专题01 算术平方根的非负性（4大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

专题01 算术平方根的非负性 知识要点精讲 知识点01 算术平方根的非负性: 对于，有a≥0，≥0 知识点02非负数的性质： 非负数的最小值为0；几个非负数的和等于零，则每个非负数都等于零 重难点题型训练 题型一：运用a≥0求字母的取值范围 1．（20-21七年级下·全国·课后作业）要使有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（18-19七年级下·全国·单元测试）若的算术平方根有意义，则a的取值范围是（    ） A．一切数 B．正数 C．非负数 D．非零数 3．（15-16九年级上·黑龙江伊春·阶段练习）若有意义，则x的取值范围是________. 4．（17-18七年级下·山东·课后作业）若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围： ⑴ ________ ⑵ ________ 5．（21-22八年级上·四川巴中·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 6．（17-18八年级上·全国·课后作业）有意义，求m的取值范围？ 题型二：利用（a≥0求值） 1．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）设x、y为实数，且，则的值是（   ） A．2 B．14 C．19 D．22 2．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）若，求的算术平方根是________． 3．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知、为实数，且，则________ 4．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习），求的算术平方根________． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知则________ 6．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若， ，则 的值为________． 题型三：利用、、的非负性及非负性的性质求值 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 3．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或 D． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）若，则的平方根为（    ） A．1 B． C．5 D． 5．（23-24七年级下·云南大理·期末）若，则的值是（   ） A．10 B． C．3 D． 6．（22-23七年级下·重庆九龙坡·期中）若a，b为实数，且，则（    ） A．1 B． C． D．2025 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）若，则________． 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则________． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知a，b，c满足，则的平方根是________． 10．（24-25八年级上·江西九江·期中）与互为相反数，求________． 11．（23-24八年级下·天津滨海新·期中）已知x，y为实数，且 则的值为________ 12．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，满足，则________． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足求最大边c的取值范围________． 14．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若为实数，且满足，则的值是________． 15．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知a，b满足，则是________． 16．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为整数a，b，c，且满足，则△ABC的最大周长为________． 17．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程，求的值为________． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）已知△ABC的三边长分别为，且满足，求的取值范围． 19．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，求的平方根． 20．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）若，试求的值． 题型四：利用≥0解题 1．（21-22七年级下·黑龙江鹤岗·期末）当x等于（　　）时，有最（　 　）值． A．2，小 B．2，大 C．±2，小 D．±2，大 2．（24-25八年级上·四川达州·期中）实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若满足等式，，则当取最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·海南海口·期中）若化简的结果为_______． 5．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）当的值最小时，x的值为_______． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）求 取何值时， 的值最小，并求最小值． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 算术平方根的非负性 知识要点精讲 知识点01 算术平方根的非负性: 对于，有a≥0，≥0 知识点02非负数的性质： 非负数的最小值为0；几个非负数的和等于零，则每个非负数都等于零 重难点题型训练 题型一：运用a≥0求字母的取值范围 1．（20-21七年级下·全国·课后作业）要使有意义，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据只有非负数才有算术平方根进行求解即可． 【详解】解：∵要使有意义， ∴，∴，故选D． 【点睛】本题主要考查了非负数才有算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解即可． 2．（18-19七年级下·全国·单元测试）若的算术平方根有意义，则a的取值范围是（    ） A．一切数 B．正数 C．非负数 D．非零数 【答案】C 【分析】根据开平方的被开方数都是非负数，可得答案． 【详解】的算术平方根有意义，则a的取值范围是非负数，故选C． 【点睛】本题考查了算术平方根，注意算术平方根的被开方数都是非负数． 3．（15-16九年级上·黑龙江伊春·阶段练习）若有意义，则x的取值范围是________. 【答案】． 【详解】试题分析：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：，即时，二次根式有意义．故答案为． 考点：二次根式有意义的条件． 4．（17-18七年级下·山东·课后作业）若下列各式有意义，在后面的横线上写出x的取值范围： ⑴ ________ ⑵ ________ 【答案】x≥0 x≤5 【详解】（1）由题意得，x≥0； （2）由题意得，5-x≥0, ∴x≤5. 5．（21-22八年级上·四川巴中·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性列得，求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，∴，故答案为：． 【点睛】此题考查了算术平方根的非负性的应用，算术平方根的被开方数是非负数，任何一个数的算术平方根都为非负数，熟记算术平方根的非负性是解题的关键． 6．（17-18八年级上·全国·课后作业）有意义，求m的取值范围？ 【答案】m≤3 【详解】试题分析：根据被开方数为非负数，列不等式即可求得. 试题解析：因为被开方数应该为非负的，所以3—m≥0，所以m≤3. 【点睛】本题主要考查了算术平方根的被开方数是非负数这一知识点，解决此类问题的关键就是要记住被开方数是非负数. 题型二：利用（a≥0求值） 1．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）设x、y为实数，且，则的值是（   ） A．2 B．14 C．19 D．22 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，代数式求值，化简绝对值，解题的关键是熟知算术平方根的非负性． 根据算术平方根的非负性求出x的值，进而求出y的值，然后代值计算即可． 【详解】解：根据题意得：，解得：，则． ∴．故选：B． 2．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）若，求的算术平方根是________． 【答案】 【分析】本题主要考查负数没有平方根和算术平方根，熟练应用负数没有平方根求出是解题关键．根据负数没有平方根可得，，再代入求值取其算术平方根即可． 【详解】， ， 即，， ， ， 5的算术平方根为， 的算术平方根是．故答案为：． 3．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知、为实数，且，则________ 【答案】2010 【分析】本题考查了算术平方根的被开方数非负，代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键．由得到，则，即可求解的值． 【详解】解：由题意得，则，∴， ∴，故答案为：2010． 4．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习），求的算术平方根________． 【答案】5 【分析】本题主要考查算术平方根的非负性，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键；由题意易得，则有，然后可求x、y的值，进而代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴，即， ∴， ∴， ∴的算术平方根是5；故答案为5． 5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知则________ 【答案】2030 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，此时原式可变形为，可得到，进而可得． 【详解】解：由题意得，， ， ， 整理得：， 两边同时平方得：， 那么， 原式，故答案为：． 6．（24-25八年级上·四川达州·阶段练习）若， ，则 的值为________． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，代入求值，先根据算术平方根的非负性得到，然后计算出m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：由题可得，解得， ∴，， ∴，故答案为：． 题型三：利用、、的非负性及非负性的性质求值 1．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）已知，则的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根与绝对值的非负性，求一个数的平方根． 根据算术平方根与绝对值的非负性求出a、b的值，进而即可解答． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是．故选：B． 2．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 【答案】C 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，即可求得，的值，再代数求值． 【详解】解：， ，， 解得，， 故， 故选：C． 3．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性以及三角形三边关系，由题意得；分类讨论若等腰三角形的三边长为：，若等腰三角形的三边长为：，利用三角形三边关系加以验证即可； 【详解】解：∵，， ∴； 若等腰三角形的三边长为：， ∵，不能构成三角形， ∴此种情况不存在； 若等腰三角形的三边长为：， 则等腰三角形的周长为：,故选：A 4．（24-25八年级上·河南郑州·期中）若，则的平方根为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得到，解出，即可的平方根． 【详解】解：∵，， ∴当， 则，解得：， ∴， ∴其平方根为，故选：B． 【点睛】此题主要考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，以及求一个数的平方根，正确得出二元一次方程组是解题关键． 5．（23-24七年级下·云南大理·期末）若，则的值是（   ） A．10 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值、平方、算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值、平方、算术平方根的非负性是解题的关键． 根据绝对值、平方、算术平方根的非负性，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：， ， ， 解得：， ，故选：A． 6．（22-23七年级下·重庆九龙坡·期中）若a，b为实数，且，则（    ） A．1 B． C． D．2025 【答案】B 【分析】此题主要考查了非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，是解题关键． 根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴，故选：B． 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键． 先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出、、的值，再代入即可求解； 【详解】解：由题意得，解得：， ；故答案为： 8．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性及绝对值的非负性，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．首先根据非负数的性质，可求出a、b的值，然后再代入求值计算． 【详解】解：∵， ∴，，解得：，， ∴；故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知a，b，c满足，则的平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根的非负性，平方根的定义，根据非负性可以得到，带入求出的结果，从而得出结果． 【详解】解：，，，， ， ， ， 的平方根是．故答案为：． 10．（24-25八年级上·江西九江·期中）与互为相反数，求________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性和绝对值的非负性列方程求解，即可求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得出答案． 【详解】解：与互为相反数， ， 又，， ，，解得：，， ，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数的应用，利用算术平方根的非负性解题，绝对值非负性，解一元一次方程，代数式求值等知识点，熟练掌握几个非负数的和为时这几个非负数都为是解题的关键． 11．（23-24八年级下·天津滨海新·期中）已知x，y为实数，且 则的值为________ 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的非负性以及已知字母的值求式子的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由，得出，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴；故答案为：2 12．（2024七年级上·全国·专题练习）已知，满足，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，理解非负数的性质是解答关键． 根据绝对值的性质和非负数的性质求出，的值，再代入进行计算求解． 【详解】解：由题意可知，， 所以， 所以．故答案为：1． 13．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且满足求最大边c的取值范围________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，三角形三边关系的应用，完全平方公式，先根据算术平方根的非负性得出，，再根据三角形的三边关系求出最大边c的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵△ABC的三边长分别为a、b、c，且为最大边， ∴， ∴．故答案为：． 14．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）若为实数，且满足，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，根据非负数的性质求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得： ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知a，b满足，则是________． 【答案】25 【分析】本题主要考查绝对值，算术平方根的非负性，乘方运算，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性计算出，的值，代入计算即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 故答案为：25． 16．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）已知△ABC的三边长分别为整数a，b，c，且满足，则△ABC的最大周长为________． 【答案】9 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，三角形的三边关系定理以及推论，即任意两边之和＞第三边，两边之差＜第三边．首先由非负数的性质结合已知条件可得a、b的值；接下来由三角形三边关系可得c的范围，由c为整数可得c的最大值；最后利用周长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵a、b、c为△ABC的三边长， ∴． ∵c为整数， ∴c的最大值为4， ∴△ABC的最大周长为．故答案为：9． 17．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程，求的值为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性，利用非负性可得，再整体代入求值即可． 【详解】由题可知， ， 得；故答案为：． 18．（2024八年级上·全国·专题练习）已知△ABC的三边长分别为，且满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和偶次方的非负性，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上知识点． 根据算术平方根和偶次方的非负性求出，，然后根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ，， 由三角形三边的关系，得， ∴ ∴． 19．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】此题考查绝对值和算术平方根的非负性，根据非负性得到方程组是解题的关键．根据绝对值和算术平方根的非负性得到方程组，解方程组后即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴的平方根为． 20．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）若，试求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式进行计算即可得解，掌握非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴． 题型四：利用≥0解题 1．（21-22七年级下·黑龙江鹤岗·期末）当x等于（　　）时，有最（　 　）值． A．2，小 B．2，大 C．±2，小 D．±2，大 【答案】D 【分析】根据算术平方根的非负性得到即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当，即时，有最大值，故选D． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的非负性，正确得到是解题的关键． 2．（24-25八年级上·四川达州·期中）实数a 、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 根据实数和在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，， ∴ ，故选：A． 3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若满足等式，，则当取最大值时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了非负性的性质，解不等式组，解二元一次方程组，由题意得出，则，，又，，从而求出，则的最大值为，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：． 4．（24-25九年级上·海南海口·期中）若化简的结果为_______． 【答案】3 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，化简绝对值，熟练掌握和运用利用二次根式的性质化简是解决本题的关键．首先根据二次根式的性质化简，再根据化简绝对值，据此即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴，故答案为：3． 5．（24-25八年级上·山西临汾·阶段练习）当的值最小时，x的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，正确把握性质是解题关键．直接利用算术平方根的性质分析得出答案． 【详解】解：∵代数式的值最小， ∴，解得：，故答案为：． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）求 取何值时， 的值最小，并求最小值． 【答案】，最小值为 【分析】本题考查的是算术平方根的非负性的应用，由可得答案． 【详解】解：∵， ∴的最小值为， ∴， 解得：. 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