七、中点模型问题-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

七、中点模型问题 模型讲解 模型1》 倍长中线或类中线（与中点有关的 可解决问题 线段)构造全等三角形 【答案号 模型2)已知等腰三角形底边中点，可以考 倍长中线 B 虑与顶点连接用“三线合一” E ①D 连接线 A 倍长类中线 构造全等 【模型分析】等腰三角形中有底边中点时，常 2 作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一” 的性质得到角相等或边相等，为解题创造更 【模型分析】如图①，AD是△ABC的中线，延长 多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想 AD至点E,使DE=AD,连接BE,易证△ADC≌ △EDB(SAS).如图②，D是BC的中点，延长 到“边等、角等、三线合一” FD至点E,使DE=FD,连接CE,易证△FDB≌ 例②如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6, △EDC(SAS).当遇到中线或者中点的时候，可 点n为BC的中点，N1AG于点，则祭的值 以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目 是 的是对已知条件中的线段进行转移。 5例1如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是 AD上一点，连接BE并延长交AC于F,BE=AC,且 BF=9,CF=6,则AF的长度为 【思路分析】连接AM,根据等腰三角形三线合一 的性质得到AM⊥BC,根据勾股定理求得AM的 【思路分析】延长AD到G,使DG=AD,连接 长，再根据直角三角形的面积公式即可求得MN BG,通过△ACD≌△GBD,得到∠CAD=∠G, 的长，进而得出答案。 AC=BG,等量代换得到BE=BG,由等腰三角 形的性质得到∠G=∠BEG,推出EF=AF即 【答案1名 数学)211■ 模型3)已知三角形一边的中点，可以考虑 模型4)已知直角三角形斜边中点，可以考 中位线定理 虑构造斜边上的中线 收另边点 D D 构造直角二角形斜边上的中线 构造位线 CE 【模型分析】在三角形中，如果有中点，可构造三 【模型分析】在直角三角形中，当遇见斜边中点 角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理 时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜 “DE∥BC,且DE=BC来解题中位线定理既 边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB,来 有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型 证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等 可以解决线段之间的倍半、相等及平行问题 腰三角形：△ACD和△BCD.该模型经常会与中 例3(2022·龙华二模)如图，在△ABC中，AB= 位线定理一起综合应用 AC=10,BC=16,点O是△ABC的重心，将线段AO 例4如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥ 绕点A逆时针旋转至AO'的位置，点D为线段CO'的 BC于D,点E为BC的中点，BC=42+4,DE= 中点，连接BD,则BD的最大值为 2,则∠C= B D E 【思路分析】如图，延长AO交BC于点E,延长CB 【思路分析】首先取AB的中点F,连接FD,EF,判 到F,使BF=BC,则BD 断出EF∥AC,即可判断出∠FEB=∠C,再根据 ∠B=2∠C,可得∠B=2∠FEB,然后根据AD⊥BC, 是△CFO'的中位线， BD=F0,当点F在 AF=BF,判断出FD=BF=2AB,进而判断出 OA的延长线上时，FO最长，此时BD的值最大， ∠FEB=∠DFE,即可判断出DF=DE,从而得出 求出FO'的值，即可求出BD的最大值， AB=2DE,再根据中点得出BD=22,即可得出 【答案】3√17+2 ∠B=45°，结合∠B=2∠C可得答案， 【答案】22.5 强化练习 1.(2023·江苏徐州)如图，在△ABC A.1 B.2 中，∠B=90°，∠A=30°，BC=2,D C.1或2 D.1或2 为AB的中点.若点E在边AC上，D: 2.(2023·甘肃兰州)如图，在 且识则4证的张为 矩形ABCD中，点E为BA 延长线上一点，F为CE的 ■212（河南易中考 中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD 6.如图，在△4BC中，BE,CF分别为边AC,AB上的 与CE的交点G,连接BG.若AB=4,CE=I0, 高，D为BC的中点，DM⊥EF于M.求证： 则AG=( FM EM. A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 3.(2022·重庆节选)在△ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC=22,D为BC的中点，E,F分 别为AC,AD上任意一点，连接EF,将线段EF 绕点E顺时针旋转90°得到线段EG,连接 FG,AG.如图，点E与点C重合，且GF的延长 线过点B,若点P为FG的中点，连接PD,则 PD的长为 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD 相交于点O,AB=OB,点E,F分别是OA,OD 的中点，连接EF,EM⊥BC于点M,EM交BD 于点N,若∠CEF=45°，FN=5,则线段BC的 长为 7.(2022·南关区模拟)【问题提出】如图①，在 △ABC中，若AB=8,AC=4,求BC边上的中 线AD的取值范围. 5.如图，在△ABC中，∠A=120°，D是BC的中 【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延 点，E是AB上的一点，F是AC上的一点， 长AD到点E,使DE=AD,再连接BE.把AB, ∠EDF=90°，且BE=2,FC=7,则EF= AC,2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的 关系即可判断.由此得出中线AD的取值范围 是 【应用】如图②，在△ABC中，D为边BC的中 点，已知AB=10,AC=6,AD=4,求BC的长 【拓展】如图③，在△ABC中，∠A=90°，点D 数学)213■ 是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作 DF⊥DE交边AC于点F,连接EF.已知BE= 5,CF=6,则EF的长为 八、半角模型 模型讲解 模型1)含90°角的半角模型 模型2)含90°角半角问题的演变 如图①，条件：(1)四边形ABCD是正方形， 如图①，条件：四边形ABCD是正方形，∠EAF= (2)∠EAF=45 45°.结论：FA平分∠DFE,EF=DF-BE.请参照图 有如下结论： ②，图③解答 ①EF=DF+BE: ②△CEF的周长为正方形ABCD的边长的2倍： ③FA平分∠DFE. 辅助线方法！ 辅助线方法2 ① ② 模型3正方形的一半 条件：三角形ABC是等腰直角三角形，点D,E ① 证明：①如图②，将△ADF绕着A顺时针旋转 在斜边BC所在直线上，∠DAE=45 90°，得到△ABG,易证G,B,C三点共线， △AEG≌△AEF.所以EG=GB+BE=EF 又因为GB=FD,所以EF=EB+FD ②由结论①可知，△CEF的周长=CE+CF+EF= CE+CF +EB+FD=BC+CD=2BC. ③由于△AEG≌△AEF,所以∠AFE=∠G.因为 ∠AFD=∠G,所以∠AFE=∠AFD,即FA平 分∠DFE. 。214(河南易中考(3)如图②，过点D作DM=DC交BC的延长线于点 八、半角模型 M,则∠DCM=∠M. 四边形ABCD是平行四边形， 【强化练习】1.5 .DM=CD=AB=10,AB∥CD 2.解：(1)成立 ∴.∠B=∠DCM=∠M. 【提示】小：△ABC和△AFG都是等腰直角三角形. ∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠BFE, ∴.∠B=∠C=∠FAG=45°， ∠B=∠DEF,∴.∠DEC=∠BFE. ,∠DAC=∠CME+45,∠AEB=∠CAE+45°， △BFE∽△MED. EF BE 6 3 DE=D=10=5 ∴.∠DMC=∠AEB. ∠B=∠C,∴.△BEM∽△CD 七、中点模型问题 熙 AC CD ,AB·AC=BE·CD 【强化练习】1.D2.C3.24.455.3阿 AC=AB.BE·CD=AB.放答案为成立 6.证明：如图，连接DE,DF (2)四边形ABCD是正方形， ,∠CAD=∠ACB=∠ADB=45 :∠EAF=∠ADB∴∠EAF=∠CAD=45 ,∠CAF+∠CAE=∠DAE+∠CAE. .∠CAF=∠DAE ∠ACB=∠ADB=45°，∴△ADE∽△ACF yD为BC的中点DF=2BC,DE=2BC (3)55【提示】如图，在DE上取一点M, 使∠MAD=30°，过M作MN⊥ ∴.DF=DE,即△DEF是等腰三角形. AD于N DM⊥EF,,M是EF的中点，即FM=EM 在菱形ABCD中， 7.解：【问题解决】2<AD<6 ∠BAD=120°， 【应用】如图，延长AD到E,使得DE=AD,连接BE. ∴LMDA=2L0c=0∠MD=LWD1=30 .∠AME=60°.∴，∠AME=∠ACB=60 ∠CAD=60°，.∠CAM=30° ∠EAF=∠ADB,..∠EAF=∠CAM=30 点D是边BC的中点，∴.CD=BD. AD =ED, ∠CF=∠WaE△MGP△MEE-G 在△DAC和△DEB中， ∠ADC=∠EDB, CD=BD. AN-号AD.AN=停4M=WD=停n ∴.△DAC≌△DEB(SAS)..AC=EB=6. .AE =2AD =8.AB=10,.'.BE+AE AB'. A0=ACAC=5A张-%=E .∠AEB=90 .CF=、3ME. ,BD=、BE+DE=2/13..BC=2BD=413. “*菱形ABCD的边长为12em,∴.BC=AD=12cm. 【拓展】√61 BF =9 em,..CF=3ME =3 cm. 28