特训11 一模选填中等难度抢分题（上海精选，十一大题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

特训11 一模选填中等难度抢分题（上海精选，十一大题型） 目录： 题型1：黄金分割的深刻理解 题型2：三角形一边的平行线中比例的转换或传递性 题型3：平行线分线段成比例的几何应用（含作简单辅助线） 题型4：平面向量的概念难点辨析、向量的线性运算 题型5：相似三角形的判定与性质 题型6：锐角三角比的大小比较、同角三角比的关系 题型7：解直角三角形的实际应用 题型8：解直角三角形的几何应用 题型9：二次函数的图像与性质 题型10：根据二次函数的图像判断参数或代数式符号 题型11：二次函数的几何应用 题型1：黄金分割的深刻理解 1．（2024·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质． 【解析】解：如图， ∵点是线段的黄金分割点，且， ∴， 故选：A． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知M是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是（    ） A． B． C． D．是与的比例中项 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，把一条线分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比等于即可得到答案． 【解析】解：由于M是线段上的黄金分割点， ， 故选项A正确，选项B、C错误； 由比例中项定义可知，选项D错误． 故选A． 3．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割、解一元二次方程，把当作已知数求出，求出，再分别求出各个比值，根据结果判断即可． 【解析】解：令，，则， 可变形为， 整理，得， ， 解得， 边长为正数， ，， 即，， ，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误； 故选B． 题型2：三角形一边的平行线中比例的转换或传递性 4．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点D、E和F分别在边、和上，，，如果，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例结合平行四边形逐个判断即可． 【解析】解：∵，设，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， A、由可得，，故选项A错误，不符合题意； B、由可得，故选项B错误，不符合题意； C、由可得，故选项C正确，符合题意； D、由可得，，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 5．（2021九年级·上海·专题练习）如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例的性质，即可解答． 【解析】 ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质，解题关键是熟练运用这个性质得到线段的比例关系． 6．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例的定理去求出各个线段的比例关系，选出正确选项． 【解析】解：A选项错误， ∵点D、点E是AB的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则； B选项错误，无法证明； C选项正确， ∵， ∴， ∵， ∴， 则； D选项错误， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用这个定理求出线段的比例关系． 题型3：平行线分线段成比例的几何应用（含作简单辅助线） 7．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例．熟练掌握正方形的性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 如图，记的 交点为，证明四边形为矩形，则，由，可得，即，求出的值，根据，作答即可． 【解析】解：如图，记的 交点为， ∵四边形是的内接正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴，即，解得，， ∴， 故答案为：4． 8．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 【答案】/3.5 【分析】根据梯形中位线的性质得到，因为，，则，在根据平行线分线段成比例得到是的中点，从而利用三角形中位线的性质即可得到即可确定答案． 【解析】解：梯形中，，梯形的中位线为， ，， ，， ， ，是的中点， 由平行线分线段成比例得到， ， 为的中位线，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查求线段长，涉及梯形中位线的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线的判定与性质，熟练掌握中位线的性质及平行线分线段成比例是解决问题的关键． 9．（21-22九年级上·上海金山·期末）如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么 ． 【答案】/1:2 【分析】根据题意先过D作BF的平行线，交AC边于G，得出DG∥BF，再根据D为BC中点可得出△CDG∽△CBF，即，CG=FC=FG；同理得出△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，从而得出AF=FG=GC，即可得出的值． 【解析】解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示： ∵D为BC中点，DG∥BF， ∴∠CGD=∠CFB， 又∵∠C=∠C， ∴△CDG∽△CBF， ∴，即：CG=CF=FG， 又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF， 同理可得：△AEF∽△ADG， ∴，即：AF=AG=FG， ∴AF=FG=GC， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解． 10．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在直角梯形中，，，，，的平分线分别交，于点，，则的值是 ． 【答案】 【分析】过点F作于点G，由，得出，又是的平分线，结合，得到，即可求解本题． 【解析】解：作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，角平分线上的点到角两边的距离相等及等腰直角三角形的斜边长是直角边的倍，熟练掌握这几个知识点是解题的关键． 题型4：平面向量的概念难点辨析、向量的线性运算 11．（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．如果或，那么 B．如果，那么（k为实数） C．如果（k为实数），那么 D．如果，那么或 【答案】C 【分析】本题考查了平面向量的定义，向量的模，单位向量，平行向量，注意向量是既有大小又有方向的量，根据平面向量的定义，向量的模，单位向量，平行向量的定义一一判断即可． 【解析】解：A．如果或，那么，故错误； B．如果，那么或（k为实数），故错误； C．如果（k为实数），那么，故正确； D．如果，那么或，故错误； 故选：C． 12．（20-21九年级上·上海·期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（    ） ①； ②若，则； ③若、是实数，则； ④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得； ⑤如果非零向量，则与所在的直线平行； ⑥如果与分别是与的单位向量，则 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据平面向量的性质，一一判断即可． 【解析】①； ②若，向量既有大小，也有方向，故不确定； ③若、是实数，则； ④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得； ⑤如果非零向量，可得、方向相同，则与所在的直线平行； ⑥如果与不平行，则与也不平行． 综上，①②⑥不正确，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面向量的概念与运算，考查学生灵活运用知识的能力和推理论证能力．解题的关键是熟练掌握平面向量的性质． 13．（2024九年级上·上海·专题练习）已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【解析】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 14．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形法则等知识．根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质可得，利用三角形法则求出即可． 【解析】解：连接， ∵中线相交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】 15．（2024·上海虹口·三模）如图，在中，，，平分交于点，交于点，连结交于点，设，，用、的线性组合表示向量 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平面向量． 根据平行线的性质和角平分线的定义得到，设，根据得到，分别代入即可求得，再根据平面向量三角形减法法则得出，根据可求得与的关系，即可求解． 【解析】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为： ． 16．（2023·上海徐汇·一模）如图，已知为的重心，过点作的平行线交边和于点、，设、．用（为实数）的形式表示向量____________． 【答案】 【分析】由于G是三角形的重心，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，可得到，再根据平面向量加减运算可求得答案． 【解析】解：连接并延长交于点M， ∵ ∴ ∵点G是的重心， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故填：． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键． 题型5：相似三角形的判定与性质 17．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在等边三角形中，点E、F分别在、上，且，那么下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，首先证明，推出，再证明，，进而可得，综合判断即可得出答案． 【解析】解：∵是等边三角形， ，， ， ， ， ∴，故A选项正确，不符合题意； ， ，， ， ， ， ∴，故D选项正确，不符合题意； ，， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 故选项A，C，D正确，不符合题意， 故选：B． 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D、E分别在和上且，点M为边上一点（不与点B、C重合），连接交于点N，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴，， ∴，，故D符合题意，B、C不符合题意； 根据现有条件无法证明，故A不符合题意； 故选：D． 19．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，D、F分别是边上的点，，，那么________（   ）    A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．求出三个相似三角形的相似比是解决本题的关键．由于，那么，根据，可求出三个相似三角形的面积比．进而可求出、四边形、四边形的面积比． 【解析】解：， ， ， ， ， 设的面积是，则和的面积分别是，， 则和分别是，， ． 故选：D． 20．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，点分别在边上，且．若的面积是，那么的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线的判定等知识，先得到从而证明，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 21．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，且，下列等式成立的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，再利用相似三角形的性质和面积公式，逐一判断即可解答，熟练利用相似三角形的性质是解题的关键． 【解析】解：， ， ， ， ，故A不成立； , ，即，故B不成立； ， ， ，即，故C成立； , ，故D不成立， 故选：C． 22．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图所示，在正方形中，为对角线，点在边的延长线上，，连接交于点，那么的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理及相似三角形的判定和性质．设正方形的边长为，得，，，根据勾股定理得，证明，得，即可得解．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【解析】解：设正方形的边长为， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的值是． 故答案为：． 23．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（     ） A．3 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形中位线定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据梯形中位线定理可得，，根据，设，则，根据相似三角形的判定和性质求出 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得，根据两个三角形高相等，面积比等于底与底的比可得，进而可得结论． 【解析】解：∵，是梯形的中位线， ，， ， 设，则， ， ， ∴， ∴， 且E为的中点， ∴， ∴， ， 同理可得：， ， ， ， ， 的面积为1， ， ∵， ∴， ， ∴， ， ， 故选：C． 题型6：锐角三角比的大小比较、同角三角比的关系 24．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 【答案】D 【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案． 【解析】解：当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ； 当，， ， ， ， 综上所述，与的差不能确定， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论． 25．（2020·上海黄浦·一模）对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角的三角函数关系逐一判断即可． 【解析】解：A．，故本选项正确； B．，故本选项错误； C． ，故本选项错误； D． ，故本选项错误． 故选A． 【点睛】此题考查的是同角的三角函数关系，掌握同角的三角函数关系是解题关键． 26．（21-22九年级上·上海静安·期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可． 【解析】解：∵0°＜25°＜30° ∴ ∴． 故选A． 【点睛】本题主要考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°~90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 27．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）比较、、和的大小，并由小到大排列： ． 【答案】 【分析】把余弦化成正弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值随着角度的增大而增大，相同角的正切值大于正弦值即可解答 【解析】，正弦值随着角度的增大而增大 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，在一个单调区间内，正弦函数值随着角度的增大而增大，相同角的正切值大于正弦值． 题型7：解直角三角形的实际应用 28．（2023·上海杨浦·二模）如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道AB的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D到AB的距离的值为 米． 【答案】2.4/ 【分析】由题意延长交于E，并根据坡度和坡角可得过点D作于H，根据锐角三角函数即可求出    的长． 【解析】解：如图： 延长交于E， ， ∴， ， ， 过点D作于H， ， ， （米）． 答：点D到的距离的值为2.4米． 故答案为：2.4． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 29．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形．过点E作于，于，先利用正切三角函数可求出的值，在中，求出的值，然后根据线段的和差即可得出答案． 【解析】解：如图，过点E作于，于，      则四边形和四边形均为矩形， ， 由题意得：米，米，米，，， 在中，，即， 解得（米）， 米， 在中，，，， 米， （米）， 答：2号楼的高度是米． 故答案为：． 30．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米(即米)，遮阳篷的宽度为米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为时，遮阳篷在地面上的阴影宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，先作于点，作，交的延长线于点，然后根据锐角三角函数和勾股定理，可以求得和的值，从而可以求得的值． 【解析】解：作于点，作，交的延长线于点，如图， 由已知可得，米，，，米， (米)，(米)， 米，米， ，， (米) 故答案为：． 题型8：解直角三角形的几何应用 31．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【解析】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 32．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，，点是斜边的中点， ，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，锐角三角函数的应用，先求解，证明，可得，再进一步建立方程求解即可． 【解析】解：∵，点是斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为： 33．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在梯形中，，，，如果，，那么 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了平行线的性质，锐角三角函数，解答此题的关键是熟练掌握平行线的性质，余切函数的定义． 首先根据得，则，然后在中由，即可求出的长． 【解析】解：∵， ， ， 在中，，， ，即：， ． 故答案为：6． 34．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为 ． 【答案】/ 【分析】先根据矩形的性质得， ，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解． 【解析】解：∵四边形为矩形， ∴， ， ∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处， ∴，， 在中，∵， ∴， 设，则 在中，∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，求正弦值，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理． 题型9：二次函数的图像与性质 35．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．沿直线方向平移个单位，相当于向上平移2个单位，再向左平移2个单位，或向下平移2个单位，再向右平移2个单位，然后根据平移规律得出答案． 【解析】解：对于，当时，，当时，， 即：直线经过，， 则， 由此可知抛物线沿直线方向平移个单位， 相当于抛物线向上平移2个单位，再向左平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 或抛物线向下平移2个单位，再向右平移2个单位， 此时平移后的解析式为； 综上：或． 36．（2024·上海普陀·一模）已知二次函数的图像与轴的交点在正半轴上，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题；先求得二次函数的图像与轴的交点，根据题意得出，即可求解． 【解析】解：当，则，即的图像与轴的交点为 ∵在正半轴上， ∴， ∴， 故答案为：． 37．（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由坐标点确定平移方式，再由平移方式确定点的坐标，先利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用顶点的坐标变换规律得到抛物线的平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标． 【解析】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点． 故答案为：． 38．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线不经过第二象限，且在轴的左侧是上升的，那么下列对其顶点的描述中，正确的是（    ）． A．其顶点一定不在第一、二象限 B．其顶点一定不在第二、三象限 C．其顶点一定不在第三、四象限 D．其顶点一定不在第四、一象限 【答案】B 【分析】根据题意可知、对称轴，然后根据对称轴确定顶点的可能位置即可；根据题意确定对称轴的位置是解题的关键． 【解析】解：∵抛物线不经过第二象限，且在轴的左侧是上升的， ∴，对称轴， ∴顶点不可能在第二、三象限． 故选B． 39．（2024·上海宝山·一模）若二次函数图像与一次函数（）只有一交点，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合应用、一元二次方程的根的判别式等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．分三种情况讨论：首先令，整理并结合一元二次方程的根的判别式确定；再确定一次函数的图像经过点、，结合二次函数图像与一次函数图像只有一交点，可得关于的不等式组并求解；当时，抛物线经过点，计算的值，即可获得答案． 【解析】解：根据题意，令， 整理可得 ， 则， 解得， 将代入，可得， 将代入，可得， 即一次函数的图像经过点、， 对于二次函数， 当时，， 当时，， ∵当时，二次函数图像与一次函数图像只有一交点， ∴应满足 或， 解得， 当时，抛物线经过点， ∴， 解得或（舍去）， 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 40．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，若，则平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了抛物线的性质，等边三角形的性质，三角函数值求特殊角度，设平移后的抛物线解析式为，由推出，得到是等边三角形，进而得到，将其代入即可求出抛物线的解析式． 【解析】设平移后的抛物线解析式为， ∵， ∴， ∵抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，设抛物线与x轴正半轴交点为B， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 将代入，得， 解得（舍）或， ∴抛物线的解析式为， 故答案为． 41．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【解析】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 题型10：根据二次函数的图像判断参数或代数式符号 42．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．由该抛物线开口向下，可知，即可判断选项A；由该抛物线对称轴为，结合，可得，即可判断选项B；由图像可知，当时，可有，即可判断选项C；由图像可知，当时，可有，即可判断选项D． 【解析】解：A.该抛物线开口向下，所以，故该选项正确，不符合题意； B. 该抛物线对称轴为，又因为，所以，故该选项正确，不符合题意； C. 由图像可知，当时，可有，故该选项正确，不符合题意； D. 由图像可知，当时，可有，故该选项不正确，符合题意． 故选：D． 43．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质；根据抛物线开口方向向上可知、对称轴确定b的正负，即可判定①；根据抛物线可知，再结合①a、b的正负即可判定②；令，由抛物线可知当时，函数值小于0，即可判定③；根据抛物线与x轴有两个交点可对④进行判断；灵活运用二次函数图像的性质成为解题的关键． 【解析】解：∵根据抛物线开口方向向上，对称轴为 ∴，，即，故①错误； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴， ∴，即，故②错误； 由函数图像可知：当时，函数值小于0，即，故③正确； 根据抛物线与x轴有两个交点，可知； 综上，正确的有③④；共2个． 故选B． 题型11：二次函数的几何应用 44．（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式求得，对称轴为直线，设，根据建立方程，解方程，即可求解． 【解析】解：∵， ∴，对称轴为直线，设， ∵，则， 即， 解得：， ∴, 故答案为：． 45．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果是等边三角形，那么点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图像与几何变换，等边三角形的性质，二次函数图像上点的坐标特征，根据题意得到关于的方程是解题的关键．由题意设点坐标为，根据等边三角形的性质得到，解出的值即可得到答案． 【解析】解：点A在抛物线上， 设点坐标为， 是等边三角形， ，， 或（舍）， ． 故答案为：． 46．（23-24九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      【答案】 【分析】根据直线，可以求出该直线与轴的交点，从而可以得到点的坐标，再根据点恰好是抛物线的顶点，即可得到、的值，然后联立抛物线与直线，求出它们的交点，即可求得抛物线关于直线的割距． 【解析】解：∵， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵点恰好是抛物线的顶点， ∴， ∴，， 即：抛物线为，则，解得：或， ∴抛物线与直线的交点为，， ∴此时抛物线关于直线的割距是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是求出抛物线与直线的交点坐标． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训11 一模选填中等难度抢分题（上海精选，十一大题型） 目录： 题型1：黄金分割的深刻理解 题型2：三角形一边的平行线中比例的转换或传递性 题型3：平行线分线段成比例的几何应用（含作简单辅助线） 题型4：平面向量的概念难点辨析、向量的线性运算 题型5：相似三角形的判定与性质 题型6：锐角三角比的大小比较、同角三角比的关系 题型7：解直角三角形的实际应用 题型8：解直角三角形的几何应用 题型9：二次函数的图像与性质 题型10：根据二次函数的图像判断参数或代数式符号 题型11：二次函数的几何应用 题型1：黄金分割的深刻理解 1．（2024·上海杨浦·一模）已知是线段的黄金分割点，且，那么下列等式能成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海崇明·期中）已知M是线段上的黄金分割点，且．那么下列各项正确的是（    ） A． B． C． D．是与的比例中项 3．（23-24九年级上·上海长宁·期末）已知点在线段上，且满足，那么下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 题型2：三角形一边的平行线中比例的转换或传递性 4．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点D、E和F分别在边、和上，，，如果，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2021九年级·上海·专题练习）如图，在中，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点,点为边的三等分点，与交于点，则下列比例式正确的是（  ） A． B． C． D． 题型3：平行线分线段成比例的几何应用（含作简单辅助线） 7．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形是的内接正方形，于H，且，则 ． 8．（22-23九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知梯形中，，对角线与中位线交于点，如果，，那么 ． 9．（21-22九年级上·上海金山·期末）如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么 ． 10．（22-23九年级上·上海青浦·期中）如图，在直角梯形中，，，，，的平分线分别交，于点，，则的值是 ． 题型4：平面向量的概念难点辨析、向量的线性运算 11．（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中，正确的是（   ） A．如果或，那么 B．如果，那么（k为实数） C．如果（k为实数），那么 D．如果，那么或 12．（20-21九年级上·上海·期中）下列关于向量的说法中，不正确的个数是（    ） ①； ②若，则； ③若、是实数，则； ④如果非零向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得； ⑤如果非零向量，则与所在的直线平行； ⑥如果与分别是与的单位向量，则 A．2 B．3 C．4 D．5 13．（2024九年级上·上海·专题练习）已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（2024·上海青浦·二模）如图，在中，中线相交于点F，设，那么向量用向量表示为 ． 15．（2024·上海虹口·三模）如图，在中，，，平分交于点，交于点，连结交于点，设，，用、的线性组合表示向量 16．（2023·上海徐汇·一模）如图，已知为的重心，过点作的平行线交边和于点、，设、．用（为实数）的形式表示向量____________． 题型5：相似三角形的判定与性质 17．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在等边三角形中，点E、F分别在、上，且，那么下列不正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D、E分别在和上且，点M为边上一点（不与点B、C重合），连接交于点N，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知在中，D、F分别是边上的点，，，那么________（   ）    A．； B．； C．； D．． 20．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，点分别在边上，且．若的面积是，那么的面积是 ． 21．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，在梯形中，，对角线和相交于点E，且，下列等式成立的是（     ）． A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图所示，在正方形中，为对角线，点在边的延长线上，，连接交于点，那么的值是 ． 23．（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在梯形中，、，对角线相交于点，是梯形的中位线，与相交于点，如果的面积为1，那么的面积为（     ） A．3 B．2 C．4 D． 题型6：锐角三角比的大小比较、同角三角比的关系 24．（2023·上海静安·一模）如果，那么与的差（   ）． A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定 25．（2020·上海黄浦·一模）对于锐角，下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 26．（21-22九年级上·上海静安·期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型7：解直角三角形的实际应用 27．（21-22九年级上·上海虹口·阶段练习）比较、、和的大小，并由小到大排列： ． 28．（2023·上海杨浦·二模）如图，某地下停车库入口的设计示意图，已知，坡道AB的坡比，的长为7.2米，的长为0.4米．按规定，车库坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人车辆是否能安全驶入，根据所给数据，确定该车库入口的限高，即点D到AB的距离的值为 米． 29．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从相距米的1号楼和2号楼的地面正中间点垂直起飞到点处，测得1号楼顶部的俯角为，测得2号楼顶部的俯角为．已知1号楼的高度为20米，那么2号楼的高度为 米（结果保留根号）．    30．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图是某幢房屋及其屋外遮阳篷，已知遮阳篷的固定点A距离地面4米(即米)，遮阳篷的宽度为米，遮阳篷与房屋墙壁的夹角α的余弦值为，当太阳光与地面的夹角为时，遮阳篷在地面上的阴影宽度为 米． 题型8：解直角三角形的几何应用 31．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么 ． 32．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，，点是斜边的中点， ，，，则的值为 ． 33．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在梯形中，，，，如果，，那么 ． 34．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为 ． 题型9：二次函数的图像与性质 35．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为 ． 36．（2024·上海普陀·一模）已知二次函数的图像与轴的交点在正半轴上，那么的取值范围是 ． 37．（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ． 38．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线不经过第二象限，且在轴的左侧是上升的，那么下列对其顶点的描述中，正确的是（    ）． A．其顶点一定不在第一、二象限 B．其顶点一定不在第二、三象限 C．其顶点一定不在第三、四象限 D．其顶点一定不在第四、一象限 39．（2024·上海宝山·一模）若二次函数图像与一次函数（）只有一交点，则的取值范围为 ． 40．（2024·上海·模拟预测）将抛物线沿y轴向上平移，使得平移后的抛物线与x轴交于A，B两点，顶点为C，若，则平移后抛物线的解析式为 ． 41．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 题型10：根据二次函数的图像判断参数或代数式符号 42．（23-24九年级上·上海金山·期末）抛物线图像如图所示，下列判断中不正确的是(   )    A． B． C． D． 43．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）二次函数的图像如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型11：二次函数的几何应用 44．（2024·上海普陀·一模）如图，抛物线的顶点为，为对称轴上一点，如果，那么点M的坐标是 ． 45．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）将抛物线向右平移后，所得新抛物线的顶点是B，新抛物线与原抛物线交于点A（如图所示），联接如果是等边三角形，那么点B的坐标是 ． 46．（23-24九年级上·上海普陀·期中）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段长就是抛物线关于直线的“割距”，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点恰好是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线的割距是 ．      ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$