八、半角模型-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作 DF⊥DE交边AC于点F,连接EF.已知BE= 5,CF=6,则EF的长为 八、半角模型 模型讲解 模型1)含90°角的半角模型 模型2)含90°角半角问题的演变 如图①，条件：(1)四边形ABCD是正方形， 如图①，条件：四边形ABCD是正方形，∠EAF= (2)∠EAF=45 45°.结论：FA平分∠DFE,EF=DF-BE.请参照图 有如下结论： ②，图③解答 ①EF=DF+BE: ②△CEF的周长为正方形ABCD的边长的2倍： ③FA平分∠DFE. 辅助线方法！ 辅助线方法2 ① ② 模型3正方形的一半 条件：三角形ABC是等腰直角三角形，点D,E ① 证明：①如图②，将△ADF绕着A顺时针旋转 在斜边BC所在直线上，∠DAE=45 90°，得到△ABG,易证G,B,C三点共线， △AEG≌△AEF.所以EG=GB+BE=EF 又因为GB=FD,所以EF=EB+FD ②由结论①可知，△CEF的周长=CE+CF+EF= CE+CF +EB+FD=BC+CD=2BC. ③由于△AEG≌△AEF,所以∠AFE=∠G.因为 ∠AFD=∠G,所以∠AFE=∠AFD,即FA平 分∠DFE. 。214(河南易中考 结论：当点D,E在BC边上时，如图①，以BD, 立.理由如下： CE,DE为边的三角形是直角三角形，且满足 如图①，延长CB至M,使BM=DF,连接AM BD+CE2=DE:如图②，当点E在线段BC上， ∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°， 而点D在CB延长线上时，结论依然成立.半角 ∴.∠D=∠ABM. 模型并不限于直角，可以拓展为任意角.证明方 AB =AD. 法基本相同. 在△ABM和△ADF中 ∠ABM=∠D. 例■(2022·伊金霍洛旗一模)解答下列 BM DF. 各题： ∴△ABM≌△ADF(SAS) (1)【阅读理解】我们把有一组邻边相等的凸四 ∴.AF=AM,∠DAF=∠BAM 边形，叫做“等邻边四边形”.正方形是一个特殊 :∠BAD=2∠EAF,∴.∠DAF+∠BAE=∠EAF 的“等邻边四边形”，如图①，点E,F分别在正 ∴.∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF 方形ABCD的边BC,CD上，∠EAF=45°，我们 AF=AM. 把△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ADG,再通 在△FAE和△MAE中 ∠FAE=∠MAE. 过证明△AEF与△AGF全等，从而发现BE,EF, AE AE, FD之间的数量关系是 (直接写出答 ∴.△FAE≌△MAE(SAS)..EF=EM 案) EM EB +BM =EB+DF...EF=BE FD. (2)【探究引申】如图②，在等邻边四边形ABCD G.HDE 中，AB=AD,∠BAD≠90°，∠B+∠D=180°，点 E,F分别在边BC,CD上，则当∠EAF与∠BAD 满足怎样的数量关系时，(1)中的结论仍成立？ (3)如图②，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至 请说明理由 △ADG,连接AF,过A作AH⊥GD,垂足为H. (3)【问题解决】如图③，在等邻边四边形ABCD ∠BAD=150°，∠DAE=90°，∴.∠BAE=60 中，已知AB=AD=203米，∠B=60°，∠ADC= 又：∠B=60°，∴.△ABE是等边三角形 120°，∠BAD=150°，在BC,CD上分别取点E, ∴.BE=AB=20、3 F,且AE⊥AD,DF=(30-103)米，求线段EF 根据旋转的性质，得∠ADG=∠B=60 的长。 又：∠ADF=I20°， ∴，∠GDF=I8O°，即点G在CD的延长线上 由旋转，得AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE 又：4AH=AD·sin60°=30，Hlf=AD·cos60°+ DF=30,∴.AH=FH.,∴.∠HAF=45 ∴.∠DAF=∠HAF-∠HAD=15 ∴.∠EAF=∠EAD-∠DAF=75 又∠BAD=150°=2∠EAF, ∴，根据(1)(2)中的结论，EF=BE+DF=(30+ 解：(1)EF=BE+FD 103)米 (2)当∠BAD=2∠EAF时，(I)中的结论仍成 数学215■ 强化练习 1.(2022·十堰模拟)如图所 示，在菱形ABCD中，AB=4, ∠BAD=120°，△AEF为正三 角形，点E,F分别在菱形的边BC,CD上滑动， 且E,F不与B,C,D重合.当点E,F在BC,CD 上滑动时，△CEF的面积最大值是 2.(2022·福田区二模)【教材呈现】(1)如图 ①，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三 角形ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶 点，∠BAC=∠G=90°.若△ABC固定不动， 将△AFG绕点A旋转，边AF,AG与边BC分 别交于点D,E(点D不与点B重合，点E不与 点C重合)，则结论BE·CD=AB是否成立？ (填“成立”或“不成立”) 【类比引申】(2)如图②，在正方形ABCD中， ∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与 BD,BC交于点E,F,且满足∠EAF=∠ADB, 求证：△ADE∽△ACF 【拓展延伸】(3)如图③，菱形ABCD的边长为 12cm,∠BAD=120°，∠EAF的两边分别与 BD,BC相交于点E,F,且满足∠EAF=∠ADB. 若BF=9cm,则线段DE的长为 cm 。216(河南易中考(3)如图②，过点D作DM=DC交BC的延长线于点 八、半角模型 M,则∠DCM=∠M. 四边形ABCD是平行四边形， 【强化练习】1.5 .DM=CD=AB=10,AB∥CD 2.解：(1)成立 ∴.∠B=∠DCM=∠M. 【提示】小：△ABC和△AFG都是等腰直角三角形. ∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠BFE, ∴.∠B=∠C=∠FAG=45°， ∠B=∠DEF,∴.∠DEC=∠BFE. ,∠DAC=∠CME+45,∠AEB=∠CAE+45°， △BFE∽△MED. EF BE 6 3 DE=D=10=5 ∴.∠DMC=∠AEB. ∠B=∠C,∴.△BEM∽△CD 七、中点模型问题 熙 AC CD ,AB·AC=BE·CD 【强化练习】1.D2.C3.24.455.3阿 AC=AB.BE·CD=AB.放答案为成立 6.证明：如图，连接DE,DF (2)四边形ABCD是正方形， ,∠CAD=∠ACB=∠ADB=45 :∠EAF=∠ADB∴∠EAF=∠CAD=45 ,∠CAF+∠CAE=∠DAE+∠CAE. .∠CAF=∠DAE ∠ACB=∠ADB=45°，∴△ADE∽△ACF yD为BC的中点DF=2BC,DE=2BC (3)55【提示】如图，在DE上取一点M, 使∠MAD=30°，过M作MN⊥ ∴.DF=DE,即△DEF是等腰三角形. AD于N DM⊥EF,,M是EF的中点，即FM=EM 在菱形ABCD中， 7.解：【问题解决】2<AD<6 ∠BAD=120°， 【应用】如图，延长AD到E,使得DE=AD,连接BE. ∴LMDA=2L0c=0∠MD=LWD1=30 .∠AME=60°.∴，∠AME=∠ACB=60 ∠CAD=60°，.∠CAM=30° ∠EAF=∠ADB,..∠EAF=∠CAM=30 点D是边BC的中点，∴.CD=BD. AD =ED, ∠CF=∠WaE△MGP△MEE-G 在△DAC和△DEB中， ∠ADC=∠EDB, CD=BD. AN-号AD.AN=停4M=WD=停n ∴.△DAC≌△DEB(SAS)..AC=EB=6. .AE =2AD =8.AB=10,.'.BE+AE AB'. A0=ACAC=5A张-%=E .∠AEB=90 .CF=、3ME. ,BD=、BE+DE=2/13..BC=2BD=413. “*菱形ABCD的边长为12em,∴.BC=AD=12cm. 【拓展】√61 BF =9 em,..CF=3ME =3 cm. 28 ÷ME=5cm,D=5AD=45cm 3 原武+ .DE=ME+MD=53em故答案为5v3. =-x+产+x.（x+1)(x-1) (x+1)(x-1) 易练通 2x2 (x+1)x-1D+1）x-1山=2x x 乙同学的解法： 教材复习篇 第一章数与式 原武清特到 高a+-山，活g- x-1 第一节实数及其运算 =x-1+x+1=2x. 1.A2.A3.A4.D5.D6.B7.A8.D9.B 2解：原武=g+-D 10.√0（答案不唯一） 1.解：原式=8×-2×分=2-1=1 第二节整式及因式分解 以棍源赋品品是高 1.B2.A3.B4.C5.A6.37.D8.B 4解：原式=25”+（任：） x(x+1) 9.解：原式=a2+2ab+b-2ab+2b+2a2=3a2+3b2. =-l÷x-1--l.x m2+6-3=0,,a3+b=3. ·原式=3(a2+)=3×3=9. 15.解：原式=9-}.(a+2)(a-2)-2 a-2(a-1)2a-1 10解：依题意得，三种卡片的面积分别为Sm=d,S2=a, =0+2_。2 S两=1，S=S甲+3Sz+25两=a+3和+2，S,=5Sz+S a-1-a-1-a-T =5a+l,S,+S=(a2+30+2)+(5a+1)=a2+8a+ 1 时，原式 当a= 2 =-1. 3..当a=2时，S,+S2=2+8×2+3=23. 1 21 第三节分式 第四节二次根式 A2B3.A4.C5208617 1.A2.A3.B4.A5.x≥-16.A7.D 8m+9.3 8.1(答案不唯-)9.B10.B 2(2”+1) 10解：原武-(-山+） 解：原式1+号+巨×号-号=1+号+1-号=2 第二章方程（组）与不等式（组） --2x+1:-1 第一节一次方程（组）及其应用 点 11.解：(1)②③ 1.A2.c3.A4D5.C6x=号71 (2)甲同学的解法： 8.x-y(答案不唯一)9.110.211.D12.D —29-