特训09 二次函数（一模复习，上海精选十一大题型，第24题）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训09 二次函数（一模复习，上海精选十一大题型，第24题） 目录： 题型1：存在性问题 题型2：二次函数与锐角的三角比 题型3：平移问题 题型4：旋转问题 题型5：翻折问题 题型6：取值范围问题 题型7：定值问题 题型8：根据等量关系求解或证明 题型9：根据条件求解等量关系 题型10：代数应用与几何应用综合 题型11：新定义题 题型1：存在性问题 1．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 题型2：二次函数与锐角的三角比 3．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； (2)联结、、，求的值； (3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标． 题型3：平移问题 4．（2024·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 题型4：旋转问题 5．（2024·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，等腰的顶点A在y轴上，，，抛物线过点A． (1)用含b的代数式表示顶点坐标 (2)若点O关于中点的中心对称点也恰好在抛物线上，求：抛物线的顶点坐标 (3)若将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点在抛物线上，求：抛物线的解析式． 6．（2024·上海虹口·模拟预测）二次函数的图象交x轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，点在对称轴上，且，若，请求出的值； (3)如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，点的对应点为点，点B的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标 题型5：翻折问题 7．（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 8．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过点B和点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为E，若点P在y轴上，当时，求点P的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后抛物线的顶点D落在x轴上的点M处，将沿直线翻折，得到，如果点Q恰好落在抛物线的图像上，求平移后的抛物线的表达式． 题型6：取值范围问题 9．（2020·上海黄浦·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过A、B两点．    (1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式； (2)在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点P的坐标； (3)如果抛物线的顶点D位于内，求a的取值范围． 10．（23-24九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式； (2)如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交于点E，连接，求的面积； (3)如果、在抛物线上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为，即．当时，求的取值范围． 题型7：定值问题 11．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 12．（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 题型8：根据等量关系求解或证明 13．（2024·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．    (1)求：、的值； (2)将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求：的值． 14．（2023·上海·一模）如图，已知抛物线经过和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P与点N重合，连接，求的正弦值； (3)若轴交于点E，若，求点E的坐标． 15．（2024·上海普陀·三模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 题型9：根据条件求解等量关系 16．（2022·上海松江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线经过点A、B．    (1)求抛物线的表达式； (2)P是抛物线上一点，且位于直线上方，过点P作轴、轴，分别交直线点M、N． ①当时，求点P的坐标； ②连接交于点C，当点C是的中点时，直接写出的值． 题型10：代数应用与几何应用综合 17．（2023·上海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 题型11：新定义题 18．（24-25九年级上·上海青浦·期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 19．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、， ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训09 二次函数（一模复习，上海精选十一大题型，第24题） 目录： 题型1：存在性问题 题型2：二次函数与锐角的三角比 题型3：平移问题 题型4：旋转问题 题型5：翻折问题 题型6：取值范围问题 题型7：定值问题 题型8：根据等量关系求解或证明 题型9：根据条件求解等量关系 题型10：代数应用与几何应用综合 题型11：新定义题 题型1：存在性问题 1．（2024·上海·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及点D坐标； (2)点N是y轴负半轴上的一点且，点Q在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点M，连接，当平分时，求点Q坐标； (3)如图，直线交抛物线的对称轴于E，P是坐标平面内一点，当与全等时，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解解析式，再把解析式化为顶点式求出点D的坐标即可； （2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可． （3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解． 【解析】（1）解：抛物线经过，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， ∴顶点D的坐标为； （2）解：如图1，设对称轴与轴交于点， 平分， ， 又， ， ， ． 由（1）可知对称轴为直线，则 在中，，． ， ；． ①当时，直线解析式为：， 联立得． 解得：，， 点在对称轴右侧的抛物线上运动， ， ②当时，直线解析式为：， 同理可求：， 综上所述：点的坐标为：或； （3）解：由题意可知：，，， ， ， ， 直线经过，， 直线解析式为， 抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点， 坐标为； ， 设点坐标为，则，， ， ∴与全等，有两种情况， 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 当，，即时， ， 解得：，， 即点坐标为或． 综上所述，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，一次函数与几何综合，勾股定理等等．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的值； (3)若点是线段上一个动点，联结，是否存在点，使得以点O、C、P为顶点的三角形与相似？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)； (2)； (3)存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得顶点坐标，利用勾股定理求得各边的长，证明是直角三角形，利用正切函数的定义求解即可； （3）根据，，分，，计算求解即可． 【解析】（1）解：根据题意，得． 解得， 故，． ∴； （2）解：令，则， ∴， ， ∴顶点坐标为， ∵，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：令，则， 解得或， ∴， ∵，点，， ∴，，， ∴， 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点F， 则， ∴， ∴． 当时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 过点P作轴于点G， 则， ∴， ∴； 综上所述，存在点P使得O、C、P为顶点的三角形与相似，且或． 【点睛】本题是二次函数的综合问题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，三角形相似的判定，正切函数的定义，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定定理是解题的关键． 题型2：二次函数与锐角的三角比 3．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线关于直线对称，且经过点和点，横坐标为4的点在此抛物线上． (1)求该抛物线的表达式； (2)联结、、，求的值； (3)如果点P在对称轴右方的抛物线上，且，过点P作轴，垂足为Q，请说明，并求点P的坐标． 【答案】(1)该抛物线的表达式为； (2) (3)点的坐标为． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）先证得是等腰直角三角形，可得，，过点作轴于，则，，，进而证得是等腰直角三角形，可得，，推出，再运用三角函数定义即可求得答案； （3）连接，先证得，得出，即，设，则，可得，得出，代入抛物线解析式求得，即可求得答案． 【解析】（1）解：抛物线关于直线对称， 设抛物线的解析式为，把、代入， 得：， 解得：， ， 该抛物线的表达式为； （2）解：在中，令，得， ， 、， ， 是等腰直角三角形， ，， 如图，过点作轴于，则，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ； （3）证明：如图，连接， 由（2）知是等腰直角三角形， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 点在对称轴右方的抛物线上， ，且， 解得：， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键． 题型3：平移问题 4．（2024·上海杨浦·一模）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且． (1)求抛物线的表达式； (2)点是线段上一点，如果，求点的坐标； (3)在第（2）小题的条件下，将该抛物线向左平移，点平移至点处，过点作直线，垂足为点，如果，求平移后抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点的横坐标为，点的横坐标为，根据对称轴，，列式，利用根与系数关系计算确定值即可． （2） 过点作于点，交右侧的的延长线于点，交左侧的的延长线于点，利用三角形全等，确定坐标，后根据解析式交点确定所求坐标即可． （3）设抛物线向左平移了个单位，则点，过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 证明，根据相似三角形的性质得出即可求解． 【解析】（1）解：∵抛物线与轴交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的顶点为，且， ∴， 解得， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）过点作于点，交右侧的的延长线于点， ∵， ∴， 过点作轴于点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为，， ∴，， ∴ ∴， 设的解析式为，的解析式为 ∴， 解得 ∴的解析式为，的解析式为， ∴， 解得， 故； （3）∵，点, 设抛物线向左平移了个单位，则点， 过点作轴的平行线交过点和轴的平行线于点，交过点和轴的平行线于点， 由（2）知，直线的表达式为：， 设 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题为考查了二次函数综合运用，三角形全等和相似、解直角三角形、图象平移等，正确作辅助线是解题的关键． 题型4：旋转问题 5．（2024·上海·三模）如图，在平面直角坐标系中，等腰的顶点A在y轴上，，，抛物线过点A． (1)用含b的代数式表示顶点坐标 (2)若点O关于中点的中心对称点也恰好在抛物线上，求：抛物线的顶点坐标 (3)若将绕点A按逆时针方向旋转，得到，点在抛物线上，求：抛物线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）配方得到，即得顶点； （2）过点B作轴于C，根据可求得点A的坐标，根据三角函数的定义可得，得到，得到的中点坐标，得到点O关于中点的中心对称点的坐标，代入抛物线的解析式求出b的值即可； （3）过点作于H，过H作轴于G，过点作于M，根据勾股定理和旋转的性质得：，证是等腰直角三角形，得到，证，得到，，根据，，得到，得到，代入，解得．即得． 【解析】（1）解：∵， ∴顶点； （2）解：如图1，过点B作轴于C， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的中点坐标为， ∴点O关于中点的中心对称点的坐标为， ∵该点也恰好在抛物线上， ∴， 解得， ∴，， 故顶点； （3）解：如图2，过点作于H，过H作轴于G，过点作于M， 由（1）得：， 由旋转的性质可得：，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵该点也恰好在抛物线上， ∴， 解得． 故． 【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形综合．熟练掌握二次函数的图象和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中心对称性质，旋转性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数定义，是解决问题的关键． 6．（2024·上海虹口·模拟预测）二次函数的图象交x轴于点，点，交轴于点，抛物线的顶点为点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，点是抛物线上的一点，设点P的横坐标为，点在对称轴上，且，若，请求出的值； (3)如图2，将抛物线绕轴正半轴上一点旋转得到新抛物线交轴于，两点，点的对应点为点，点B的对应点为点．若，求旋转中心点的坐标 【答案】(1) (2) (3)R 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即可求解； （3）在中，，，则，解得，在中，，故点的坐标为，进而求解． 【解析】（1）解：将，点，代入函数解析式得：， 解得：， 这个二次函数的表达式是； （2）解：过点作轴的平行线交过点与轴的平行线与点，交过点与轴的平行线于点， ，， ， ， ， ， 设点的坐标为，点的坐标为， 则，，，， 即， 解得（舍去）或4， 故； （3）解：过点作交的延长线于点， 由抛物线的表达式知，点，， 则， ，故， 故设，则， 在中，，， 则，解得， 在中，， 故点的坐标为， 由旋转的定义知，点是点、的中点， 则， 故点的坐标为． 【点睛】本题要考查了二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、图形的旋转、解直角三角形，解题的关键是正确的利用性质． 题型5：翻折问题 7．（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交所在直线于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标； (3)在（2）的条件下，连接，将沿直线翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)的对称点坐标为 【分析】（1）把代入即可得到结论； （2）由求得，根据等腰直角三角形的性质得到，列方程即可得到结论； （3）分为①当点在直线的上方时，②当点在直线的下方时，根据勾股定理和锐角三角形解答即可． 【解析】（1）解：把代入得， ， ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴轴， ∵， ∴， ∴，或， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， 或， 解得：（不合题意，舍去）， 或， ∴或； （3）解：①当点在直线的上方时，如图1，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ； ②当点在直线的下方时，如图2，设点关于直线的对称点为，过作于， 由（2）知，此时，， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴在中，，，解得：， ∴， 在中，，即， 解得：， 故点的纵坐标为，横坐标为， ∴， 综上所述，的对称点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．（23-24九年级下·上海崇明·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线经过点B和点，顶点为D． (1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标； (2)设抛物线与x轴的另一个交点为E，若点P在y轴上，当时，求点P的坐标； (3)将抛物线平移，得到抛物线，平移后抛物线的顶点D落在x轴上的点M处，将沿直线翻折，得到，如果点Q恰好落在抛物线的图像上，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】(1)，； (2)； (3)； 【分析】（1）根据抛物线经过点B和点，解方程组即可求得解析式，利用公式法即可求顶点坐标． （2）求出抛物线与x轴的另一个交点，设，利用勾股定理即可求得点坐标． （3）由于经过平移后顶点D落在x轴上，因此可以将抛物线可以看作是先将平移到顶点在原点的抛物线：，然后由抛物线再进行左右平移得到的一条抛物线，设由抛物线平移后抛物线解析式为：，利用经过将沿直线AB翻折，得到，连接，可得到为等边三角形，根据等边三角形性质，求出坐标，利用在抛物线上，即可解得． 【解析】（1）解： 直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B， ，， 抛物线经过点B和点， ，解得， 抛物线的表达式为：， 顶点坐标，即． （2）解：设抛物线与x轴的另一个交点为， 则，即， ， 点P在y轴上，设， ，，， 根据勾股定理得，， ，，， ， 解得， ． （3）解：，顶点为，由于抛物线的顶点由平移到了点，在轴上， 抛物线可以看作是先将平移到顶点在原点的抛物线，然后由抛物线再进行左右平移得到的一条抛物线， 抛物线：顶点为，解析式为， 设，则由抛物线平移后抛物线解析式为：， 设经过将沿直线翻折，得到后，图形如图所示， 连接，过点作轴于， 若落在原点右侧，则 ，， ， ， 沿直线翻折，得到， ， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 设点坐标为 ，， 若落在原点左侧，如图所示， ， ，， 无论落在原点哪一侧，点坐标表示都一样， 点在抛物线：上， ， 解得，（舍去，不与重合） ， 平移后的抛物线的表达式为：． 【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数的性质和图象、勾股定理、图象的翻折特征、二次函数图象的平移、解直角三角形等知识，熟悉其性质和图象，待定系数法求解析式，图象平移后解析式的表示，解直角三角形，分类讨论是解决问题的关键． 题型6：取值范围问题 9．（2020·上海黄浦·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，抛物线经过A、B两点．    (1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式； (2)在（1）题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当时，求点P的坐标； (3)如果抛物线的顶点D位于内，求a的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)抛物线的顶点D位于内，a的取值范围是 【分析】（1）已知抛物线与x轴的两交点，设其交点式为且，再代入C点坐标求得a即可； （2）如图1，设交y轴于点E，由点B、C坐标可得为等腰直角三角形，再由可得，利用可得的坐标，然后由B、E两点坐标可得直线解析式，再与二次函数解析式联立即可求得交点坐标； （3）由二次函数与x轴两交点可得其对称轴为，利用其交点式且，可得顶点坐标为，由点B、C坐标求得直线解析式令可得抛物线顶点纵坐标的最大值，若顶点D位于内，则顶点纵坐标要大于0，解不等式即可求得a的取值范围； 【解析】（1）解：设抛物线的解析式为且， 将点C的坐标（0，3）代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，设交y轴于点E，    ∵、， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴， ∵点P在第三象限， ∴， 设直线的解析式为：且， 把和代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当直线和二次函数相交时：， 解得：，， 代入一次函数可得交点坐标为或， ∵点P在第三象限， ∴； （3）解：∵抛物线经过A、B两点， ∴对称轴是：直线， 由、，可得直线的解析式为：， 可知当时，， 设抛物线的解析式为且， 令可得其顶点坐标为， 当顶点坐标刚好在直线上时可得：，则， 由图可知当抛物线的顶点D位于内时，其顶点纵坐标取值范围：， ∴； 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数与一次函数的综合，正切三角函数，二次函数的对称轴等知识；掌握二次函数的交点式是解题关键． 10．（23-24九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求点A、B的坐标以及该抛物线的表达式； (2)如图，如果点D是抛物线的顶点，过点D作y轴的平行线，交于点E，连接，求的面积； (3)如果、在抛物线上，我们将称为P、Q两点的函数值的平均变化率，并记为，即．当时，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及一次函数解析式，二次函数综合问题知识． （1）依据题意，抛物线的对称轴为直线，又，依据抛物线的对称性，从而可得、，将代入，求出，即可得解； (2)依据题意，由可得，设直线的表达式为，将、代入，可得直线的表达式为，又由抛物线可得顶点坐标标为，又与y轴平行，从而可得，进而求出的面积； （3）依据题意，由、在抛物线上，从而结合所给信息求出，再结合，即可判断得解． 【解析】（1）解：抛物线的对称轴为直线．     又，依据抛物线的对称性， ∴或， ∴、．      将代入，可得． 故该抛物线的表达式为． （2）由题意可得 ，设直线的表达式为． 将、代入， 得，解得． 即直线的表达式为．     抛物线的顶点坐标为．     ∵与轴平行， ∴点横坐标与点的横坐标相等， 将代入， 可得． 故．    ∴的面积为 （3）∵ 、在抛物线上， ∴ ．   又∵， ∴． 题型7：定值问题 11．（23-24九年级上·上海黄浦·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点．对称轴为直线的抛物线经过点，其与轴的另一交点为． (1)求该抛物线的表达式； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，求线段的长； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 【答案】(1)； (2)①；②的面积不变，的面积为2． 【分析】（1）先求得，，利用抛物线的对称性求得，设抛物线的表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①；②联立求得，利用待定系数法求得直线的解析式为，作轴交直线于点，求得，利用三角形的面积公式，列式计算即可求解． 【解析】（1）解：令，则；令，则，解得； ∴，， ∵对称轴为直线，其与轴的另一交点为， ∴， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①根据题意设新抛物线的顶点坐标为，则新抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得（舍去）或， 当时，新抛物线的解析式为， 令，则， 解得或； ∴与轴的另一交点为； ∴； ②的面积不变， ∵新抛物线的解析式为， 联立得，整理得， 解得或； ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 作轴交直线于点， 则点， ∴ ， ∴的面积不变，的面积为2． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合运用，利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，二次函数图象的平移，掌握以上基础知识是解本题的关键． 12．（2023·上海普陀·三模）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点．    (1)求：二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)已知，为抛物线上不与，重合的相异两点，若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】(1) (2) (3)的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 【解析】（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：对于，令，则 解得： ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）解：设，， ∵点为中点，， ∴, ∵，，三点共线， ∴可设直线的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， ∴可设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴只有的面积是定值，且的面积为．    【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型8：根据等量关系求解或证明 13．（2024·上海宝山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．    (1)求：、的值； (2)将抛物线向右平移个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连结，交轴于点． ①如果，求 的面积； ②如果，求：的值． 【答案】(1)， (2)①5；② 【分析】（1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可； （2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； ②根据，可知在的垂直平分线上，从而求出点坐标，进而求出所在直线表达式，从而求得点坐标，最后根据在平移后的抛物线上求出的值即可． 【解析】（1）解：设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式可得： ， 解得：，， 的表达式为：， 将点的坐标代入抛物线解析式得：， ， 将抛物线解析式改写成顶点式：， 点在直线上， ， 解得：或4， 当时，顶点和重合，不符合题意； ，． （2）解：①由（1）知，，抛物线解析式为：， ，原抛物线的对称轴直线为：， 平移后的抛物线解析式为：， 当时，， ， 设所在直线的表达式为：， 将点和点的坐标代入表达式得：， 解得：， 的表达式为：， ， ； ②由平移的性质可知，， ， 在的垂直平分线上， ， 设所在直线的表达式为：， 代入，的坐标得：， 解得：， 的表达式为：， ， 由顶点坐标可得平移后抛物线的表达式为：， 将点代入平移后的抛物线得：， 解得：， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、把二次函数的一般式化成顶点式、二次函数图象的平移、三角形的面积等，掌握平移变换后点以及抛物线变化的规律是解题的关键． 14．（2023·上海·一模）如图，已知抛物线经过和两点，与x轴交于M、N两点（N在M的右侧），直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．    (1)求该抛物线的表达式； (2)若点P与点N重合，连接，求的正弦值； (3)若轴交于点E，若，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法即可求解抛物线的表达式； （2）如下图，过点C作于点H，先求出点M，N的坐标，从而求得，，，利用待定系数法求得直线为：，进而求得，，，根据面积公式即可求得，从而即可得解； （3）先证，得，，进而得，利用面积求得，设点E的坐标为，则点，进而有方程，解方程即可得解． 【解析】（1）解：∵抛物线经过和两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式； （2）解：如下图，过点C作于点H，    在抛物线中，令，则， 解得，， ∴，， 又∵， ∴，，， 设直线为：， ∵过和， ∴， 解得：， ∴直线为：， 令，则，解得， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 设点E的坐标为点E的坐标为，则点， ∵轴， ∴， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴点E的坐标为或．    【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质、待定系数法求一次函数与二次函数、相似三角形的判定及性质以及正弦，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及二次函数的性质是解题的关键． 15．（2024·上海普陀·三模）如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O、点，又与x轴正半轴相交于点A，，点P是线段上的一点，过点P作，与抛物线交于点M，且点M在第一象限内． (1)求抛物线的表达式； (2)若，求点P的坐标； (3)过点M作轴，分别交直线轴于点N、C，若的面积等于的面积的2倍，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）过点作轴，垂足为点，根据等腰直角三角形的性质可求点，用待定系数法可求抛物线的表达式； （2）根据平行线的性质可得，可求点坐标，用待定系数法可求直线，直线，直线的解析式，即可求点坐标； （3）延长交轴于点，作于点，根据等腰直角三角形的性质可得，，根据锐角三角函数可得，可得，根据面积关系可求的值，再求出的值，即可得证． 【解析】（1）解：如图，过点作轴，垂足为点， 点， ，， ，， ， ， 点， 抛物线过原点、点、， 设抛物线的表达式为， ， 解得：，， 抛物的线表达式为：． （2）解：如图， ， ，且， ， ， 设点，且点在抛物线上， ， （舍去），， 点， 点，点，点， 直线解析式为，直线解析式为，， 设解析式为，且过点， ， ， 解析式为， ， 解得：， 点． （3）解：如图，延长交轴于点，作于点， ，， ， ，， 又，， ，， ， ， ， 点坐标， ， ， ， 的面积等于的面积的2倍， ， ， ， 直线解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 题型9：根据条件求解等量关系 16．（2022·上海松江·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，抛物线经过点A、B．    (1)求抛物线的表达式； (2)P是抛物线上一点，且位于直线上方，过点P作轴、轴，分别交直线点M、N． ①当时，求点P的坐标； ②连接交于点C，当点C是的中点时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）先根据题意求出点、的坐标，代入即可求得抛物线的表达式； （2）①证明，可得，设点的横坐标为，则，又，，建立方程求解即可得出答案； ②连接交于点，先求出点的坐标，利用中点公式可求得，，再证明点是的中点，可得，建立方程求解即可得出答案． 【解析】（1）解： 直线与轴交于点、与轴交于点， 令，则， 令，则， ，， 抛物线经过点、， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）解：①是抛物线上一点，且位于直线上方，过点作轴、轴， 分别交直线于点、， ，， ， ， ， 设点的横坐标为， 则，， ， ，， ，， ， ， ， 解得， ； ②如图，连接交于点，    ∵轴，， 点的纵坐标为， 令，则， 解得：， ，， 点是的中点，， ，， 由①知：， 又点是的中点， ， ，， 轴、轴， ，，，， ，， ，， ， 点是的中点， ， ， 解得：， ， ， ， 轴， ， ， 故的值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，中点公式的应用，难度不大，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 题型10：代数应用与几何应用综合 17．（2023·上海·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点、，过点作轴的平行线交该抛物线于点．已知点、．    (1)求该抛物线的表达式： (2)如果点位于该抛物线上，满足，求点的坐标； (3)将轴和直线同时向上平移相同的距离，所得两直线与该抛物线分别交于点、和点、，设四边形的面积为，点与的横坐标的差为，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）将、、代入得，，计算求解，进而可得抛物线的表达式； （2）如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，则，，设，则，，由，可求，即，待定系数法求直线的解析式为；联立，计算求解即可；如图1，由轴，可知，关于对称轴对称，由，可得与重合，由，可知对称轴为直线，则，可求，进而可求； （3）如图2，由题意知，、两直线的距离为2，设，，则，，，，，，可求，根据，求解即可，由，可得，然后作答即可． 【解析】（1）解：将、、代入得，， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图1，连接，在上取点，连接交抛物线于，使，    ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为； 联立， 解得， 或， ∴； 如图1， ∵轴， ∴，关于对称轴对称， 又∵， ∴与重合， ∵， ∴对称轴为直线， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：如图2，    由题意知，、两直线的距离为2， 设，，则，， ∴，，，， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数与角度综合，等角对等边，一次函数解析式，二次函数的图象与性质，平移的性质是解题的关键． 题型11：新定义题 18．（24-25九年级上·上海青浦·期中）定义：已知一次函数与二次函数，我们把函数称为与的“复合函数”． 例如：一次函数与二次函数的“复合函数”为． 已知一次函数与二次函数，函数为与的“复合函数”． (1)如果的图像上存在不同的两点与，求的值； (2)如果的图像经过原点，那的图像是否经过某一定点？若经过，求出点坐标，若不经过，请说明理由； (3)如果的图像同时满足（1）（2）的条件，记的图像与轴的另一个交点为点A，记的图像与轴的交点为点B，则的图像上是否存在点C，使得以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形？若存在，求出所有满足条件的中心对称图形的对称中心坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)经过， (3)存在，对称中心坐标为或 【分析】（1）由的图像上存在不同的两点与，可得函数的对称轴为直线，由题意知，，则，计算求解即可； （2）由题意知，，由的图像经过原点，可得，即，可求，则，当时，，然后作答即可； （3）由（1）（2）可知，，，则，，可求，由的图像与轴的交点为点B，可求，由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形；当为对角线时，则的中点为对称中心，则，当时，，此时不存在；当为边时，，，则，然后作答即可． 【解析】（1）解：∵的图像上存在不同的两点与， ∴函数的对称轴为直线， 由题意知，， ∴， 解得，； （2）解：由题意知，， ∵的图像经过原点， ∴，即， ∴， ∴， 当时，， ∴的图像经过一定点，； （3）解：由（1）（2）可知，，， ∴， ∴， 令， 解得，或， ∴， ∵的图像与轴的交点为点B， ∴， 由题意知，当以A、B、C、P四点为顶点所组成的凸四边形为中心对称图形时，该四边形为平行四边形； 当为对角线时，则的中点为对称中心， ∴， 当时，，此时不存在； 当为边时，，， ∴， 当时，，此时对称中心坐标为，即； 当时，，此时对称中心坐标为，即； 综上所述，存在，对称中心坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合．熟练掌握二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，中心对称的性质，二次函数与平行四边形的综合是解题的关键． 19．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）新定义：关于x轴对称的两条抛物线叫做“同轴对称抛物线”． (1)求：抛物线的“同轴对称抛物线”． (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、， ①当四边形为正方形时，求：a的值． ②在①的条件下，抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像与一次函数相交于点M和点N（其中M在N的左边），将抛物线L的“同轴对称抛物线”的图像向上平移得到新的抛物线与一次函数相交于点P和点Q（其中P在Q的左边），满足，试在抛物线上有且仅有三个点，，，使得，，的面积均为定值S，请直接写出：，，的坐标． 【答案】(1) (2)①；②，， 【分析】（1）求出函数的顶点，由“同轴对称抛物线”的定义，求出它的顶点为，即可求解析式； （2）①由题意可求点，，，的坐标，再由正方形的性质可得或，求出即可； ②根据有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值，求得切点的坐标，根据一次函数的平移求得另外两个点的坐标． 【解析】（1）解：， “同轴对称抛物线”的顶点坐标为， ； （2）解：①由题可知，， ， 抛物线的对称轴为， ，， ， 或， 或， （舍去）或； ②由题意得，的“同轴对称抛物线”的表达式为：， 设抛物线向上平移了个单位符合题设条件，则， 联立和得：， 解得：或， 即， 联立和得：， 则，， 则， ， ， 直线和轴的夹角为， 则，， 而， 则， 即， 解得：， 则①； 设直线交轴于点（即点，在轴上方取点， 过点作直线使和抛物线只有一个交点，取，故点作， 则此时，在抛物线上有且仅有三个点，，使得，，的面积均为定值， 设直线的表达式为：②， 联立①②并整理得：， 则， 解得：， 则直线的表达式为：， 则点， 当时，即， 解得：， 则点； 则， 则点， 则直线的表达式为：， 联立和得：， 解得：， 则点的坐标为：或． 综上，点（即，，的坐标为：或或． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质、正方形的性质、不等式等知识点，解题的关键是根批题意画出图形，利用数形结合的思想解题，考查计算能力，属于难题． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$