特训06 分式解答压轴题（八大题型）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（2024沪教版，上海专用）

特训06 分式解答压轴题（八大题型） 目录： 题型1：分式的求值与运算 题型2：解分式方程—材料、规律题 题型3：解分式方程-解分式方程组 题型4：最值问题 题型5：求值探究题 题型6：拆项法 题型7：其他问题 题型8：分式方程的实际应用 题型1：分式的求值与运算 1．（2023秋•奉贤区月考）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即A+B＝A•B，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如分式与分式，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”． （1）请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？ （2）小明在研究“互为关联分式”是发现： 因为A+B＝A•B，又因为A、B都不为0， 所以，所以＝1， 也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1． 请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”． 2．（2022秋•静安区期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如：＝＝1+ （1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和； （2）利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值． 3．（2023秋•金山区校级月考）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察（2）整体设元（3）整体代入（4）整体求和等． 例1：分解因式（x2+2x）（x2+2x+2）+1． 解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y， 原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4． 例2：已知ab＝1，求的值． 解：． 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1进行因式分解； （2）计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2023）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2023）×（2+3+…+2022）＝　 　； （3）①已知ab＝1，求的值； ②若abc＝1，直接写出的值． 4．（2020秋•静安区期末）阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：＝． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 　 　． （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　． 题型2：解分式方程—材料、规律题 5．（2024秋•徐汇区校级期中）我们把形如x+＝a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”． 例如x+＝4为十字分式方程，可化为x+＝1+3， ∴x1＝1，x2＝3． 再如x+＝﹣6为十字分式方程，可化为x+＝（﹣2）+（﹣4）， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若x+＝﹣5为十字分式方程，则x1＝ 　 　，x2＝ 　 　． （2）若十字分式方程x﹣＝﹣2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值． （3）若关于x的十字分式方程x﹣＝﹣k﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值． 6．（2023秋•金山区期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为； 方程的解为； 方程的解为； ⋯⋯ （1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 　 　； （2）根据上述的规律，猜想关于x的方程的解是 　 　； （3）由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 题型3：解分式方程-解分式方程组 7．（2023秋•徐汇区校级月考）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子解答问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子的分子分母颠倒位置，变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以． 即，即． 所以． 根据材料回答问题：（直接写出答案） （1）已知，则＝　 　；＝　 　． （2）解分式方程组，则方程组的解为 　 　． 8．（2019秋•浦东新区期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式x2+的值． 解：因为，所以＝4即x+＝4，所以x2+﹣2＝16﹣2＝14． 根据材料回答问题（直接写出答案）： （1），则x+＝　 　． （2）解分式方程组，解得方程组的解为　 　． 题型4：最值问题 9．（2024•常德三模）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，… 含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①a2b2；②a2﹣b2；③中，属于对称式的是 　 　（填序号）； （2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n． ①若，求对称式的值； ②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值． 题型5：求值探究题 10．（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 题型6：拆项法 11．（2019春•邛崃市期中）因为＝1﹣，＝﹣，…，＝﹣， 所以++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝． 解答下列问题： （1）在和式+++…中，第九项是　 　；第n项是　 　． （2）解方程++…+＝1﹣． 12．（2022春•雨花区校级月考）解答下列问题： （1）已知对任意的正整数n，下面的等式恒成立：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2． 若，求正整数n． （2）若不等式对任意正整数n都成立，且a是正整数，求a的最小值． （3）现有数列3，5，3，5，5，3，5，5，5，5，3，…，它的各项均为3或5，首项为3，且在第k个3和第k+1个3之间有2k﹣1个5，求此数列的前2021项的和． 题型7：其他问题 13．（2023秋•武冈市期中）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式A＝，B＝，A﹣B＝﹣（）＝＝＝2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式C＝，D＝，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式P＝，Q＝，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和； （3）已知分式M＝，N＝（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值． 14．（2022秋•文登区期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：＝＝+＝1+； ＝＝+＝2+（﹣）． （1）下列分式中，属于真分式的是：　 　（填序号）； ①　　 ② ③　 　④ （2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：＝　 　+　 　，若假分式的值为正整数，则整数a的值为　 　； （3）将假分式 化成整式与真分式的和的形式：＝　 　． 15．（2023春•玄武区校级期中）深化理解：阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b； 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b． ∵对于任意x上述等式成立， ∴解得：． ∴＝x﹣2+． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 　 　； （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值． 题型8：分式方程的实际应用 16．（2024秋•裕华区校级期中）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：　 　元 （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 　 　． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 17．（2023秋•重庆期末）沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务． （1）若甲、乙两厂共生产3000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多250块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？ （2）若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多30%，甲、乙两厂各生产6500块光伏板时，乙厂比甲厂多用3天时间，求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？ 18．（2024秋•化州市月考）【任务】如何确定化橘红销售单价及如何进货才能获得最大利润． ①化州某大药房购进李橘园、宝橘园两种型号的橘红，进货价分别是40元每克、65元每克． ②大药房对宝橘园橘红的标价是李橘园橘红标价的2倍，若顾客分别用1000元按标价购进李橘园橘红重量比宝橘园橘红重量多10克． ③大药房准备用不超过30000元购进两园橘红共500克，且从李橘园进货不多于150克，它们都按标价销售． 【问题解决】 （1）求李橘园、宝橘园两种型号的橘红的标价． （2）探究李橘园、宝橘园两种型号的橘红的进货方案一共有多少种？（注：进货重量克取正整数） （3）确定大药房如何进货才能获得最大利润？ 19．（2024秋•陆丰市校级月考）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士100ml/杯 茉莉清茶500ml/杯 茉莉清茶400ml/杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500ml，配制的17500ml茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训06 分式解答压轴题（八大题型） 目录： 题型1：分式的求值与运算 题型2：解分式方程—材料、规律题 题型3：解分式方程-解分式方程组 题型4：最值问题 题型5：求值探究题 题型6：拆项法 题型7：其他问题 题型8：分式方程的实际应用 题型1：分式的求值与运算 1．（2023秋•奉贤区月考）定义：如果分式A与分式B的和等于它们的积，即A+B＝A•B，那么就称分式A与分式B“互为关联分式”，其中分式A是分式B的“关联分式”． 例如分式与分式，因为，，所以，所以分式与分式“互为关联分式”． （1）请通过计算判断分式与分式是不是“互为关联分式”？ （2）小明在研究“互为关联分式”是发现： 因为A+B＝A•B，又因为A、B都不为0， 所以，所以＝1， 也就是“互为关联分式”的两个分式，将它们各自分子和分母颠倒位置后相加，和为1． 请你根据小明发现的“互为关联分式”的这个特征，求分式的“关联分式”． 【分析】（1）根据关联分式的定义判断即可； （2）根据“互为关联分式”的特征，假设其“关联分式”通过分式的运算即可求得答案． 【解析】解：（1） ＝． ． 所以． 所以分式与分式不是“互为关联分式”． （2）设分式的“关联分式”为A． 那么．所以． 所以． 即分式的“关联分式”为． 2．（2022秋•静安区期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和． 例如：＝＝1+ （1）将假分式化为一个整数与一个真分式的和； （2）利用上述方法解决问题：若x是整数，且分式的值为正整数，求x的值． 【分析】（1）先将分子变形，化成（4x+2）﹣5，再将（4x+2）和﹣5分别除以分母，并化简即可． （2）将分式的分子减9再加9，然后分成两部分分别除以分母，化成一个整数与一个真分式之和，再利用正整数及数的整除特点，即可求出x的值． 【解析】解：（1）＝＝2﹣ （2）∵＝＝+＝x+3+ ∵分式的值为正整数 ∴x2＞0，x﹣3＞0 ∴x﹣3＝1或x﹣3＝3或x﹣3＝9 ∴x＝4或x＝6或x＝12 3．（2023秋•金山区校级月考）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察（2）整体设元（3）整体代入（4）整体求和等． 例1：分解因式（x2+2x）（x2+2x+2）+1． 解：将“x2+2x”看成一个整体，令x2+2x＝y， 原式＝y（y+2）+1＝y2+2y+1＝（y+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4． 例2：已知ab＝1，求的值． 解：． 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： （1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1进行因式分解； （2）计算：（1﹣2﹣3﹣…﹣2022）×（2+3+…+2023）﹣（1﹣2﹣3﹣…﹣2023）×（2+3+…+2022）＝　2023　； （3）①已知ab＝1，求的值； ②若abc＝1，直接写出的值． 【分析】（1）读懂例1，整体设元，利用公式法分解因式； （2）令1﹣2﹣3﹣⋯﹣2022＝a，2+3+⋯+2023＝b，则可得a+b＝1+2023，把原式变形为：ab﹣（a﹣2023）（b﹣2023）， 去括号，整理，然后利用提取公因式法分解因式，把a+b代入求值即可； （3）①认真读懂例2，整体代入化简求值； ②认真读懂例2，整体代入化简求值． 【解析】解：（1）（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1， 设x2﹣6x＝y， 原式＝（y+8）（y+10）+1 ＝y2+10y+8y+80+1 ＝y2+18y+81 ＝（y+9）2 ＝（x2﹣6x+9）2 ＝[（x﹣3）2]2 ＝（x﹣3）4； （2）（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2022）×（2+3+⋯+2023）﹣（1﹣2﹣3﹣⋯﹣2023）×（2+3+⋯+2022）， 令1﹣2﹣3﹣⋯﹣2022＝a，2+3+⋯+2023＝b， ∴a+b＝1+2023， 原式＝ab﹣（a﹣2023）（b﹣2023） ＝ab﹣（ab﹣2023a﹣2023b+20232） ＝ab﹣ab+2023a+2023b﹣20232 ＝2023（a+b﹣2023） ＝2023×（1+2023﹣2023） ＝2023； （3）解：①∵ab＝1， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝1； ②∵abc＝1， ∴ ＝ ＝ ＝， ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5． 4．（2020秋•静安区期末）阅读下列材料，解决问题： 在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：＝． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 　x+7+　． （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　2或4或﹣10或16　． 【分析】（1）将分子x2+6x﹣3化为x（x﹣1）+7（x﹣1）+4，依据题意可得； （2）将分子2x2+5x﹣20化为2x（x﹣3）+11（x﹣3）+13，依题意可得． 【解析】解：（1）＝＝++＝x+7+； 故答案为：x+7+； （2）＝＝2x+11+， ∵分式的值为整数， ∴为整数， ∴x﹣3＝±1或x﹣3＝±13， 解得：x＝2或4或﹣10或16， 故答案为：2或4或﹣10或16． 题型2：解分式方程—材料、规律题 5．（2024秋•徐汇区校级期中）我们把形如x+＝a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”． 例如x+＝4为十字分式方程，可化为x+＝1+3， ∴x1＝1，x2＝3． 再如x+＝﹣6为十字分式方程，可化为x+＝（﹣2）+（﹣4）， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣4． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若x+＝﹣5为十字分式方程，则x1＝ 　﹣2　，x2＝ 　﹣3　． （2）若十字分式方程x﹣＝﹣2的两个解分别为x1＝m，x2＝n，求的值． （3）若关于x的十字分式方程x﹣＝﹣k﹣1的两个解分别为x1，x2（k＞0，x1＞x2），求的值． 【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字方程”并代数运算即可求解 （3）善于观察并分析方程，代入运算即可求解． 【解析】解：（1）x+＝﹣5可化为x+＝（﹣2）+（﹣3）， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣3． （2）由已知得mn＝﹣5，m+n＝﹣2， ∴+ ＝ ＝ ＝ ＝﹣． （3）原方程变为x﹣2﹣＝﹣k﹣3， ∴x﹣2+＝k+（﹣2k﹣3） ∴x1﹣2＝k，x2﹣2＝﹣2k﹣3， ∴＝ ＝﹣． 6．（2023秋•金山区期末）阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为； 方程的解为； 方程的解为； ⋯⋯ （1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 　　； （2）根据上述的规律，猜想关于x的方程的解是 　，　； （3）由（2）可知，在解方程：时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 【分析】（1）观察所给材料的规律方程解有两个，一般是一个整数，另一个是它的倒数，所以此方程的解就可以确定． （2）根据（1）的结论容易确定方程一个是x＝a，另一个是它的倒数； （3）首先把方程变形为 ．，此时（y+2）相当于原来方程中的x，根据（1）就可以确定方程的解． 【解析】解：（1）根据题意可得：， 故答案为：， （2）根据题意可得：， 故答案为：， （3）将方程变形为： ． 即， 解得． 题型3：解分式方程-解分式方程组 7．（2023秋•徐汇区校级月考）阅读材料：在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子解答问题．在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子的分子分母颠倒位置，变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：因为，所以． 即，即． 所以． 根据材料回答问题：（直接写出答案） （1）已知，则＝　3　；＝　5　． （2）解分式方程组，则方程组的解为 　　． 【分析】（1）模仿例题．取倒数，再化简，即可求解，然后根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）先根据例题思路变形，再根据分式性质化简，再利用加减法求解． 【解析】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，5． （2）由得： ， 即， 由①+②，①﹣②并组成方程组，得： ， ③+④×5，得： ， 解得， 把代入④可得， 解得m＝﹣75， 经检验，原方程组的解是． 8．（2019秋•浦东新区期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式x2+的值． 解：因为，所以＝4即x+＝4，所以x2+﹣2＝16﹣2＝14． 根据材料回答问题（直接写出答案）： （1），则x+＝　3　． （2）解分式方程组，解得方程组的解为　　． 【分析】（1）根据题目中的例子，将题目中的分子分母的位置颠倒，然后化简即可求得所求式子的值； （2）根据题目中的例子，对所求式子化简变形，即可求得分式方程组的解． 【解析】解：（1）∵， ∴＝2， ∴x﹣1+＝2， ∴x+＝3， 故答案为：3； （2）， 化简，得 ， 即， 令， 则得， 解得，， 故， 故答案为：． 题型4：最值问题 9．（2024•常德三模）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，… 含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab． 请根据以上材料解决下列问题： （1）式子①a2b2；②a2﹣b2；③中，属于对称式的是 　①③　（填序号）； （2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n． ①若，求对称式的值； ②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值． 【分析】（1）根据对称式的定义进行判断； （2）①先得到a+b＝﹣2，ab＝，再变形得到＝＝，然后利用整体代入的方法计算； ②根据分式的性质变形得到＝a2++b2+，再利用完全平方公式变形得到（a+b）2﹣2ab+，所以原式＝m2+，然后根据非负数的性质可确定的最小值． 【解析】解：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是 ①③． 故答案为①③； （2）∵x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n ∴a+b＝m，ab＝n． ①a+b＝﹣2，ab＝， ＝＝＝＝6； ②＝a2++b2+ ＝（a+b）2﹣2ab+ ＝m2+8+ ＝m2+， ∵m2≥0， ∴的最小值为． 题型5：求值探究题 10．（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 【答案】实践探索：；问题解决：6 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． 题型6：拆项法 11．（2019春•邛崃市期中）因为＝1﹣，＝﹣，…，＝﹣， 所以++…+＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝． 解答下列问题： （1）在和式+++…中，第九项是　　；第n项是　　． （2）解方程++…+＝1﹣． 【分析】（1）归纳总结得到第九项，确定出第n项即可； （2）方程利用拆项法变形，计算即可求出解． 【解析】解：（1）第九项为；第n项是； （2）方程整理得：﹣+﹣+…+﹣＝1﹣， 整理得：﹣＝1﹣，即＝1， 解得：x＝0， 经检验x＝0是分式方程的解． 故答案为：（1）； 12．（2022春•雨花区校级月考）解答下列问题： （1）已知对任意的正整数n，下面的等式恒成立：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2． 若，求正整数n． （2）若不等式对任意正整数n都成立，且a是正整数，求a的最小值． （3）现有数列3，5，3，5，5，3，5，5，5，5，3，…，它的各项均为3或5，首项为3，且在第k个3和第k+1个3之间有2k﹣1个5，求此数列的前2021项的和． 【分析】（1）直接用给定的公式，换数求值即可； （2）先利用错位相差法，得到第n个式子的最大值，求得前n项和，然后求不等式的解； （3）算出第2021项在第几组，那么每个3，先看成5，则有2021个5的和，再减去多加的k个2即可． 【解析】解：（1）∵13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2， ∵， ∴1++1， ， ， ， ， ， ， ∵n是正整数， ∴， （4n2+2n）×11＝（n2+n）×42 整理，得：n2﹣10n＝0， 解，得n1＝0，n2＝10， ∵n是正整数， ∴n＝10． （2）设an＝， an+1＝， ∴an﹣1﹣an＝＝＜0． ∴an值随n的增大而减少， ∴当n＝1时，有最大值a1＝， ∴， ∴， ∴a最小的整数是2023． （3）把第k个3和它后面的2k﹣1个5这2k﹣1+1项称为一组，设第2021项在第k组， 则k是满足： k+1+2+3+…+2k﹣1≥2021 的最小正整数．求得k≥11，（也就是2021位，在这至少11组所有位数内）． 所以把k＝11组中的3也看成5，所以每个数大了2， 故S2021＝2021×5﹣（5﹣3）×11＝10083． 题型7：其他问题 13．（2023秋•武冈市期中）我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式A＝，B＝，A﹣B＝﹣（）＝＝＝2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式C＝，D＝，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式P＝，Q＝，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和； （3）已知分式M＝，N＝（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值． 【分析】（1）根据定义即判断． （2）根据定义，计算出E的代数式，然后分析P，即可找到所有的x的值，即可求值． （3）根据题意建立等式后，然后化简，再进行分类讨论即可找到a、b、c的值，即可求解了． 【解析】（1）C不是D的“雅中式”，理由如下， ＝ ＝． 即：C不是D的“雅中式”． （2）． ∵P是Q的雅中式． 又∵P关于Q的雅中值为2． ∴E﹣2x2﹣6x＝2（9﹣x2）． ∴E＝6x+18． ∴P＝＝＝． ∵P的值也为整数，且分式有意义． 故3﹣x＝±1，或3﹣x＝±2，或3﹣x＝±3，或3﹣x＝±6且x≠﹣3， ∴x的值为：0，1，2，4，5，6，9． 符合条件的x的值之和为：0+1+2+4+5+6+9＝27． （3）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1． ＝1． 整理得：（﹣b﹣c+a+4）x+bc﹣5a＝0． 由上式子恒成立，则：． 消去a得：bc﹣5b﹣5c+20＝0． ∴b（c﹣5）﹣5（c﹣5）＝5． ∴b（c﹣5）＝5（c﹣4）， ∴b＝， ∵a、b、c的整数． ∴c﹣4、c﹣5是L连续整数． 当c﹣4＝2、c﹣5＝1时，b＝10，c＝6，a＝12 ∴a﹣b+c＝8． 当c﹣4＝0、c﹣5＝﹣1时，c＝4，b＝0，a＝0． ∴a﹣b+c＝4． 当c﹣4＝4，c﹣5＝5时，c＝10，b＝6，a＝12， ∴a﹣b+c＝16． 当c﹣4＝﹣4，c﹣5＝﹣5时，c＝0，b＝4，a＝0， ∴a﹣b+c＝﹣4 综上：a﹣b+c的值为：8或4或16或﹣4． 14．（2022秋•文登区期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：＝＝+＝1+； ＝＝+＝2+（﹣）． （1）下列分式中，属于真分式的是：　③　（填序号）； ①　　 ② ③　 　④ （2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：＝　2　+　　，若假分式的值为正整数，则整数a的值为　﹣2、1或3　； （3）将假分式 化成整式与真分式的和的形式：＝　a+1+　． 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式； （2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式； （3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式． 【解析】解：（1）根据题意可得， 、、都是假分式，是真分式， 故答案为：③； （2）由题意可得， ＝， 若假分式的值为正整数， 则或2a﹣1＝1或2a﹣1＝5， 解得，a＝﹣2或a＝1或a＝3， 故答案为：2、，﹣2、1或3； （3）＝， 故答案为：a+1+． 15．（2023春•玄武区校级期中）深化理解：阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b； 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b． ∵对于任意x上述等式成立， ∴解得：． ∴＝x﹣2+． 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 　x+7+　； （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x的值． 【分析】（1）利用题干中的方法进行变形即可得出结论； （2）利用（1）中的方法将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，利用整除性质即可得出结论． 【解析】解：（1）由分母x﹣1，可设x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b， 则x2+6x﹣3＝（x﹣1）（x+a）+b＝x2+ax﹣x﹣a+b＝x2+（a﹣1）x﹣a+b． ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：． ∴＝＝x+7+． 故答案为：x+7+． （2）由分母x﹣3，可设2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b， 则2x2+5x﹣20＝（x﹣3）（2x+a）+b ＝2x2+ax﹣6x﹣3a+b ＝2x2+（a﹣6）x﹣3a+b， ∵对于任意x上述等式成立， ∴， 解得：． ∴＝＝2x+11+． ∵x为整数，分式的值为整数， ∴为整数， ∴x＝4或16或2或﹣10． 题型8：分式方程的实际应用 16．（2024秋•裕华区校级期中）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车． 燃油车 油箱容积：40升 油价：9元/升 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 新能源车 电池电量：60千瓦时 电价：0.6元/千瓦时 续航里程：a千米 每千米行驶费用：　　元 （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用是 　元　． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元． ①分别求出这两款车的每千米行驶费用． ②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为5096元和7256元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用） 【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用； （2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验； ②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可． 【解析】解：根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：＝ （元）． 故答案为：； （1）根据以上解答知：新能源车的每千米行驶费用是元． 故答案为：元； （2）根据题意可得： ． 解得：a＝600． 经检验：a＝600是原方程的解． ，． 答：新能源车的每千米行驶费用为0.06元，燃油车的每千米行驶费用为0.6元． （3）设每年行驶里程为x千米时，买新能源车的年费用更低， 根据题意得：0.06x+7256＜0.6x+5096， 解得：x＞4000． 答：每年行驶里程大于4000千米时，买新能源车的年费用更低． 17．（2023秋•重庆期末）沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现．光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础．2023年8月底，新疆光伏发电项目投入建设．甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务． （1）若甲、乙两厂共生产3000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产数量多250块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则甲厂每天生产的光伏板数量是多少？ （2）若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多30%，甲、乙两厂各生产6500块光伏板时，乙厂比甲厂多用3天时间，求甲、乙厂每天各生产多少块光伏板？ 【分析】（1）设甲厂每天生产的光伏板x块，则乙厂每天生产的光伏板（x﹣250）块，由“甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务”列出方程，即可求解； （2）设乙厂每天生产的光伏板m块，甲厂每天生产的光伏板（1+30%）m块，根据“甲、乙两厂各生产6500块光伏板时，乙厂比甲厂多用3天时间”列出方程，即可求解． 【解析】解：（1）设甲厂每天生产的光伏板x块，则乙厂每天生产的光伏板（x﹣250）块， 根据题意得2x+3（x﹣250）＝3000， 解得x＝750， 答：甲厂每天生产的光伏板750块； （2）设乙厂每天生产的光伏板m块，甲厂每天生产的光伏板（1+30%）m块， 根据题意得﹣＝3， 解得m＝500， 经检验m＝500是原方程的解， ∴（1+30%）m＝650， 答：甲、乙厂每天各生产650块和500光伏板． 18．（2024秋•化州市月考）【任务】如何确定化橘红销售单价及如何进货才能获得最大利润． ①化州某大药房购进李橘园、宝橘园两种型号的橘红，进货价分别是40元每克、65元每克． ②大药房对宝橘园橘红的标价是李橘园橘红标价的2倍，若顾客分别用1000元按标价购进李橘园橘红重量比宝橘园橘红重量多10克． ③大药房准备用不超过30000元购进两园橘红共500克，且从李橘园进货不多于150克，它们都按标价销售． 【问题解决】 （1）求李橘园、宝橘园两种型号的橘红的标价． （2）探究李橘园、宝橘园两种型号的橘红的进货方案一共有多少种？（注：进货重量克取正整数） （3）确定大药房如何进货才能获得最大利润？ 【分析】（1）李橘园橘红标价为x元，由任务②中的“大药房对宝橘园橘红的标价是李橘园橘红标价的2倍”得到宝橘园橘红的标价为2x元，进而根据“顾客分别用1000元按标价购进李橘园橘红重量比宝橘园橘红重量多10克”即可列出方程，求解并检验即可； （2）设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货（500﹣n）克，根据“大药房准备用不超过30000元购进两园橘红共500克，且从李橘园进货不多于150克”即可列出不等式组，求解即可解答； （3）设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货（500﹣n）克，所获利润为W元，列出W关于m的函数解析式，进而根据函数的增减性即可解答． 【解析】（1）解：设李橘园橘红标价为x元，则宝橘园橘红的标价为2x元． 根据题意，得：， 解得：x＝50， 经检验，x＝50是原分式方程的解， ∴2x＝100， 答：李橘园橘红标价为50元，则宝橘园橘红的标价为100元． （2）解：设从李橘园进货n克，则从宝橘园进货（500﹣n）克， 根据题意，得： ， 解得：100≤n≤150， ∴n的整数解为：100，101，⋯，150， 答：进货方案一共有51种． （3）解：设从李橘园进货n克，所获利润为W元， 则：W＝（50﹣40）n+（100﹣65）（500﹣n）＝﹣25n+17500， ∵﹣25＜0， ∴W随着n的增大而减小， ∴当n＝100时，W有最大值， ∴500﹣n＝400， 答：从李橘园进货100克，从宝橘园进货400克，才能获得最大利润． 19．（2024秋•陆丰市校级月考）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 芝士100ml/杯 茉莉清茶500ml/杯 茉莉清茶400ml/杯 杨梅肉 杨梅肉 多肉 多肉 素材2 9月2月当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的和每杯“满杯杨梅”的利润比为5：4，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，9月3日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500ml，配制的17500ml茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润是多少？ 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 【分析】任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制做“芝士杨梅”m杯，“满杯杨梅”n杯，两种奶茶获利为w元；根据制的17500ml茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于3500ml，有100m≥3500，m≥35，而，即可求出答案． 【解析】解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是y元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， ∴， ∴y＝8， 经检验：y＝8是原方程的解， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制做“芝士杨梅”m杯，“满杯杨梅”n杯，两种奶茶获利为w元； 由题意可知：400m+500n＝17500， ∴， ∵100m≥3500， ∴m≥35， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝35时，w取最大值，最大值为（元）， ， ∵35+7＝42（元）， ∴制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共42杯． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$