14.2 三角形全等的判定（第6课时 全等三角形的判定方法的综合运用）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十四章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第6课时 全等三角形的判定方法的综合运用 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题；（重点） 2.经历探索三角形全等的几种判定方法的过程，能进行合情推理;（难点） 3.培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值．（难点） 情景导入 问题1 判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？ (1)“SAS ”:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； (2)“ASA ”:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； (3)“SSS ”:三边对应相等的两个三角形全等； (4)“AAS ”:两角及其一角对边对应相等的两个三角形全等； (5)“HL ”:斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等. 课本例题 例8 已知:如图AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.求证：BF=DE. 分析 本题需要两次证明三角形全等，首先证明△ABC≌△CDA(SSS)， 得出∠1=∠2，再由“边角边”定理证明△DAE≌△BCF，最后证出BF=DE. 证明 在△ABC和△CDA中 AB=CD(已知) ∵ BC=DA（已知） CA=AC（公共边） ∴△ABC≌△CDA（SSS） ∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等) 在△BCF和△DAE中 BC=DA(已知) ∵ ∠1=∠2（已证） CF=AE（已知） ∴△BCF≌△DAE(SAS) ∴BF=DE(全等三角形的对应边相等) 课本例题 例8 已知:如图AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.求证：BF=DE. 例9 证明：全等三角形的对应边上的高相等. 已知:如图△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高. 求证：AD=A′D′. 课本例题 在△ABD和△A′B′D′中 ∠B=∠B′(已证) ∠ADB=∠A′D′B′（已证） AB=A′B′（已证） ∴△ABD≌△A′B′D′(AAS) ∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等） 1.已知: 如图,AB//CD,AB=CD,AD与BC交于点O,EF过点O,分别交AB,CD 于点E、点F.求证:OE =OF 课堂练习 证明:∵AB//CD,(已知) ∴CA=∠D,∠B=∠C.(两直线平行,内错角相等)又∵AB=DC,(已知) ∴△AOB≌△DOC.(ASA) ∴OA=0D(全等三角形的对应边相等) 在△A0E和△DOF中 ∠A=∠D,(已证) 0A=0D,(已证) ∠AOE=∠DOF,(对顶角相等) ∴△AOE≌△DOF(ASA) ∴OE=0F.(全等三角形的对应边相等) 课堂练习 2.已知：如图AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC. （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）BM=DN成立吗？为什么？ A B C M E N D (1)证明:∵∠BAE=∠DAC,(已知) ∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠CAE,(等式性质)即∠BAC=∠DAE. 在△ABC和△ADE中， AB=AD,(已知) ∠BAC=∠DAE,(已证). AC=AE，(已知) AABC≌AADE.(SAS) (2)解:BM=DN成立 ∵△ABC≌△ADE,(已证) ∴∠B=∠D.(全等三角形的对应角相等) 在△ABM和△ADN中， ∠BAE=∠DAC,(已知) AB=AD,(已知) ∠B=∠D,(已证) △ABM≌ △ADN.(ASA) :.BM=DN(全等三角形的对应边相等) 2.已知：如图AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC. （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）BM=DN成立吗？为什么？ A B C M E N D 课堂练习 3.求证：两个全等三角形对应边上的中线相等. 课堂练习 解:已知:如图所示,△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别是 BCB'C'边上的中线. 求证:AD=A'D' 证明:∵AABC≌AA'B'C,(已知) ∴∠B=∠B',AB=A'B',BC=B'C.(全等三角形的对应边、对应角相等） 在△ABD和△A'B'D'中， AB =A'B',(已证) ∠B=∠B',(已证) BD=B'D'，(中线定义) ∴AABD≌ AA'B'D'.(SAS) ∴AD=A'D’.(全等三角形的对应边相等) 4. 求证：两个全等三角形对应角的平分线相等. 课堂练习 解:已知:如图所示,△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别是∠BAC和∠B'A'C'的平分线. 求证:AD=A'D' 证明:∵△ABC≌△A'B'C'，(已知) ∴AB=A'B',∠B=∠B’,∠BAC=∠B'A'C'(全等三角形的对应边相等,对应角相等) 又∵AD,A'D'分别是∠BAC 和∠B'A'C'的平分线， ∴∠BAD= ∠BAC,∠B'A'D'= ∠B'A'C'. ∴∠BAD=∠B'A'D' 在△ABD和△A'B'D中， ∠BAD= ∠B'A'D' AB = A'B' ∠B=∠B', ∴△ABD≌ △A'B'D'.(ASA) ∴AD=A'D'.(全等三角形的对应边相等) 全等三角形的特殊性质  全等三角形的对应边相等，对应角相等，面积　 相等 　，周长　相等　；全等三角形的对应边上的高　相等　，中线　相等　；全等三角形的对应角的角平分线　相等　.  相等 　 相等　 相等　 相等　 相等　 概念归纳 B 分层练习-基础 EB⊥BD(答案不唯一) C A 分层练习-巩固 B D ①③ ①② 分层练习-拓展 判定三角形全等的思路 已知两边 已知一边一角 已知两角 找夹角(SAS) 找另一边(SSS) 找任一角(AAS) 边为角的对边 边为角的一边 找夹角的另一边(SAS) 找边的对角(AAS) 找夹角的另一角(ASA) 找夹边(ASA) 找除夹边外的任意一边(AAS) 课堂小结 知识点1.三角形全等的判定 1. 如图，点P是AB上任意一点，∠ABC＝∠ABD，还应补充一个条件，才能推出△APC≌△APD.从下列条件中补充一个条件，不一定能推出△APC≌△APD的是(　　) A．BC＝BD　　　　　 B．AC＝AD C．∠ACB＝∠ADB　　　　　 D．∠CAB＝∠DAB 2. 如图，点A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.请添加一个适当的条件 ，使得△EAB≌△BCD. 知识点2.三角形全等判定与性质的综合应用 3. 已知：在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D.则有下列说法：①△ABD与△ACD全等；②线段AD是△ABC的BC边上的中线；③线段AD是△ABC的BC边上的高．其中正确的个数有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 4．(安顺中考)如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　) A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC 5．(临沂中考)如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是(　　) A．0.5　　 B．1 C．1.5　　 D．2 6．如图所示，△ABC≌△AEF，AM、AN分别是BC、EF边上的高，AB＝AE，∠B＝∠E.则对于结论：①AC＝AF；②∠FAE＝∠CAB；③AM＝AN；④∠BAE＝∠CAF.其中正确结论的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．具备下列条件的两个三角形，可以证明它们全等的是 (填序号)． ①有两角及其中一角的平分线对应相等；②两边和其中一边的对角对应相等；③两边和其中一边上的中线对应相等；④两边和第三边上的高对应相等． 8．如图，在△ABC中，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，∠1＝∠2.则下列四个结论：①AR＝AS；②PO∥AB；③△BPR≌△CPS；④BP＝CP，其中正确的有 (填序号)． 9．已知：如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°. (1)求证：△ACB≌△BDA； 证明：∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA都是直角三角形． 在Rt△ACB和Rt△BDA中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BC＝AD,AB＝BA))， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL)； (2)若∠ABC＝28°，求∠CAO的度数． 解：在Rt△ACB中，∵∠ABC＝28°，∴∠CAB＝90°－28°＝62°， ∵△ACB≌△BDA，∴∠BAD＝∠ABC＝28°， ∴∠CAO＝∠CAB－∠BAD＝62°－28°＝34°. 10．已知：如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足． 求证：CF＝DF. 证明：连接AC、AD，由SAS易证△ABC≌△AED，∴AC＝AD. 再由HL证Rt△ACF≌Rt△ADF，∴CF＝DF. 11．已知：如图，△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M、N分别是AE、CD上的点，且AM＝DN. (1)求证：△ABE≌△DBC； (2)探索BM和BN的关系，并证明你的结论． (1)证明：∵DB是高，∴∠ABE＝∠DBC＝90°. 在△ABE和△DBC中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝DB,∠ABE＝∠DBC,BE＝BC))，∴△ABE≌△DBC(SAS)； (2)解：BM＝BN，BM⊥BN.证明：∵△ABE≌△DBC，∴∠BAM＝∠BDN.在△ABM和△DBN中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝DB,∠BAM＝∠BDN,AM＝DN))，∴△ABM≌△DBN(SAS)． ∴BM＝BN，∠ABM＝∠DBN.∴∠DBN＋∠DBM＝∠ABM＋∠DBM＝∠ABD＝90°，∴BM⊥BN. 11．已知：如图，△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M、N分别是AE、CD上的点，且AM＝DN. (1)求证：△ABE≌△DBC； (2)探索BM和BN的关系，并证明你的结论． $$