黄金卷05（上海专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷05·参考答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1． 2． 3． 4． 5．/ 6．/0.5 7． 8．/ 9． 10．/ 11. 12 12． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 14 15 16 B A D C 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. 解：（1）由题意，， 又，于是，则，则， (2分) 根据正弦函数的单调递增区间，令， 解得，,即为的单调递增区间. (6分) （2）当，， 注意到题干，则， (8分) 根据正弦函数的对称轴， 显然只有时一条对称轴， (10分) 于是，解得， 结合可得 (14分) 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. （1）平面，、平面， 、， 、为直角三角形， (2分) 在直角中，， 在直角中，， 在中，有， ，故为直角三角形， 在中，有， 故，故为直角三角形， (4分) 故四面体四个面都是直角三角形，即四面体是鳖臑， ； (6分) （2）平面，平面， ， 由， 故不可能是直角， 若，则有， 又，、平面，， 故平面，又平面， 故， 是二面角的平面角， (8分) ，，，， 所以二面角的平面角的大小为． (10分) 若， 同理可得是二面角的平面角， 所以， 所以二面角的平面角的大小为， 综上所述，二面角的平面角的大小为或. (14分) 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. （1）由频率分布直方图得: ，解得      由频率分布直方图可得大于10小时的人数为, 填表如下 性别 公益劳动时间 合计 长 短 男 110 180 290 女 90 120 210 合计 200 300 500 ①提出原假设H0：认为公益劳动时间与学生性别无关 ②确定显著性水平： ③计算：     ④无法否定原假设 ⑤结论：没有95%的把握认为公益劳动时间与学生性别有关 (2分) （2）这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为:人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取:人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， (4分) (6分) 的分布列为:         0 1 2 3 则其期望为 (8分) （3）由（2）可知参加公益劳动时间在的概率 所以 依题意，即， (10分) 即，解得 因为为非负整数，所以， 即当最大时， (14分) 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分. （1）由题意得：，，，解得， 所以曲线的焦距为：. (4分) （2）由题意可得，所以，且渐近线为， 由过点的直线的一个法向量，则得直线的斜率为， 所以直线的方程为， (6分) 当直线与渐近线交于点，即，解得, 因为，解得， 所以曲线的方程为； (8分) 当直线与渐近线交于点，即， 解得, ，所以， 利用计算器可得的近似值为0.54. (10分) （3）由,得曲线的方程为，将直线:与曲线联立得： ，化简得， 由题意知直线与曲线交于两点，设，， 则，解得：，且， (12分) 由根与系数关系得：，， 设线段中点为， 由，因为，所以，得， 所以得，即， 化简得，所以， 整理得，所以或， 所以得或， 故的取值范围为. (18分) 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分. （1）因为，则， 由题意可得：， 则，即，且， (2分) 可知数列为以为首项，为公比的等比数列， 显然这样的数列对于给定的是存在的， 所以都存在“关联切线伴随数列”. (4分) （2）因为，则， 设，即， 由题意可知：，则， 可得，且， (8分) 可知数列为以为首项，为公比的等比数列， 可得，所以数列通项公式为. (10分) （3）先证明， 设函数， 则，，则， 定义的导函数为的导函数为， 则， 且，， 令，则， ， 因为， 可知在内单调递增，则， (12分) 同理得，， 故， 又在内单调递增， 在有有 因此取，有， 又在单调递减，在单调递增， 故， (14分) 当时，，符合题意； 当时，， 累加可得， 整理得， 所以； 综上所述：. (18分) 试卷第2页，共22页 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，集合，则 ． 2．在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则 ． 3．双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为 ． 4．若函数为奇函数，则函数，的值域为 ． 5．若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为 ． 6．已知一个半径为4的扇形圆心角为，面积为，若，则 ． 7．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各名工人某日的产量数据．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 ． 8．已知，则 ． 9．已知正三棱锥的底面三角形的边长为，斜高为，则该正三棱锥的体积为 cm3． 10．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭．各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图．假设三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为，若图中提供的直线近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离为 ． 11.设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alga•blgb•clgc≥10，则a+b+c= ． 12．平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 15．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间(-3，3)内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数 16．关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（   ） A．①、②都正确 B．①正确 ②错误 C．①错误 ②正确 D．①、②都错误 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. 设函数，其中. (1)若的最小正周期为，求的单调增区间； (2)若函数图象在上存在对称轴，求的取值范围. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题8分. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体中，平面，． (1)若，求证：四面体是鳖臑，并求该四面体的体积； (2)若四面体是鳖臑，当时，求二面角的平面角的大小． 19．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)现认为大于10小时的公益劳动时间为长，小于10小时的公益劳动时间为短，填写下列列联表，并判断是否有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关. 性别 公益劳动时间 合计 长 短 男 110 女 120 合计 (2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分. 如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. (1)若的离心率为，求双曲线的焦距； (2)过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； (3)若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分. 对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”. (1)若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”； (2)若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式； (3)若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，. 试卷第2页，共22页 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】 根据补集的定义直接进行运算即可. 【解析】因为， 所以， 故答案为：. 2．在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则 . 【答案】 【分析】由已知求得，进一步得到，再根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得． 【解析】解：由题意，， ， ． 故答案为：2． 3．双曲线x2-2y2=1的渐近线方程为 ． 【答案】 【解析】由双曲线的方程知，所以双曲线的渐近线方程为． 考点：双曲线的几何性质． 4．若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 【答案】 【分析】由奇函数定义可得解析式，即可求得值域. 【解析】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 5．若数列是各项为正数的等差数列，且，则的最小值为 【答案】/ 【分析】根据等差数列的性质及基本不等式求解. 【解析】由等差数列性质知，，且， 所以 ，当且仅当， 即，时等号成立. 故答案为： 6．已知一个半径为4的扇形圆心角为，面积为，若，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由扇形面积公式先求，再根据两角和差的正切公式求得结果. 【解析】已知扇形半径为，圆心角为， ∵扇形面积，∴， ∴，解得：. 故答案为：. 7．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各名工人某日的产量数据．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 ． 【答案】 【分析】根据中位数相等可构造方程求得，进而利用平均值相等构造方程求得，加和即可. 【解析】由茎叶图可知：甲组工人产量的中位数为，则乙组工人产量的中位数应为，解得：， 乙组工人产量的平均值为， 则甲组工人产量的平均值为，解得：， . 故答案为：. 8．已知，则 【答案】/ 【分析】根据二项分布均值与方差的计算公式即可求得答案. 【解析】由题设，易知，解得． 故答案为： 9．已知正三棱锥的底面三角形的边长为，斜高为，则该正三棱锥的体积为 cm3 【答案】 【分析】先利用斜高所在直角三角形求出棱锥的高，再利用体积公式求解可得. 【解析】如图，正三棱锥，取的中心为，连接，连接并延长交于，连接， 由正三棱锥的定义得面，且为的中点， 则即为正三棱锥的斜高，， , 又为等边三角形，则， 所以正三棱锥的高, 故该正三棱锥的体积为. 故答案为：. 10．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭．各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图．假设三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为，若图中提供的直线近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离为 ．    【答案】/ 【分析】利用平面直角坐标系、直线方程、点到直线距离公式运算即可得解. 【解析】解：    如图，以鼻尖所在位置为原点，中庭下边界为轴，垂直中庭下边界为轴， 建立平面直角坐标系，因为三庭中一庭的高度为，五眼中一眼的宽度为， 所以，，所以， 利用点斜式方程可得到直线：，即为， 所以原点到直线距离为． 11. 设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，alga•blgb•clgc≥10，则a+b+c＝ 【答案】12 【分析】由已知可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1，得到lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc，进而得出lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc，从而得到lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc，由此得到a，b，c的值，则答案可求． 【解析】由a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，可得0≤lga≤1，0≤lgb≤1，0≤lgc≤1． 可得lg2a≤lga，lg2b≤lgb，lg2c≤lgc， 又由alga•blgb•clgc≥10，可得lg（alga•blgb•clgc）≥lg10， 可得lg2a+lg2b+lg2c≥1 又由lgabc＝lga+lgb+lgc =lg10=1，可得lg2a+lg2b+lg2c≥lga+lgb+lgc， 所以lg2a＝lga，lg2b＝lgb，lg2c＝lgc， 则a＝10或1，b＝10或1，c＝10或1， 由对称思想，不妨a＝10，则b＝1，c＝1， 所以a+b+c＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了对数的运算性质及其应用，其中解答中熟记对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题. 12．平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设O为的重心，由重心性质化简可得，可知在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【解析】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当，，都在线段上时，等号成立， 又， 当且仅当、、在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到在以点O为圆心，为半径的圆上，由此即可利用数形结合顺利得解. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m不一定和平面β垂直，但当直线m垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 14．在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角A,再根据正弦定理求出外接圆半径即可. 【解析】. , 设该三角形外接圆的半径为 由正弦定理得 故选：A. 15．已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间(-3，3)内有三个零点 B．函数是函数的一个极值点 C．曲线在点(-2，f(-2))处的切线斜率小于零 D．函数在区间(-1，1)上是严格减函数 【答案】D 【分析】根据导函数的图象,可判断原函数的单调性,进而可逐一求解. 【解析】在单调递增，在单调递减，故在区间内至多有两个零点，A错误； 在的左右两侧，故不是极值点，故B错误; 根据图像可知，故在点处的切线斜率等于零，C错误； 在恒成立，故在区间上是严格减函数，故D正确. 故选：D 16．关于曲线，有下述两个结论：①曲线上的点到坐标原点的距离最小值是；②曲线与坐标轴围成的图形的面积不大于，则下列说法正确的是（   ） A．①、②都正确 B．①正确 ②错误 C．①错误 ②正确 D．①、②都错误 【答案】C 【分析】利用基本不等式判断①的正确性，利用不等式的性质判断②的正确性. 【解析】对于①，由平方可得，．因为， 所以．又因为， 当且仅当时等号成立，故①错误； 对于②，由知，，，两边平方可得． 因为，所以， 即曲线在直线的下方， 因此所围图形的面积不大于，故②正确. 故选：C    【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： “一正，二定，三相等” .（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．设函数，其中. (1)若的最小正周期为，求的单调增区间； (2)若函数图象在上存在对称轴，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，然后根据最小正周期公式算出，然后利用正弦函数的单调性求解； （2）利用正弦函数的对称轴公式求参数的范围. 【解析】（1）由题意，， 又，于是，则，则， 根据正弦函数的单调递增区间，令， 解得，,即为的单调递增区间. （2）当，， 注意到题干，则， 根据正弦函数的对称轴， 显然只有时一条对称轴， 于是，解得， 结合可得 18．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，已知四面体中，平面，． (1)若，求证：四面体是鳖臑，并求该四面体的体积； (2)若四面体是鳖臑，当时，求二面角的平面角的大小． 【答案】(1)证明见解析， (2)或 【分析】（1）借助线面垂直证明面面垂直，结合题目所给长度，运用勾股定理证明四面全为直角三角形即可，体积借助体积公式计算即可得； （2）根据题意，会出现两种情况，即或，分类讨论计算即可得. 【解析】（1）平面，、平面， 、， 、为直角三角形， 在直角中，， 在直角中，， 在中，有， ，故为直角三角形， 在中，有， 故，故为直角三角形， 故四面体四个面都是直角三角形，即四面体是鳖臑， ； （2）平面，平面， ， 由， 故不可能是直角， 若，则有， 又，、平面，， 故平面，又平面， 故， 是二面角的平面角， ，，，， 所以二面角的平面角的大小为． 若， 同理可得是二面角的平面角， 所以， 所以二面角的平面角的大小为， 综上所述，二面角的平面角的大小为或. 19．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)现认为大于10小时的公益劳动时间为长，小于10小时的公益劳动时间为短，填写下列列联表，并判断是否有95%把握认为公益劳动时间与学生性别有关. 性别 公益劳动时间 合计 长 短 男 110 女 120 合计 (2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望； (3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位:小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值. 0.100 0.050 0.025 0.010 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(1)表格见解析，没有95%的把握认为公益劳动时间与学生性别有关 (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图利用频率之和为1求解,再列表计算卡方得解； （2）分层抽样后，根据题意的可能取值为0，1，2，3，求出概率列出分布列和期望即可； （3）根据独立重复试验概率公式得出不等式组，解不等式得解. 【解析】（1）由频率分布直方图得: ，解得      由频率分布直方图可得大于10小时的人数为, 填表如下 性别 公益劳动时间 合计 长 短 男 110 180 290 女 90 120 210 合计 200 300 500 ①提出原假设H0：认为公益劳动时间与学生性别无关 ②确定显著性水平： ③计算：     ④无法否定原假设 ⑤结论：没有95%的把握认为公益劳动时间与学生性别有关 （2）这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为:人，人，人， 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取:人， 现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3， 的分布列为:         0 1 2 3 则其期望为 （3）由（2）可知参加公益劳动时间在的概率 所以 依题意，即， 即，解得 因为为非负整数，所以， 即当最大时， 20．设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. (1)若的离心率为，求双曲线的焦距； (2)过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； (3)若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 【答案】【小题1】 【小题2】见解析 【小题3】 【分析】（1）由题意得，，离心率，从而求解； （2）求出直线的斜率为，然后求出直线方程后与渐近线联立后求出点，从而求解； （3）将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 【解析】（1）由题意得：，，，解得， 所以曲线的焦距为：. （2）由题意可得，所以，且渐近线为， 由过点的直线的一个法向量，则得直线的斜率为， 所以直线的方程为， 当直线与渐近线交于点，即，解得, 因为，解得， 所以曲线的方程为； 当直线与渐近线交于点，即， 解得, ，所以， 利用计算器可得的近似值为0.54. （3）由,得曲线的方程为，将直线:与曲线联立得： ，化简得， 由题意知直线与曲线交于两点，设，， 则，解得：，且， 由根与系数关系得：，， 设线段中点为， 由，因为，所以，得， 所以得，即， 化简得，所以， 整理得，所以或， 所以得或， 故的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（3）问中将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 21．对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数，若对在定义域内的给定常数，存在数列满足在的定义域内且，且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线，则称数列为函数的“关联切线伴随数列”. (1)若函数，证明：都存在“关联切线伴随数列”； (2)若函数，数列为函数的“1关联切线伴随数列”，且，求的通项公式； (3)若函数，数列为函数的“关联切线伴随数列”，记数列的前项和为，证明：当时，. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意分析可知：数列为以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列分析证明； （2）由题意分析可知：数列为以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （3）构建函数，利用导数可证，利用累加法分析求解. 【解析】（1）因为，则， 由题意可得：， 则，即，且， 可知数列为以为首项，为公比的等比数列， 显然这样的数列对于给定的是存在的， 所以都存在“关联切线伴随数列”. （2）因为，则， 设，即， 由题意可知：，则， 可得，且， 可知数列为以为首项，为公比的等比数列， 可得，所以数列通项公式为. （3）先证明， 设函数， 则，，则， 定义的导函数为的导函数为， 则， 且，， 令，则， ， 因为， 可知在内单调递增，则， 同理得，， 故， 又在内单调递增， 在有有 因此取，有， 又在单调递减，在单调递增， 故， 当时，，符合题意； 当时，， 累加可得， 整理得， 所以； 综上所述：. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 试卷第2页，共22页 19 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$