五、相似模型-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

五、相似模型 模型讲解 模型1>A字型 上，AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若 AC=12,则DH的长为() 有一个公共角（∠A),此时需要找另一对角相 等若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要 分类讨论 DE//BC) 正A字型 A.1 B.3 C.2 D.3 ① 【思路分析】由三等分点的定义与平行线的性质 DE与不平行 得出BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,DH ∠ALDE-∠ACB或 ∠AED-∠ABG 是△AEF的中位线，易证△BEF∽△BAC,得 肥-服解得EP4,周DM-F=2 解：D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC, C(E .BE DE =AD,BF GF CG.AH HF. ③ ∴.AB=3BE,DH是△AEF的中位线， 斜交型 (点F与点C重 合)母子壁 DH-EF. ∠AB=90r, ∠ACB=P, EF∥AC,∴.∠BEF=∠BAC,∠BFE=∠BCA, LDE⊥AB (D⊥AB ∴，△BEF∽△BAC EF BE EF BE AC=AB,即123BE ,解得EF=4. DH=2EF=2×4=2.故选 ④ 双垂直共介塑 双垂直共角共线型， 模型2)8字型 也称射影定理型 有一组隐含的等角（对顶角），此时需要从已知 重要结论： 条件中、图中隐含条件或通过证明得另一对角 1.图③与图⑤：AC2=AD·AB. 相等.若题中未明确相似三角形对应顶点，则需 2.图⑤：(1)CD=AD·BD: 要分类讨论 (2)BC2=BD·AB. 例国(2023·四川内江)如图，在△ABC中， 点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC 数学205▣ 例2(2022·扬州)如图，在△ABC中，AB< ∠BAD=∠FAE,由相似三角形的性质得出 AC,将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到 ∠FAE=∠CDF,进而得出∠BAD=∠CDF,可 △ADE,点D在BC边上，DE交AC于点F.有下 判断结论③符合题意. 列结论：①△AFE∽△DFC:②DA平分∠BDE; 解：，将△ABC以点A为中心逆时针旋转得 ③∠CDF=∠BAD.其中所有正确结论的序号是 到△ADE ∴.∠BAC=∠DAE,∠B=∠ADE,AB=AD, ∠E=∠C. ∴.∠B=∠ADB=∠ADE. ,DA平分∠BDE.②符合题意 A.①② B.②③C.①3 D.①23 :∠AFE=∠DFC,∠E=∠C. 【思路分析】由旋转的性质得出∠BAC= ∴△AFE∽△DFC.∴.①符合题意 ∠DAE,∠B=∠ADE,AB=AD,∠E=∠C,进而 ∠BAC=∠DAE 得出∠B=∠ADB=∠ADE,得出DA平分 ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC. ∴.∠BAD=∠FAE ∠BDE,可判断结论②符合题意；由∠AFE= ∠DFC,∠E=∠C,得出△AFE∽△DFC,可判 :'△AFE∽△DFC,∴.∠FAE=∠CDF 断结论①符合题意；由∠BAC=∠DAE,得出 .∠BAD=∠CDF.∴.③符合题意.故选D. 强化练习 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC边 A.4 B.9 C.12 D.13.5 上，DE∥BC,且∠DCE=∠B.那么下列各判 3.(222·郑州一模)如图，在△ABC中，AB=4, 断中，错误的是( AC=3,BC=5,将△ABC沿着点A到点C的 方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面 积为4，则平移的距离为( A.△ADE∽△ABCB.△ADE△ACD C.△DEC∽△CDB D.△ADE∽△DCB 2.(2023·重庆)如图，已知△ABC△EDC, AC:EC=2:3,若AB的长度为6，则DE的长 A.3-6B.6 C.3+6D.26 度为() 4.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上， 且治-祀=子，则Sm:Sam的值为 。206(河南易中考 C除外)，BD的延长线交⊙O于点E,连 接CE. '0 A.1:3 B.1:3C.1:8 D.1:9 5.数学文化(2023·江西)《周髀算经》中记载 了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条 (1)求证：△CED∽△BAD. 边呈直角的曲尺（即图中的ABC).“偃矩以望 (2)当DC=2AD时，求CE的长. 高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高 度.如图，点A,B,Q在同一水平线上，∠ABC和 ∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D.测得 AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,则树高PQ= 6.(2023·湖南)如图，在Rt△ABC中，∠BAC= 90°，AD是斜边BC上的高. (1)证明：△ABD∽△CBA. (2)若AB=6,BC=10,求BD的长. 7.(2022·无锡)如图，边长为6的等边三角形 ABC内接于⊙O,点D为AC上的动点（点A, 数学207■3解：I):∠BC=90把=1B=4C∠B=45 △ABC是边长为6的等边三角形， ∠A=60°，AC=AB=6. ∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°，·AP=AD. .DC =2AD,..AD =2.DC=4. ,∠BAP+∠PAC=90°，∠CMD+∠PAC=90°， ∠BAP=∠CAD, △CED△BAD, 能89=3.c=3E AB =AC. ∠E=∠A=60°，DF⊥EC,.∠EDF=30°.∴.DE=2EF 在△ABP与△ACD中 ∠BAP=∠CAD. 设EF=x,则DE=2x,DF=3x,EC=6x..FC=5x AP=AD. 在Rt△DFC中，DF+FC=DC∴.(5x)2+(5x)2=4. .△ABP≌△ACD(SAS)∴，PB=CGD,∠ACD=∠B=45°， 解得：29或：=（不合题意，合去） 7 器1.放答案为1,45 六EC=6r=125 7 2)L4D=∠B器-把- 六、“一线三等角”模型 理由：：∠BAC=∠PAD=90°，∠B=∠APD, △AC△MPm8-G=k 【强化练习】1.B2.23.224.2或22-2或22+2 5.解：(1)证明：，∠ACB=90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD= ∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°， 180,.∠BCE+∠ACD=90 ∴∠BAP=∠CAD,∴△ABPn△ACD, AD⊥ED.BE⊥ED,.∠BEC=∠CDA=90°， AD=LR,器把-k ∠EBC+∠BCE=9O°..∴.∠ACD=∠EBC ∠CDA=∠BEC=90°. 五、相似模型 在△BEC和△CDA中 LACD=∠EBC, 【强化练习】1.D2.B3.A4.C5.6 CB =CA. 6.解：(1)证明：∠BAC=90°，∴.∠B+∠C=90 .△BEC≌△CDA. AD是斜边BC上的高， (2)如图①，过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CE⊥ .∠ADB=90°.∠B+∠BAD=90°，∴.∠BAD=∠C. AB,交BA的延长线于点E 又：∠B=∠B,.△ABD∽△CBA, y∠DBA=∠DAB..AD=BDAF=BF=AB=3 (2:△AaD△C28-e ∠CAD=90°，∴.∠DAF+∠CAE=90 又：40=6，c=10mg-治-g ∠DAF+∠ADF=90°，∴.∠GAE=∠ADF r∠CEA=∠AFD=90°， 7.解：(1)证明：∠CDE=∠BDA,∠A=∠E, 在△CAE和△ADF中， ∠CAE=∠ADF. ∴△CED∽△BAD. LAC=AD, (2)如图，过点D作DF⊥EC于点F .△CAE≌△ADF..CE=AF=3. ,点C到AB边的距离为5. 0 -27