二、全等模型-【易中考】2024年中考总复习数学（河南专版）

2求角度 OB的交点即为N,如图，易知∠DPC与∠AOB互 补，求出∠DPC的度数即可. 例4P为∠AOB内一定点，M,N分别为射 线OA,OB上的点，当△PMN周长最小时， ∠MPN=80°，则∠AOB= 、D 【思路分析】这是一定两动型“将军饮马”问题，我 们应该先将M,N的位置找到，再来思考∠AOB的 度数，显然作点P关于OA的对称点P',关于OB 的对称点P",连接P'P”,其与OA的交点即为M,与 【答案】50° 强化练习 1.如图，在边长为2的正三角形ABC中，E,F,G ∠B=∠E=90°，在BC,DE上分别找一点M, 为各边的中点，P为线段EF上一动点，连接 N,使得△AMN的周长最小，则∠AMN+ BP,GP,则△BPG周长的最小值为 ∠ANM的度数为 2.如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m,白球E 4.如图，四边形ABCD是矩形，AB=5,BC=12.M 距AD边0.22m,距CD边1.4m,有一颗红球 是对角线BD上一动点，点M,与点M关于AD F紧贴BC边，且距离CD边0.Im,若要使白 对称，点M2与点M关于AB对称，连接M,M2, 球E经过边AD,DC,两次反弹击中红球F,则 MM2恰好经过点A,则MM2的最小值为 白球E运动路线的总长度为 m 3.如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=136°， 二、全等模型 模型讲解 模型1》平移模型 对应角相等， 此模型的特征是有一组边共线或部分重合，另 两组边分别平行，常要在移动方向上加（减）公 共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到 数学)193。 S例1如图，已知点E,C在线段BF上，BE= .∠DBC=∠BCD,∴.DB=DC. CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求证：AC=DF AB =AC, 在△ABD与△ACD中，DB=DC. AD =AD. ∴.△ABD≌△4CD(SSS), ·∠BAD=∠CAD 证明：AB∥DE,∴.∠ABC=∠DEF (2):△ABD≌△ACD. BE CF,..BC EF. .∠ADB=∠ADC 又：∠ACB=∠F,∴.△ABC≌△DEF(ASA), :∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°， .AC DF. ∠BDC=90°， 模型2>轴对称模型 ÷LADB=2 (360°-90°)=135 此模型的特征是所给图形可沿某一直线折叠， 模型3 旋转模型 直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是 全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含 此模型的特征是所给图形可沿某一共同顶点旋 条件，即公共边或公共角相等 转，或旋转后平移，两个三角形通过旋转还原后 可完全重合.若共顶点旋转，一般可用SAS的方 法证明。 例3已知：如图，∠B=∠D,∠1=∠2，AB= 边AB 共线A AD.求证：AC=AE. 基本模型 对顶角相等 ∠ABC=∠EBHD 共角F 例2如图，在△ABC中，AB=AC,D是三角 形内一点，连接AD,BD,CD,∠BDC=90°， ∠DBC=45. 【思路分析】先得出∠BAC=∠EAD,然后证明 △ABC兰△ADE即可. 证明：，∠1=∠2， ∴.∠1+∠CAD=∠2+∠CAD, 即∠BAC=∠EAD. ∠B=∠D. 在△ABC和△ADE中 AB =AD. (1)求证：∠BAD=∠CAD. ∠BAC=∠EAD. (2)求∠ADB的度数 解：(1)证明：∠BDC=90°，∠DBC=45°， .△ABC≌△ADE(ASA),∴.AC=AE. ∴，∠BCD=180°-∠BDC-∠DBC=45°， 。194(河南易中考 强化练习 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且CD= B,E为B的中点连接CB.DE,AC (1)求证：△AED≌△EBC. (2)在不添加辅助线的情况下，请直接写出图 中与△AED面积相等的所有三角形（△AED 除外). 3.已知：在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD, ∠C=∠E,∠BAE=∠DAC 求证：AC=AE. 4.【阅读理解】 截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助 线的添加方法.截长就是在长边上截取一条 线段与某一短边相等，补短是通过在一条短 边上延长一条线段与另一短边相等，从而解 2.已知，AB=AD,CB=CD, 决问题 (1)如图①，求证：△ABC≌△ADC. 【观察发现】 (2)如图②，连接BD,求证：AC垂直平分BD. (1)如图①，△ABC是等边三角形，点D是边 BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA, DB,DC之间的数量关系 解题思路：延长DC到点E,使CE=BD,连接 AE,根据∠BAC+∠BDC=180°，可证 数学)195■ ∠ABD=∠ACE,易证得△ABD≌△ACE,得出 △ADE是等边三角形，所以AD=DE,从而探 寻线段DA,DB,DC之间的数量关系 根据上述解题思路，请直接写出DA,DB,DC 之间的数量关系是 【拓展延伸】 (2)如图②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， AB=AC.若点D是边BC下方一点，∠BDC= 90°，探索线段DA,DB,DC之间的数量关系， 并说明理由 【知识应用】 (3)如图③，两块斜边长都为14cm的三角 板，把斜边重合摆放在一起，则两块三角板的 直角顶点之间的距离PQ的长为 cm. 2 。196(河南易中考设抛物线的解析式为y=ax2+4, 则4=(-3)'-4(4m-16)=0,解得m=7码 16 四边形ABCD为矩形，OE为BC的中垂线， .AD BC =4 m,OB=2 m. y=- +7亮当=0时=侣） 3 AB=3m,∴，点A(-2,3) 7397 B(-2,0)B跃=2+1合=2(m). 代人y=r2+4,得3=4a+4,a=- 4 抛物线的解析式为y=一+4 第三部分 通法模型篇 (2),四边形LFGT,四边形SMR均为正方形，FL= 一、“将军饮马”类题型 NR=0.75m, 【强化练习可引1322.538840 .FG=MN FL=NR =0.75 m, 二、全等模型 延长LF交BC于点H,延长N交BC于点J,则四边形 【强化练习】 FHN,四边形ABHF均为矩形， 1.解：(1)证明：DC=之B,E为AB的中点。 六.CD=BE=AE. F:CM N 又，DC∥AB,∴四边形ADCE是平行四边形， ∴.CE=AD.CE∥AD.∴∠BEC=∠BAD, .BE =EA, 在△BEC和△EAD中， ∠BEC=∠EAD, .FH =AB =3 m,FN HJ...HL HF FL=3.75 m, LEC =AD. 1 ∴.△AED≌△EBC(SAS). y=-4+4,当y=3.75时， (2)AD∥EC,.S6m=Sam 375=-子+4，解得x=±1 '△AED≌△EBC,∴.SAm=Sa AE EB,.S=SAc .H(-1,0),J(1,0),.FN=W=2m, ,与△AED的面积相等的三角形有△ADC,△AEC, ,∴.GM=FW-FG-MN=0.5m △ECD.△EBC (3):BC=4m,OE垂直平分BC, .AB =AD, .0B=0C=2m,.B(-2,0).C(2.0). 2.证明：(1)在△ABC和△ADC中 AC=AC, 设直线AC的解析式为y=红+b, BC CD. 3 「k=- ∴.△ABC≌△ADC(SSS). 2W+b=0 4 3 则 解得 ..Y=- -2k+b=3. (2):△ABC≌△ADC,∠BAC=∠DAC, 3 2 AB=AD,..AC垂直平分BD 太阳光为平行光，∴.设过点K平行于AC的光线的解析 3.证明：：∠BAE=∠DAC, 3 3 .∠BAE+∠EAC=∠DAC+∠EAC, 式为y=4+m,由题意，得y=一年+m与抛物线相 即∠BAC=∠DAE, (y=- 2+4, r∠C=∠E. 切，联立 整理得x2-3x+4m-16=0, 在△BAC和△DAE中， ∠BAC=∠DAE. 4x+m, LAB =AD. 25 .△BAC≌△DAE(AAS),∴AC=AE. 在△MPC中，：inA-侣Pe=AP.m72=1mX 4.解：(1)DA=DC+DB 【提示】△ABC是等边三角形∴AB=AC,∠BAC=60 0.95=95(海里). ∠BDC=120°，.∠ABD+∠ACD=180 在△BPC中，血B=侣 又：∠ACE+∠ACD=180°，∴.∠ABD=∠ACE. PC 95 .PB=- AB=AC,CE=BD,△ABD≌△ACE(SAS), n40°064=148（海里）. .AD=AE,∠BAD=∠CAE 答：B处距离灯塔P大约有148海里. ,∠BAC=60°，即∠BAD+∠DAC=60°. 2.解：如图，过点B作BD⊥AC,垂足为D, ,∴.∠DAC+∠CAE=60°，即∠DAE=60°， 设AD=x米，：AC=5米， B .△ADE是等边三角形. .CD=AC-AD=(5-x)米， ∴.DA=DE=DC+CE=DC+DB 在R△ABD中，∠A=37°， 37 .∴.BD=AD·tan37°s0.75x. 故答案为DA=DC+DB. (2)如图①，延长DC到点E,使CE=BD,连接AE. 在△BDC中，LC=45an459=物=号 ∠BAC=90°，∠BDC=90°，∴.∠ABD+∠ACD=180°， .BD=CD.0.75x=5-x,.x≈2.86. ∠ACE+∠ACD=180°，∴∠ABD=∠ACE. BD=0.75×2.86=2.1(米) AB=AC,CE=BD,△ABD≌△ACE(SAS), 答：此时活塞杆顶端B抬起的高度约为2.1米 .AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC=90°， 3.解：在Rt△ABC中，AB=18m,∠BAC=38°， DA+AE=DE ,..2DA=(DB+DC). .BC=AB·tan38°=0.78×18=14.04(m). 即2DA=DB+DC 在Rt△ABD中，AB=18m,∠BAD=53°， ,月 .BD=AB·tan53°=1.33×18=23.94(m), ∴.CD=BD-BC=23.94-14.04=9.9(m). 答：“龙”字雕塑CD的高度为9.9m 4.解：如图，过点D作DG⊥CG于点G,过点A作AF⊥ DG,交(GD的延长线于点F, 由题意可知， ①D ∠FAD=∠GDC=∠BCH=53, (3)如图②，连接PQ, AD =15 cm,DC =20 cm, MN=14 cm.LQMN-30QN=MN=7 em. sin∠FAD=DE ≈08， MQ=√/MW-QW=√14-7=75(em). cosL CDC=DC-0.6,.DF=12 em.DG=12 cm, 由(2)知2PQ=0N+QW=(7+7w3)cm DC .FG=FD+DG =24 cm. 六P0=7+73.5,7.6(m.故答案为2576 2 2 2 答：杯子最高点A与桌面的距离为24cm 三、锐角三角函数的实际应用 四、手拉手模型 【强化练习】 【强化练习】 1.解：根据题意，得∠A=72°，∠B=40°，AP=100海里， 1.132°2.3 26-