2025年1月福建省普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02

( 四、解答题（本大题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24.（本小题满分8分） )2025年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 ( 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） )数学仿真模拟试卷02答题卡 姓名：______________班级：______________ 准考证号 ( 注意事项 1 、 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2 、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3 、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4 、 请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] ) ( 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记 ！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 ) ( 一、选择题（本 大 题共15个小题，每小题3分，共计45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . ） （请用2B铅笔填涂） 1 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 0 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 13 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 6 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 7 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 8 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 9 、[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) ( 三、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20、 21、 22、 23、 ) ( 26.（本小题满分10分） ) ( 25.（本小题满分9分） ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 （考试时间：90分钟；满分：100分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 57分） 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则（    ） A．11 B．10 C．17 D．15 3．的值为（   ） A． B． C． D． 4．函数的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   5．已知等腰直角三角形的斜边长为，将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，则这个几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知与是互斥事件，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 9．如果，那么下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 10．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 11．已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的（    ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．众数 12．已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（   ） A．4 B．4 C． D． 13．在中，点在边上，，记，则（    ） A． B． C． D． 14．已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 15．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 16．在下列区间中，一定包含函数零点的区间是（    ） A． B． C． D． 17．已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 18．已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 19．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题 43分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为 21．已知，则的坐标是 . 22．已知复数（且），为虚数单位，则x在复平面内对应的点所在的象限为 象限. 23．若函数（，且），在定义域R上满足，则a的取值范围是 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24.（本小题满分8分） 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 25.（本小题满分9分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面ABCD，点为棱的中点，． (1)证明：平面； (2)求点到直线的距离． 26.（本小题满分10分） 函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 参考答案 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 B A A D C D C D D C C C B D A B A C B 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20、；/；. 21、 22、第二 23、 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24.（本小题满分8分） 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据向量的数量积的定义，结合三角恒等变换公式，即可求解； （2）根据余弦定理列方程，再利用基本不等式可求最值. 【详解】（1）由，可得， 即， 所以， ，因为， 所以，又，所以． （2）由余弦定理可得， 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立． 故△面积的最大值为． 25.（本小题满分9分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，从而证明，得到线面平行. （2）通过证明，即可求解. 【详解】（1）在上找中点，连接，，如图： ∵和分别为和的中点， ∴，且， 又∵底面是直角梯形，，， ∴且．即四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）因为，，所以 因为底面ABCD，所以，又为面内两条相交直线， 所以面，在面内，所以， 因为为中点，所以点到直线的距离为， 因为，所以， 所以到直线的距离为. 26.（本小题满分10分） 【答案】(1) (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为； （2）由（1）可知：令，因为，所以， ， 设函数，函数在上单调递增， 所以函数在时单调递增，故， 因此对于恒成立，只需， 因此的取值范围为. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年1月福建省普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷02 （考试时间：90分钟；满分：100分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答．在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式： 样本数据的标准差 其中为样本平均数 柱体体积公式，其中S为底面面积，h为高台体体积公式， 其中，S分别为上、下底面面积，h为高 锥体体积公式，其中S为底面面积，h为高 球的表面积公式，球的体积公式，其中R为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 57分） 一、选择题（本题共19小题，每小题3分，共计57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：B. 2．设，则（    ） A．11 B．10 C．17 D．15 【答案】A 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】将直接代入解析式，求得函数值即可. 【详解】. 故选：A. 3．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、诱导公式一 【分析】利用诱导公式化简计算即得. 【详解】因. 故选：A. 4．函数的图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】函数图像的识别 【分析】将函数分段表示出，再直接判断即可. 【详解】依题意，，因此函数的图象为选项D. 故选：D 5．已知等腰直角三角形的斜边长为，将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体，则这个几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求组合体的体积 【分析】分析可知，该几何体是由两个底面半径为，高均为的圆锥拼接而成，结合圆锥的体积公式可求得该几何体的体积. 【详解】如下图所示： 因为等腰直角三角形的斜边长为， 将该三角形绕所在直线旋转一周形成一个几何体， 则这个几何体是由两个底面半径为，高均为的圆锥拼接而成， 故该几何体的体积为. 故选：C. 6．已知与是互斥事件，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】根据对立事件的概率性质可得，即可根据互斥的性质求解. 【详解】由可得， 由于与是互斥事件，故, 故选：D 7．已知，，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，可求出结果. 【详解】由，，得， 解得， 故选：C 8．如图，下列几何关系表达正确的是（    ）    A．，，m，n共面 B．，，m，n共面 C．，，m，n异面 D．，，m，n异面 【答案】D 【知识点】异面直线的概念及辨析、判断图形中的线面关系 【分析】根据点线面的位置关系，正确应用数学符号即可判断. 【详解】因是直线，是点，故它们与平面的关系应该是 ， 而且从虚线看，m，n异面，故A, B，C均错误；故答案为D. 故选：D. 9．如果，那么下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】特殊值判断A、B、C；由不等式性质判断D. 【详解】若时，，，，即A、B、C错； 由，则恒成立，D对. 故选：D 10．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得，解得， 故定义域为. 故选：C 11．已知一组样本数据1，2，2，3，4，5，则2.5是该组数据的（    ） A．极差 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】C 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的众数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】利用极差，平均数，中位数和众数的定义进行求解，得到答案. 【详解】由题得众数为2，极差为，平均数为， 中位数为． 故选：C 12．已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（   ） A．4 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】根据角的终边上的点的坐标写出余弦值，结合角的象限，即可求解. 【详解】由三角函数的定义可知，解得， 因为是第四象限的角，所以，则， 故选：C. 13．在中，点在边上，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量减法的法则 【分析】根已知条件和向量的减法法则即可直接计算得解. 【详解】由题. 故选：B. 14．已知正方体，直线与直线所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据线线平行得异面直线所成的角，即可由三角形边角关系求解. 【详解】由于,所以即为直线与直线所成的角或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则， 所以, 故选：D 15．已知函数的图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有的点（    ） A．向右平行移动个单位长度 B．向左平行移动个单位长度 C．向右平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 【答案】A 【知识点】相位变换及解析式特征、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据三角函数的图象变换计算即可. 【详解】易知向右平行移动个单位长度可得 . 故选：A 16．在下列区间中，一定包含函数零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断零点所在的区间 【分析】分别计算每个选项的区间中有无零点即可. 【详解】显然单调递增，且图象连续，， 由零点存在定理可知，一定包含函数零点的区间是. 故选：B 17．已知退休的王大爷连续天户外运动的步数（单位：百步）分别为，，，，，则该组数据的均值与方差分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】根据平均值和方差的计算公式，可得答案. 【详解】均值：， 方差：. 故选：A. 18．已知表示两条不同直线，表示平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中直线、平面的位置关系进行逐项判断即可. 【详解】因为，，则或相交或异面，故A错误； 由，，则与的关系无法确定，可能平行，可能相交，可能在平面内，故B错误； 若，，则，故C正确； 若，，则或，故D错误. 故选：C. 19．如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数函数模型的应用（2）、根据实际问题增长率选择合适的函数模型 【分析】根据图象是否是线性增长，指数函数的图象与性质，对数函数的性质判断ACD，再由选项B中函数的性质判断后可得． 【详解】对于A，由散点图知身高随时间变化不是线性增长，故A错误； 对于C，指数函数模型中随增长越来越快，与图象不符合，故C错误； 对于D，对数函数模型在时没有意义，故D错误； 对于B：在定义域上单调递增，且增长速度越来越慢， 符合散点图中随增长越来越慢，且在时有意义，故B正确． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 43分） 二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上．） 20．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了次试验，发现正面朝上出现了次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为 【答案】；/；. 【知识点】确定性事件与随机事件的概率、计算频率 【分析】根据频率的计算方法求频率，根据概率的概念得概率. 【详解】正面向上的频率为：； 因为硬币质地均匀，所以正面向上的概率为：. 故答案为：；. 21．已知，则的坐标是 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由平面向量减法的坐标运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 22．已知复数（且），为虚数单位，则x在复平面内对应的点所在的象限为 象限. 【答案】第二 【知识点】判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的几何意义得出对应点的坐标可判断得出结论. 【详解】易知复数在复平面内对应的点坐标为， 由，可知，，故z在复平面内时对应的点所在的象限为第二象限. 故答案为：第二 23．若函数（，且），在定义域R上满足，则a的取值范围是 【答案】 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】由题意可知在上单调递减，因此每一段函数必须为减函数且在断开处也满足减函数定义才行. 【详解】因为，所以， 所以在上单调递减， 所以, 解得, 故答案为：. 三、解答题（本题共3小题，共27分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 24.（本小题满分8分） 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据向量的数量积的定义，结合三角恒等变换公式，即可求解； （2）根据余弦定理列方程，再利用基本不等式可求最值. 【详解】（1）由，可得， 即， 所以， ，因为， 所以，又，所以． （2）由余弦定理可得， 因为，所以，即， 当且仅当时，等号成立． 故△面积的最大值为． 25.（本小题满分9分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面ABCD，点为棱的中点，． (1)证明：平面； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，从而证明，得到线面平行. （2）通过证明，即可求解. 【详解】（1）在上找中点，连接，，如图： ∵和分别为和的中点， ∴，且， 又∵底面是直角梯形，，， ∴且．即四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）因为，，所以 因为底面ABCD，所以，又为面内两条相交直线， 所以面，在面内，所以， 因为为中点，所以点到直线的距离为， 因为，所以， 所以到直线的距离为. 26.（本小题满分10分） 函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】函数不等式恒成立问题、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性进行求解即可； （2）根据（1）的结论，通过常变量分离，结合构造函数、对钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为； （2）由（1）可知：令，因为，所以， ， 设函数，函数在上单调递增， 所以函数在时单调递增，故， 因此对于恒成立，只需， 因此的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$