重庆市梁平区梁山初中教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

梁山初中教育集团2024年秋九年级数学中期考试题 一、单选题 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线AB，CD被直线CE所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10个图形中●的个数为（　　）  A. 50 B. 53 C. 64 D. 76 8．已知方程可以配方成的形式，那么的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2022 9. 如图，在矩形中，，以为边在矩形内作等边，延长交于点F，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，. 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题 11．计算： ． 12．一元二次方程的根是 ． 13. 一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍，则______． 14. 如图，在∆ABC中，是边的中线，若，则的长度为_________． 15. 随着经济的逐渐复苏，某市今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为___________． 16． 在同一平面直角坐标系内，将函数的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图像函数的解析式是 ． 17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ． 18. 一个四位自然数m，若它的千位数字比十位数字大2，百位数字比个位数字大1，则称m为“倍差数”．例如：最小的“倍差数”为______；将“倍差数”m千位数字与个位数字之和记为s，百位数字与十位数字之和记为t，当m能被3整除时，求的最小值为______． 三、解答题 19. 计算： （1） （2）． 20. 如图，在∆ABC中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）小川判断四边形是菱形，他的证明思路是：利用垂直平分线的性质，先证明、为等腰三角形，再利用平行线的判定得到四边形为平行四边形，从而得到四边形是菱形． 证明：平分， ①　　， 是的垂直平分线， ，②　　， ，， ，， ，③　　， 四边形为平行四边形， ④　　， 四边形是菱形． 21. 为了解七八年级学生的竞赛水平，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：，，，．其中，七年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，88，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差表： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 59.66 八年级 85.2 a 91 91.76 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ，　　，　　； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可） （3）若七、八年级共有2000名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 22．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23. 上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地． （1）求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时） （2）地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？ 24．如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接，已知F点的速度且，令，，运动时间为t，请回答下列问题： (1)请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围； (2)请写出函数的一条性质； (3)在直角坐标系中画出，的图象，并根据图形直接写出当时，t的取值范围． 25．如图，抛物线与轴交于点和B(1,0)，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知为等边三角形，是平面内的一个动点． （1）如图1，点在内部，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的度数； （2）如图2，点，在外部，满足，连接，其中为中点，连接；若，求证：； （3）如图3，点在外部，，将沿着翻折，得到，连接，为线段上一点，且，连接；若，当线段的长取最小值时，直接写出∆的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年秋数学期中试题 一、单选题 1. －6的绝对值是（ ） A. -6 B. 6 C. - D. 【答案】B 2. 下列图形是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． ∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 4. 如图，直线AB，CD被直线CE所截，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出，然后根据平行线的性质求解即可． 5．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】根据即可判断． 【详解】解：，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用判别式来判断一元二次方程根的个数：当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根，掌握利用判别式判断方程根的方法是解题的关键． 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可． 7. 下列图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第10个图形中●的个数为（　　）  A. 50 B. 53 C. 64 D. 76 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是找出规律． 根据已知图形得出图n中点的个数为，据此可得． 【详解】解：因为图①中点的个数为， 图②中点的个数为， 图③中点个数为， 图④中点的个数为， 图n中点的个数为， 所以图10中点的个数为， 故选：D． 8．已知方程可以配方成的形式，那么的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2022 答案：D 【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键；因此此题可根据已知条件进行展开，进而可得p、q的值，然后代值求解即可． 【详解】解：由可配方得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 9. 如图，在矩形中，，以为边在矩形内作等边，延长交于点F，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质推出，，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，即可求出，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 10. 算术平方根有如下运算：，故化简：可得或两种不同结果．给出下列说法： ①化简：，一共有4种不同的结果； ②化简：，一共有4种不同的结果； ③若，（n为正整数），则当时，. 以上说法中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】分别根据算术平方根的意义化简各式后，再进行判断即可． 【详解】解：①， 所以，有4种不同的结果，故①正确； ② ∵， ∴， 当时，原式； 当，原式； 当，原式； ∴②错误； ③∵， ∴ ∵， ∴ 解得，或（舍去） 故③正确， 所以，正确的结论是①③，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】3 【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式=2+1=3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．一元二次方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键．本题中先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】解： ， 解得：， 故答案为： 13. 一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的内角和与外角和的综合，熟记多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补是解本题的关键．由多边形的每一个内角与相邻的这个外角互补先求解每一个外角，从而可得答案． 【详解】解：∵一个正n多边形的一个内角是它的外角的4倍， ∴正多边形的每一个外角为：， ∴， 故答案为：10． 14. 如图，在∆ABC中，是边的中线，若，则的长度为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理；由等腰三角形的性质得，且，由勾股定理求得的长． 【详解】解：是边的中线， ，且， 在中，， 由勾股定理得． 故答案为：4． 15. 随着经济的逐渐复苏，某市今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 根据今年六月份提供就业岗位个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位个，列出方程即可． 【详解】根据题意得： ， 故答案为：． 16． 在同一平面直角坐标系内，将函数的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图像函数的解析式是 ． 【答案】或y= 【分析】本题考查二次函数图像的平移，关键是将二次函数一般式化成顶点式．先将原解析式化成顶点式，再利用“左加右减上加下减”平移即可． 【详解】解：∵， ∴将函数的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位， 得到图像函数的解析式是． 故答案为：或y=． 17．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m的取值范围．把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有4个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，0，进而得出，解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出m的取值范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案． 【详解】解：关于的不等式组，整理可得：， ∵关于的不等式组有解集， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴关于的不等式组的整数解为：、、，0， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为， ∴符合条件的整数m为3、4、5、6． ∴， 故答案为： 18. 一个四位自然数m，若它的千位数字比十位数字大2，百位数字比个位数字大1，则称m为“倍差数”．例如：最小的“倍差数”为______；将“倍差数”m千位数字与个位数字之和记为s，百位数字与十位数字之和记为t，当m能被3整除时，求的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据“倍差数”的定义求解即可． 【详解】设四位自然数m，若它的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，则， 由“倍差数”的定义可得，则 ∴ ∴ ∴， ∴当时，最小，此时 ∴最小的“倍差数”为； 由题意得：，， ∴， ∴当最大时，的最小 ∵能被3整除， ∴可以取3，6，9，12，15， ∴当时，有最小值，最小值， 故答案为：，． 【点睛】本题考查整式的加减，新定义“倍差数”的运用，通过定义得到对应的数位间的关系，通过推导和讨论，得到最后最小值． 三、解答题 19. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分式混合运算； （1）利用整式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可； （2）先算括号中分式加法，再算除法即可． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 20. 如图，在∆ABC中，平分，交于点． （1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）小川判断四边形是菱形，他的证明思路是：利用垂直平分线的性质，先证明、为等腰三角形，再利用平行线的判定得到四边形为平行四边形，从而得到四边形是菱形． 证明：平分， ①　　， 是的垂直平分线， ，②　　， ，， ，， ，③　　， 四边形为平行四边形， ④　　， 四边形是菱形． 【答案】（1）图形见解析 （2），，， 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图； （2）根据“邻边相等的平行四边形是菱形”进行证明即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求； 【小问2详解】 证明：平分， ， 是的垂直平分线， ，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 菱形． 故答案为：，，，． 21. 为了解七八年级学生的竞赛水平，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：，，，．其中，七年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96． 八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，88，82，89． 两组数据的平均数、中位数、众数、方差表： 学生 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.2 86 b 59.66 八年级 85.2 a 91 91.76 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ，　　，　　； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可） （3）若七、八年级共有2000名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？ 【答案】（1）87.5，88，35 （2）八年级的成绩更好，理由见解答 （3）700人 【解析】 【分析】本题考查了用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数以及方差，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用中位数和众数的定义即可求出和的值；利用八年级组的频数除以20即可得的值； （2）根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 八年级、组的频数和为， 所以将八年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在组，分别为87，88， 则其中位数， 七年级组的人数为（人， 根据七年级成绩可知88分的最多有3人，所以众数为， ， 所以； 故答案为：87.5，88，35； 【小问2详解】 八年级的成绩更好，理由如下： 七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的更好； 【小问3详解】 （人， 答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生大约共有700人． 22．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 23.上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地． （1）求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时） （2）地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？ 【答案】（1）小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时； （2）小唐的行驶速度至少提高千米小时． 【解析】 【分析】（）设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时，根据时间路程速度结合小马比小唐提前分钟到达地，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （）设小唐的行驶速度提高千米小时，根据路程速度 时间结合小唐再用不超过小时与小马相遇，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【小问1详解】 解：设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时， 根据题意得：，解得， 经检验是原方程的解， ∴小唐的车速为， 答：小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时； 【小问2详解】 解：设小唐的行驶速度提高千米小时， 由题意得：， 解得：， 答：小唐的行驶速度至少提高千米小时． 24．如图，在正方形中，，动点F，E分别从点A，B出发，F点沿着运动，到达C点停止运动，点E沿着运动，到达D点停止运动，连接，已知F点的速度且，令，，运动时间为t，请回答下列问题： (1)请直接写出，与t之间的函数关系式以及对应的t的取值范围； (2)请写出函数的一条性质； (3)在直角坐标系中画出，的图象，并根据图形直接写出当时，t的取值范围． ．(1)， (2)当时，的值随t的增大而减小；时，的值随t的增大而增大； (3)图象见解析；或 【分析】（1）分类讨论：当F点在上运动时，此时，如图，连接，由正方形的性质结合题意证明，即得出，，，再由三角形的面积公式求解即可；当F点在上运动时，此时，如图，连接，由①同理证明，得出，，从而得出，再由三角形的面积公式求解即可； （2）根据一次函数的性质即可求解； （3）根据函数解析式画图，再结合图象即得出结果． 【详解】（1）解：当点F在边上时，此时，如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 当点F在边上时，此时，如图，连接， 同理， ∴， ∴， ∴； ； 终上所述，，； （2）解：根据题意得：当时，的值随t的增大而减小；时，的值随t的增大而增大； （3）解：在平面直角坐标系内画出，的函数图象，如下： 联立得：，解得：， ∴与的交点坐标为， 观察图象得：当或时， 当时，t的取值范围或． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，一次函数的应用，求两直线的交点坐标，利用图象法解不等式等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 25．如图，抛物线与轴交于点和B(1,0)，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，时，有最大值，最大值是； (3)存在，点坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标； （）求出直线的函数解析式，用含的式子表示出点的坐标，得出，再根据求出关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再分、点在点的左侧，和当点点的右侧，三种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：设直线的函数解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴轴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在，理由如下： 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，（不符合，舍去）， ∴点的横坐标为， ∴； 如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， 同理可得； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 26. 已知为等边三角形，是平面内的一个动点． （1）如图1，点在内部，连接并延长交于点，连接并延长交于点，若，求的度数； （2）如图2，点，在外部，满足，连接，其中为中点，连接；若，求证：； （3）如图3，点在外部，，将沿着翻折，得到，连接，为线段上一点，且，连接；若，当线段的长取最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合等边三角形的性质证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可； （2）延长至，使，连接，首先证明，得，再证明，可得，进而证明为等边三角形，然后证明，由勾股定理即可获得答案； （3）取的垂直平分线交点，连接，首先证明为等腰直角三角形，进而可得为定值，且为定长，由两点之间线段最短知，即，当在一条直线时有最小值，设交于，由折叠知，即可证明，进一步证明垂直平分，求得，的值，解得，的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：延长至，使，连接，如图2， ∵为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：取的垂直平分线交点，连接，如图3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为定值， 又∵为定点，为定点， ∴为定长， 由两点之间线段最短知， 即，当在一条直线时有最小值， 设交于，由折叠知， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，综合性强，难得较大，综合运用相关知识是解题关键． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$