特训06 一元一次方程压轴题（八大题型归纳）-2024-2025学年六年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训06 一元一次方程压轴题（八大题型归纳） 目录： 题型1：新定义题 题型2：含绝对值的一元一次方程 题型3：数轴问题—最值问题 题型4：数轴问题—单动点问题 题型5：数轴问题—双动点问题 题型6：数轴问题—三动点问题 题型7：数轴问题—定值问题 题型8：一元一次方程的实际应用、传统文化的应用 题型1：新定义题 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则______． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：．（只需要补充含有y的代数式）． ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为______． 4．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 5．已知是关于x的方程的解，是关于y的方程的解，若，是满足，则称方程与方程互为“阳光方程”；例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为阳光方程． (1)请直接判断方程与方程是否互为阳光方程； (2)请判断关于x的方程与关于y的方程是否互为阳光方程，并说明理由； (3)若关于x的方程与关于y的方程互为阳光方程，请求出k的最大值和最小值． 6．根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5 解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5 当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝ 当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣ 故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣ (1)解方程：|3x﹣2|＝4； (2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值； (3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是　 　（直接写出结果）． 题型2：含绝对值的一元一次方程 7．阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 题型3：数轴问题—最值问题 8．阅读下列材料：点A,B在数轴上分别表示有理数．A，B两点之间的距离表示为.当A,B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1所示，；当A,B两点都不在原点时，分三种情况，情况一：如图2所示，点A,B都在原点的右侧，；情况二：如图3所示，点A,B都在原点左侧，；情况三：如图4所示，点A,B在原点的两边，；综上，数轴上A,B之间的距离. 回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是____________，数轴上表示3和-1的两点之间的距离是________. (2)数轴上表示和-1的两点A,B之间的距离是________，如果=2，那么为_______. (3)当取最小值时， 9．在数轴上，表示数m与n的点之间的距离可以表示为．例如：在数轴上，表示数－3与2的点之间的距离是，表示数－4与－1的点之间的距离是． 利用上述结论解决如下问题： (1)若，则x＝ ；若，则x＝ ； (2)点A、B为数轴上的两个动点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且（），点C表示的数为－3，若A、B、C三点中的某一个点是另两个点组成的线段的中点，求a、b的值． (3)求的最小值以及此时x的值； (4)已知，求的最大值和最小值． 题型4：数轴问题—单动点问题 10．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”． (1)写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：______、______、______． (2)若点M表示数，点N表示数4，数，，0，2，10所对应的点分别是，，，，，其中不是点M，N的“关联点”是点______． (3)若点M表示的数是，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点． ①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数． ②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数． 11．【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 题型5：数轴问题—双动点问题 12．如图1，有甲、乙两人借助运动器械在A、B两地之间各自做不间断往返匀速运动（即只要两人到达A或B地后则立即转身以同样的速度向另一端运动，转身后运动方向，速度均不改变），  已知甲的速度为30米/秒，乙的速度为20米/秒；    (1)已知A、B两地之间距离为1000米，若乙离开A地50米后，甲从A地出发，甲出发后经过____________秒与乙第一次相遇； (2)已知A、B两地之间距离为2000米，若甲、乙同时从A地出发，经过__________秒后，甲、乙第一次相遇； (3)如图2，若甲、乙同时从A地出发，甲与乙第一次相遇于C地，第二次相遇于D地，且C、D之间的距离为300米，问A、B两地之间距离为多少米？ 13．综合与实践： 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点同时开始运动，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问：    (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是______；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是______； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，是否在线段上存在两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由） 14．如图，正方形的周长为米，甲、乙两人分别从点、同时出发，沿正方形的边行走，甲按顺时针方向每秒行米，乙按顺时针方向每秒行米．    (1)经过________________秒，甲第一次（初始位置除外）到达点处，且乙第一次到达点处； (2)经过________________秒，甲乙两人第一次都处在正方形的顶点处； (3)经过________________秒，甲乙两人第一次都在正方形的同一顶点处； (4)甲乙两人能否同时出现在正方形的同一顶点处吗？ 题型6：数轴问题—三动点问题 15．如图，直线l有上三点M，O，N，MO=3，ON=1；点P为直线l上任意一点，如图画数轴． （1）当以点O为数轴的原点时，点P表示的数为x，且点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是________； （2）当以点M为数轴的原点时，点P表示的数为y，当y= 时，使点P到点M、点N 的距离之和是5； （3）若以点O为数轴的原点，点P以每秒2个单位长度的速度从点O向左运动时，点E从点M以每秒1个单位长度速度向左运动，点F从点N每秒3个单位长度的向左运动，且三点同时出发，求运动几秒时点P、点E、点F表示的数之和为-20． 16．点分别对应数轴上的数，且满足，点是线段上一点，． （1）直接写出 ， ，点对应的数为 ； （2）点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，的值是否发生变化？若不变求出其值，若变化，写出变化范围； ②若，求的值； ③若动点同时从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点相遇后，立即以同样的速度返回，为何值时，恰好是的中点． 题型7：数轴问题—定值问题 17．已知，数轴上有三个点，，，它们的起始位置表示的数分别是，，6，如图所示．    (1)若将点从起始位置开始沿数轴向右移动，使得，两点之间的距离与，两点之间的距离相等，则须将点向右移动______单位； (2)若点从起始位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点也从起始位置开始，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，设运动的时间为（秒）． ①求（用含的代数式表示）； ②若点也与点，同时从起始位置开始运动，且点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试问：是否存在一个常数，使得的值不随运动时间（秒）的变化而改变？若存在，请求出常数，并求此时的值；若不存在，请说明理由． 18．数轴上有三个点A、B、C，分别代表的整数是、b、c，C点在数轴上的位置如图，、b满足 （1）=________，=____________，点A与点B之间的距离是_____________ （2）点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒4个单位长度的速度向左运动，点C以每秒个单位长度的速度向右运动，点A、B、C同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，A对应的数为__________（用含的式子表示）； ②当>5时，点A与点B之间的距离是________________（用含的式子表示）； ③若点A与点C之间的距离记为，点B与点C之间的距离记为，是否存在有理数，使得代数式的值为定值？若存在，求出的值及该定值，若不存在，请说明理由． 题型8：一元一次方程的实际应用、传统文化的应用 19．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 20．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 21．请阅读下列材料，并解答相应的问题： 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的3×3方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)请你将下列九个数：，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，x的值为______； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用e表示为______；进而可得该幻方中9个数的和可用e表示为______；a，h，f之间的数量关系为______； (4)图4的三阶幻方中，y的值为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 一元一次方程压轴题（八大题型归纳） 目录： 题型1：新定义题 题型2：含绝对值的一元一次方程 题型3：数轴问题—最值问题 题型4：数轴问题—单动点问题 题型5：数轴问题—双动点问题 题型6：数轴问题—三动点问题 题型7：数轴问题—定值问题 题型8：一元一次方程的实际应用、传统文化的应用 题型1：新定义题 1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)m的值为9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查一元一次方程以及新定义． （1）分别表示出两个方程的解，根据定义可知两个方程的解之和为1，可得方程，求解即可； （2）根据定义可得或，求解即可； （3）先求解可得，再将化为，即可求解． 【解析】（1）解：解方程得： 解方程得： ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴  解得： 答：m的值为9； （2）∵“美好方程”的两个解之和为1 ∴另一个方程的解为 ∵“美好方程”的两个解的差为8 ∴或 ∴或； （3）∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴的解为： ∵关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则　　； (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值； (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：（只需要补充含有y的代数式）； ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）分别求得两个方程的解，利用“阳光方程”的定义列出关于m的方程解答即可； （2）利用“阳光方程”的定义得出两个“阳光方程”的解为由两个“阳光方程”的解的差为5列出关于k的方程解答即可； （3）①由题意可知的解是，结合，则即可求解； ②求得方程的解，利用“阳光方程”的定义得到方程的解，再将关于y的方程变形得，利用同解方程的定义即可得到，从而求得方程的解． 【解析】（1）解：关于x的一元一次方程的解为：, 方程的解为：， 关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， 解得：； 故答案为：； （2）解： 互为“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， 又这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）解：①关于x的一元一次方程的解是， 即的解是， 关于y的一元一次方程：的解是， 则的解是， 即的解是， 故答案为：，； ②∵关于x的一元一次方程的解为， 又∵关于x一元一次方程和互为“阳光方程”， 方程的解为：， 把关于y的一元一次方程， 整理得： ， 解得：， 关于y的一元一次方程的解为： 故答案为： 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光方程”．例如：的解为，的解为，所以这两个方程互为“阳光方程”． (1)若关于x的一元一次方程与是“阳光方程”，则______． (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”，且这两个“阳光方程”的解的差为5．若其中一个方程的解为，求k的值． (3)①已知关于x的一元一次方程的解是，请写出解是的关于y的一元一次方程：．（只需要补充含有y的代数式）． ②若关于x的一元一次方程和互为“阳光方程”，则关于y的一元一次方程的解为______． 【答案】(1) (2)3或 (3)①，；② 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． （1）首先求出两个方程的解，然后根据题意列方程求解即可； （2）根据题意得到或，进而求解即可； （3）①根据题意得到的解是，，进而求解即可； ②首先根据题意的得到方程的解为：，然后得到，求出，进而求解即可． 【解析】（1）解，得； 解，得； ∵关于x的一元一次方程与是“阳光方程”， ∴ 解得； （2）∵“阳光方程”的一个解为，则另一个解为， ∵这两个“阳光方程”的解的差为5 则或， 解得或． 故k的值为3或； （3）①∵关于x的一元一次方程的解是， ∴的解是， ∵，则， 则的解是， 即：的解是， 故答案为：，； ②方程的解为：， ∵关于x方程与互为“阳光方程”， ∴方程的解为：． ∵关于y的方程就是： ∴， ∴． ∴关于y的方程的解为：． 故答案为：． 4．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． (1)已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？________（填“是”或“不是”）； (2)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值； (3)若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）先化简绝对值得到，再解求出，最后计算作答即可； （2）先分别解方程求出，，再根据“小美方程”的定义计算即可； （3）先根据题意得到，再由得到，解得，将代入整理得到，最后计算即可． 【解析】（1）由得，； 解得：， 而， 所以是一元一次方程的“小美方程”， 故答案为：是； （2）解：∵ 解得：； 对于，解得； 由题意，当时，，解得：； （3）解：由题意，，即 由得：， 所以， 则， 把上式代入中，整理得：， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，一元一次方程的解法，正确理解“小美方程”是解题的关键． 5．已知是关于x的方程的解，是关于y的方程的解，若，是满足，则称方程与方程互为“阳光方程”；例如：方程的解是，方程的解是，因为，所以方程与方程互为阳光方程． (1)请直接判断方程与方程是否互为阳光方程； (2)请判断关于x的方程与关于y的方程是否互为阳光方程，并说明理由； (3)若关于x的方程与关于y的方程互为阳光方程，请求出k的最大值和最小值． 【答案】(1)不是； (2)是； (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）解出两个一元一次方程的解分别为，，根据阳光方程的定义求解即可； （2）分别求得两个方程的解，再根据阳光方程的定义判断即可； （3）分别求得两个方程的解，再根据阳光方程的定义列出绝对值不等式，然后求解即可． 【解析】（1）解：由方程可得， 由方程可得， ∵ 根据阳光方程的定义可得：方程与方程不是互为阳光方程； （2）由可得 解得， 由可得， 根据阳光方程的定义可得：关于x的方程与关于y的方程是互为阳光方程； （3）由可得， 由可得 由题意可得：，即，即 解得， 的最大值为，最小值为． 【点睛】此题是新定义题，考查了一元一次方程的求解，绝对值不等式的求解，解题的关键是准确理解题意，正确求出各方程的解以及不等式的解集． 6．根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5 解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5 当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所以x＝ 当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x＝﹣ 故，方程|2x+4|＝5的解为x＝或x＝﹣ (1)解方程：|3x﹣2|＝4； (2)已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值； (3)在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是　 　（直接写出结果）． 【答案】(1)x=2或x= (2)12或20 (3)100 【分析】（1）根据题干步骤解方程|3x﹣2|＝4即可； （2）将a+b看作一个整体，根据题干步骤解方程|a+b+4|＝16即可求解； （3）再（2）的条件下，根据有理数的乘法法则即可求解； 【解析】（1）解：方程|3x﹣2|=4可化为：3x﹣2=4或3x﹣2=-4 当3x﹣2＝4时，则有：3x=6，所以x=2 当3x﹣2=-4时，则有：3x＝﹣2；所以x= 故，方程|3x﹣2|=4的解为x=2或x= （2）方程|a+b+4|＝16可化为：a+b+4＝16或a+b+4=-16 当a+b+4＝16时，则有：a+b＝12，所以|a+b|＝12 当a+b+4=-16时，则有：a+b=-20；所以|a+b|＝20 故，方程|a+b|的值为12或20 （3）在（2）的条件下，若a，b都是整数，a+b＝12或a+b=-20； 根据有理数乘法法则可知：当a=-10，b=-10时， 取最大值，最大值为100； 故答案为：100． 【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义． 题型2：含绝对值的一元一次方程 7．阅读解方程的途径． (1)按照图1所示的途径，填写图2内空格． ①　　；②　　． (2)已知关于x的方程+c＝的解是或（a、b、c均为常数）．求关于x的方程+c＝（k、m为常数，）的解（用含k、m的代数式表示）． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了解方程的整体思想与一元一次方程的解法，根据题意得出新的一元一次方程是解题的关键． （1）①把看作①的x，即可得到；解一元一次方程即可求得方程的解． （2）按照图1途径得到或，然后解关于x的一元一次方程即可． 【解析】（1）解：根据图1可得：①；②． （2）解：由题意得：或， 解得：，． 题型3：数轴问题—最值问题 8．阅读下列材料：点A,B在数轴上分别表示有理数．A，B两点之间的距离表示为.当A,B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1所示，；当A,B两点都不在原点时，分三种情况，情况一：如图2所示，点A,B都在原点的右侧，；情况二：如图3所示，点A,B都在原点左侧，；情况三：如图4所示，点A,B在原点的两边，；综上，数轴上A,B之间的距离. 回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是____________，数轴上表示3和-1的两点之间的距离是________. (2)数轴上表示和-1的两点A,B之间的距离是________，如果=2，那么为_______. (3)当取最小值时， 【答案】（1）3 ，3  ，4；（2） ， -3或1；（3）-4  ，7. 【解析】（1）直接根据数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离；（2）求出AB两点间的距离表达式，然后令|AB|=2解得x的值即可；（3）代数式|x+4|+|y-7|取最小值，即|x+4|=0,|y-7|=0,即可求出xy的值. 解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是|5-2|=3；数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是|-5-（-2）=|3；数轴上表示3和-1的两点之间的距离是|-1-3|=4； （2）数轴上表示和-1的两点A,B之间的距离是|x+1|； |AB|=|x+1|， 令|x+1|=2， 解得：x=1或-3. （3）当|x+4|+|y-7|取最小值时，|x+4|=0,|y-7|=0, ∴x=-4，y=7. “点睛”本题主要考查数轴和绝对值及两点间的距离的知识点，解答本题的关键是读懂题干，此题比较简单. 9．在数轴上，表示数m与n的点之间的距离可以表示为．例如：在数轴上，表示数－3与2的点之间的距离是，表示数－4与－1的点之间的距离是． 利用上述结论解决如下问题： (1)若，则x＝ ；若，则x＝ ； (2)点A、B为数轴上的两个动点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，且（），点C表示的数为－3，若A、B、C三点中的某一个点是另两个点组成的线段的中点，求a、b的值． (3)求的最小值以及此时x的值； (4)已知，求的最大值和最小值． 【答案】(1)3或－1，5或－ (2)或或 (3)4， (4)最小值为－9，最大值为23 【分析】（1）根据绝对值的性质及题目中的例题进行化简求解即可； （2）根据题意得出，然后分三种情况进行讨论：①当C是A、B的中点时；②当A是B、C的中点时；③当B是A、C的中点时；利用数轴上中点的性质可得方程，求解即可； （3）结合绝对值的意义可得式子表示数轴上一点到3，2，－1的距离，当x在－1与3之间时，的值最小为4，根据式子可得当时，得出数轴上点之间的距离最小值即可； （4）根据（3）中方法可得表示数轴上一点到-1，2的距离，最小值是3，表示数轴上一点到2，-1的距离，最小值是3，表示数轴上一点到3，1的距离，最小值是4，结合题意可得：，，，得出当，，时，代数式取得最小值，当，，时，代数式取得最大值，求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴或， ∴或； ∵， ∴或， ∴或； 故答案为：3或－1，5或－； （2）解：∵， ∴，， ①当C是A、B的中点时， ∵点C表示的数为－3， ∴，将代入， ∴解得：，， ∴，； ②当A是B、C的中点时， ∵点C表示的数为－3， ∴，将代入， 解得：，， ∴，； ③当B是A、C的中点时， ∵点C表示的数为－3， ∴，将代入， 解得：，， ∴，； 综上所述，，或，或，； （3）解：表示数轴上一点到3，2，－1的距离， 当x在－1与3之间时，的值最小为4， ∴当时，的值最小为4； （4）解：∵表示数轴上一点到-1，2的距离，最小值是3， 表示数轴上一点到2，-1的距离，最小值是3， 表示数轴上一点到3，1的距离，最小值是4， 又∵， ∴，，， ∴，，， ∴当，，时，的值最小为－9； 当，，时，的值最大为23． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简绝对值，绝对值与数轴上点的距离相结合，一元一次方程的解法，求代数式的值，数轴上两点中点的性质等，理解题意，熟练掌握运用绝对值的性质及分类讨论思想是解题关键． 题型4：数轴问题—单动点问题 10．定义：对于数轴上的三点，若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系．如下图，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B就是点A，C的一个“关联点”． (1)写出点A，C的其他三个“关联点”所表示的数：______、______、______． (2)若点M表示数，点N表示数4，数，，0，2，10所对应的点分别是，，，，，其中不是点M，N的“关联点”是点______． (3)若点M表示的数是，点N表示的数是10，点P为数轴上的一个动点． ①若点P在点N左侧，且点P是点M，N的“关联点”，求此时点P表示的数． ②若点P在点N右侧，且点P，M，N中，有一个点恰好是另外两个点的“关联点”，求此时点P表示的数． 【答案】(1)、2、7； (2)． (3)①，，；②，，． 【分析】（1）根据“关联点”的概念即可解得． （2）根据“关联点”的概念逐个点计算即可解得 （3）①根据“关联点”的概念表示出距离，根据2倍的数量关系列式即可解得．②根据“关联点”的概念表示出距离，分四种情况进行解答． 【解析】（1）解：， ， 2是A，C的一个“关联点”， 设是A，C的一个“关联点”， 解得， 设是A，C的一个“关联点”， 解得， A，C的其他三个“关联点”所表示的数为：、2、7； （2）∵， ， ∴是关联点， ∵， ， ∴不是关联点， ∵， ， ∴是关联点， ∵， ， ∴是关联点， ∵， ， ∴是关联点， 故答案为：． （3）①若点P在点N左侧且在M的右侧，设点P表示的数为， 当 解得， 当 解得， 若点P在M点左侧，设点P表示的数为， ∴ 解得， 综上所述：P表示的数为：； ②若点P在点N右侧，设点P表示的数为， 当时， 则 解得， 当时， 则 解得， 当时， 则 解得， 当时， 则 解得， 综上所述：P表示的数为：，． 【点睛】此题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，读懂题意并根据题意列出方程． 11．【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 【答案】（1）3 （2） （3）；4.5； （4）1.5或9.5 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意， ，点 对应的数为 ，用代数式表示 ，列方程求解即可； ②根据动点从点向左出发，点对应的数为，由、两点之间的距离为8个单位长度，分两种情况：当点在点的右侧时，，当点在点的左侧时，，分别列方程求解即可． 【解析】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）数2对应的点与数对应的点重合， 对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：； （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， 设点对应的数为，点对应的数为， ， 解得：， 则， 点对应的数为，点对应的数为4.5， 故答案为：，4.5； （4）①根据题意，，点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②动点从点向左出发，点对应的数为， ∵、两点之间的距离为8个单位长度， ∴当点在点的右侧， 解得：； 当点在点的左侧， ， 解得：， 答：t值为1.5或9.5时，、两点之间的距离为8个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，折叠问题，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键． 题型5：数轴问题—双动点问题 12．如图1，有甲、乙两人借助运动器械在A、B两地之间各自做不间断往返匀速运动（即只要两人到达A或B地后则立即转身以同样的速度向另一端运动，转身后运动方向，速度均不改变），  已知甲的速度为30米/秒，乙的速度为20米/秒；    (1)已知A、B两地之间距离为1000米，若乙离开A地50米后，甲从A地出发，甲出发后经过____________秒与乙第一次相遇； (2)已知A、B两地之间距离为2000米，若甲、乙同时从A地出发，经过__________秒后，甲、乙第一次相遇； (3)如图2，若甲、乙同时从A地出发，甲与乙第一次相遇于C地，第二次相遇于D地，且C、D之间的距离为300米，问A、B两地之间距离为多少米？ 【答案】(1)5 (2)80 (3)A、B两地之间的距离为750米 【分析】（1）设甲出发后经过秒与乙第一次相遇，根据追及问题的特点列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设经过秒后，甲、乙第一次相遇，乙还在向B地运动，而甲在返回向A地运动，即两人运动的距离之和为A、B两地之间距离的2倍，据此列出一元一次方程，解方程即可求解； （3）根据甲的速度为30米/秒，乙的速度为20米/秒，可得相同时间内，甲乙行走的距离之比等于其速度之比，第一次相遇时，甲总计走的距离为：，乙总计走的距离为：，即有，可得，，第二次相遇时，甲总计走的距离为：，乙总计走的距离为：，同理有，可得，结合，可得，再根据C、D之间的距离为300米，可得，问题得解． 【解析】（1）设甲出发后经过秒与乙第一次相遇， 根据题意有：， 解得：， 即甲出发后经过5秒与乙第一次相遇， 故答案为：5； （2）设经过秒后，甲、乙第一次相遇， 第一次相遇时，乙还在向B地运动，而甲在返回向A地运动， 即两人运动的距离之和为A、B两地之间距离的2倍， 即根据题意有：， 解得：， 即甲出发后经过秒与乙第一次相遇， 故答案为：； （3）∵甲的速度为30米/秒，乙的速度为20米/秒， ∴相同时间内，甲乙行走的距离之比等于其速度之比， 第一次相遇时，甲总计走的距离为：，乙总计走的距离为：， ∴， ∵， ∴，， 第二次相遇时，甲总计走的距离为：，乙总计走的距离为：， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵C、D之间的距离为300米， ∴， ∴， 答、A、B两地之间的距离为米． 【点睛】本题主要考查了行程问题以及一元一次方程的应用，明确题意，列出方程，是解答本题的关键． 13．综合与实践： 如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示10，点表示18，我们称点和点在数轴上相距28个长度单位．动点同时开始运动，点从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，直至点处停止运动；点从点出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，直至点处停止运动．设运动的时间为秒．问：    (1)当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是______；当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是______； (2)动点从点运动至点需要多少时间？ (3)两点何时相遇？相遇时，求出相遇点所对应的数是多少？ (4)在整个运动过程中，是否在线段上存在两点在数轴上相距的长度与两点在数轴上相距的长度相等？（若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由） 【答案】(1)，6； (2)动点从点运动至点需要19秒； (3)两点秒相遇，相遇点所对应的数是； (4)存在，11． 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，利用与的时间相等得出方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）由路程、速度、时间三者关系，数轴上两点之间的距离与有理数的关系求出当点运动2秒时，点在数轴上表示的数是，当点运动10秒时，点在数轴上表示的数是6； （2）根据路程除以速度等于时间，可得答案； （3）根据相遇时，的时间相等，可得方程，根据解方程，可得答案； （4）根据与的长度相等，可得方程，根据解方程，可得答案． 【解析】（1）点从点出发，运动2秒时，点在数轴上表示的数是， 点从点出发，运动10秒时，点在数轴上表示的数是． 故答案为：，6； （2）点运动至点时，所需时间为（秒． 故动点从点运动至点需要19秒； （3）由题可知，、两点相遇在线段上于处，设． 则， 解得， 则． 故、两点秒相遇，相遇点所对应的数是； （4）存在， 由题意可得：， 解得：， 答：的值为11 14．如图，正方形的周长为米，甲、乙两人分别从点、同时出发，沿正方形的边行走，甲按顺时针方向每秒行米，乙按顺时针方向每秒行米．    (1)经过________________秒，甲第一次（初始位置除外）到达点处，且乙第一次到达点处； (2)经过________________秒，甲乙两人第一次都处在正方形的顶点处； (3)经过________________秒，甲乙两人第一次都在正方形的同一顶点处； (4)甲乙两人能否同时出现在正方形的同一顶点处吗？ 【答案】(1) (2)30 (3)90 (4)不能 【分析】（1）分别求得甲乙走完一圈需要的时间，根据题意，求得与的最小公倍数为，即可求解； （2）分别求得甲乙走完一边需要的时间，根据题意，求得与1的最小公倍数为，即可求解； （3）根据题意，由（2）可得经过秒后，甲乙两人都处在正方形的顶点处，可得此时甲走了2条边，乙走了3条边，要使甲乙两人第一次都在正方形的同一顶点处，则乙要比甲多走条边，进而即可求解； （4）根据题意得出每一次相遇都在点，进而即可得出结论． 【解析】（1）解：甲走完一圈需要秒， 乙走完一圈需要秒， 与的最小公倍数为， ∴经过秒，甲第一次（初始位置除外）到达点处，且乙第一次到达点处； 故答案为：． （2）甲走完一边需要秒，乙需要秒， 与的最小公倍数为，则经过秒后，甲乙两人第一次都处在正方形的顶点处 故答案为：． （3）由（2）可得经过秒后，甲乙两人都处在正方形的顶点处 此时甲走了2条边，乙走了3条边， 要使甲乙两人第一次都在正方形的同一顶点处，则乙要比甲多走条边， ∴， 故答案为：． （4）由（3）可得甲乙两人第一次都在正方形的同一顶点处，走了秒，则在顶点相遇， ∵甲按顺时针方向每秒行米，乙按顺时针方向每秒行米 第一次相遇时，解得：，即第一次相遇在顶点，     第二次相遇时，设从第一次相遇起秒后相遇， 依题意，，解得， 此时从开始起经过了秒， ，即甲从点跑了圈到达点， ，即乙从点跑了圈多一条边，也到达了点 即再次相遇在点（即从第一次相遇后甲再跑了2圈，乙再跑了3圈），如此循环，始终在点相遇，    ∴甲乙两人不能同时出现在正方形的同一顶点处． 【点睛】本题考查了公倍数的应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 题型6：数轴问题—三动点问题 15．如图，直线l有上三点M，O，N，MO=3，ON=1；点P为直线l上任意一点，如图画数轴． （1）当以点O为数轴的原点时，点P表示的数为x，且点P到点M、点N的距离相等，那么x的值是________； （2）当以点M为数轴的原点时，点P表示的数为y，当y= 时，使点P到点M、点N 的距离之和是5； （3）若以点O为数轴的原点，点P以每秒2个单位长度的速度从点O向左运动时，点E从点M以每秒1个单位长度速度向左运动，点F从点N每秒3个单位长度的向左运动，且三点同时出发，求运动几秒时点P、点E、点F表示的数之和为-20． 【答案】（1）-1；（2）-0.5或4.5；（3）t=3 【分析】（1）根据已知条件先确定点表示的数为，点代表的数为，进而利用数轴上两点之间的距离公式、以及点到点、点的距离相等列出关于的方程，解含绝对值的方程即可得解． （2）根据已知条件先确定点表示的数为，进而利用数轴上两点之间的距离公式、以及点到点、点的距离之和等于列出关于的方程，解含绝对值的方程即可得解． （3）设运动时间为秒，根据已知条件找到等量关系式，列出含方程即可求解． 【解析】（1）∵点为数轴的原点，， ∴ 点表示的数为，点代表的数为 ∵点表示的数为，且点到点、点的距离相等 ∴ ∴ 故答案是： （2）∵点为数轴的原点，， ∴ 点代表的数为 ∵点P表示的数为y ∴， ∵点到点、点的距离之和是 ∴ ∴或 故答案是：或 （3）设运动时间为秒 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为 答：求运动秒时点、点、点表示的数之和为． 【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离、绝对值方程以及动点问题，难度稍大，需认真审题、准确计算方可正确求解． 16．点分别对应数轴上的数，且满足，点是线段上一点，． （1）直接写出 ， ，点对应的数为 ； （2）点从点出发以每秒1个单位长度的速度向左运动，点从点出发以每秒2个单位长度的速度向左运动，设运动时间为秒． ①在运动过程中，的值是否发生变化？若不变求出其值，若变化，写出变化范围； ②若，求的值； ③若动点同时从点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点相遇后，立即以同样的速度返回，为何值时，恰好是的中点． 【答案】（1）-2，10，2；（2）①不变，2；②或；③或 【分析】（1）根据绝对值及完全平方的非负性，可得出a、b的值，再根据可得出点对应的数； （2）①先根据题意用t表示出点、点对应的数，再根据两点间的距离分别得出PD和AC的长，从而确定的值 ②根据列出关于t的方程，求出t的值即可． ③分和两种情况进行讨论 【解析】（1）解（1）∵， ∴a=-2，b=10， ∴AB=b-a=10-（-2）=12． 设点P 表示的数为x； ∵点是线段上一点，， ∴10-x=2（x+2），∴x=2 ∴点对应的数为2 故答案为：，， （2）①根据题意得: 点C表示的数为: ,点D表示的数为: ,点D表示的数为:2 ∴ ， ∴ ②∵点C表示的数为: ,点D表示的数为: ,点D表示的数为:2 ∴， ∵ ∴ ∴或 ③∵点C表示的数为: ,点D表示的数为: ,点D表示的数为:2 ∴点E表示的数为: ∴或 或 【点睛】本题考查了数轴与绝对值、解一元一次方程，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．． 题型7：数轴问题—定值问题 17．已知，数轴上有三个点，，，它们的起始位置表示的数分别是，，6，如图所示．    (1)若将点从起始位置开始沿数轴向右移动，使得，两点之间的距离与，两点之间的距离相等，则须将点向右移动______单位； (2)若点从起始位置开始，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时，点也从起始位置开始，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，设运动的时间为（秒）． ①求（用含的代数式表示）； ②若点也与点，同时从起始位置开始运动，且点以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，试问：是否存在一个常数，使得的值不随运动时间（秒）的变化而改变？若存在，请求出常数，并求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)①当时，，当时，；②，原式 【分析】本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间距离公式，一元一次方程的应用等，用含t的代数式表示各动点所在位置表示的数是解题的关键． （1）设点向右移动了x个单位，根据两点间距离公式表示出和，列等式解方程即可； （2）①分点B在点C左侧与右侧两种情况，用含t的代数式表示出和，作差即可；②用含t的代数式表示出和，进而表示出，令t的系数为0可求出常数的值． 【解析】（1）解：当，两点之间的距离与，两点之间的距离相等时，在和之间， 设点向右移动了x个单位，则移动后所在位置表示的数为， 则， 解得， 故答案为：； （2）解：①运动的时间为（秒）时，点表示的数为，点表示的数为， 当点B与点C重合时，， 解得， 当时，点B在点C左侧，，， ； 当时，点B在点C右侧，，， ； ②运动的时间为（秒）时，点表示的数为， ，， ， 令，得， 当时，的值不随运动时间（秒）的变化而改变， ． 18．数轴上有三个点A、B、C，分别代表的整数是、b、c，C点在数轴上的位置如图，、b满足 （1）=________，=____________，点A与点B之间的距离是_____________ （2）点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每秒4个单位长度的速度向左运动，点C以每秒个单位长度的速度向右运动，点A、B、C同时运动，设运动时间为秒，回答下列问题： ①秒时，A对应的数为__________（用含的式子表示）； ②当>5时，点A与点B之间的距离是________________（用含的式子表示）； ③若点A与点C之间的距离记为，点B与点C之间的距离记为，是否存在有理数，使得代数式的值为定值？若存在，求出的值及该定值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）-8，6，10；（2）①；②；③存在有理数，使得代数式的值为定值，，定值为34 【分析】（1）结合题意，可得；根据绝对值和乘方的性质，通过求解一元一次方程，得到a和b的值；再根据数轴的性质，计算得到点A与点B之间的距离； （2）①根据数轴的性质，结合题意，即可得到A对应的数； ②首先求得秒时，B对应的数为：；再根据数轴性质，计算得到>5时，点A与点B之间的距离； ③首先求得秒时，C对应的数；再根据数轴性质，计算得到和；结合题意，通过代数式计算，得到x的取值，即可完成求解． 【解析】（1）结合题意，得 ∵ ∴ ∴ ∴点A与点B之间的距离是： 故答案为：-8，6，10； （2）①结合题意，秒时，A对应的数为：； ②秒时，B对应的数为： ∴当，点A与点B之间的距离是： ③∵点C以每秒个单位长度的速度向右运动 ∴秒时，C对应的数为： ∵，且 ∴ ∴ 当时，，为定值 ∴存在有理数，使得代数式的值为定值，，定值为34． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、乘方、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、绝对值、乘方、一元一次方程、代数式的性质，从而完成求解． 题型8：一元一次方程的实际应用、传统文化的应用 19．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 【答案】(1)20； (2)吨 (3)11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）该户居民8月份用水8吨，应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，计算即得答案；若该户居民9月份应交水费26元，判断应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （2）先判断该用户10月份用水量超过10吨，再设未知数列方程并求解，即得答案； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨，分和两种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【解析】（1）， 所以该用户8月应交水费20元； 设该用户9月用水量为x吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户9月用水量为吨； 故答案为：20；． （2）设该用户10月用水量为y吨， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户10月用水量为吨； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）， 答：11月份应交水费16元，12月份应交水费36元． 20．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 【答案】(1)10；； (2)小胖的说法对，大胖的说法不对，理由见解析； (3)21，23或29． 【分析】（1）由日历中5个数的位置关系，即可求出a3，同样可用含x的式子表示a4； （2）由5个数之和分别为106和90，解之可得出a值，进而可得结论； （3）找出a的可能值，进而可得出2a+1的值，结合b的值及b = 2a+ 1可确定b值． 【解析】（1）解：由题意得：a3=1+7+2=10，若a＝x，则a4=x+1-7=x-6， 故答案为：10；x-6； （2）解：小胖的说法对，大胖的说法不对， 理由：小胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =106，解得：a=24； 大胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =90，解得：a=20.8 (不符合题意，舍去)； ∴小胖的说法对，大胖的说法不对； （3）解：a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30， ∴2a+1的值可以为：19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61； ∵b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b= 2a+1， ∴b的值可以为：21，23，29， 故答案为：21，23或29． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 21．请阅读下列材料，并解答相应的问题： 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的3×3方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)请你将下列九个数：，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，x的值为______； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用e表示为______；进而可得该幻方中9个数的和可用e表示为______；a，h，f之间的数量关系为______； (4)图4的三阶幻方中，y的值为______． 【答案】(1)图见解析 (2)1 (3) (4) 【分析】（1）根据给出的幻方，可知最中央数字为9个数的和的平均数，再利用9个数的和÷3得到每行，每列，每条对角线上的三个数之和，在这组数中先确定两组和为的数，然后再分别推出其他位置的数字，填图即可； （2）根据给出的幻方，可以推出最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，列式求解即可； （3）根据最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，即可用表示幻和，幻和×3即可得到9个数的和；利用幻和为，分别用幻和和表示出和，再利用等于幻和，列式求解即可； （4）根据每行，每列，每条对角线上的三个数的和相等，和最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，进行计算即可． 【解析】（1）解：根据题意可知： 最中央的数字为：， 每一行，每一列，每条对角线上的三个数字和为：， 填表如下： （2）解：由题可知：最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，设第一行的最后一个数字为：， 则：，解得：， 设第一列的中间数字为：， 则：， 解得：； 故答案为：1； （3）解：由题意得：该幻方的幻和可用e表示为：； 该幻方中9个数的和可用e表示为：； ∵ ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：； （4）解：由题意得： 设第一列的最后一个数字为：， 则：， ∴， ∴最中央的数字为：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意推出幻和等于最中央数字的3倍，最中央的数字是每一行，每一列，每一条对角线上其它两个数字的平均数，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$