2），其中是有理数的有　 　；是无理数的有　 　．（填序号） 考点2：实数与数轴 1.三要素：原点、单位长度、正方向 2.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点并不都表示有理数。 3.比较大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的 ，正数 0，负数 0，正数 负数。 例1：在数轴上画出表示下列各数的点：π0，﹣22，—，，—|—2.5|，，再把下列各数用“＞”连接起来。 练习： 1.如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ） 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　A、1.5　　 B、1.4　　　 C、 　　　D、 2.数轴上的点A、B、C依次表示三个实数、π、． （1）如图，在数轴上描出点A、B、C的大致位置； （2）求出A、C两点之间的距离． 3、在数轴上表示某数a的点到原点的距离小于2,则a的取值范围为　　　　. 4、若将三个数-,,表示在数轴上,其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是　　　　　. 5、在数轴上表示-的点到原点的距离为　　　　. 【知识归纳】实数与数轴的四种关系 1.每个实数都可以用数轴上的一个点表示. 2.数轴上的每一个点都可以用一个实数表示. 3.在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 4.数轴上点与实数的关系充分体现了数形结合的思想. 5.已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所示, 化简|2c-a|+|c-b|-|a+b|-|a+c-b|. 考点2：相反数、倒数、绝对值 相反数：（1）代数定义：两个数只有 不同，称其中 为 的相反数，也称这两个数 （2）几何定义：在数轴上，表示相反数的两个点，位于原点的 ，且与原点的距离 ，即关于原点对称。 ①几何定义：在数轴上，一个数所对应的 点与 的距离叫做该数的绝对值。 （1）概念 ②代数定义：正数的绝对值等于 负数的绝对值等于 绝对值： 0的绝对值等于 。 a（a>0） 即|a|= 0（a=0） —a（a<0） （2）比较两个负数的大小：对于两个负数，绝对值大的反而小 例2：﹣的相反数是　 　，|﹣2|=　 　． 练习： 1.的相反数是（　　） A． B．﹣ C． D．﹣ 2.的平方根是　 　，|︳的相反数是　 　（用代数式表示）． 3.下列说法错误的是（　　） A．a2与（﹣a）2相等 B．与相等 C．与 是互为相反数 D．|a|与|﹣a|互为相反数 例3：如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，再直爬向C点停止，已知点A表示﹣，点C表示2，设点B所表示的数为m． （1）求m的值；（2）求BC的长． 练习：1.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m． （1）求m的值；（2）求|m﹣1|+（m+6）0的值． 2.如图所示，数轴的正半轴上有A、B、C三点，表示1和的对应点分别为A、B，点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x． （1）请你写出数x的值； （2）求（x﹣）2的立方根． 例4：如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr） （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是　 　； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下： +2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2 ①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？ 知识点四、实数与勾股定理结合专题 1．图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB、EF的端点均在小正方形的顶点上． （1）如图1，作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长； （2）如图2，以线段EF为一边作出等腰△EFG（点G在小正方形顶点处）且顶角为钝角，并使其面积等于4． 2．如图，每个小正方形的边长为1． （1）求四边形ABCD的周长； （2）求证：∠BCD=90°． 3．细心观察图，认真分析各式，然后解答问题： （）2+1=2，S1= （）2+1=3，S2= （）2+1=4，S3= （1）用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）计算S12+S22+S32+S42+…+S102的值． 4．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上，试问△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 5．如图①，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1．在网格中构造格点△ABC（即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），AB、BC、AC三边的长分别为、、，利用网格就能计算三角形的面积． （1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．　 　． （2）在图②中画出△DEF，DE、EF、DF三边的长分别为、、． ①判断三角形的形状，说明理由． ②求这个三角形的面积． 6．分别在以下网格中画出图形． （1）在网格中画出一个腰长为，面积为3的等腰三角形． （2）在网格中画出一个腰长为的等腰直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$