六、“一线三等角”模型-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

六、“一线三等角”模型 模型讲解 “一线三等角”的概念 2. 当等角所对的边相等时,两个三角形全等,如 图①.若CE=ED.则△AEC△BDE. “一线三等角”是一个常见的相似模型,指 3.中点型“一线三等角”,如图②,当/1三/2 的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的 乙3.且D是BC的中点时,△BDE △CFD 相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或 △DFE. 钝角,也称为“K型图”“三垂直”“弦图”等,以 下称为“一线三等角” “一线三等角”的分类 1.全等(PC=PD) ① ####_# ② ##B#同# “一线三等角”的应用 直 锐f 键竹 1.“一线三等角”应用的三种情况: (1)图形中已经存在“一线三等角”,直接应用 模型解题: (2)图形中存在“一线二等角”,补上“一等角” 异侧 构造模型解题: 锐角 直角 (3)图形中只有直线上一个角,补上“二等角” 2.相似(PCPD) 构造模型解题. ###。行#_ D 注:最后一种情况出现比较多,尤其是压轴题 中,经常会有一个特殊角或知道该角的三角函 B 同侧 数值,此时经常构造“一线三等角”来解题 锐角 角 钝角 2.在定边对定角问题中,构造一线三等角是基 __) 本手段,尤其是平面直角坐标系中的直角问题 在x轴或v轴(也可以是平行于x轴或v轴的直 线)上构造一线三等角解决问题更是重要的 异侧 锐角 手段. 3.构造一线三等角的步骤;找角、定线、构相似 “一线三等角”的性质 (或全等). 1.一般情况下,如图①,由/1=/2=/3.易得 注:河南中考中常用到一线三等角中的一线三 △AFC△BDE. 垂直(即三个角均为直角) "208(河南易中考) 例 (2022·兴庆区二模)在平面直角坐标 例(2023·四川南充)如图,数学活动课 系x0v中,将一块含有45*角的直角三角板如图 上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平 放置,直角顶点C的坐标为(1.0).顶点A的坐标 放置一平面镜,然后向后退(保持脚、镜和旗杆底 为(0.2),顶点B恰好落在位于第一象限的双曲线 端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗 上.现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点/ 杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m. 恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的 同时量得小非与镜子的水平距离为2m,镜子与 对应点C的坐标为 旗杆的水平距离为10m,则旗杆高度为( ) A.6.4m C.9.6m B.8m 1 D.12.5m 【思路分析】观察图形,有两个直角/A0C和 【思路分析】根据镜面反射性质,可求出乙ACB= 乙ACB,有一条线x轴,过点B作x轴的垂线交a 轴于点D,根据一线三垂直易证△AC0 之ECD,再利用垂直求△ABC△EDC,最后根据三 ACBD,从而可求出B的坐标,进而可求出反比 角形相似的性质,即可求出答案. 例函数的解析式,根据解析式与A的坐标即可 得知平移的长度,从而求出C的对应点C'. 【答案】(0) 【答案】B 强化练习 1.(2022·景县模拟)如图,在等边三角形ABC 式放置,使它的一条直角边过点A.直角顶点落 在BC边上的点E处,另一顶点落在DC边上 的点F处,且AE=EF,则DF的长为. BC上一点(点D不与端点重合),作乙PD0= 6 0{*}$.D0交边AC于点0.若C0=a.满足条件 的点D有且只有一个,则a的值为( 3.(2022·雁塔区模拟)如图,正方形ABCD中,AB= 4.点E为边BC上一动点,将AE绕点E顺时针旋 转90得到EF,则DF的最小值为 A. B8 C. 2 D.3 2.(2022·长春一模)如图,在矩形ABCD中. AB=3.BC=4.将一块三角尺按如图所示的方 数学209. 4.如图,在正方形ABCD中,AB=4,点P.0分别 在直线CB与射线DC上(点P不与点C、点 重合).且保持 AP0=90*.C0=1.则线段BF$ 的长为 5.(2022·商水二模)感知:数学课上,老师给出 了一个模型.如图①,点A在直线DE上,且 BDA= BAC= AEC=90*,像这种一条直$ 线上的三个项点含有三个相等的角的模型 我们把它称为“一线三等角”模型 应用:(1)如图②.Rt△ABC中./ACB=90*. CB=CA.直线ED经过点C.过A作AD1ED于点 D.过B作BE ED干点E 求证:BFC一CDA (2)如图③,在△ABC中,D是BC上一点. CAD=90*$AC=AD. $DBA= $DAB$AB$=$ 2/3.求点C到AB边的距离 (3)如图④,在口ABCD中,E为边BC上的一 点,F为边AB上的一点;若乙DEF= B ① ② ③ ④ ■210(河南易中考3解：I):∠BC=90把=1B=4C∠B=45 △ABC是边长为6的等边三角形， ∠A=60°，AC=AB=6. ∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°，·AP=AD. .DC =2AD,..AD =2.DC=4. ,∠BAP+∠PAC=90°，∠CMD+∠PAC=90°， ∠BAP=∠CAD, △CED△BAD, 能89=3.c=3E AB =AC. ∠E=∠A=60°，DF⊥EC,.∠EDF=30°.∴.DE=2EF 在△ABP与△ACD中 ∠BAP=∠CAD. 设EF=x,则DE=2x,DF=3x,EC=6x..FC=5x AP=AD. 在Rt△DFC中，DF+FC=DC∴.(5x)2+(5x)2=4. .△ABP≌△ACD(SAS)∴，PB=CGD,∠ACD=∠B=45°， 解得：29或：=（不合题意，合去） 7 器1.放答案为1,45 六EC=6r=125 7 2)L4D=∠B器-把- 六、“一线三等角”模型 理由：：∠BAC=∠PAD=90°，∠B=∠APD, △AC△MPm8-G=k 【强化练习】1.B2.23.224.2或22-2或22+2 5.解：(1)证明：，∠ACB=90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD= ∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°， 180,.∠BCE+∠ACD=90 ∴∠BAP=∠CAD,∴△ABPn△ACD, AD⊥ED.BE⊥ED,.∠BEC=∠CDA=90°， AD=LR,器把-k ∠EBC+∠BCE=9O°..∴.∠ACD=∠EBC ∠CDA=∠BEC=90°. 五、相似模型 在△BEC和△CDA中 LACD=∠EBC, 【强化练习】1.D2.B3.A4.C5.6 CB =CA. 6.解：(1)证明：∠BAC=90°，∴.∠B+∠C=90 .△BEC≌△CDA. AD是斜边BC上的高， (2)如图①，过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CE⊥ .∠ADB=90°.∠B+∠BAD=90°，∴.∠BAD=∠C. AB,交BA的延长线于点E 又：∠B=∠B,.△ABD∽△CBA, y∠DBA=∠DAB..AD=BDAF=BF=AB=3 (2:△AaD△C28-e ∠CAD=90°，∴.∠DAF+∠CAE=90 又：40=6，c=10mg-治-g ∠DAF+∠ADF=90°，∴.∠GAE=∠ADF r∠CEA=∠AFD=90°， 7.解：(1)证明：∠CDE=∠BDA,∠A=∠E, 在△CAE和△ADF中， ∠CAE=∠ADF. ∴△CED∽△BAD. LAC=AD, (2)如图，过点D作DF⊥EC于点F .△CAE≌△ADF..CE=AF=3. ,点C到AB边的距离为5. 0 -27 (3)如图②，过点D作DM=DC交BC的延长线于点 八、半角模型 M,则∠DCM=∠M. 四边形ABCD是平行四边形， 【强化练习】1.5 .DM=CD=AB=10,AB∥CD 2.解：(1)成立 ∴.∠B=∠DCM=∠M. 【提示】小：△ABC和△AFG都是等腰直角三角形. ∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠BFE, ∴.∠B=∠C=∠FAG=45°， ∠B=∠DEF,∴.∠DEC=∠BFE. ,∠DAC=∠CME+45,∠AEB=∠CAE+45°， △BFE∽△MED. EF BE 6 3 DE=D=10=5 ∴.∠DMC=∠AEB. ∠B=∠C,∴.△BEM∽△CD 七、中点模型问题 熙 AC CD ,AB·AC=BE·CD 【强化练习】1.D2.C3.24.455.3阿 AC=AB.BE·CD=AB.放答案为成立 6.证明：如图，连接DE,DF (2)四边形ABCD是正方形， ,∠CAD=∠ACB=∠ADB=45 :∠EAF=∠ADB∴∠EAF=∠CAD=45 ,∠CAF+∠CAE=∠DAE+∠CAE. .∠CAF=∠DAE ∠ACB=∠ADB=45°，∴△ADE∽△ACF yD为BC的中点DF=2BC,DE=2BC (3)55【提示】如图，在DE上取一点M, 使∠MAD=30°，过M作MN⊥ ∴.DF=DE,即△DEF是等腰三角形. AD于N DM⊥EF,,M是EF的中点，即FM=EM 在菱形ABCD中， 7.解：【问题解决】2<AD<6 ∠BAD=120°， 【应用】如图，延长AD到E,使得DE=AD,连接BE. ∴LMDA=2L0c=0∠MD=LWD1=30 .∠AME=60°.∴，∠AME=∠ACB=60 ∠CAD=60°，.∠CAM=30° ∠EAF=∠ADB,..∠EAF=∠CAM=30 点D是边BC的中点，∴.CD=BD. AD =ED, ∠CF=∠WaE△MGP△MEE-G 在△DAC和△DEB中， ∠ADC=∠EDB, CD=BD. AN-号AD.AN=停4M=WD=停n ∴.△DAC≌△DEB(SAS)..AC=EB=6. .AE =2AD =8.AB=10,.'.BE+AE AB'. A0=ACAC=5A张-%=E .∠AEB=90 .CF=、3ME. ,BD=、BE+DE=2/13..BC=2BD=413. “*菱形ABCD的边长为12em,∴.BC=AD=12cm. 【拓展】√61 BF =9 em,..CF=3ME =3 cm. 28