2025年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03

2025年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 4．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（    ） A． B． C． D． 6．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 7．的值为（    ） A． B． C． D．1 8．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．若直线不垂直于平面，那么平面内（    ） A．不存在与l垂直的直线 B．只存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条直线与l垂直 D．以上都不对 10．若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 11．设a，b是实数， 则""是""的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．从甲、乙、丙3名学生中任选2名参加一项活动，其中1名学生参加上午的活动，另1名学生参加下午的活动，则甲参加上午活动的概率是（    ） A． B． C． D． 13．已知函数，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 14．在中，，则（    ） A． B． C． D．3 15．下列函数中，在区间上存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 16．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 17．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 18．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 19．某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（    ） A．最多有1651名学生 B．最多有1649名学生 C．最少有618名学生 D．最少有617名学生 20．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 21．已知幂函数的图象过点，则 . 22．若实数，满足，则的取值范围是 ． 23．已知平面直角坐标系中，向量，单位向量满足，则x的值可以是 .（写出一个正确结果即可） 24．已知的，给出下列三个结论： ①的定义域为； ②； ③，使曲线与恰有两个交点. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题（本题共4小题，共28分） 25．已知（，且），且． (1)求a的值及的定义域； (2)求在上的最小值． 26．某同学解答一道三角函数题：“已知函数，其最小正周期为． （1）求和的值； （2）求函数在区间上的最小值及相应x的值．” 该同学解答过程如下： 解：（1）； 因为 ，且， 所以 ． （2） 画出函数在上的图象， 由图象可知，当时，函数的最小值． 下表列出了某些数学知识： 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义 弧度制的概念 的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数的图象 三角函数的周期性 正弦函数、余弦函数在区间 上的性质 同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间上的性质 两角差的余弦公式 函数的实际意义 两角差的正弦、正切公式 参数A，ω，φ对函数图象变化的影响 两角和的正弦、余弦、正切公式 半角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 积化和差、和差化积公式 请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识． 27．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，平面，求证：平面. 28．已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成. ①任意中有三个，一个3； ②存在，使中恰有三个数相等. (1)判断数表是否由生成；（结论无需证明） (2)是否存在数表由生成？说明理由； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合，，则，故选B 2．函数的零点是（    ） A． B．1，2 C． D． 【答案】D 【解析】令，得，函数的零点是.故选D 3．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知向量，则.故选：D. 4．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以对应的点的坐标为，故选：D 5．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 6．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，.故选：C 7．的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】.故选：D. 8．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】不等式化为，解得，故选B 9．若直线不垂直于平面，那么平面内（    ） A．不存在与l垂直的直线 B．只存在一条与l垂直的直线 C．存在无数条直线与l垂直 D．以上都不对 【答案】C 【解析】平面内与在内的射影垂直的直线，垂直于直线，这样的直线有无数条，故C正确，则A，B、D错误.故选：C 10．若函数是定义在上的奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 所以故选：A 11．设a，b是实数， 则""是""的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】充分性，不妨令，此时满足，但，充分性不成立， 必要性，不妨令，此时满足，但，必要性不成立， 故是的既不充分也不必要条件.故选：D 12．从甲、乙、丙3名学生中任选2名参加一项活动，其中1名学生参加上午的活动，另1名学生参加下午的活动，则甲参加上午活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】从甲、乙、丙3名学生中任选2名参加一项活动，其中1名学生参加上午的活动，另1名学生参加下午的活动， 可能的结果为{(甲乙) (甲丙) (乙丙) (乙甲) (丙甲) (丙乙)}共有6种不同的方法，而甲参加上午活动，则甲被选中，还需从乙、丙二人中任选1人参加下午的活动，共有2种不同的方法， 则甲参加上午活动的概率为，故选：C 13．已知函数，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由已知得：当时，，解得：，或（舍）， 当时，，解得：，综上：的值为或,故选：C. 14．在中，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由， 所以.故选：A 15．下列函数中，在区间上存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对A，在单调递减，在单调递增，所以函数在取得最小值，故A正确；对BCD，，，在单调递增，且在不能取到，所以不存在最小值，故BCD错误.故选：A. 16．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，即，解得．故选：C. 17．已知圆锥的底面半径为3，母线长为4，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示：由题意得，，，    ，故选：D. 18．“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【答案】C 【解析】苗高由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24，故选C 19．某校组织全校1850名学生赴山东曲阜、陕西西安和河南洛阳三地开展研究性学习活动，每位学生选择其中一个研学地点，且每地最少有100名学生前往，则研学人数最多的地点（    ） A．最多有1651名学生 B．最多有1649名学生 C．最少有618名学生 D．最少有617名学生 【答案】D 【解析】,，即研学人数最多的地点最少有617名学生， ，即研学人数最多的地点最多有名学生.故选：D 20．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，故A错误； 由可得，故B错误； 由可得，故C错误； ，由可得， 所以，故D正确；故选：D 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 21．已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【解析】设，因为经过点， 所以，解得，所以， 22．若实数，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】依题意，， 所以，所以，所以. 23．已知平面直角坐标系中，向量，单位向量满足，则x的值可以是 .（写出一个正确结果即可） 【答案】（或）. 【解析】由，则，即， 即，即有，又， 则，则. 24．已知的，给出下列三个结论： ①的定义域为； ②； ③，使曲线与恰有两个交点. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①② 【解析】对于①：由恒成立得的定义域为，①正确； 对于②：，②正确； 对于③：令，变形得， 作出函数的图象如下图： 根据图象可得在上单调递增， 故与只有一个交点，即不存在，使曲线与恰有两个交点，③错误. 三、解答题（本题共4小题，共28分） 25．已知（，且），且． (1)求a的值及的定义域； (2)求在上的最小值． 【解】（1），即，则， 由题意得，∴，的定义域为： （2）， 令，则，， 的对称轴：， ∴在上单调递增，在上单调递减； ∵，∴在单调递减， 由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增， ∴. 26．某同学解答一道三角函数题：“已知函数，其最小正周期为． （1）求和的值； （2）求函数在区间上的最小值及相应x的值．” 该同学解答过程如下： 解：（1）； 因为 ，且， 所以 ． （2） 画出函数在上的图象， 由图象可知，当时，函数的最小值． 下表列出了某些数学知识： 任意角的概念 任意角的正弦、余弦、正切的定义 弧度制的概念 的正弦、余弦、正切的诱导公式 弧度与角度的互化 函数的图象 三角函数的周期性 正弦函数、余弦函数在区间 上的性质 同角三角函数的基本关系式 正切函数在区间上的性质 两角差的余弦公式 函数的实际意义 两角差的正弦、正切公式 参数A，ω，φ对函数图象变化的影响 两角和的正弦、余弦、正切公式 半角的正弦、余弦、正切公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 积化和差、和差化积公式 请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识． 【解】该同学在解答过程中用到了此表中的数学知识有： ①弧度制的概念； ②三角函数的周期性； ③函数的图象； ④正弦函数在区间上的性质； ⑤参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 27．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，平面，求证：平面. 【解】（1）证明：连接， ∵四边形是平行四边形，且是的中点， ∴是的中点， ∵E为PC的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵平面，平面， ∴， ∵，，平面， ∴面， ∵， ∴平面. 28．已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成. ①任意中有三个，一个3； ②存在，使中恰有三个数相等. (1)判断数表是否由生成；（结论无需证明） (2)是否存在数表由生成？说明理由； 【解】（1）数表是由生成； 检验性质①： 当时，，共三个，一个3； 当时，，共三个，一个3； 当时，，共三个，一个3； 任意中有三个，一个3； 检验性质②： 当时，，恰有3个数相等. （2）不存在数表由生成,理由如下: 若存在这样的数表A，由性质①任意中有三个，一个3， 则或-1，总有与的奇偶性相反， 类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反； 因为中恰有2个奇数，2个偶数， 所以对任意的，中均有2个奇数，2个偶数， 此时中至多有2个数相等，不满足性质②； 综上，不存在数表由生成； （3）的所有可能的值为3，7，11. 一方面，当时，可以生成数表； 当时，可以生成数表； 当时，可以生成数表； 另一方面，若存在数表A由生成， 首先证明：除以4余3； 证明：对任意的，令， 则， 分三种情况：（i）若，且，则； （ii）若，且，则； （iii）若，且，则； 均有与除以4的余数相同. 特别的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； 类似的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； 所以，存在，使得中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是中至少有3个数除以4的余数相同. 注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3. 其次证明：； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数学仿真模拟试卷03·参考答案 一、选择题（本大题共20题，每小题3分，共计60分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D D D C C D B C A 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D C C A A C D C D D 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共计12分） 21． 22． 23．（或） 24．①② 三、解答题（本题共4小题，共28分） 25.【解】（1），即，则， 由题意得，∴，的定义域为：. （2）， 令，则，， 的对称轴：， ∴在上单调递增，在上单调递减； ∵，∴在单调递减， 由复合函数可知：时，单调递减，时，单调递增， ∴. 26．【解】该同学在解答过程中用到了此表中的数学知识有： ①弧度制的概念； ②三角函数的周期性； ③函数的图象； ④正弦函数在区间上的性质； ⑤参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 27．【解】（1）证明：连接， ∵四边形是平行四边形，且是的中点， ∴是的中点， ∵E为PC的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵平面，平面， ∴， ∵，，平面， ∴面， ∵， ∴平面. 28．【解】（1）数表是由生成； 检验性质①： 当时，，共三个，一个3； 当时，，共三个，一个3； 当时，，共三个，一个3； 任意中有三个，一个3； 检验性质②： 当时，，恰有3个数相等. （2）不存在数表由生成,理由如下: 若存在这样的数表A，由性质①任意中有三个，一个3， 则或-1，总有与的奇偶性相反， 类似的，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反，与的奇偶性相反； 因为中恰有2个奇数，2个偶数， 所以对任意的，中均有2个奇数，2个偶数， 此时中至多有2个数相等，不满足性质②； 综上，不存在数表由生成； （3）的所有可能的值为3，7，11. 一方面，当时，可以生成数表； 当时，可以生成数表； 当时，可以生成数表； 另一方面，若存在数表A由生成， 首先证明：除以4余3； 证明：对任意的，令， 则， 分三种情况：（i）若，且，则； （ii）若，且，则； （iii）若，且，则； 均有与除以4的余数相同. 特别的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； 类似的，“存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； “存在，使得”的一个必要不充分条件为“除以4的余数相同”； 所以，存在，使得中恰有3个数相等的一个必要不充分条件是中至少有3个数除以4的余数相同. 注意到与除以4余3，除以4余0，故除以4余3. 其次证明：； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 2025年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 仿真模拟卷 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 )数学3·答题卡 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D] 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 1 5 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 17 [A] [B] [C] [D] 18 [A] [B] [C] [D] 19 [A] [B] [C] [D] 20 [A] [B] [C] [D] ) ( 第 Ⅱ 卷 （请在各试题的答题区内作答） ) ( 21． _______________________ 22． _______________________ 23． _______________________ 24． _______________________ 25. ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 26. 27． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 28． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$